LES CONFIGURATIONS DU PLAN 1. Le triangle.

C L A S S E
D E
S E C O N D E
A C T I V I T E S
G E O M E T R I Q U E S .
L E S C O N F I G U R AT I O N S D U P L A N
1. Le triangle.
1.1
Théorèmes des milieux.
1.1.1
Version1
A
Si M est le milieu de [AB], et si N est le milieu de [AC], alors les droites (MN) et
(BC) sont parallèles ?
1.1.2
Version 2
N
M
Si M est le milieu de [AB] et si (MN) est parallèle à (BC) alors elle coupe
[AC] en son milieu N.
C
B
1.1.3
Le segment des milieux.
Soit M et N les milieux respectifs des côtés [AB] et [AC] du triangle ABC, alors MN =
1.2
Droites et points remarquables du triangle.
1.2.1
Médiatrices et cercle circonscrit.
BC
2
Dans un triangle les médiatrices sont concourantes.
Leur point d’intersection est équidistant des trois sommets du triangle.
C’est donc le centre du cercle circonscrit au triangle.
1.2.2
Médianes et centre de gravité.
Dans un triangle, les médianes sont concourantes.
A
Leur point d’intersection G est appelé centre de gravité du triangle.
Il est situé aux deux tiers de chacune d’elle à partir du sommet.
B'
C'
G
AG =
2
AA'
3
;
BG =
2
BB'
3
;
CG =
2
CC'
3
B
1.2.3
A'
C
Hauteurs et orthocentre.
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.
Une droite issue d’un sommet et passant par l’orthocentre, est une hauteur du triangle.
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1
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1.2.4
D U
P L A N
Bissectrices et cercle inscrit.
Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est équidistant de chacun des trois côtés du
triangle.
Ce point est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
A
B
C
EXERCICE 1
A chercher
ABCD est un parallélogramme.
Les points I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AD]
Démontrer que les droites (DI), (BJ) et (AC) sont concourantes.
EXERCICE 2
A chercher
ABCD est un parallélogramme
I est le projeté orthogonal de A sur (BC) et K celui de B sur (AC). Les droites (AI) et (BK)
se coupent en O.
Démontrer que les droites (OC) et (DC) sont perpendiculaires.
B
A
D
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C
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2. Le triangle rectangle.
2.1
Le triangle rectangle et le cercle.
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors A est sur le cercle de diamètre [BC]
A
Réciproquement :
Si A est un point du cercle de diamètre [BC], alors le triangle ABC est
rectangle en A.
2.2
B
Triangle rectangle et médiane.
Si ABC est rectangle en A, et si O est le milieu de [BC], alors AO =
C
O
1
BC
2
La médiane relative à l’hypoténuse en mesure la moitié.
Réciproquement :
ABC est un triangle, et O est le milieu de [BC].
Si on a AO =
2.3
1
BC , alors le triangle ABC est rectangle en A.
2
Théorème de Pythagore et réciproque.
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors : BC 2 = AB 2 + AC 2
Réciproquement : si dans un triangle on a : BC 2 = AB 2 + AC 2 alors le triangle est rectangle en A.
2.4
Triangle rectangle et trigonométrie.
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors :
l
cos B
BA
BC
l
cos B
côté adjacent
hypoténuse
l
sin B
;
AC
BC
;
AC
,
AB
l
tan B
;
l
sin B
côté opposé
hypoténuse
ou encore :
;
l
tan B
côté opposé
côté adjacent
Il faut retenir les valeurs remarquables suivantes :
3
2
cos 45° =
2
2
sin 30° =
1
2
sin 45° =
2
2
tan 30° =
3
3
cos 30° =
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tan 45° = 1
cos 60° =
sin 60° =
1
2
3
2
tan 60° = 3
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D U
1.
P L A N
Calculer BC
EXERCICE 3
C
A chercher
H
6
A
B
8
2.
a) En calculant de deux manières le cosinus de l’angle n
ABC , démontrer que : BA2 = BC × BH
3.
Déduisez-en HB, puis HC.
3. Les angles.
3.1
Somme des angles dans un triangle.
La somme des angles d’un triangle est égalez à 180°
3.2
Angles aigus d’un triangle rectangle.
Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires. C’est à dire que leur somme est égale à 90°
3.3
d
Angles opposés par le sommet.
Les deux droites d et d’ sont sécantes en O.
Les angles opposés par le sommet a$ et b$ sont égaux.
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O
a
b
d'
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3.4
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Angles alternes-internes et correspondants.
Si d et d’ sont deux droites parallèles, alors :
f
les angles a$ et b$ ainsi que c$ et d$ sont égaux comme étant alternesinternes.
Les angles a et e, ainsi que d et lf sont égaux comme étant
correspondants.
d
c
b
a
d
d'
e
Réciproquement, si dans une figure du type de celle ci-contre :
Deux angles alternes-internes sont égaux, alors d et d’ sont parallèles.
Deux angles correspondants sont égaux, alors d et d’ sont parallèles.
3.5
N
Angles inscrits et angles au centre.
M
3.5.1
Définitions :
C est un cercle de centre O.
O
Un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur le cercle, et qui est
délimité par deux cordes du cercle.
AMB et n
ANB sont deux angles inscrits.
Ainsi, les angles n
Les deux angles inscrits n
AMB et n
ANB , interceptent le même arc p
AB .
B
A
L’angle n
AOB est l’angle au centre qui est associé aux angles inscrits n
AMB et n
ANB .
3.5.2
Propriétés :
Un angle inscrit a pour mesure la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc.
Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux.
Ainsi :
M
1
n
AMB = n
ANB = n
AOB
2
Cas particulier :
AOB = 180°
Si [AB] est un diamètre, alors n
A
O
B
1
AMB = n
AOB = 90°
Il en résulte que n
2
D’où la propriété :
Si un triangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est un côté, alors il est rectangle.
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EXERCICE 4
A chercher
n = 90° et BAC
n = 40° .
C est un cercle de centre O, [AB] un diamètre, BOD
Calculer les mesures des angles du triangle BCD.
D
A
B
O
40,0 °
C
4. Le théorème de Thalès et sa réciproque.
4.1
Le théorème de Thalès.
Il s’utilise lorsque l’on a des droites sécantes coupée par des parallèles.
La situation la plus simple est le triangle coupé, par une droite parallèle à un de ses côtés.
N
A
B
A
M
N
C
B
M
C
Dans chacun des cas précédents, les triangles ABC et AMN forment une configuration de Thalès.
En effet, les points A, M et B sont alignés ainsi que les points A, N et C, et de plus les droites (BC) et (MN) sont
parallèles.
Le théorème de Thalès dit que les longueurs des côtés parallèles sont proportionnelles.
On a donc les égalités de rapports :
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AM AN MN
=
=
=k
AB AC BC
Si 0 < k < 1 , le triangle AMN est une réduction du triangle ABC
Si k > 1 , le triangle AMN est un agrandissement du triangle ABC.
Se souvenir que si les longueurs sont dans le rapport k, alors les aires sont dans le rapport k²
Ainsi :
aire AMN
= k2
aire ABC
4.2
Réciproque du théorème de Thalès.
ABC est un triangle, M est un point de (AB) et N un point de (AC)
Les points A, M, B et A, N et C sont alignés dans le même ordre.
Si on a
N
AM AN
=
alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
AB
AC
Remarque :
A
M
Le fait que les points A, M, B et A, N, C soient dans le même ordre est
essentiel.
En effet dans la figure suivante, les points M et N sont placés de manière
B
C
AM AN
=
, et pourtant les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles car les points ne sont pas placés
à ce que
AB AC
dans le même ordre sur les droites .
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