TD 7 nombres carrés et triangulaires

Lycée Marcellin Berthelot BCPST 2C 2015-2016
TD 7
Un nombre triangulaire est un entier strictement positif qui est égal à une des sommes partielles de la série de terme
72 8 × 9 8 × (8 + 1)
général uk = k. Par exemple 36 est un nombre triangulaire car 36 =
=
=
=
2
2
2
8
∑ k.
k =1
Ces nombres sont appelés ainsi parce qu'on peut les représenter sous forme de triangles.
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Pour 36 par exemple, on a la représentation :
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36 est aussi un nombre carré qui se représente par :
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Le problème, posé par Euler, consiste à déterminer tous les entiers strictements positifs qui sont, comme 36, à la fois
carrés et triangulaires.
Partie I Etude des puissances d'une matrice.
3 8
On considère la matrice A = 

1 3
1) Démontrer l'identité : A2 − 6 A + I 2 = 0
2) a) Montrer que : ∀k ∈ ℕ, ∃ ( ak , bk ) ∈ ℝ 2 tel que : Ak = ak A + bk I 2 .
Préciser les couples ( a0 , b0 ) et ( a1 , b1 ) .
Déterminer la relation de récurrence reliant ( ak +1 , bk +1 ) à ( ak , bk ) .
b) Montrer que la suite ( ak )k ∈ℕ satisfait une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 et en déduire l'expression
explicite de ak en fonction de k.
3) Expliciter, pour tout entier strictement positif k , les quatre coefficients de Ak .
Partie II L'équation de Fermat.
1) Montrer que le problème d'Euler revient à chercher les couples ( m, n) d'entiers strictement positifs solution de
m ( m + 1)
= n2 (1) . A quel couple ( m, n ) correspond le nombre 36 cité dans l'introduction ?
2
2) Montrer que si ( m, n ) est un couple d'entiers positifs satisfaisant l'équation (1) alors le
l'équation :
couple d'entiers positifs ( 2m + 1, n ) satisfait l'équation de Fermat : X 2 − 8Y 2 = 1.
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3) Montrer réciproquement que si ( x, y ) est un couple d'entiers positifs solution de l'équation
x −1


de Fermat, alors x est impair et  m =
, n = y  est solution de l'équation (1) .
2


4) Montrer que ( 3,1) est solution de l'équation de Fermat. En déduire un couple ( m, n ) solution
de (1) puis le nombre à la fois carré et triangulaire correspondant.
5) Soit f l'endomorphisme de ℝ 2 dont la matrice dans la base canonique est A.
a) Montrer que si ( x, y ) est un couple d'entiers strictement positifs, solution de l'équation de Fermat, alors il en est
de même du couple ( x ', y ' ) = f ( x, y ) .
 V = ( 3,1)
b) On considère la suite de vecteurs de ℝ 2 Vk définies par  1
Vk +1 = f (Vk )
Montrer que tous les vecteurs Vk sont des couples d'entiers strictement positifs solution de l'équation de Fermat.
6) Soit ( x, y ) un couple d'entiers strictement positifs solution de l'équation de Fermat et différent de ( 3,1) .
On se propose, dans cette question, de démontrer que ( x, y ) est, en fait, l'un des vecteurs Vk de la question 5) :
a) Montrer que f est un automorphisme et calculer ( X , Y ) = f −1 ( x, y ) .
b) Montrer que ( X , Y ) est un couple d'entiers strictement positifs solution de l'équation de Fermat.
c) Etablir que X < x.
d) En raisonnant par l'absurde, montrer que ( x, y ) est nécessairement l'un des couples Vk de la question 5).
Partie III Retour aux nombres triangulaires et carrés.
1) a) Démontrer, en synthétisant les parties précédentes que les entiers strictement positifs qui sont à la fois carrés
(
 3+ 2 2

et triangulaires s'écrivent sous la forme : CTk = 
) (
k
)
k
− 3 − 2 2 

32
2
où k décrit ℕ∗
b) Calculer CTk pour k = 1, 2 et 3.
2) a) Montrer que, pour k ≥ 1, les entiers CTk vérifient la relation de récurrence : CTk + 2 = 34CTk +1 − CTk + 2
b) Rédiger un programme permettant d'afficher les N premiers termes de cette suite lorsque N est un entier
strictement positif fourni par l'utilisateur.
3) Déterminer un équivalent de CTk lorsque k tend vers l'infini.
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