Cours d`optique 1

Oraux : thermodynamique.
Extraits de rapports de jury :
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Le programme de première année est parfois très mal maitrisé (changements d’état du corps pur détente de JouleThomson, etc.)
un abus de langage inadmissible : on parle de variation de travail pour effectuer une transformation !
Les candidats ne font pas la différence entre –PdV et -PextdV, et ils ne comprennent pas pourquoi on utilise l’un
ou l’autre.
Au niveau des cycles thermodynamiques, il persiste des erreurs entre isotherme et adiabatique. Le cycle de Carnot
n'est pas connu et le choix judicieux de la fonction d’état n’est pas un réflexe (isochore : U, isobare : H). Les sens
de parcours sont hésitants, ainsi que les signes des transferts thermiques et travaux. Beaucoup de candidats ne
savent pas qu’une transformation isentropique est une adiabatique réversible.
Les exercices sur les machines thermiques entre pseudo-sources sont toujours mal traités : les candidats ne savent pas
définir comme système une masse élémentaire de fluide qui parcourt des cycles au cours desquels les températures des
pseudo-sources varient suffisamment faiblement pour pouvoir être considérées comme de vraies sources sur la durée
d’un cycle.
Les changements d’état sont très peu maîtrisés, la courbe de saturation mal connue.
En conduction thermique, un bilan direct, adapté au cas étudié, vaut souvent mieux qu’une équation générale, qui
ne correspond pas toujours aux hypothèses : certaines contributions (effet Joule, convection, rayonnement) sont
oubliées.
La notion de résistance thermique est parfois inconnue. Certains exercices peuvent se traiter simplement avec un
schéma électrique équivalent. Des difficultés pour calculer les résistances thermiques en cylindriques et en sphériques.
Les bilans en coordonnées cylindrique et sphériques posent problème à cause de la définition de la surface variable,
l'utilisation du laplacien ou d'un développement limité.
Il y a confusion entre conduction et convection thermique, et l'analogie résistance électrique / résistance thermique est
rarement correctement expliquée.
De même, avec un conducteur cylindrique, les étudiants supposent souvent que la conduction est axiale, alors qu'elle
peut être radiale.
Comme en électricité, tous les modes de transferts thermiques ne s’ajoutent pas ; une analyse préalable du système
étudié peut par exemple mettre en évidence des transferts en série, ou en parallèle.
Exercice 1 – Expérience de Rüchardt
La méthode de Rüchardt permet de
déterminer le rapport
des capacités
thermiques d'un gaz parfait à pression et à
volume constants, en étudiant (voir figure) le
mouvement d'une bille dans un tube en verre.
La bille métallique, de diamètre très voisin de
celui du tube, se comporte comme un piston
étanche.
On néglige les frottements.
Lorsqu'on lâche la bille dans le tube de
section s, on observe des oscillations autour
d'une position d'équilibre.
La méthode consiste à mesurer la période des oscillations de la bille dans le tube ou, ce qui est
équivalent, la période des oscillations de la pression de l'air contenu à l'intérieur de la bouteille.
Pour cela, on enregistre la pression à l'aide d'un capteur de pression pendant environ 25 s.
L'air est assimilé à un gaz parfait.
On note x la position du centre de la bille à l'instant t (l'origine x = 0 est choisie à la position
d'équilibre de la bille) ; T et P désignent la température et la pression de l'air à l'intérieur de la
bouteille.
Données :
m = 20 g (masse de la bille), P0 = 1 bar et T0 = 293 K (pression et température de l'air
atmosphérique), s = 2 cm2 (section intérieure du tube), g = 9,8 m.s-2 (champ de pesanteur terrestre) et
V0 = 10 L (volume total, pour x = 0).
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Exercice 2 – Taille des mammifères marins. (type ouvert)
On cherche à évaluer la taille minimale des mammifères vivants dans de l’eau à une température moyenne
de 10 °C pour survivre. Leur température cutanée doit être maintenue à TC = 25 °C environ.
Donnée : conductivité thermique de l’eau λ = 0,5 W.K-1.m-1, puissance volumique moyenne développé par
des organismes vivants Pv = 300 W.m-3.
Exercice 3 – Cycle thermodynamique (incontournable)
On considère n moles de gaz parfait, décrivant
réversiblement le cycle proposé sur la figure ci-contre. On
considère que l’apport de chaleur au gaz se fait durant les
phases BC et CD. Les phases AB et DE sont isentropiques.
On notera
;
;
1. Enoncer les lois de Laplace.
2. Etablir la relation entre PA, PB, α et (rapport des
capacités calorifiques).
3. Exprimer le travail WAB échangé au cours de la phase AB
en fonction de PA, PB, VA, VB et .
4. Exprimer les chaleurs échangées QBC, QCD, QDE et QEA au cours des phases correspondantes en
fonction de n, des capacités calorifiques molaires Cvm et Cpm, et des températures aux points considérés.
5. Exprimer les températures aux points B, C, D et E, notées TB, TC, TD, TE en fonction de la
température en A, notée TA, et de certains des paramètres α, β, ε et .
6. Exprimer le travail total échangé sur l’ensemble du cycle en fonction des chaleurs calculées
précédemment.
7. En déduire l’expression du rendement η en fonction de α, β, ε et .
Eléments de correction :
1. Laplace PVγ=cste; TγP1-γ=cste; TVγ-1=cste. Valide pour un GP subissant une
transformation isentropique (QS adiabatique) avec γ=Cte.
2. Selon Laplace
(
)
3.
, donc
(
). CD isobare :
(
, EA isochore
4. BC Isochore :
et
(
) , DE adiabatique :
5. Laplace entre A et B :
Isochore entre B et C :
Isobare entre C et D :
Puis Laplace entre D et E :
( )
6.
7.
)
, d’où
, d’où
( )
( )
(
)
d’où
∑
d’où
(
(
)
)
(
les expressions des températures et il vient :
. On divise par Cvm et on reporte
)
[
(
)]
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Exercice 4 – Changement d’état : gel d’un lac
Exercice 5 : Congélateur
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Exercice 6 : Expérience de Jean Perrin. (Thermo stat)
Exercice 7 – Isolation d’une canalisation
Une canalisation cylindrique, rectiligne, infinie, contient de l’eau à la température Te. Elle est entourée
d’une gaine isolante, l’ensemble se trouve dans l’air à la température T0. La canalisation a un rayon
intérieur r1, un rayon extérieur r2, une conductivité λ1. La gaine isolante a un rayon extérieur r3, une
conductivité λ2. Les échanges convectifs aux interfaces satisfont la loi de Newton, avec des coefficients
d’échanges h1 , h2, h3 pour eau/tube, tube/isolant, isolant/air.
1. Etablir l’expression des résistances thermiques par unité de longueur du tuyau Rth1 et de la gaine
Rth2. Montrer que l’on peut définir de la même façon une résistance thermique à chaque interface
est les exprimer en fonctions des rayons et des coefficients d’échanges.
2. Montrer que la puissance thermique perdue par l’eau passe par un maximum pour une valeur
particulière de r3. Commenter
3. Une longueur L de la canalisation précédente contient de l’eau chaude au repos de température
initiale Te0>T0. Elle a une masse volumique μ et une capacité thermique massique c. On appelle
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Rth la résistance thermique global de la longueur L de canalisation. Ecrire et résoudre l’équation
différentielle vérifiée par Te(t). Conclure.
Exercice 8 – Détente dans une tuyère.
Les gaz sortant d’un réacteur d’avion passe par une tuyère d’éjection où ils se détendent. Le gaz est
assimilable à un gaz parfait ( = 1,4, M =29 g.mol-1). En régime permanent, dans une section droite, les
vitesses sont égales et normales à la section, la pression et la température y sont uniforme. Le gaz entre
dans la tuyère avec une vitesse négligeable c1, sous une pression P1 à la température T1 et ressort animé
d’une vitesse c2 sous la pression P2 à la température T2.
A’
A
P1,T1
C
C’
c2
c1
B
B’
D
P2,T2
D’
Le système étudié se trouve entre les sections AB et CD à l’instant t et entre les section A’B’ et C’D’ à
l’instant t+t.
1. Exprimer le travail reçu de l’extérieur pendant le temps t. On désignera par V1 le volume
ABA’B’ et V2 le volume CDC’D’.
2. En déduire que lorsqu’une masse m de gaz passe adiabatiquement des conditions d’entrée au
conditions de sortie, on a la relation suivante : H + K =cst où H et K désigne l’enthalpie et
l’énergie cinétique d’entraînement.
3. AN : Calculer c2 pour R = 8,31 J.K-1.mol-1, T1 = 1400 K et T2 =1330 K.
Exercice 9 – Stabilité de l’atmosphère.
Dans les cinq cents premiers mètres de l’atmosphère, la température varie avec l’altitude z suivant une loi
linéaire T = T0 – A.z , où T0 est la température au sol, et A une constante. Les variations g de sont
négligées. On considérera l’air comme un gaz parfait de masse molaire moyenne 29 g.mol-1, A = 6,5 K.km1 (gradient thermique), T0 = 290 K, P0 = 1atm.
1. Exprimer l’évolution de la pression et la masse volumique de l’air avec l’altitude ? On posera P0 et
0 la pression et la masse volumique au sol. Tracer l’allure de leurs évolutions. La masse
volumique évolue plus vite ou moins vite lorsque A augmente ?
On cherche à savoir en fonction du gradient thermique A si l’atmosphère est stable ou non. Supposons
qu’une petite bulle d’atmosphère de volume V(z) à l’altitude z soit écartée de sa position d’équilibre de
z>0. Sa pression va s’équilibrer rapidement sans que des échanges thermiques aient lieu. Le lien entre P
et V est alors P.V =cst avec  une constante valant environ1,4 pour l’air.
2. En faisant un bilan des forces s’appliquant sur la goutte de gaz, expliquer qualitativement pourquoi
l’équilibre de l’atmosphère est stable à condition que A soit inférieur à une valeur seuil (que l’on ne
cherchera pas à calculer est qui est de l’ordre de 9 K.km-1.)
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