Polycopié de TP Optique Semestre 1 2015-2016

LEnsE
Travaux Pratiques d’Optique - Semestre 1
Annexe
TP 1 & 2
TP 3
TP 4
TP5 & 6
Les incertitudes de mesure en Travaux Pratiques . . . . . . .
Mesures optiques visuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mesures d’angles et d’indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contrôles interférométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interféromètre de Michelson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cycle Ingénieur - 1ère année - Palaiseau
Année 2015-2016
Version du 10 juin 2015
1
11
27
39
51
LEnsE
ii
Règles de fonctionnement du LEnsE
Toutes les informations sont affichées sur le panneau d’affichage du LEnsE.
Consultez-le régulièrement !
Absences
La présence des étudiants à toutes les séances de travaux pratiques prévues à l’emploi du
temps est obligatoire et impérative. En cas de difficulté majeure, si un membre d’un binôme
est toutefois absent, l’autre doit venir à la séance et faire le TP. Et, en Optique, chacun
des membres du binôme rendra un compte-rendu individuel.
Absence excusée. Justificatif Le justificatif d’absence doit être déposé au secrétariat, les élèves
concernés doivent aussi prévenir directement le responsable du LEnsE du motif de l’absence
(à l’avance, si l’absence est prévisible).
Absence excusée. Rattrapage L’élève doit impérativement prendre contact avec les enseignants de TP pour étudier la possibilité de rattrapage (suivant la disponibilité des enseignants, du matériel et des salles). L’élève rattrape alors le TP et :
En optique, l’élève rédige un CR qui sera noté. S’il n’est pas possible de trouver une date
de rattrapage suite à une impossibilité du service des TP, le TP ne sera ni rattrapé
ni noté (la moyenne sera faite sur les notes restantes). Ce TP restera néanmoins au
programme de l’examen et l’étudiant pourra être interrogé dessus lors de l’examen de
TP.
En ETI et ProTIS, la synthèse du thème concerné, rédigée par le binôme, devra contenir
des résultats des deux séances individuelles (la séance normale et celle de rattrapage).
Si l’élève refuse la date de rattrapage proposée, il sera considéré comme absent non excusé.
Absence non excusée Toute absence non justifiée entraîne :
En optique, un zéro pour la séance et l’impossibilité de travailler sur ce TP avant la période
de révision. En cas d’absences répétées, le responsable d’année interdira à l’étudiant de
passer l’examen en fin d’année.
En ETI et ProTIS, un zéro pour la note de synthèse concernée.
iii
iv
Retards
Aucun retard n’est acceptable et en cas de retard important (ou de retards fréquents) d’un
étudiant, celui-ci se verra refuser l’accès au laboratoire. Les conséquences en seront identiques à
celles d’une absence non excusée (voir plus haut).
Plagiats
Le plagiat est le fait de s’approprier un texte ou partie de texte, image, photo, données... réalisé
par quelqu’un d’autre sans préciser qu’il ne s’agit pas de son travail personnel. On plagie quand
on ne cite pas l’auteur des sources que l’on utilise. Exemples de plagiat :
– Copier textuellement un passage d’un livre ou d’une page Web sans le mettre entre guillemets
et/ou sans en mentionner la source.
– Insérer dans un travail des images, des graphiques provenant de sources externes (hors énoncé
du TP) sans en indiquer la provenance.
– Utiliser le travail d’un autre élève et le présenter comme le sien (et ce, même si cette personne
a donné son accord !).
– Résumer l’idée originale d’un auteur en l’exprimant dans ses propres mots, mais en omettant
d’en indiquer la source.
– Traduire partiellement ou totalement un texte sans en mentionner la provenance.
Tout binôme convaincu de plagiat dans un compte-rendu ou une synthèse de TP se verra
attribuer la note de 0/20 à ce TP ou cette synthèse et encourt les sanctions disciplinaires prévues
au règlement intérieur.
Respect du matériel et des locaux
Le LEnsE met à votre disposition une très grande quantité de matériel scientifique.
Ces matériels sont très fragiles, sensibles à la poussière, aux traces de doigts, aux rayures, etc.
Merci d’en prendre le plus grand soin.
Il est donc formellement interdit d’apporter de la nourriture ou des boissons dans
l’ensemble du service (couloirs compris). Merci de veiller aussi à laisser les locaux particulièrement propres (si vos chaussures sont sales, retirez-les et laissez-les à l’entrée !)
Pour toute demande d’accès en dehors des séances de TP, vous devez impérativement (et
à l’avance) vous adresser au responsable technique du LEnsE, Thierry Avignon ou à Cédric
Lejeune (bureau S1.18).
Évaluation
TP & compte-rendus
Barème indicatif sur 20 points :
Habilité en manipulation
Compte-rendu
Présentation orale
Si la présentation orale
n’a pu avoir lieu :
5
15
5
10
5
Comptes-rendus :
Sauf indication contraire, les comptes-rendus doivent être déposés sur le site Libres Savoirs
une semaine après la séance. Merci de respecter les consignes suivantes :
– Certifiez l’originalité de votre travail en faisant figurer la mention : Nous attestons que
ce travail est original, que nous citons en référence toutes les sources utilisées et qu’il ne
comporte pas de plagiat.
– Vérifiez que vos noms et le numéro de votre binôme figurent sur la première
page de votre compte-rendu avant de la transformer en .pdf.
– Renommez le fichier .pdf selon le format :
G4B05DupondEtDupontTPmachintrucsuper.pdf avant de le déposer sur le site.
Attention : un point de moins par jour de retard !
Chaque vendredi, la liste des éventuels compte-rendus manquants est affichée sur le panneau
du LEnsE, pensez à la vérifier !
Présentation orale :
La présentation orale a plusieurs objectifs :
– elle nous permet de vérifier si vous avez compris les points essentiels du TP, si vous êtes
capable de prendre du recul par rapport aux manipulations effectuées.
– elle nous permet de corriger les points que vous auriez mal compris.
– elle vous entraîne à présenter oralement un travail expérimental de manière synthétique.
C’est une situation que vous rencontrerez souvent dans votre vie professionnelle.
La présentation orale aura lieu durant le TP, deux heures au moins après le début de la séance.
Sa durée est de 5 minutes (exactement) pendant lesquelles les deux membres du binôme doivent
intervenir.
Elle s’adresse à un "opticien de passage" (par exemple un ancien élève de SupOptique sorti il
y a plus de 5 ans) qui a priori ne connaît rien à la manipulation. Vous pouvez choisir le plan qui
vous semble le mieux adapté, utiliser le matériel du TP et montrer les résultats obtenus.
v
vi
Seront évaluées :
– les qualités pédagogiques (clarté, précision, enthousiasme,. . . )
– les capacités de synthèse,
– la qualité scientifique de la présentation,
– la gestion du temps.
Défauts à éviter absolument :
– faire un résumé « historique et linéaire » du déroulement de la séance,
– nous présenter des points de détails (que nous vous avons justement expliqués pendant la
séance parce qu’ils étaient délicats),
– utiliser des termes trop spécialisés sans les expliquer.
Examen
L’examen de fin d’année en 1A et 2A se déroule de la façon suivante (tous les documents sont
autorisés). :
– L’élève tire un sujet au hasard. Celui-ci doit tenir en quelques phrases : caractériser les
aberrations d’un objectif (2A), mesurer le bruit d’un système de détection (2A),...Le sujet
est très proche d’un TP de l’année (premier ou deuxième semestre).
– L’élève a ensuite 2 heures pour :
– réfléchir à la meilleure façon de réaliser la mesure qui lui est demandée,
– effectuer le montage et le réglage de la manipulation,
– effectuer les mesures,
– évaluer les incertitudes sur ses mesures,
– analyser les résultats.
Un très bref compte-rendu de mesures est rédigé et une présentation orale est préparée.
– Au bout des deux heures, lors d’un exposé oral d’environ 10 minutes, l’élève explique :
– comment il a effectué la mesure qui lui était demandée,
– quelles sont les précautions particulières à prendre,
– dans quel ordre faire les réglages,
– et il commente les mesures effectuées.
– Les enseignants du jury posent ensuite des questions permettant de préciser ou d’approfondir
le travail réalisé par l’élève.
En préparation de cet examen final, en plus du soin apporté aux comptes-rendus pendant
l’année et à votre participation active pendant les séances, nous ne pouvons que vous conseiller
fortement de réviser bien à l’avance les travaux pratiques des deux semestres.
LesincertitudesdemesureenTravauxPratiques
On mesure l'intelligence d'un individu
à la quantité d'incertitudes qu'il est capable de supporter.
(Emmanuel Kant)
L'humour : l'ivresse de la relativité des choses humaines ;
le plaisir étrange issu de la certitude qu'il n'y a pas de certitude
(Milan Kundera)
1. Introduction.
Mesurer des grandeurs identifiées est une activité fondamentale dans les laboratoires de recherche
scientifique et dans l'industrie. C’est aussi fondamental dans de nombreuses activités quotidiennes
comme le pesage dans les commerces, les analyses biologiques, la mesure de vitesse avec un radar, …
Il est nécessaire d’établir la confiance dans les résultats fournis lors de ces mesures.
Mesurer une grandeur (intensité d’un courant, tension, longueur,…), n’est donc pas simplement
rechercher la valeur de cette grandeur mais aussi lui associer une incertitude afin de pouvoir qualifier
la qualité de la mesure.
Déterminer une incertitude de mesure est une opération difficile et complexe, mais néanmoins
indispensable (et pas seulement en TP, bien sur).
Lorsque vous êtes verbalisé à 95 km/h pour une vitesse maximale autorisée de 90 km/h, vous êtes en
droit de supposer que le radar a mesuré la vitesse de votre véhicule à 95 km/h +/- 3 km/h. Donc, si
l’incertitude est donnée pour un intervalle de confiance de 99,7 % (+/- 3 écart-types), votre véhicule
roulait entre 92 et 98 km/h (avec une probabilité de 99,7 % ). Pas de chance !
Quoi qu’il en soit, en Travaux Pratiques, vous ne devrez jamais donner un résultat de mesure
sans l’accompagner de son incertitude,… sous peine d’être « verbalisés ».
2. Présenterunrésultatdemesures:
Vous mesurez l’angle d’un prisme. Le résultat doit être donné sous la forme :
A = 59° 58’ 45’’ + /- 15’’
Vous mesurez la focale d’un système optique :
f '  51, 0 mm  /  1,5 mm
Une résistance :
R  101   5 
Chiffres significatifs :
Donnez toujours les résultats avec un nombre de chiffres significatifs « raisonnable » et en
accord avec l’incertitude. Surtout pas de R  101, 024587   5  !
Attention, en particulier, avec les tableaux Excel dans lesquels vous devez choisir le nombre de
chiffres affichés, sous peine là encore de donner l’impression d’avoir obtenu des précisions
« risibles » !
Annexe sur les incertitudes de mesures
1
Par exemple, si vous mesurez la distance focale d’un système par la méthode simple y’/tan(
Theta 2°50'45'' theta (degré) y'(mm) f' = y/tan(theta) (mm) 2,845833333
9,8
197,143412 Vous prétendez mesurez la focale avec une précision nanométrique !
Préférez ce tableau :
Theta 2°50'45'' theta (degré) y'(mm) f' = y/tan(theta) (mm) 2,85
9,8
197 Et dans tous les cas, le résultat final de la mesure effectuée donnera l’incertitude :
f'’= 197 +/- 5 mm, par exemple.
L’incertitude a au plus 2 chiffres significatifs et est toujours arrondie par valeur supérieure. Et pour la
valeur mesurée, le dernier chiffre significatif a le même rang que celui de l’incertitude.
3. Evaluationdesincertitudesdemesures
Un peu de bon sens… beaucoup d’entrainement :
Bien souvent, le sens physique (« l’habitude ») permet de donner une incertitude approximative
raisonnable.
Par exemple, sur les goniomètres des Travaux Pratiques, l’incertitude de lecture est de 5
secondes d’arc. Donc, si vous prétendez mesurer l’angle d’un prisme avec une incertitude de 1 seconde
d’arc, votre résultat est évidemment suspect. L’incertitude est plus probablement de l’ordre 10
secondes d’arc.
Lorsque vous mesurez la focale d’un système optique par la méthode classique, f’ =
y’/tan(l'incertitude relative sur y’ ne peut être inférieure à 1%. Il est peu probable que l’incertitude
relative sur f’ puisse être meilleure que 2%. Le résultat suivant f '  51, 0 mm  /  0,1 mm est
donc visiblement aberrant.
Les mesures que vous ferez en photométrie sont en général à 10% près. etc...
Annexe sur les incertitudes de mesures
2
Vocabulaire et définitions :
Grandeur
inconnue à
mesurer
Résultat des mesures
Processus de mesure
Valeur
« vraie »
Statistique Gaussienne des
résultats des mesures
Ecart type :
Répétabilité ou
Reproductibilité
m2
Erreur
systématique
m1
mi
Mesures successives
m1,…,i résultats des
mesures successives
Analogue « Planche de Galton »
(voir figure à la fin du texte)
M m
1 n
 mi
n i 1
Résultat de la
mesure
Fig .1 : Mesure d’une grandeur
Le schéma précédent montre la complexité du problème de la mesure associée à son incertitude.
Le résultat de la mesure est M.: M est obtenu en effectuant la moyenne sur un grand nombre de
résultats de mesures mi.
Mesurage (ou mesure). On appelle mesurage (ou mesure) l’ensemble des opérations permettant de
déterminer expérimentalement une ou plusieurs valeurs que l’on peut raisonnablement attribuer à une
grandeur. Le résultat de la mesure, M, est obtenu par la moyenne d’un grand nombre de mesures.
La valeur Vraie. Lorsque l’on fait une mesure, c’est, bien sûr, que l’on ne connaît pas la Valeur vraie.
La valeur Vraie est inconnaissable.
Dans un compte rendu, vous ne pouvez donc pas écrire que vous avez effectué une « bonne » mesure,
car le résultat de mesure est « proche de la vraie valeur » !
Il est préférable de donner l’écart à la valeur tabulée (ou trouvée dans le Hand Book, ou donnée dans
le polycopié,…, et qui elle aussi est, en principe, donnée avec son incertitude) est de tant, ou de tant
de % en valeur relative. On peut ensuite comparer cet écart à votre évaluation de l’incertitude sur
votre mesure.
Répétabilité : les résultats de mesures successives d'une même grandeur sont obtenus par la même
méthode, par le même opérateur, avec les mêmes instruments de mesure, dans le même laboratoire, et à
des intervalles de temps assez courts.
Annexe sur les incertitudes de mesures
3
Reproductibilité : les résultats de mesures successives d'une même grandeur sont obtenus par
méthodes différentes ou au moyen de différents instruments de mesure, par différents opérateurs dans
différents laboratoires.
Erreur systématique : Par définition, l’erreur systématique est : M - Valeur vraie.
En toute rigueur, M est la moyenne qui résulterait d’un nombre infini de mesurages de la même
grandeur, effectués dans les conditions de répétabilité et de reproductibilité. La vraie valeur étant
inconnaissable, il en est de même pour l’erreur systématique.
En revanche, si elle est détectée, une erreur systématique, doit évidemment être corrigée.
4. Approchestatistique:
L’évaluation de type A de l’incertitude
Lorsqu'on répète plusieurs fois la mesure d'une grandeur physique, on obtient généralement
différentes valeurs plus ou moins dispersées : m1, m2, ….., mn.
Dans la plupart des cas, ces résultats de mesure suivent une distribution normale (ou
Gaussienne). Ceci provient du fait que plusieurs sources indépendantes contribuent généralement à
cette erreur (Théorème Central Limite , cf cours 1A Maths et signal).
A partir de ces résultats de mesures, on va pouvoir donner, la meilleure estimation du résultat de
la mesure par la moyenne arithmétique :
M m
1 n
 mi
n i 1
Et l’écart type expérimental :


1 n
 mi  m
n  1 i 1

2
L’écart type expérimental pour une infinité de mesures de distribution gaussienne permet de
calculer l’incertitude correspondant un intervalle de confiance. On a : x  2 x pour intervalle de
confiance à 95 %, x  3 x pour intervalle de confiance à 99,7 %.
Fig .2 : Distribution Gaussienne et intervalles de confiance
Annexe sur les incertitudes de mesures
4
Pour une distribution Gaussienne, un nombre limité de mesures et pour un intervalle de confiance
donné la loi de Student (tableau ci-dessous) permet le calcul de l’incertitude.
Loi de Student : écart type et niveau de confiance
> 100 mesures
Niveau de confiance 5 mesures 10 mesures 20 mesures
(loi normale)
50 %
0,73·σ
0,70·σ
0,69·σ
0,67·σ
68 %
1·σ
70 %
1,16·σ
1,09·σ
1,06·σ
1,04·σ
87 %
1,5·σ
90 %
2,02·σ
1,81·σ
1,73·σ
1,65·σ
95 %
2,57·σ
2,23·σ
2,09·σ
1,96·σ
99 %
4,03·σ
3,17·σ
2,85·σ
2,56·σ
99,7 %
3·σ
99,9 %
6,87·σ
4,59·σ
3,85·σ
3,28·σ
99,999 999 8 %
6·σ
En travaux pratiques, on prendra simplement M  2 ou 3 .
En métrologie, on utilise en principe : M  2, 2  .
5. Approcheanalytique:
L’évaluation de type B de l’incertitude
Si vous ne faites qu’une seule mesure (ou seulement quelques mesures), l’approche statistique
n’a pas de sens. Seule une analyse rigoureuse des sources d’incertitude est possible. C’est ce qui est
désigné par une évaluation de type B de l’incertitude.
On doit essayer dans ce cas d’identifier toutes les sources d’incertitude dans le processus de mesure et
d’évaluer leur importance. C’est en général la partie de loin la plus délicate du problème.
-
Par exemple lorsque, l’on effectue le pointé longitudinal du foyer image d’un système optique
sur un banc à l’aide d’un viseur à frontale fixe, on identifie au moins trois sources d’incertitude :
L’incertitude due à la profondeur de champ (diffraction) : zdiffraction   2 où a est l’ouverture
a
numérique du montage utilisé.
f '2oculaire
L’incertitude d’accommodation zaccommodation 
avec
g y 2 Dacc
f 'oculaire  25 mm si Gcommercial oculaire  10 , g y grandissement de l’objectif de microscope du viseur et
-
Dacc distance minimale d’accommodation (de 100 à 250 mm pour un(e) jeune étudiant(e)).
L’incertitude de lecture : zlecture  0, 01 mm sur les règles numériques en TP.
Annexe sur les incertitudes de mesures
5
La variance d'une somme d’incertitudes se calcule aisément quand celles-ci sont décorrélées (fig.5).
Dans la pratique, heureusement, les sources d'incertitudes sont le plus souvent indépendantes, donc
décorrélées.
Après avoir identifié les sources d’incertitude et leur valeur, il faut vérifier si ces sources sont
corrélées ou non corrélées.
Dans l’exemple précédent (comme dans la plupart des cas), elles sont indépendantes, on obtient
alors l’incertitude globale en effectuant la somme quadratique des termes évalués (cf. Cours Maths et
Signal 1A).
2
2
2
zpointé longitudinal  zdiff
 zacc
 zlecture
Remarque : Il est très important de noter que si une source d’incertitude est plus faible que les
autres (exemple 3 fois plus faible), son influence sera négligeable (9 fois plus faible que les autres
sources) sur l’incertitude globale.
Dans l’exemple précédent : si zdiff  0, 05 mm , zacc  0, 04 mm , zlecture  0, 01 mm
2
2
2
2
2
zpointé longitudinal  zdiff
 zacc
 zlecture
 0, 065mm et zpointé longitudinal  zdiff
 zacc
 0, 064mm
L’incertitude de lecture est bien ici totalement négligeable et il est inutile de la prendre en compte.
Il est donc toujours très important d’essayer d’identifier les sources d’incertitudes les plus
grandes. On néglige ensuite le plus souvent les sources dont l’influence est négligeable.
Remarques sur les incertitudes de lecture :
Appareil à affichage numérique :
L’incertitude d’une mesure réalisée à l’aide d’un appareil à affichage numérique N’EST PAS
donnée par le dernier chiffre affiché. Il est nécessaire de connaître les caractéristiques de l’appareil de
mesure pour pouvoir l’évaluer. La documentation de l’appareil stipule généralement deux grandeurs
sous la rubrique « précision ». La première valeur est une incertitude en pourcentage de la valeur lue, la
deuxième est un nombre de digits qui correspond à l’incertitude sur le dernier chiffre affiché (attention :
cette dernière correspond donc à une incertitude en pourcentage de la pleine échelle !).
Exemple : quelle est l’incertitude sur la valeur de 400.00 mA affichée par un ampère mètre ?
Si la documentation de l’ampère mètre indique une précision de : ±0,05% ±4d.
Alors le résultat de la mesure du courant est : 400.00 ±0.24 mA , que l’on peut réécrire avec une légère
surestimation de l’incertitude : 400.0 ±0.3 mA.
Mais, si la valeur affichée est 001.12 mA, le résultat de la mesure du courant sera : 001.12 ±0.04 mA
soit une incertitude relative très médiocre de 3,6 % (il faut bien évidemment changé de le calibre si
c’est possible ! ).
Annexe sur les incertitudes de mesures
6
Lecture analogique :
Fig .3 : Vernier de vis micrométrique
Ce vernier, par exemple,est gradué au 1/100 de mm (50 graduation sur le tambour pour 0,5 mm).
Il semble prudent de faire confiance au constructeur et prendre une incertitude de lecture de +/- 0,01
mm.
Réticule gradué
Image de la mire
Autre exemple, ce réticule d’oculaire vous permet de mesurer la dimension de l’image d’une mire
graduée. On lit : y’(9graduations de la mire) = 2,3 mm ± 0.1 mm, soit une précision relative de 4,3 %. Il est
bien clair qu’il faut utiliser un maximum de graduations du réticule pour diminuer cette incertitude de
lecture. Si on utilise les 100 graduations disponibles du réticule de 10 mm, on aura une incertitude de
lecture relative de l’ordre de 1%.
6. Propagationdesincertitudes:
Cette partie est parfois curieusement dénommée calcul d’incertitude. C’est de loin la partie la
plus simple de toute cette annexe.
Par exemple, vous cherchez à évaluer l’incertitude sur une grandeur y qui dépend d’une autre grandeur
x, (y = f(x)) et vous avez évalué l’incertitude sur x.
L’outil mathématique différentiel (ou dérivée) vous donne immédiatement le résultat. Ce que vous
cherchez est l’influence d’une faible variation de x sur la grandeur y (fig. 4). Et si vous avez peur de
vous tromper dans le calcul formel de la dérivée, un calcul numérique à l’aide d’un tableau Excel (ou
n’importe quel autre outil de calcul numérique, calculette, Matlab,…) vous permet tellement
simplement de vous passer du calcul formel de cette dérivée.
 df ( xmesuré ) 
L’incertitude sur y est simplement : y  
 x
dx


Si maintenant y dépend de plusieurs grandeurs x1, x2, x3,…pour lesquels vous connaissez l’incertitude,
de la même manière c’est évidemment l’outil mathématique différentiel qui vous permet de calculer
l’incertitude sur y.
y  f ( x1 , x2 , x3 ,...)
Annexe sur les incertitudes de mesures
7
f ( x3 )
f ( x1 )
f ( x2 )
dx1 
dx2 
dx3  ... calcule l’influence d’une
x1
x2
x3
faible variation de x1, x2, x3 ,.. sur la grandeur y.
La différentielle totale exacte : dy 
En supposant les sources d’incertitude non corrélées (c’est statistiquement indépendantes).
L’incertitude sur y sera évaluée par l’expression :
2
2
2
 f ( x3 ) 
 f ( x1 ) 
 f ( x2 ) 
2
2
2
y  
 x3  ...
 x1  
 x2  



x
x
x




1
2
3


Et encore une fois, si la dérivée est laborieuse à calculer, un calcul numérique à l’aide d’un tableau
Excel (ou n’importe quel autre outil) sera bien plus efficace.
Par exemple, la mesure de l’indice par le minimum de déviation d’un prisme :
A  Dm
sin
2
n
A
sin
2
L’incertitude sur l’indice, n dépend des incertitudes sur A et Dm (A et Dm). Avec l’outil informatique
de calcul, calculez :
A  Dm  Dm
A  A  Dm
sin
sin
2
2
n  nDm 
n  nA 
A  A
A
sin
sin
2
2
et
L’incertitude sur l’indice, n sera donnée par par la somme quadratique des 2 termes, en supposant les
incertitudes sur A et Dm non corrélées (elles le sont si elles sont statiquement indépendantes) :
n  nDm 2  nA 2
Incertitude absolue et incertitude relative :
Il est souvent plus facile d’interpréter l’incertitude relative que l’incertitude absolue. De plus, si
y dépend de plusieurs grandeurs x1, x2, x3,…sous forme d’un produit (ou d’un quotient). La dérivée
logarithmique sera certainement bien plus rapide.
Exemple : y  4 x12 x2 x3 , la dérivée logarithmique donnera le même résultat mais sera plus
facile à calculer
dx dx 1 dx3
dy
2 1  2 
y
x1
x2 2 x3
En supposant toujours les sources d’incertitude non corrélées, l’incertitude sur y sera évaluée par
2
2
  x   x  1   x 
dy
l’expression :
 4 1    2    3 
y
 x1   x2  4  x3 
Annexe sur les incertitudes de mesures
2
8
Planche de Galton
La planche est inclinée. Les billes tombent et heurtent au hasard les clous (grand nombre de processus
aléatoires) et se répartissent selon….une Gaussienne !
1
Mesures et
incertitude
sur x
y f
x
 f 
dy  
 dx
 x 
y
x
x1
y1

y
 f 
 
x
 x 
x
x1
Fig4 . Outil différentiel
Annexe sur les incertitudes de mesures
9
Variance d’une somme :
Connaissant l’incertitude sur A1et A2, quel est l’incertitude sur A = A1+ A2 ?
1
A1
2
A2
Si les deux incertitudes ne
sont pas corrélées
   12   22
A = A1 + A 2
Fig 5. Incertitudes non corrélées
Annexe sur les incertitudes de mesures
10
TP : Mesures optiques visuelles.
Pointés longitudinaux et transversaux.
Focales et frontales de systèmes optiques.
Rayons de courbure.
10 juin 2015
Le TP se déroule sur deux séances. Le compte rendu global est à rendre à la fin
de la deuxième séance.
Table des matières
Introduction
12
Conseils pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Rappels d’optique paraxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1 Mesures rapides de focale
13
1.1 Dispositif de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Première étude : Doublet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Application à un objectif vidéo et à une lentille divergente . . . . . . 17
2 Mesure de focale par la méthode de Cornu
2.1 Principe de la méthode de Cornu . . . . . . . . . .
2.2 Alignement du banc . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Analyse de la précision des pointés longitudinaux. .
2.4 Mesures et incertitudes . . . . . . . . . . . . . . .
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17
17
19
21
22
3 Mesures de rayons de courbure
23
3.1 Principe de la mesure par autocollimation . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Précision de pointé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Mesures et incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
11
12
TABLE DES MATIÈRES
Introduction
Ces deux séances de Travaux Pratiques sont une première occasion de mettre
en œuvre des principes de l’optique instrumentale et de mesures optiques étudiés
en cours en première année, d’apprendre à faire des mesures précises et rigoureuses
et d’évaluer soigneusement la précision de ces mesures. Ces mesures permettront de
déterminer la distance focale et les frontales avant et arrière de systèmes optiques,
ainsi que des rayons de courbure de miroirs ou de dioptres. Le TP se déroule sur
deux séances. Au cours des deux séances vous allez mesurer :
– la focale et la position des éléments cardinaux d’un objectif vidéo,
– la focale d’un doublet convergent et d’une lentille divergente,
– le rayon de courbure d’un miroir non aluminé,
– les rayons de courbures des deux dioptres d’un condenseur.
A l’issue de ces deux séances vous serez capables de :
– concevoir le protocole de mesure des grandeurs géométriques d’un système
optique,
– choisir les instruments et mettre en œuvre de telles mesures,
– évaluer les incertitudes.
Conseils pratiques
Mesures Utiliser correctement les réticules afin d’obtenir les mesures les plus précises possibles, c’est à dire le plus grand nombre de graduations. Toujours noter
les conditions de mesures (objectif de viseur utilisé, nombre de graduations,. . .) On
donnera systématiquement toutes les mesures brutes (nombre de graduations,. . .),
puis l’analyse de ces mesures, de façon à permettre de revenir rapidement sur des
incohérences et identifier s’il s’agit d’erreurs de calcul ou de mesure.
Incertitudes Il vous est demandé d’évaluer les incertitudes de mesures avec soin,
l’annexe Les incertitudes de mesure en Travaux Pratiques donne des éléments pour
vous y aider.
Rappels d’optique paraxiale
Dans le cadre de l’approximation paraxiale, tout système optique (à l’exception
des systèmes afocaux) peut être modélisé par ses plans principaux (objet et image)
et ses foyers (objet et image). La distance focale image est f 0 = H 0 F 0 . Si les milieux
de part et d’autre0 du système ont le même indice, la distance focale objet HF est
f = −f 0 ( nf = − nf 0 sinon ).
La focale f 0 détermine la dimension de l’image d’un objet situé à l’infini, c’est
à dire y 0 = −f tan(θ) = f 0 tan(θ0 ), où θ est la dimension angulaire d’un objet
13
situé à l’infini et y 0 la dimension de son image par le système optique étudié comme
représenté sur la figure 1.
H
θ
|F
H0
θ0
0
|F
y0
Figure 1 – Schéma de la configuration ∞ - Foyer d’un système optique. La taille
y 0 de l’image d’un objet de dimension angulaire θ est y 0 = f 0 tan(θ0 )
P1 Dans quel cas a-t-on θ = θ0 ?
1
Mesures rapides de focale par la mesure de la
taille de l’image (pointés transversaux).
Les méthodes de mesures de la focale que nous allons étudier sont très importantes pour un ingénieur-opticien. Il apparaît souvent que la focale réelle d’un
système optique acheté dans le commerce diffère de 2 à 5% de la valeur donnée en
catalogue ou gravée sur la monture mécanique. Cette différence peut compromettre
le bon fonctionnement d’un instrument conçu sans avoir vérifié les valeurs données
en catalogue.
La méthode la plus directe pour mesurer une distance focale est donc de mesurer
la dimension de l’image d’un objet situé à l’infini et dont on connaît la dimension
angulaire. Cette approche est parfois appelée : "méthode y 0 / tan(θ)".
1.1
Dispositif de mesure
En pratique, une mire graduée, Mc , placée au foyer du collimateur joue le rôle
d’objet à l’infini dont la dimension angulaire est connue. La mesure de la dimension
angulaire de la mire Mc a été effectuée soigneusement à l’aide d’un goniomètre. Elle
est inscrite sur le collimateur en degrés, minutes (1/60◦ ) et secondes d’arc (1/3600◦ ).
La mesure de la dimension transversale, y 0 , de l’image de la mire graduée Mc ,
par le système optique à étudier permet donc d’obtenir simplement la focale d’un
système optique. Cette mesure sera réalisée avec précision à l’aide d’un viseur à
frontale fixe (c’est-à-dire un microscope).
H
H0
|F
Réticule
|
|
F
Collimateur
Mc
Foyer objet de l’oculaire
1 MESURES RAPIDES DE FOCALE
Foyer image de l’objectif étudié
14
0
Foc
Objectif viseur
Objectif étudié
y
0
Oculaire viseur
y
00
Figure 2 – Schéma complet du montage
Deux protocoles sont possibles pour mesurer cette dimension y 0 :
1. la mesure de la dimension y 00 , image de y 0 par l’objectif de viseur sur le réticule
de l’oculaire,
2. la mesure directe de la dimension y 0 par déplacement transversal du viseur.
P2 Faire un schéma clair du montage. Tracer le cheminement d’un faisceau de
rayons (au moins 2 rayons donc !) pour un point objet de la mire graduée du collimateur hors d’axe.
1.2
Première étude : Doublet
1.2.1
Alignement du banc et réglage du viseur
La hauteur de l’axe optique est ici fixée par la hauteur du mandrin auto centreur
(puisque celui-ci n’et pas réglable). De même, la même position latérale de l’axe est
imposée par le collimateur si celui ci n’est pas réglable.
Placer tous les éléments nécessaires sur le banc en vérifiant attentivement que
tous les éléments sont bien centrés, à la hauteur du mandrin et bien alignés.
Prendre soin de placer le doublet convergent dans le bon sens d’utilisation.
Régler l’oculaire à votre vue. Pour cela, dévisser le verre d’œil puis le revisser
progressivement jusqu’à voir le réticule net, tout en gardant le deuxième œil ouvert
afin d’éviter d’accommoder.
1.2 Première étude : Doublet
15
Monter l’objectif de grandissement x2.5 sur le viseur.
1.2.2
Protocole 1. Mesure de y 00
On souhaite donc mesurer l’image agrandie de la mire, y 00 , par l’objectif du viseur
à l’aide du réticule de l’oculaire (pointé transversal). Le réticule des oculaires de
longueur 10 mm est gradué en 1/10ème de millimètre (100 graduations). Dans ce
cas, il est nécessaire de déterminer avec précision le grandissement de l’objectif du
viseur à l’aide d’une mire objet, graduée elle aussi au 1/10ème de millimètre. 1
Étalonnage de l’objectif du viseur
Placer la mire objet, éclairée par la lampe de bureau et observer avec le viseur
l’image de cette mire.
Mesurer à l’aide du réticule de l’oculaire la taille de cette image. Pour cela il peut
être nécessaire de déplacer le viseur transversalement afin d’aligner une graduation
de l’image de la mire étalon avec une graduation du réticule de l’oculaire. Prendre
le plus grand nombre de graduations pour diminuer les incertitudes de mesures.
Q1 Déduire de cette mesure le grandissement du viseur.
Q2 Quelle est l’incertitude de cette mesure si on suppose que la principale source
d’incertitude est l’erreur de lecture d’une graduation sur le réticule de l’oculaire ?
Mesure de focale et incertitudes
Mesurer la focale du doublet (Clairaut). Répéter plusieurs fois la mesure (une
dizaine de mesures). Indiquer l’incertitude de mesure expérimentale. Se référer à
l’annexe sur "les incertitudes de mesures en TP".
Q3 Quelle est l’incertitude attendue ? Est-elle cohérente avec celle mesurée par
répétabilité ?
1. On ne peut se fier aux valeurs de grandissement données par le constructeur car les longueurs de tubes
utilisés pour nos viseurs ne correspondent pas assez précisément aux valeurs standards des tubes de microscopes
commerciaux (cf. cours et TP sur le microscope)
16
1 MESURES RAPIDES DE FOCALE
1.2.3
Protocole 2 : utilisation de la vis de déplacement transversal
Une autre méthode consiste à mesurer y 0 directement, par déplacement transversal du viseur (pointé transversal). Une graduation du réticule de l’oculaire sert
de repère pour cette mesure. Le déplacement est lu à l’aide du vernier de la vis micrométrique fixé sur le support viseur. Ce vernier est gradué en 2/100 de millimètre
(25 graduations pour 1 tour = 0.5 mm).
Mesurer la focale du doublet (Clairaut) par cette deuxième méthode.
Q4 Évaluer les incertitudes sur cette mesure. Comparer les résultats obtenus par
les deux méthodes.
1.2.4
Mesure de frontale
Mesurer la frontale arrière du Clairaut (S 0 F 0 : distance dioptre de sortie du
système- foyer image). Pour cela :
– déposer délicatement quelques poussières de talc sur le sommet de la lentille
à l’aide de la pointe d’un crayon,
– placer le viseur dans la position où il image le foyer image du doublet, mettre
à zéro le vernier numérique longitudinal,
– déplacer le viseur jusqu’à ce que l’image du talc soit nette,
– la valeur de la frontale se lit ainsi directement sur le vernier.
Q5 Comparer à sa focale.
1.2.5
Focale et frontale avant
Utiliser l’objectif à étudier dans l’autre sens et mesurer à nouveau la focale (par
les 2 méthodes) et la frontale du système optique.
Q6 Commenter et faire un schéma du système.
Remplacer l’objectif du viseur par l’objectif de grandissement x6.3.
Mesurer à nouveau la focale du doublet par le premier protocole.
Q7 Commenter. Comment choisir l’objectif du viseur ?
1.3 Application à un objectif vidéo et à une lentille divergente
1.3
17
Application à un objectif vidéo et à une lentille divergente
Placer maintenant l’objectif vidéo, dans le sens habituel d’utilisation, dans le
mandrin autocentreur.
Q8 Expliquer votre choix pour l’objectif du viseur.
Effectuer une mesure précise de la focale de l’objectif vidéo par les deux protocoles.
Mesurer sa frontale arrière.
Q9 Comparer à la focale. Où se trouve le plan principal image ?
Utiliser l’objectif dans l’autre sens et mesurer à nouveau la focale (1er protocole)
et la frontale du système optique.
Q10 Tracer avec soin, à l’échelle, le schéma paraxial de l’objectif étudié (plans
principaux, foyers et faces d’entrée et de sortie de l’objectif).
Mesurer enfin par la méthode de votre choix la focale d’une lentille divergente.
Q11 Expliquer le choix de l’objectif du viseur, et donner l’incertitude de votre
mesure.
2
2.1
Mesures de focale de systèmes optique par la méthode de Cornu (pointés longitudinaux)
Principe de la méthode de Cornu
Cette méthode permet de déterminer la focale du système par application de la
formule de Newton, en prenant pour objets les sommets des dioptres d’entrée et de
sortie du système. De plus, elle permet de mesurer les frontales avant et arrière et de
placer les plans principaux et les foyers du système (modélisés en optique paraxiale).
18
2 MESURE DE FOCALE PAR LA MÉTHODE DE CORNU
A
A0
B
|
|
F
Collimateur
0
Foc
Objectif viseur
Oculaire viseur
Objectif étudié
Figure 3 – Méthode de Cornu. Deux premières mesures : F 0 B et F 0 A0
Le viseur est déplacé longitudinalement le long du banc de manière à pointer
(netteté simultanée et sans parallaxe du réticule et de l’image observée) :
– les graduations de l’image de la mire graduée du collimateur située dans le
plan focal image F 0 du système,
– le sommet du dioptre de sortie B,
– l’image A’ du sommet du dioptre d’entrée A à travers le système étudié,
On retourne le système optique et on effectue des pointés analogues qui fournissent
les lectures F , A, B 0 :
B
B0
A
|
|
F
Collimateur
Objectif viseur
Foc
Oculaire viseur
Objectif étudié
Figure 4 – Méthode de Cornu. Mesures 3 et 4 : F A et F B 0
On en déduit la focale du système par les formules de Newton :
f · f 0 = F A · F 0 A0 = F 0 B · F B 0
Les deux valeurs ainsi obtenues permettent un contrôle des valeurs mesurées. Connaissant la focale et la position des foyers par rapport aux surfaces terminales du système,
il suffit de mesurer l’épaisseur de ce dernier au palmer pour pouvoir placer tous les
éléments paraxiaux (H, H 0 , F , F 0 ).
2.2 Alignement du banc
2.2
19
Alignement du banc
La mesure de la focale par la méthode de Cornu utilise différents pointés longitudinaux le long du banc. Pour obtenir des mesures précises, le collimateur, le
système optique étudié et le viseur doivent avoir leur axe optique parallèle à l’axe de
coulissage du banc de mesure. Régler précisément un banc d’optique, c’est amener
les axes optiques des divers systèmes à être confondus entre eux (ce qui définit l’axe
optique du montage) et parallèles à l’axe de coulissage du banc. Vous allez réaliser
ce réglage par un alignement laser. Le faisceau d’une petite diode laser rouge va permettre de matérialiser l’axe de coulissage du banc et d’effectuer les positionnements
des éléments par autocollimation.
Les étapes de ce réglage rapide sont décrites dans les paragraphes suivants.
2.2.1
Alignement du laser sur l’axe du banc
On dispose d’une diode laser suivi d’un dispositif à deux miroirs plans très astucieux, dit "tabouret optique". Ce dispositif utilise la propriété selon laquelle 2
miroirs sont nécessaires et suffisants pour aligner un faisceau laser sur une droite
quelconque. Ce système permet un réglage indépendant de la translation et de la
rotation du faisceau dans les deux directions, horizontale et verticale, comme indiqué
sur les figures 5 et 6. Les translations du faisceau sont utilisées pour les réglages du
trou à faible distance, les rotations pour les réglages à grande distance.
Rotation du miroir M2
⇒ réglage de rotation du faisceau
Diode Laser
Rotation du support
⇒ réglage de la translation du faisceau
Figure 5 – Schéma de principe du "tabouret optique"
20
2 MESURE DE FOCALE PAR LA MÉTHODE DE CORNU
Figure 6 – Tabouret optique
Aligner le faisceau laser avec l’axe du banc. Pour cela :
– Fixer un trou dans le mandrin auto-centreur (vérifiez que le mandrin est centré
sur le banc pour que le trou le soit aussi !) et le déplacer au bout du banc,
– Règler la rotation du faisceau à l’aide du "tabouret optique" afin que le faisceau
laser traverse ce trou,
– Repérer la position de ce trou à l’aide d’un écran percé d’un trou,
– Déplacer ce carton perforé à l’autre extrémité du banc (très proche du "tabouret optique"),
– Translater le faisceau laser à l’aide du "tabouret optique" afin que le faisceau
laser traverse ce trou,
– Enfin, corriger la rotation du faisceau afin qu’il traverse les deux trous, aux
deux extrémités du banc.
Le faisceau laser est alors parfaitement parallèle à l’axe de coulissage du banc et
matérialise l’axe optique du montage. Le trou métallique peut être ôté du mandrin.
2.2.2
Réglage des autres élements
L’écran percé d’un trou permet de visualiser les taches qui résultent des réflexions
sur les différents dioptres.
2.3 Analyse de la précision des pointés longitudinaux.
21
Centrer rapidement le collimateur sur l’axe optique, pour cela s’assurer que l’on
a une seule tache. Puis le basculer pour que le dioptre soit perpendiculaire à l’axe
optique (obtention d’une tache centrée).
Orienter très précisément l’objectif à étudier dans le mandrin autocentreur.
Attention à ne pas toucher au déplacement transversal du mandrin qui a servi à
définir l’axe optique !
Régler rapidement l’orientation du tube du viseur.
2.3
Analyse de la précision des pointés longitudinaux.
La précision des mesures dans cette méthode dépend de la précision des pointés
longitudinaux.
– L’axe de l’objectif doit être placé le plus précisément parallèle à l’axe de coulissage (alignement laser).
– La qualité du pointé longitudinal est améliorée en utilisant le phénomène de
la parallaxe entre le réticule de l’oculaire et l’image observée.
– Et enfin, la précision des pointés longitudinaux augmente avec l’ouverture
effective du montage.
Ce dernier point est dépendant de l’objectif du viseur.
2.3.1
Choix de l’objectif du viseur
L’ouverture numérique objet du viseur utilisé, ONv = n · sin(αv ), doit donc
être choisie supérieure à l’ouverture numérique image du système optique étudié.
Autrement dit, la pupille du montage doit être, si cela est possible, la pupille du
système étudié.
H
H0
αv
α0
|
ΦP E
|
F0
Objectif viseur
Foc
Oculaire viseur
Objectif étudié
Figure 7 – L’ouverture numérique sin(αv ) de l’objectif du viseur doit être supérieure à celle du système à mesurer.
22
2 MESURE DE FOCALE PAR LA MÉTHODE DE CORNU
Pour les objectifs de microscope, l’ouverture numérique objet, ON = n ·
sin(α), est gravée sur la monture.
Pour les autres objectifs, photo, vidéo , de projection ou d’agrandisseur, c’est
à dire pour tous les systèmes qui sont habituellement0 utilisés en conjugaison infinifoyer, c’est le nombre d’ouverture, défini par N = ΦfP E , du système optique qui est
indiqué sur la monture. En vertu de la relation d’Abbe (ou Relation Fondamentale
des Systèmes Optiques d’Imagerie) :
sin(α0 ) =
ΦP E
1
=
2f 0
2N
Q12 Quel objectif de viseur choisissez-vous pour la mesure de la focale du doublet ?
Le critère sur l’ouverture numérique est-il le seul à prendre en compte ici ?
2.3.2
Analyse en répétabilité
Avec l’objectif de viseur choisi, chaque manipulateur fera un test de précision
de pointé sur le foyer F 0 . Ce test est destiné à comparer la précision estimée et la
précision réelle de pointé (qui est propre à chaque expérimentateur).
Effectuer 10 pointés successifs chacun du plan focale image, F 0 , en défocalisant
largement entre chaque pointé. Présenter les résultats avec l’écart type.
Effectuer la même expérience avec un objectif de viseur beaucoup plus fermé
et comparer les précisions de pointé.
2.3.3
Analyse théorique
L’incertitude des pointés longitudinaux est due en principe à 3 facteurs :
– la diffraction,
– la profondeur d’accomodation,
– et l’incertitude de lecture.
Q13 Calculer la valeur de ces incertitudes et comparer à votre analyse en répétabilité.
2.4
Mesures et incertitudes
Mesurer avec la meilleure précision possible les grandeurs F A, F 0 A0 , F 0 B, F B 0 .
Effectuer 10 mesures successives, en défocalisant largement entre chaque pointé.
23
Q14 En déduire la focale et les frontales du système optique.
Q15 Déterminer la précision de mesure de ces valeurs.
Q16 Comparer bien sûr ces résultats avec ceux obtenus dans la partie 1.
3
3.1
Mesures de rayons de courbure
Principe de la mesure par autocollimation
Cette méthode s’applique à la mesure des rayons de courbure de surfaces optiquement polies. Il existe pour un miroir sphèrique, deux positions pour lesquelles
l’image obtenue par réflexion et l’objet sont confondus : lorsque l’objet est au centre
de courbure et lorsque l’objet coïncide avec la surface. La distance entre ces deux positions est égale au rayon de courbure. Pour pointer le sommet et le centre du miroir,
on utilise un microscope autocollimateur (ou viseur autocollimateur). Le schéma de
ce viseur à réticule éclairé est donné sur la figure 8, page 25.
Méthode de réglage :
– On règle rapidement le miroir à étudier sur l’axe du banc en utilisant le faisceau
de la diode laser d’alignement,
– puis pointer un sommet, ce qui est facile puisque l’on connaît approximativement le plan de visée du viseur autocollimateur (on connaît la distance frontale
de l’objectif),
– retirer l’oculaire et translater le viseur en direction du centre en observant
attentivement la tache lumineuse que forme, dans la pupille de l’objectif, le
faisceau réfléchi.
– En général, plus on s’éloigne du sommet plus la tache s’éloigne du centre de
la pupille. On agit alors sur l’orientation du miroir pour maintenir cette tache
au centre de la pupille.
– Quand on se trouve au voisinage du centre de courbure, la pupille doit à
nouveau être complètement éclairée. On replace l’oculaire et en oscillant autour
de cette position, on doit trouver le centre de courbure. On lit l’abscisse du
centre.
– Translater le viseur pour viser le sommet correspondant à la direction de l’axe.
On lit l’abscisse du sommet.
Remarque Pour vérifier que l’on a bien pointé le sommet et le centre de courbure
de la "bonne" face, on peut par exemple souffler de la buée sur l’autre face ; l’image
ne doit pas disparaître.
24
3.2
3 MESURES DE RAYONS DE COURBURE
Précision de pointé
Il s’agit là encore de pointés longitudinaux. La précision des pointés longitudinaux augmente avec l’ouverture effective du montage. L’ouverture numérique objet
du viseur utilisé doit donc être choisie supérieure à l’ouverture numérique du miroir
étudié. Autrement dit, dans la mesure du possible, la pupille du montage doit être
le miroir.
Q17 Expliquer comment choisir l’objectif de microscope du viseur autocollimateur
pour obtenir la meilleure précision de pointé longitudinal.
3.3
Mesures et incertitudes
Mesurer le rayon de courbure du miroir concave placé dans une monture beige
et évaluer la précision de cette mesure. Faire une étude de répétabilité.
Q18 Comparer à l’erreur de pointé estimée.
On étudie ensuite un condenseur. Il s’agit d’une lentille épaisse plan-convexe. On
place la face convexe vers le viseur autocollimateur.
Q19 Expliquer pourquoi on doit obtenir une image à l’aide du viseur autocollimateur pour 4 positions.
Mesurer les positions des images obtenues et déduire le rayon de courbure du
dioptre, la focale du condenseur, l’indice du verre et l’épaisseur du condenseur.
Q20 Calculer l’incertitude sur la focale, l’indice du verre et l’épaisseur à partir des
incertitudes sur les pointés.
Mesurer l’épaisseur avec le palmer.
Q21 Cette mesure est-elle compatible avec la mesure obtenue à partir des pointés ?
3.3 Mesures et incertitudes
Figure 8 – Schéma de principe du viseur autocollimateur
25
.
Page 27
TP 3 Mesure d’angles et d’indice
Année 2015
Ce TP utilise un goniomètre pour mesurer l'angle d'un prisme et son indice dans le visible. Il
s'agit d'un TP de métrologie : l'objectif est donc de réaliser les mesures les plus précises possibles (ce
qui passe par une bonne compréhension des réglages) et de discuter l'incertitude associée à chaque
mesure.
On traitera les résultats de mesures en temps réel pendant la séance à l’aide d’un tableur.
Dans le compte-rendu à rendre une semaine après la séance, on commentera brièvement chaque
réglage (pourquoi et comment le fait-on ?) et on donnera clairement les valeurs mesurées (angle du
prisme, tableaux de mesure des déviations et des indices) avec les incertitudes estimées.
I. Goniomètre
Acurate
Rotation
Rotation fine
du plateau
Collimator
Fente
collimateur
source
Blocage du plateau en
rotation
Blocage du plateau en
hauteur
Telescope
Réglage defocussing
l’objectif
Viseur de lecture du
cercle gradué
Vernier
d’interpolation
des secondes
Vis de réglage de
l’axe de la lunette
Vis de blocage de la
lunette
Le goniomètre est un instrument d’optique permettant de faire des mesures d’angles très précises. Il se
compose d’une lunette afocale, d’un collimateur et d’un plateau tournant. La lunette afocale tourne
autour d'un axe de rotation fixe, . Sa position angulaire peut être lue grâce à 2 viseurs de lecture du
cercle gradué.
Une fente source réglable en largeur doit être placée dans le plan focal du collimateur, en agissant sur
la position de l'objectif (bague moletée).
Goniomètre – prisme (version 2015)
1/11
Page 28
Le plateau est réglable en hauteur et en rotation. Des vis calantes à 120° permettent d’agir sur l’assiette
du plateau pour régler l'échantillon (arête d’un prisme, traits d’un réseau ...) par rapport à l’axe de
rotation de la lunette.
II. RÉGLAGES
a) Réglage de la lunette autocollimatrice :
Lunette afocale utilisée est une lunette autocollimatrice (son grossissement et sa pupille d’entrée
sont indiqués sur le matériel).
Q1 – Rappeler la définition du grossissement d’une lunette afocale. Expliquer rapidement à l’aide
d’un schéma le principe de fonctionnement d’une lunette autocollimatrice.
 1-Réglage de l'oculaire sur le réticule à la vue de l'observateur. Ce réglage est très important
pour faire des mesures précises et ne pas fatiguer. Il faut régler l'image du réticule donnée par
l'oculaire du réticule au punctum remotum de votre œil, afin de ne pas accommoder. Pour cela,
cherchez une position de l'oculaire pour laquelle l'image vous paraît nette, puis dévisser l'oculaire
lentement, afin de tirer votre accommodation le plus loin possible. Quand l'image devient floue,
revisser légèrement l'oculaire, juste assez pour récupérer la netteté.
Q2 – Expliquer le principe de ce réglage de l’oculaire.
Remarques :
Si vous n'avez pas ou peu d'astigmatisme (uniquement de la myopie ou de l'hypermétropie),
travaillez sans lunette et rattrapez votre défaut d'amétropie par l'oculaire. Si vous avez trop
d'astigmatisme, vous serez obligé de garder vos lunettes, ce qui est désagréable compte tenu de la
distance entre le verre d'oeil et l'anneau oculaire. Essayez de travailler avec les deux yeux ouverts:
le niveau lumineux réduit de la pièce (ne jamais travailler dans l'obscurité totale) et le caractère en
général fortement directeur de l'œil utilisé pour faire les pointés le permettent en général sans
problème, c'est à la fois plus confortable et préférable pour la précision des mesures.
 2-Réglage de la lunette sur l'infini par autocollimation sur le miroir plan: régler le tirage de
l'objectif (vis moletée) afin que l'image de retour se forme dans le même plan que le réticule. Comme
pour tout pointé longitudinal, vérifier l'absence de parallaxe lorsque vous bougez l’œil.
 3-Réglage de la lunette orthogonal à son axe de rotation .
La croisée des fils du réticule et le point nodal image de l'objectif de la lunette définissent l’axe de
visée de la lunette. L’orientation de cet axe de visée se fait par une vis de réglage placée en dessous de
la lunette. Pour mesurer précisément des angles de rotation autour de l’axe de rotation cet axe de
visée doit rester dans un plan orthogonal à 
Ce réglage est effectué en utilisant le miroir plan (lame de verre dont une seule face est aluminée).
Lorsque la lunette est réglée - l'axe de la lunette perpendiculaire à son axe de rotation - il est possible
Goniomètre – prisme (version 2015)
2/11
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de faire l'autocollimation sur les deux faces de la lame par une rotation de la lunette égale à 180° (voir
figure).
Position 1
Position 2

Vue de profil du goniomètre
Si l'axe optique de la lunette n'est pas réglé. Il décrit autour de l'axe un cône, faisant avec ∆ un angle
/2 +  (position 1).







Vue de profil du goniomètre
La première autocollimation effectuée sur la lame correspond à la position (1) de la lunette. La
lunette tourne autour d'un axe  d'un angle égal à 180°. En position (2) de la lunette, l'image de retour
est située dans une direction 4.
Pour régler l'axe de la lunette dans la position souhaitée, il faut rattraper la moitié du
déplacement vertical de l'image de retour par rotation de la lame (vis de réglage du plateau), l'autre
moitié par le basculement de la lunette (vis sous la lunette). Puis répéter cette opération après avoir
ramené la lunette dans la position 1. Ce réglage converge très rapidement (quelques allers et retours).
Par la suite, l’axe de visée sert de référence, pour régler, par autocollimation sur chaque face du
prisme, l’arête du prisme parallèle à l’axe . C’est pourquoi les réglages 2 et 3 de la lunette doivent
être faits avec la plus grande précision possible et ne doivent plus être modifiés.
Faites vérifier ce réglage par l’enseignant.
Goniomètre – prisme (version 2015)
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Remarque :
 Cette procédure ne règle en rien le plateau: il n'y a aucune raison pour que la base de la
monture du miroir soit perpendiculaire au miroir lui-même. Chaque nouvel élément placé
sur le plateau (prisme, réseau ...) devra être réglé à nouveau. Le plateau n'est qu'un support
commode pour poser simplement l'échantillon, pour agir sur son orientation par
l'intermédiaire des vis calantes et pour faire tourner l'échantillon autour d'un axe de
rotation très proche de l'axe ∆ (mais non rigoureusement parallèle à l’axe . On ne règle
jamais le plateau, mais en réalité l'échantillon placé dessus!
 Vous pouvez vérifier que le réglage de l’axe de visée de la lunette est effectivement
indépendant du réglage du plateau : tournez le plateau et réobtenez l’autocollimation sur
chaque face de la lame aluminée en jouant uniquement sur les réglages d’orientation du
plateau.
b) Réglage de l'éclairage
La lampe d'éclairage (lampe à Mercure) doit être centrée sur l'axe du collimateur. L'axe défini
par la fente et la lampe doit passer par le centre de l'objectif, ce que l'on vérifie à l'aide d'un écran
(papier blanc!) placé devant l'objectif, en ouvrant largement la fente.
On règlera ensuite la largeur de la fente, en cherchant le meilleur compromis entre largeur et
luminosité des raies à pointer.
c) Réglage du collimateur :
Le collimateur doit être réglé sur l'infini (fente source au foyer objet de l'objectif du
collimateur). On utilise pour ce réglage la lunette autocollimatrice qui vient justement d’être réglée sur
l’infini, en visant directement l’image de la fente source. A nouveau, vérifier l'absence de parallaxe.
d) Lecture des angles :
Pour effectuer un pointé, amenez la lunette dans la position voulue, puis bloquer la rotation
de la lunette (vis de blocage sous le support de la lunette). Améliorez ensuite le pointé à l’aide du
mouvement fin (vis de réglage à droite du support de la lunette).
La lecture de l’angle sur le cercle gradué se fait à l’aide de 2 viseurs diamétralement opposés
(ce qui permet de compenser les défauts d'excentrement du cercle gradué par rapport à l'axe  de
rotation de la lunette). Les viseurs sont équipés de verniers à coïncidence. Pour lire l’angle en degrés,
minutes et secondes d’arc, on doit faire coïncider soigneusement l’aiguille sur une graduation en
minute du cercle gradué.
La lecture des degrés et minutes se fait directement sur le cercle gradué. Les secondes sont lues sur le
tambour du vernier (graduations toutes les 5’’ d’arc de 0 à 60’’).
Pour chaque pointé, utiliser un seul système de lecture et noter bien lequel.
Eventuellement, vérifier votre mesure sur l’autre système de lecture (± 180°) et faire la moyenne
uniquement sur les secondes d’arc.
Goniomètre – prisme (version 2015)
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III. MESURE DE L'ANGLE DU PRISME
La connaissance précise de l'angle entre deux faces polies en verre (faces d'un prisme, d'un
dièdre, d'un cube...) est un problème très courant en optique. On utilise la réflexion partielle sur un
dioptre air-verre (R ~ 4%, selon l’indice) pour réaliser une autocollimation sur chaque face du prisme.
En effet lorsque l'axe de visée de la lunette, défini par la croisée des fils et le point nodal image, est
parfaitement perpendiculaire à une face, l'image de retour du réticule se reforme exactement sur luimême. On peut ainsi repérer la direction de la normale à cette face.
a) Réglage de l'échantillon à mesurer :
L’échantillon est placé sur le plateau et l'on s'assure que les faisceaux issus du collimateur le
couvrent entièrement. Pour mesurer l'angle entre les deux faces avec exactitude, il faut que la mesure
se fasse dans un plan de section principale du dièdre (plan perpendiculaire à l'arête du dièdre). Avant
tout mesure précise, l’arête du dièdre doit toujours être rendue parallèle à l’axe de rotation de
la lunette en utilisant les vis de réglage du plateau.
Ce réglage est effectué par autocollimation sur chacune des faces du prisme, et nécessite de
placer le prisme sur le plateau de manière astucieuse par rapport aux trois vis calantes, (comme
indiqué sur la figure suivante).
V1
B
A
C V
3
V2

Q3 - Justifiez la position du prisme que vous avez choisie et quelle vis vous utilisez pour
régler quelle face, ou plus exactement pour ne pas dérégler quelle face ?
b) Mesure de l'angle du prisme
L'angle A du prisme est mesuré en pointant par autocollimation successivement chaque
face du prisme.
Q4 –Quelle est la relation entre la rotation angulaire de la lunette entre ces deux positions et
l'angle A du prisme?
Goniomètre – prisme (version 2015)
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Effectuer les pointés par autocollimation successivement sur chaque face du prisme. Afin
de détecter un éventuel déplacement du prisme en cours de mesure, il est recommandé de
pointer la face 1, puis la face 2, puis 1 à nouveau, puis 2 enfin.
 Déduire de ces pointés l'angle A du prisme que vous exprimerez en degrés,
minutes, secondes.
Faire vérifier l’angle du prisme par l’enseignant avant de poursuivre le TP.
Evaluation de l’incertitude de mesure sur le pointé d’une face :
Q5 - Effectuez plusieurs pointés successifs (une dizaine) d’une même face du prisme en
autocollimation à l’aide d’un seul viseur. Calculez l’écart type en secondes d’arc sur vos
mesures. En déduire l’incertitude de mesure sur le pointé d’une face du prisme en secondes
d’arc ?
Estimation théorique de l’incertitude
Cette incertitude est en principe liée à votre acuité visuelle (on pourra prendre 2’ d’arc) et à
l’incertitude de lecture de l’angle.
Q6 – Quelle est théoriquement l’incertitude de pointé liée à l’acuité visuelle en secondes
d’arc ? Attention de prendre en compte le grossissement de la lunette et le fait que l’on utilise
la réflexion sur la face.
Q7 – Estimez l’incertitude de lecture en secondes d’arc ? On pourra pour cela bloquer la
rotation de la lunette et faire une dizaine de lectures sur un même dispositif de lecture.
Q8 – Sommez quadratiquement ces deux sources d'incertitude indépendantes. L’incertitude
obtenue est-elle cohérente avec la valeur obtenue expérimentalement à la question Q4 ?
Q9 – Donner finalement la valeur de l’angle A mesuré en degrés, minutes, secondes avec
l’incertitude de mesure estimée en secondes d’arc.
IV. MESURES D'INDICE DANS LE VISIBLE
La fabrication d'un verre d'optique met en jeu un grand nombre de paramètres dont l'ensemble
est difficile à maîtriser. C'est pourquoi un verre donné en catalogue pour un indice n = 1,5161 à  =
546,1 nm peut voir son indice réel varier de qq 10–4 suivant les fontes. Selon les tolérances du
système optique considéré, il est souvent indispensable de pouvoir mesurer l'indice effectif de la fonte
utilisée avec une précision suffisante [en première approximation, il s'agit de connaître (n-1)e à /N
Goniomètre – prisme (version 2015)
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avec e = quelques dizaines de mm, épaisseur de verre traversée]. Cette nécessité apparaît comme
fondamentale pour calculer avec précision les objectifs comportant 15 ou 20 lentilles et 4 ou 5 verres
différents.
1. Méthode du minimum de déviation :
Lorsque, pour la longueur d'onde , le prisme est au minimum de déviation, on sait que
A  Dm
sin
2
n
A
sin
2
avec A l’angle du prisme et Dm l’angle minimum entre le faisceau dévié et la direction incidente.
Dans ces conditions, les faisceaux sont symétriques par rapport au plan bissecteur du dièdre A. La
mesure de l'indice se ramène à celle de A et de Dm.
A
D
i
r
r'
i'
2. Mesure des minima de déviation.
On rappelle qu’avant chaque pointé précis du minimum de déviation, il faut régler à nouveau
l'arête du prisme parallèlement à l'axe de rotation  de la lunette. Ce réglage est nécessaire
chaque fois que l'on tourne le plateau d'un angle non négligeable.
 Pointez très soigneusement dans un premier temps la direction du collimateur et relevez la valeur de
l’angle de la lunette.
Remarque : la fente est dissymétrique (une de lèvres est fixe, et la vis micrométrique permettant de
régler l'ouverture de la fente n'agit que sur l'autre). Or la direction du collimateur est définie par le
centre de la fente. Donc, quand vous changez la largeur de la fente, vous changez en même temps
la direction du collimateur. Il est donc important de ne pas changer la largeur de fente au milieu
d'une série de pointés des minima de déviation.
La fente doit être suffisamment fine pour un pointé précis, mais pas trop fine pour pouvoir voir
toutes les raies du mercure étudiées.
 Réglez le prisme au minimum de déviation pour le doublet jaune du Mercure.
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 Réglez l'arête du prisme parallèlement à l'axe de rotation  de la lunette par autocollimation sur
les deux faces du prisme.
 Mesurez les déviations minimum pour les différentes longueurs d’onde des raies de la lampe à
vapeur de mercure, en veillant à être au minimum de déviation pour chaque raie pointée.
On rappelle aussi qu’avant chaque série de pointés précis du minima de déviation, il faut régler à
nouveau l'arête du prisme parallèlement à l'axe de rotation  de la lunette.
 Déduire de vos mesures l'indice du verre pour les raies de la lampe à mercure à l’aide du tableur [cf.
TD Excel].
jaune
1 = 579,07 ± 0,01 nm
jaune
2 = 576,96 ± 0,01 nm
vert
3 = 546,07 ± 0,01 nm
vert-chou
4 = 491,60 ± 0,01 nm
bleu
5 = 435,83 ± 0,01 nm
violet
6 = 407,78 ± 0,01 nm
violet
7 = 404,66 ± 0,01 nm
 S’il vous reste du temps, pour améliorer la précision de vos mesures, mesurer les minima de
déviation pour la position du prisme symétrique par rapport à l'axe xx' du collimateur.
2
2 Dm
X
X'
1
3- Évaluation de l’incertitude sur vos mesures d’indice
 Évaluation de l’incertitude pour la radiation verte au minimum de déviation, puis une
radiation violette.
Q9 - Effectuez plusieurs pointés successifs (au moins dix) du minimum de déviation à l’aide d’un
seul viseur.
Goniomètre – prisme (version 2015)
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Calculeez l’écart tyype en secon
ndes d’arc sur vos messures. En dééduire l’inccertitude de mesure surr le
pointé du minimum
m de déviatiion ?
Q10 – Comme pouur la mesurre de l’anglle du prismee, évaluer th
héoriquemeent l’incertitude de pointé
liée à ll’acuité visuuelle et l’incertitude dee lecture.
Déduirre l’incertituude de mesu
ure sur l’anggle minimum de déviattion.
Q11 – Expliquer pourquoi
p
l’incertitudee de mesuree est beauco
oup plus grrande pour les radiatioons
bleues et violettes ?(Voir rem
marque 1 ci-ddessous)
Q12 - D
Déduire dee cette étudee en utilisannt le tableu
ur l’incertitu
ude sur la m
mesure des indices (taant
pour lees raies jaunnes que pou
ur les bleuess). Quelle est
e la princip
pale limitattion à votree précision (A
ou D)?
Q12 -T
Tracez la coourbe n = f(
f ). Tracerr également en fonctio
on de  les écarts entrre les mesures
2
2
expérim
mentales et l’approximation A+B//( -0 ), en
n indiquant les
l barres dd’erreur (cf.
f. TD Excel).
Remarque 1 : prroblèmes liés au chromaatisme :
ormés de dou
ublets (deuxx lentilles co
ollées de verrres
Les oobjectifs de la lunette ett du collimaateur sont fo
différents), qui ont la propriété d'êtrre partiellem
ment corrigéees des aberraations géoméétriques et du
u chromatism
me.
La courbe ddonnant la poosition des fo
oyers en foncction de la lo
ongueur d'ond
de à l'allure ssuivante (fig
g. b) :
a- Lentille simpple, non corriggée du chromaatisme
b - Objectif co
corrigé du chro
omatisme
Il subsiste uune aberration chromatiqu
ue longitudinnale, même pour
p
les objeectifs corrigéés, dits achrom
matiques. Lee
foyer F'j corrrespond envviron au jaun
ne-vert, doncc au maximum
m de sensibilité de l'œil. Le réglage de
d la lunette et
e
du collimateeur, à l'infinii, réalisé préccédemment ccorrespond donc
d
à ce foy
yer F'j (jaunee-vert).
Pour les meesures d'indicce dans le bleeu-violet, il ffaudrait refaiire le réglagee à l'infini dee la lunette ett du collimateur
pour la radiation étudiéee, donc en uttilisant un filttre adéquat placé
p
devant l'œil (filtrant
nt la source blanche de
mateur).
l'autocollim
De plus, l'œil estt lui-même entaché
e
d’ab erration chro
omatique et devient forteement myop
pe dans le blleuviolet. Pourr faire une mesure
m
d'indice dans ce domaine de longueur d''onde, il fautt donc que l'œil
l
ne reçooive
aucune autrre radiation que
q le bleu-v
violet et surttout pas de radiation
r
jaun
ne-vert (la seensibilité de l'œil à 0,4 mm
m
est 2 500 fo
fois plus faibble qu'à 0,55
5 mm). Il estt donc nécesssaire de plaacer à un enndroit judicieeux un filtre ne
laissant passser que la raddiation utile..
Goniomètre – prisme (verssion 2015)
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Remarque 2: évaluation des incertitudes expérimentales
Écart-type et intervalle de confiance
Aucune mesure n’est réalisée de façon certaine, et un résultat expérimental est en fait toujours un
intervalle sur lequel on pense que la « vraie » valeur mesurée a le plus de chance de se trouver. C’est l’intervalle
de confiance, qui évalue la précision de cette mesure.
L’écart-type  d’un ensemble de N points mesure l’écart de ces valeurs par rapport à leur valeur
moyenne, de la façon suivante :
 stat 
1 N
2
x i  x  .

N i1
En général, on peut considérer que les erreurs de mesure sont un processus aléatoire décrit par une statistique
gaussienne (particulièrement, s’il y a de nombreuses sources d’incertitudes indépendantes, théorème centrale
limite), et à ce titre on évalue la probabilité que le résultat se trouve dans l’intervalle [- , + à 67% ; celle
qu’il soit dans l’intervalle [- 2 , + 2 à 95% , dans l’intervalle [- 3 , + 3 à 99,7%. La prudence la plus
élémentaire suggère donc de choisir comme précision de mesure au moins ± 2 , intervalle de confiance retenu
en métrologie depuis 1992 en Europe.
Enfin, il ne faut pas oublier que l’écart-type n’est réellement significatif de la dispersion des mesures que
s'il est évalué à partir d’un nombre suffisant de points ; à moins de 5 mesures, il serait donc prudent de
considérer comme intervalle de confiance le plus grand écart entre valeurs mesurées. Plus rigoureusement, une
estimation non biaisée de l’écart-type pour un nombre de mesures N est
 estimé 
1
2
x i  x 

N 1
non biaisé signifiant que l'espérance mathématique de estimé est le véritable écart-type de la statistique alors que
l'espérance mathématique de stat sous-estime l'écart-type de la statistique d'un facteur
N 1
.
N
Propagation des incertitudes (ou « calcul » d’incertitude)
La mesure de l’indice du prisme est issue de deux mesures, l’une de l’angle A du prisme (A = A ± A),
l’autre de l’angle du minimum de déviation à chaque longueur d’onde (Dm = Dm ±  Dm), toutes les deux
entachées d’une certaine imprécision que vous avez évaluée expérimentalement.
Avec le tableur, vous pouvez calculer :
n  nDm 
sin
A  Dm  Dm
2
A
sin
2
pour en déduire∆
et ∆
n  nA 
et
.
Goniomètre – prisme (version 2015)
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A  A  Dm
2
A  A
sin
2
sin
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L’incertitude sur l’indice, n, sera donnée par la somme quadratique des 2 termes, en supposant
les incertitudes sur A et Dm si elles sont statiquement indépendantes :
n  nDm 2  nA 2
Ce calcul numérique est dans le principe rigoureusement équivalent au calcul différentiel par les dérivées
partielles :
2
2
 n( A, Dm ) 
 n( A, Dm ) 
2
2
n  
 Dm  
 A et
A


 Dm 
nA 
n
A
A
nD 
n
D
D
Chiffres significatifs
L’évaluation de l’incertitude d’une mesure ne peut être connue avec une précision typiquement meilleure
que 10% pour des mesures standard (et cela n'aurait aucun intérêt!). Il n’est donc absolument pas réaliste
d’écrire par exemple: n = 1,2345678.10-3.
Cela fixe le nombre de chiffres réellement significatifs d’un résultat de mesure. Ainsi, si la précision de
mesure de l’indice est n = 1,2.10-4 , on ne peut donner une valeur de n avec plus de 5 chiffres significatifs, soit
n = 1,23456 ± 0,00012.
Voir aussi annexe sur les incertitudes au début du polycopié.
Goniomètre – prisme (version 2015)
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.
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CONTRÔLES INTERFÉROMÉTRIQUES
Interféromètre de Fizeau : Analyse de franges d'égale épaisseur
Interféromètre de ZYGO: Méthode du glissement de phase (phase-shift)
Version 2015-2016
Il est impératif de préparer les questions de préparation avant la séance.
Le compte rendu est à rendre une semaine après la séance.
Le compte-rendu devra présenter de manière synthétique, en plus des réponses aux
questions, les mesures précises des échantillons (avec quelques interférogrammes
bien choisis). Il ne devra pas excéder 8 pages.
Dans les interférogrammes que vous obtiendrez et présenterez dans le rapport, l’écart entre deux
franges peut correspondre à une variation d’épaisseur ou de hauteur de /2, /2n, /2(n-1),…Justifiez
à chaque fois très clairement la valeur de cet écart.
***
Ce T.P. a pour but de présenter quelques méthodes et techniques interférométriques
couramment utilisées pour caractériser la qualité de composants optiques usuels (lames à
faces parallèles, miroirs plans, …). Ces techniques sont utilisées pour vérifier la qualité des
composants optiques finis ou en cours de la fabrication dans tous les ateliers d’optique.
La qualité d'un miroir plan est caractérisée par l'écart entre sa surface et celle
d’un plan “parfait”. Cet écart peut être donné en valeur crête à crête (Peak-toValley, PV) ou en valeur quadratique moyenne (Root Mean Square – RMS).
La qualité d'une lame à faces parallèles est déterminée d’une part par l'écart à la
planéité “parfaite” de ses deux faces et d’autre part par son défaut d’épaisseur e
(l’épaisseur étant donnée localement par e0+ e).
Vous utiliserez, au cours de ce TP, deux interféromètres de type Fizeau :
Un interféromètre de Fizeau : Les bâtis mécaniques sont appelés interféromètres
d’Arnulf – Cagnet (ou plus familièrement « bêtes à cornes »). Ils ont été construits il
y a bien longtemps à l’Institut d’optique. Depuis une dizaine d’année, ils sont équipés
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d’une source Laser (Diode Laser rouge de longueur d’onde 670 nm), d’une caméra
« CMOS noir et blanc » et d’un système informatique d’acquisition d’image pour
traiter les interférogrammes (images des franges) obtenus.
Un interféromètre ZYGO : C’est aussi un interféromètre de Fizeau. La source est un
Laser HeNe de longueur d’onde 632.8 nm Mais, le ZYGO utilise la Méthode du
glissement de phase (phase-shift) pour traiter l’interférogramme obtenu. Cet appareil
permet de faire des mesures très précises de défauts de front d’onde (
sans
précautions particulières). C’est en même temps un appareil industriel très répandu et
un formidable outil pédagogique en ce qui concerne les mesures interférométriques
et l’étude des aberrations en 2ème année. Le ZYGO permet de contrôler et mesurer très
rapidement la qualité de pièces optiques comme les miroirs, lames à faces parallèles,
prismes, objectifs.
La description détaillée de ces deux interféromètres est donnée en annexe ainsi
qu’une présentation de la méthode de « glissement de phase ».
Préparation :
P1: Chercher ce qu’on appelle un interféromètre de Fizeau. Expliquer la différence entre un
interféromètre de Fizeau et un interféromètre de Michelson. Expliquer ensuite la différence
entre un interféromètre de Fizeau et un interféromètre de Fabry-Pérot.
a) - Mesure des défauts d’épaisseur d'une lame de verre.
Une onde plane réfléchie par les deux faces d’une lame à faces quasi-parallèles donne
des franges d’interférence (fig. 1.a). Ces franges sont des franges d’égale épaisseur
exactement comme les franges du coin d’air étudiées pendant le TP Michelson. Ces franges
permettent de mesurer des variations d’épaisseur de l'échantillon (sauf exceptions, les verres
actuels sont très homogènes et les défauts observés sont dus à des variations d'épaisseurs et
non à des variations d’indice).
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Fig.1 : Principe de mesure des défauts d’épaisseur (a) et de surface à l’aide d’un plan étalon (b).
On note e l’épaisseur moyenne de la lame et e la variation d’épaisseur.
P2 : Donner l’expression de la différence de marche, , entre les rayons réfléchis par
chacune des faces en fonction de l’indice du verre, n, de e l’épaisseur, e et de r, l’angle de
réfraction par le dioptre air-verre. Donner le sens de variation de en fonction de l’angle
d’incidence. Que vaut en incidence normale ?
En incidence normale, à quelle variation d’épaisseur, e, correspond l’écart entre deux
franges brillantes ou sombre consécutives?
b) - Mesure des défauts de planéité d'une face polie ou d'un miroir :
De la même façon, on peut mesurer les défauts de planéité d’une surface polie ou d’un
miroir en réalisant une « lame d’air » avec un plan étalon supposé parfait (fig. 1.b). On étudie
dans ce cas les franges d’égale épaisseur dans l’air entre la face supérieure de l’échantillon et
la face inférieure du plan étalon.
Sur les Arnulf-Cagnet, les plans étalons ont une planéité de l’ordre /10 (RMS) sur la
surface de travail (Source diode Laser rouge :
nm). Pour les plans étalons « traités »,
cette surface est recouverte d'un traitement semi-réfléchissant en TiO2 (oxyde de titane).
L'autre face du plan n'est pas traitée, sa planéité est moins bonne. Pour éviter que celle-ci ne
provoque une réflexion parasite gênante, les plans étalons sont prismatiques (voir figure 1.b).
Sur les Zygo, les plans étalons ont une planéité de l’ordre /100 (Peak-to-Valley)
(Source Laser Helium-Neon :
632,8 nm). Ils sont aussi prismatiques, mais ne sont jamais
« traités ».
P3 : Expliquer ce que signifie un défaut de planéité donnée en valeur crête à crête (Peak-to-
Valley ou PV) et valeur quadratique moyenne (Root Mean Square ou RMS). Calculer ces
défauts de planéité en microns pour les plans étalons des Fizeau et des Zygo.
On rappelle que pour une interférence entre deux ondes, l’éclairement s’écrit toujours sous la
forme :
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E
E0 1
Ccoh cos(2 p) .
Le taux de modulation des franges est :
C
Emax
Emax
Emin
Emin
. Ccoh
où le facteur tient compte de la cohérence temporelle et spatiale de la source, tandis que Ccoh
est simplement lié à la différence d’amplitude entre les deux ondes qui interfèrent pour une
source parfaitement cohérente.
Contrairement au TP Michelson, les sources utilisées sont des Laser (source cohérente
temporellement et spatialement). Le facteur est donc égal à 1 (C=Ccoh).
La chute du contraste des franges ne peut être due qu’à une différence importante entre les
amplitudes relatives des ondes qui interfèrent.
P4 : Donner l’expression de Ccoh en fonction du rapport,
a1 / a2 où a1 et a2 sont les
amplitudes respectives des deux ondes qui interfèrent.
P5 : On rappelle facteur de réflexion, R, pour un dioptre air-verre (ou verre-air) en incidence
normale vaut 0.04. Calculer le taux de modulation pour les deux ondes réfléchies par une
lame de verre en fonction de r
R et t, les facteurs de réflexion transmission en amplitude
sur un dioptre air-verre. Faire l’application numérique.
P6 : Reprendre la même question dans le cas où l'on étudie la surface d’un miroir (R=1 pour
le miroir) avec un plan étalon non traité (dioptre air-verre, R=0.04). Que devient le
contraste ? Expliquer qualitativement pourquoi il est alors préférable d’utiliser un plan
étalon traité (R=50%).
Travail demandé :
Une boîte d’échantillons numérotée est confiée à chaque binôme ou trinôme. Elle
comprend un miroir plan et une lame à faces parallèles. Le numéro sera reporté dans le
compte rendu. Les défauts de chaque échantillon (planéité pour le miroir, défaut d’épaisseur
et planéité des faces pour les lames) seront mesurés le plus précisément possible pendant la
séance sur les deux interféromètres. Les mesures seront comparées entre elles et commentées.
On se référera toujours à l’observation de l’interférogramme.
Page 43
Etude des défauts de planéité d’une surface ou des défauts d’épaisseur
1. Etude des défauts d’épaisseur d’une lame avec l’Arnulf-Cagnet :
Réglage de l’interféromètre:
Le réglage de l’interféromètre est très simple et se fait par autocollimation.
Placer la lame échantillon au centre du support d'échantillon (Ne pas utiliser le plan
étalon pour cette manipulation).
Placer l’écran dépoli (avec une croix) en sortie de l’interféromètre et
centrer la tache sur la croix en jouant sur les vis de basculement.
Observer visuellement les franges et avec la caméra.
Q1 : Vérifier que le taux de modulation des franges est voisin de 1. Expliquer pourquoi.
Q2 : A quelle variation d’épaisseur, e, correspond l’écart entre deux franges consécutives
(on prendra l’indice du verre, n=1,5) ? Expliquer (Il s’agit de la question de préparation P2).
Détermination du sens du défaut d’épaisseur:
On cherche désormais à déterminer le sens du défaut d’épaisseur (la lame est-elle plus
épaisse au centre ou au bord ?). Il est possible d'obtenir des informations sur l'ordre relatif
d'interférence en modifiant l'angle d'incidence du faisceau d'éclairage à l’aide d’une vis de
basculement de l’échantillon et en suivant le déplacement des franges d’égale épaisseur.
Q3 : Montrer qu’en un point de l’échantillon, si on augmente l’angle d’incidence, la
différence de marche diminue. Si on augmente l’angle d’incidence, les franges se déplacentelles vers les zones de plus petite ou de plus grande épaisseur de l’échantillon?
Q4 : Déduire dans quelle zone l’échantillon est le plus épais (au centre ou sur le bord ?).
Q5 : En déduire aussi un moyen de régler parfaitement l’échantillon à l’incidence normale.
Q6 : De l’interférogramme obtenu, déduire défaut d’épaisseur de la lame crête à crête ? (on
donnera la valeur en unité de et en microns). On rappelle que la longueur d’onde de la
diode Laser rouge est 670 nm.
Q7 : Résumer les conclusions de votre étude : défaut d’épaisseur de la lame (PV), forme du
défaut, signe du défaut (on fera des schémas clairs : on donnera le profil du défaut en
épaisseur selon un plan de coupe que vous choisirez).
Page 44
2. Etude des défauts d’épaisseur d’une lame avec le Zygo :
Vous allez dans cette partie faire une mesure précise des défauts d’épaisseur de la
lame en plaçant celle-ci entre le plan étalon du Zygo et un plan de référence (2ème plan étalon)
que vous allez étudier dans un premier temps à l’aide du Zygo.
L’enseignant vous montrera comment utiliser cet interféromètre.
Fig.2 : Principe de mesure des défauts d’épaisseur d’une lame avec le Zygo
Très important :
Le plan étalon du ZYGO est d’excellente qualité (quelques /100 Peakto- Valley ! !). Mais il est évidemment extrêmement fragile et onéreux. C'est
la pièce extrêmement fragile du ZYGO. Prenez-en le plus grand soin ! Placez
toujours les autres supports suffisamment loin de l’instrument pour ne
prendre aucun risque! Ne le touchez jamais ! Replacez TOUJOURS le cache
après utilisation.
Mesure de planéité du plan de référence :
On commencera par l’étude d’un miroir plan non aluminé (2ème plan étalon sur la
figure 2) qui se trouve dans la boîte en bois contenant des miroirs étalons.
Apprenez à régler le Zygo dans ce cas de figure très simple.
Réglez les deux plans étalons parfaitement parallèles.
Analysez l’interférogramme obtenu.
Q8 : Expliquez pourquoi les franges sont bien contrastées.
Page 45
Q9 : Expliquez clairement pourquoi les franges observées sont des lignes de niveaux du
miroir étudié.
Q10 : Proposez une méthode simple pour vérifier si ce plan étalon est en creux ou bosse
(concave ou convexe).
Q11 : Expliquez pourquoi la différence de hauteur de la surface de l’échantillon associée à
un interfrange est /2.
Ce coefficient qui vaut ici 1/2, est appelé en anglais, le « Wedge Factor » (facteur
d’échelle). On vérifiera toujours que ce facteur est correctement renseigné dans le
logiciel du Zygo pour chaque application du TP.
Effectuez la mesure de planéité du plan de référence (voir « Méthode de phase shift », en
annexe).
Q12 : Donnez la valeur du défaut en PV et RMS. Comparer ces deux valeurs et commenter.
Résumez les conclusions de votre étude sur la qualité optique du plan de référence.
Mesure des défauts d’épaisseur de la lame avec le Zygo :
On place maintenant entre les deux plans étalons parfaitement parallèles (plan étalon du
Zygo et miroir plan non aluminé) la lame de verre dont on veut étudier les défauts d’épaisseur
(voir figure 2).
On étudie ainsi les variations de la différence de marche entre les deux miroirs de référence
(distants de L) ce qui permet de mesurer les variations d’épaisseur, e, de la lame (les miroirs
étant supposés parfaitement plans et réglés parfaitement parallèles).
Q13 : Exprimez cette différence de marche en fonction de e, e, n et L. En déduire la
variation d’épaisseur de la lame (en
entre deux franges brillantes successives de
l’interferogramme? Quel est « le wedge factor » à introduire pour cette mesure ?
Comparez le nombre de franges observées pour cet échantillon sur l’Arnulf et sur le Zygo.
Expliquer.
Q14 : Dans quel sens se déplace les franges lorsqu’on pousse très légèrement sur le support
du 2ème plan étalon vers la lame ? En déduire si la lame est plus épaisse au centre ou au
bord. Expliquer le raisonnement à l’aide d’un schéma clair. Comparez, comme toujours, avec
le résultat obtenu sur l’Arnulf.
Page 46
Effectuez la mesure de défaut d’épaisseur de la lame avec le Zygo.
Donnez l’amplitude maximale du défaut d’épaisseur de la lame (on donnera la valeur
en unité de et en microns). On rappelle que la longueur d’onde du Laser He-Ne est
632.8 nm.
Résumez les conclusions de ces 2 études : amplitude maximale du défaut d’épaisseur
de la lame, forme du défaut, signe du défaut (on fera des schémas clairs).
3. Etude des défauts de planéité des deux faces de la lame de verre sur les 2
interféromètres :
Pour mesurer les défauts de planéité de chaque face de la lame de verre, les franges à
étudier sont maintenant les franges d’interférence entre une face de la lame et la surface d’un
plan étalon (fig.1 (b)).
Pour se débarrasser de la réflexion sur la deuxième face de la lame qui provoque des
franges parasites, on peut mettre du marqueur noir très dense sur cette face. Bien nettoyer
l’échantillon ensuite !
Vous allez étudier chaque face de la lame successivement sur l’interféromètre de ArnulfCagnet et sur le Zygo.
Interféromètre de Arnulf-Cagnet:
Placez la lame échantillon au centre du support.
Puis ajoutez un plan étalon par-dessus et dans le bon sens (plan étalon vers la lame) et réglez
par autocollimation le plan étalon parallèle avec la surface étudiée. Lorsque les deux taches
de retour sont superposées, vous devriez voir des franges.
Analysez l’interférogramme obtenu.
Q15 : Expliquez pourquoi les franges observées sont des lignes de niveaux de la surface de
l’échantillon étudié. Quelle est la différence de hauteur entre deux franges ? Proposez une
méthode simple pour vérifier si cette face est concave ou convexe.
Q16 : Mesurez le défaut de planéité de la surface (donner la valeur en et en
microns). (on fera des schémas clairs : on donnera le profil du défaut en épaisseur
selon un plan de coupe que vous choisirez).
Page 47
Interféromètre de Zygo :
Placez la surface de la lame échantillon à étudier face au plan étalon du Zygo et réglez
cette surface parallèle au plan étalon par autocollimation.
En observant l’interférogramme, cherchez à obtenir le meilleur parallélisme possible entre
les deux surfaces.
Trouvez un moyen simple pour déterminer le sens du défaut.
Effectuez la mesure au Zygo après avoir vérifié le Wedge Factor utilisé.
Remarque : Importance de la soustraction du tilt :
Lorsque l’on soustrait le « tilt », le logiciel calcule le plan le plus proche de la surface
mesurée, au sens des moindres carrés, et le soustrait à la surface mesurée : on a bien ainsi
accès à l’écart de la surface par rapport à un plan parfait.
Vous pouvez réaliser différentes mesures en inclinant légèrement la lame pour faire apparaître
quelques franges et vérifiez qu’en soustrayant le « tilt » on mesure bien la planéité de la
surface.
Q17 : Vérifiez que le défaut de planéité mesuré par le Zygo est en accord avec la mesure à
l’Arnulf-Cagnet (sens, forme et amplitude du défaut).
Résumer les conclusions de votre étude sur la planéité de cette surface.
Effectuez la même étude sur l’autre face de la lame.
Comparez les mesures de planéité de chaque face avec la mesure de défaut en
épaisseur de la lame.
Q18 : Les défauts de surface de chaque face mesurés sont-ils compatibles avec les défauts
d’épaisseur de la lame caractérisés précédemment (faire des dessins clairs). Quelle
information manque-t-il si l’on veut déterminer les défauts d’épaisseur à partir des défauts de
surface mesurés avec cette méthode ?
4. Etude des défauts d’un miroir plan aluminé :
Dans cette dernière partie, vous allez étudier les défauts d’un miroir plan
successivement sur l’interféromètre de Arnulf-Cagnet et sur le Zygo.
Sur l’Arnulf-Cagnet, on utilise un plan étalon traité semi-réfléchissant.
Q19 : Expliquez pourquoi il est préférable d’utiliser un plan étalon traité plutôt qu’un plan
étalon non traité. Expliquez pourquoi les franges ne sont plus sinusoïdales
Q20 : Evaluez si possible le défaut de surface du miroir (amplitude et sens).
Page 48
Sur le Zygo, pour étudier un miroir aluminé, on ajoute juste devant l’échantillon « un drap à
maille serrée » qui joue le rôle de réseau 2D et on diminue ainsi fortement l’amplitude de l’onde
provenant du miroir aluminé dans l’ordre 0 de la figure.
Q21 : Expliquer pourquoi on améliore ainsi le contraste des franges. Pourquoi ne pas utiliser
tout simplement une densité (lame absorbante) ?
Q22 : Effectuez une mesure précise de planéité de ce miroir plan aluminé avec le Zygo.
Présentation succincte des 2 interféromètres :
INTERFÉROMÈTRE D’ARNULF-CAGNET
c am ér a m u nie d’u n
zo om et d’u n
p olar is eu r
F ’2
la m e se m iré fle ch is sa n te
F '’2
L1
L2
c ollim ateu r
D iode
Lase r
F1
Les 3 vis A à 1 2 0°
ag iss ent u niq ue m en t
s ur le p la n éta lo n. L es
vis B à 1 20 ° ag iss en t
s ur l'en sem ble
éc ha ntillon p lan
éta lo n.
la m e se m iré fle ch is sa n te
vis A
vis B
F2
p la n e t a lo n
éc ha n tillo n
Le faisceau de la diode laser est collimaté par la lentille L1 et réfléchi par une lame
semi-réfléchissante à 45°. Il éclaire l’échantillon à mesurer en incidence quasi-normale. Les
faisceaux réfléchis par l’échantillon et/ou le plan étalon traversent la lame semi-réfléchissante
et sont focalisés par la lentille L2 en F’2.
Une deuxième lame semi-réfléchissante à 45° permet d’obtenir une image des franges
visuelle et sur la caméra simultanément (la pupille de l’œil ou la pupille de l’objectif de
caméra sont placées sur F’2). Les franges d’égale épaisseur « localisées » au voisinage du
système à analyser sont imagées sur la caméra ou la rétine (voir rayons d’imagerie en
pointillé).
INTERFÉROMÈTRE ZYGO :
Le ZYGO utilise un Laser He-Ne de longueur d’onde, 632,8 nm, monomode, de très
grande longueur de cohérence (« infiniment ! » cohérent). Un système d’épuration laser (un
filtre spatial, objectif de microscope + petit trou, qui sera vu en TP1A 2S « Diffraction et
filtrage ») suivi d’un système de lentille permet d’obtenir un faisceau uniforme et
parfaitement collimaté de 100 mm de diamètre à la sortie de l’instrument.
Plan étalon :
Le plan étalon est placé sur un support réglable en orientation contenant un actionneur
piézoélectrique piloté par l’ordinateur qui permettra d’effectuer le glissement de phase. Le
plan étalon est prismatique pour éviter les franges parasites d’égale épaisseur et traité
antireflet sur la face interne. La face externe est non traitée et sert de plan de référence.
TP#Fizeau#*#Zygo#
Page#11#
Page 50
.
Page 51
L'interféromètre de Michelson
Table des matières
I.
INTRODUCTION..........................................................................................................................................2
II. DESCRIPTION THÉORIQUE (RAPPELS...) .........................................................................................3
1.
2.
Schéma simplifié ..................................................................................................................................................3
Interférences pour une source ponctuelle et monochromatique......................................................4
3.
Cohérence temporelle et spatiale..................................................................................................................4
4.
Étude des franges.................................................................................................................................................5
III. RÉGLAGES..................................................................................................................................................7
1.
2.
Schéma descriptif ................................................................................................................................................7
Réglages du Michelson.......................................................................................................................................8
3.
Obtention de la teinte plate (lame d’air).....................................................................................................9
IV. ÉTUDES À RÉALISER ........................................................................................................................... 10
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Étude des anneaux d’égale inclinaison ..................................................................................................... 10
Cohérence temporelle de la source............................................................................................................ 10
Franges du coin d’air et cohérence spatiale de la source................................................................... 11
Mesure d’un intervalle spectral................................................................................................................... 12
Franges en lumière blanche.......................................................................................................................... 12
Cohérence spatiale et temporelle : cas de bras dissymétriques...................................................... 13
TP 1A premier semestre
1
Interféromètre de Michelson (2015)
Page 52
L'interféromètre de Michelson
I. INTRODUCTION
L'interféromètre de Michelson est un interféromètre à deux ondes, dont les deux faisceaux
sont séparés (division d’amplitude), et qui permet de nombreuses configurations intéressantes.
Albert Michelson fit en 1887 avec Edouard Morley une expérience fameuse en faisant tourner un
interféromètre de ce type monté sur une dalle de grès flottant dans un bain de mercure. La stabilité
de la position de la frange centrale en lumière blanche vérifiée expérimentalement à quelques
centièmes de frange près sur des trajets optiques de 10 m de longueur plongea les auteurs et toute la
communauté des physiciens dans la perplexité, en laissant caché le "vent d'éther" que la théorie
newtonienne de la composition des vitesses prévoyait sur quelques dixièmes de frange. Un doute fut
ainsi introduit dans l’édifice de la physique classique pourtant auréolé de tant de succès au XIXe
siècle. Cette expérience négative est à l'origine de la théorie de la relativité établie quelques années
plus tard par Albert Einstein.
En 1892, A. Michelson vient construire à Sèvres un interféromètre spécifique pour comparer
la longueur d'onde de la radiation rouge d'une lampe à cadmium au Prototype International du mètre
en platine iridié (Pt0.9Ir0.1). Cette mesure reprise par Charles Fabry au Conservatoire des Arts et
Métiers conduira d'abord à la définition de l'Ångström, puis en 1960 à la première définition
atomique du mètre fondée sur la longueur d'onde dans le vide de la radiation orangée du krypton 86,
et enfin à la définition actuelle du mètre, fondée sur la vitesse de la lumière dans le vide et l’étalon
de temps, qui date d'octobre 1983. Albert Michelson a reçu le prix Nobel de physique en 19071.
On étudiera dans cette manipulation deux types de franges : les franges d'égale inclinaison
formées à l'infini lorsque les miroirs sont parallèles et les franges d'égale épaisseur formées au
voisinage des miroirs par un coin d'air de petit angle entre les miroirs. Dans le cadre de votre travail
expérimental, la source de lumière est rejetée à l’infini par un collimateur. La plupart des
manipulations se font avec la raie verte d’une lampe à vapeur de mercure, soit autour de = 546,1
nm.
Deux aspects de la cohérence de la lumière seront également étudiés : la cohérence temporelle
ou finesse spectrale de la source, et la cohérence spatiale liée à son étendue géométrique.
Le TP se déroule sur deux séances. La partie théorique est à étudier avant la première
séance et sera relevée par l’enseignant au début de la deuxième séance (1 copie double
manuscrite maximum). NB : cette partie reprend des résultats vus en cours et en TD d’optique
physique. On ne vous demande donc pas de longues démonstrations mais un juste un rappel succinct
des propriétés essentielles !
1
"for his optical precision instruments and the spectroscopic and metrological investigations carried out with
their aid", http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1907/
TP 1A premier semestre
2
Interféromètre de Michelson (2015)
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II. DESCRIPTION THÉORIQU
UE (RAP
PPELS...))
1.. Schémaa simplifiéé
Figu
ure 1 : Prinncipe de l’in
nterféromètrre de Micheelson
Laa figure 1 reeprésente scchématiquem
ment le Micchelson, où
ù une lame ((la séparatriice) sépare en
e
deux le ffaisceau incident puis le
l recombinne après les réflexions sur les deux
ux miroirs M1
M et M2. Le
L
faisceau issu de la source lum
mineuse est collimaté et
e arrive av
vec une inccidence moyenne quassinormale sur les mirooirs et une ouverture aangulaire s donnée paar le diamèttre du trou source (pouur
simplifierr l’interféroomètre est représenté
r
aavec une in
ncidence normale sur ddes miroirs parfaitement
perpendicculaires).
Figurre 2 : lame d’air
d
équivalennte dans le cas
c où le
faisceau à une inciden
nce
,
i reste trrès petit devvant 1.
Comme indiqqué sur la figure 2, ceet interféromètre est en
e fait équiv
ivalent à un
ne lame d’aair
n angle
ntre les deuux miroirs. L’incidence
L
ei
d’épaisseeur moyenne e, avec un
dans le cas général, en
variant enntre 0 et s.
TP 1A prremier semeestre
3
Interféromè
I
ètre de Mich
helson (2015)
Page 54
2. Interférences pour une source ponctuelle et monochromatique
a. Expression générale
Examinons le cas où la source peut être considérée comme ponctuelle et monochromatique.
Dans ce cas les deux faisceaux recombinés E1 et E2 ont une relation de phase parfaitement définie et
s’écrivent :
E1
I1 exp(j 1) et E 2
I2 exp(j 2 )
Où 1 et 2 correspondent aux déphasages accumulés sur les 2 trajets. Si
2
.
différence de marche, on rappelle que :
1
2
A la sortie du Michelson, l’intensité totale ( I
l’ordre d’interférence p= /
I I1 I2 2 I1I2 cos(
E
2
E1
correspond à la
2
E 2 ) vaut ainsi, en introduisant
) I1 I2 2 I1I2 cos(2 p)
b. Contraste des interférences
L’intensité totale est une fonction sinusoïdale de l’ordre d’interférence p. Un paramètre
essentiel pour caractériser un système de franges d'interférence à deux ondes est le facteur de
visibilité, ou contraste :
C
Imax – Imin
Imax Imin
Q1 : Rappeler l’expression de C dans le cas général en fonction du rapport, I1/I2 . Montrer que l’on
peut mettre l’intensité totale sous la forme I I0 1 C cos(2 p) .
Que vaut C=Ccoh pour le Michelson dans le cas d’une source parfaitement ponctuelle et
monochromatique (quelles que soient les valeurs du facteur de réflexion R et du facteur de
transmission T de la lame séparatrice) ?
Remarque : Un autre système de franges est observable dans la direction de la source avec une
lame semi-réfléchissante. S'il n'y a pas d'absorption sur la séparatrice (conservation de l'énergie, R
+ T = 1), ce deuxième système est complémentaire du premier et son facteur de visibilité n'est égal
à l'unité que si R = T.
3. Cohérence temporelle et spatiale
a. Considérations générales
Si les interférences sont parfaitement contrastées dans le cas idéal d’une source parfaitement
monochromatique et ponctuelle (si vous n’avez pas trouvé Ccoh=1 à la question précédente, reprenez
votre calcul !!!), les choses se compliquent pour une source réelle. En effet les sources lumineuses
ont une certaine largeur naturelle en fréquence (cohérence temporelle) et une certaine extension
spatiale (cohérence spatiale). En un point M donné de la figure d’interférence, chaque fréquence et
chaque point source créent leur propre système de franges qu’il faut sommer. Si l’ordre
d’interférence p au point M a une variation de l’ordre de l’unité, maxima et minima se mélangent
pour faire disparaître les franges et le contraste s'annule très rapidement.
TP 1A premier semestre
Interféromètre de Michelson (2015)
4
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On écrit alors habituellement le contraste sous la forme C = Ccoh V, où la visibilité V des
franges rend compte de la cohérence de la source. Une partie importante de ce TP est consacré à
l’étude de ces notions de cohérence.
Q2 : Rappeler l’expression de V dans le cas où l’intensité est uniforme sur un intervalle de largeur
p
p
p0
, p0
p autour de l’ordre d’interférence moyen p0. p
et nulle en dehors de cet
2
2
intervalle. Vérifiez que la première annulation du contraste correspond à p=1. Rappeler le critère
qualitatif pour obtenir des interférences bien contrastées (V > 0.8).
b. Cohérence temporelle
La cohérence temporelle est liée au brouillage des franges dû à la largeur naturelle en
fréquence
de la source. On s’intéresse donc à la variation de l’ordre d’interférence p, en fonction
de la fréquence n de la source lumineuse.
,
, 0
2
2
retrouver l’expression de la longueur de cohérence qui correspond à la première annulation du
contraste en fonction de
puis de
et
Q3 : Relier
p à
. En supposant un profil de raie rectangulaire,
0
c. Cohérence spatiale
Pour une source ponctuelle, les franges sont observables dans tout l'espace où se superposent
les faisceaux (à condition bien sûr que la différence de marche soit inférieure à la longueur de
cohérence temporelle). On dit que les franges ne sont pas localisées.
En revanche, lorsque la source est étendue, les couples de rayons provenant de différents
points de la source ne présentent pas, en général, le même ordre d'interférence au point
d’observation. La variation de cet ordre d’interférence avec la position du point source est liée à la
notion de cohérence spatiale. En général, la variation de cet ordre d'interférence devient rapidement
de l’ordre de l'unité ( p 1) lorsque l’on élargit la source, si bien que les franges disparaissent tout
aussi rapidement.
Néanmoins, il existe des régions de l’espace où l'ordre d'interférence ne dépend pas, ou très
peu, de la position de la source. En ces points les franges restent observables avec une source
relativement étendue; on parle de franges localisées.
Q4 : Rappeler le théorème de localisation des franges.
4. Étude des franges
a. Anneaux d’égale inclinaison
On s’intéresse ici au cas où les miroirs sont parfaitement parallèles (lame d’air,
TP 1A premier semestre
5
= 0).
Interféromètre de Michelson (2015)
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Q5 : Où sont localisées les franges ? Rappeler l’expression de l’ordre d’interférence p en fonction
de l’épaisseur e et de l’incidence i (voir Fig1.(b)). Retrouvez l’expression des incidences
correspondant aux anneaux observés (on supposera pour simplifier que l’incidence normale i=0
correspond à un ordre d’interférence p0 entier). Expliquez pourquoi ces anneaux restent contrastés
quelle que soit l’ouverture angulaire de la source.
b. Franges d’égale épaisseur
On s’intéresse maintenant au cas où les miroirs sont légèrement inclinés (coin d’air
0).
Q6 : Où sont localisées les franges ? On rappelle que la différence de marche s’écrit là aussi :
2e cos i .
Donner l’interfrange en épaisseur e pour une incidence normale (i=0). Comment caractériser
l’angle du coin d’air ?
Ces franges d’égale épaisseur sont dites localisées dans le sens où elles « résistent » le mieux
possible à l’effet de brouillage des franges dû à l’étendue angulaire de la source. Toutefois,
contrairement aux anneaux d’égale inclinaison, cette résistance n’est pas infinie ! C’est l’objet de la
question suivante...
Q7 : On considère l’ouverture angulaire s de la source autour de la normale (voir Fig.1(a)).
Rappeler l’expression de p en fonction de s et e. Si on considère une répartition uniforme de
l’énergie lumineuse en fonction de l’angle d’incidence, donner l’expression du contraste en fonction
de s (on utilisera le résultat de Q2 !). Finalement donner l’expression de s correspondant à la
première annulation du contraste.
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6
Interféromètre de Michelson (2015)
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III. R
RÉGLAG
GES
1. Schééma descrriptif
F
Figure
3 : Schéma
S
détaaillé de l’interféromètrre de Michellson.
La lame séparaatrice divisee l'onde inciidente en deeux faisceau
ux qu'elle ennvoie dans les deux bras
ncidence esst souvent 45°
4 pour qu
ue les bras soient perp
pendiculairees,
de l'interféromètre. L'angle d'in
ur réduire la largeur dee la lame séparatrice ou
o
mais on ppeut envisaager une inccidence pluss faible pou
plus fortee pour annnuler, avec une polarissation conv
venable, les réflexions sur la face non traitéée
(incidencce de Brewsster).
Un des bras de
d l'interféro
omètre incllut l'épaisseeur de verree de la lame
me séparatricce. Une lam
me
blir l'équilib
bre des cheemins optiqu
ues. La lam
me
compensaatrice est placée dans l'autre brass pour rétab
compensaatrice doit être
ê bien parrallèle à la llame séparaatrice, de mêême épaisseeur, de mêm
me indice.
Less deux mirooirs M1 et M2 sont équuipés chacun de deux réglages
r
en rotation au
utour de deuux
axes perppendiculairees. L'un dess miroirs auu moins (M
M2) est mû en
e translatioon sur ses glissières
g
par
une vis m
micrométriqque, et possèède deux rééglages fins de rotation
n supplémenntaires. La différence de
d
marche est égale au double de la transllation de M2 depuis le contact ooptique ou différence
d
d
de
marche zéro.
En réglant l'intterféromètree, on peut oobserver dess franges d'éégale inclinnaison (anneeaux localisés
à l'infini)) avec l'imaage M'2 de M2 donnéee par la lam
me séparatrrice parallèlle à M1, ou
u des franges
d'égale éppaisseur (localisées surr les miroirss) en forman
nt un dièdree de petit anngle (quelqu
ues millièmees
de radiann).
Maatériel :
iinterféromèètre avec colllimateur.
llampe à mercure basse pression.
llame semi-rréfléchissan
nte.
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7
Interféromè
I
ètre de Mich
helson (2015)
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spectroscope de poche.
lentilles, pieds, tiges, noix et verre dépoli pour observation en projection.
un échantillon de verre épais à étudier
Les pièces optiques sont de qualité interférentielle. La mécanique est de précision. Le coût
de ce matériel est élevé. Il est à manipuler avec précautions.
2. Réglages du Michelson
a. Réglages géométriques très grossiers :
Vérifier que :
les miroirs sont correctement éclairés (lampe dans l’axe et pas trop loin du collimateur)
les miroirs sont disposés à égale distance de la séparatrice (cf. cohérence temporelle de la
source...).
les mouvements fins du miroir M2 sont à mi-course.
b. Réglages grossiers :
Tous les Michelson en TP sont équipés de trous sources au foyer d’un collimateur. L’axe du
collimateur est fixe et sert de référence aux réglages qui suivent (trou source centré sur cet axe,
miroirs M1 et M2 perpendiculaires à cet axe). Ces réglages se font par autocollimation :
superposition du trou source et de son image par le collimateur et un miroir plan :
Placer la lame semi-réfléchissante entre la lampe et le collimateur de façon à pouvoir
observer confortablement le trou source (de diamètre 10 mm environ) et son image (par M1
et/ou M2).
Plaquer un grand miroir sur l’objectif du collimateur pour régler la position du trou source
sur l’axe du collimateur.
Masquer le miroir M2 et superposer le trou source et son image par M1 , en réglant son
orientation
Répéter éventuellement la même opération pour le miroir M2 (les miroirs M1 et M2 sont
alors perpendiculaires à l’axe du collimateur) ou passer directement au point 3.
c. Réglages fins :
Choisir le plus petit trou source. Placez-vous en face du Michelson et observer les images
données par les miroirs M1 et M2, ainsi que les images parasites dues à la compensatrice.
Superposer soigneusement toutes ces images en jouant sur M2 et sur la compensatrice.
Placer un grand trou source pour observer les anneaux. Si les anneaux sont trop serrés et peu
contrastés déplacer longitudinalement le miroir M1 jusqu'à obtenir 3 ou 4 anneaux. Centrer
ensuite ces anneaux en jouant sur l’orientation de M2.
Q : Pourquoi les anneaux peuvent-ils être observés directement « à l’œil nu » ?
TP 1A premier semestre
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Interféromètre de Michelson (2015)
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3. Obtention de la teinte plate (lame d’air)
Pour obtenir la teinte plate (parallélisme parfait des miroirs M1 et M’2), le réglage précédent
doit encore être amélioré. Pour cela deux méthodes sont possibles.
a. Méthode du coin d’air
Il s’agit d’obtenir une teinte uniforme en regardant les franges d’égale épaisseur.
Pour observer ces franges d’égale épaisseur, diminuer le diamètre du trou source et placer la
loupe (focale 300 mm pour la plupart des montages...) sur le Michelson. En utilisant les
mouvements fins du miroir M2, augmenter l’interfrange jusqu'à obtenir une figure uniforme :
c’est la teinte plate.
Q : A partir de la question Q6, expliquer pourquoi l’on peut visualiser ces franges à l’œil nu à
travers la lentille. Pourquoi choisir un petit trou source ? Où doit-on placer son œil pour collecter
tous les faisceaux issus de la source ?
Q : Estimer la précision du réglage sur l’angle
frange près.
en supposant que l’on peut être précis à une demi-
b. Méthode de la « respiration des anneaux »
Dans ce cas on étudie, à l’œil nu, les anneaux d’égale inclinaison à l’infini.
Déplacer votre œil dans le champ d’observation des interférences et regarder si le centre des
anneaux reste dans le même état interférentiel. Si ce n’est pas le cas, utiliser les mouvements
fins du miroir M2. Une fois cette opération réalisée, vérifier la validité de cette méthode avec
la méthode du coin d’air décrite ci-dessus.
Q : En étudiant le trajet des rayons lumineux collectés par votre oeil, interprétez les observations
précédentes.
Q : Estimez la précision sur l’angle .
c. Remarques
Si les réglages d’auto collimation ont été correctement effectués, les anneaux sont bien centrés
sur le trou source (vous pouvez observer le système d’anneaux en réflexion vers la source, grâce à
la lame semi-réfléchissante. Vérifiez que les 2 systèmes d’anneaux sont bien complémentaires!).
Il est essentiel de comprendre et d’assimiler cette succession précise de réglages de
l’interféromètre. L’ensemble ne doit pas prendre plus d’une dizaine de minutes.
Si, au cours de la séance, le Michelson est déréglé (perte des franges), il suffit en principe de
reprendre les réglages à partir du point : « c. Réglages fins » (en prenant garde toutefois à la
longueur de cohérence temporelle de la source utilisée).
TP 1A premier semestre
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Interféromètre de Michelson (2015)
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IV. ÉTUDES À RÉALISER
Les expérimentations et les mesures demandées peuvent se faire dans un ordre quelconque.
L’ensemble est réparti sur 2 séances de 4 h 30.
Un seul compte rendu rassemblera l’ensemble de vos résultats et de vos remarques. Il est
indispensable d’effectuer les quelques calculs demandés en cours de TP. Vous prendrez soin de
noter et d’interpréter le plus clairement possible vos observations. Par contre le rappel de la
procédure de réglage n’est pas indispensable (répondez toutefois aux questions posées !). Tous les
résultats doivent bien-sûr être donnés avec leur incertitude. Une correction de la première partie
(étude des anneaux) est disponible sur « Libres Savoirs » et doit servir de guide pour le format de
votre compte rendu.
1. Étude des anneaux d’égale inclinaison
Les anneaux sont obtenus pour les deux miroirs parallèles (parallélisme vérifié avec l’une des
méthodes décrites dans la partie « Réglages ») et un trou source de diamètre 10 à 15 mm. On placera
devant le trou source un filtre vert et un dépoli afin de l’éclairer uniformément.
On pourra observer à l’œil nu ou, plus confortablement, en utilisant une caméra vidéo, munie
d’un zoom. Vérifier que vous voyez bien le contour du trou source avec la caméra.
Q : Interpréter le mouvement des anneaux lorsqu’on diminue l’épaisseur de la lame d’air, c’est-àdire lorsque l’on se rapproche du contact optique (cf Q5).
Q : Repérer la position du miroir M2 pour laquelle vous estimez être au contact optique. Estimez la
précision de ce réglage ?
Q : Relever les positions du miroir M2 pour lesquelles le nombre des anneaux est 1, 2,..., 10,... et
montrer que le nombre d’anneaux est bien proportionnel à e, déplacement du miroir M2.
Q : Le nombre d’anneaux observés dépend bien sûr du diamètre du trou source choisi. Mesurer
rapidement (à la règle) ce diamètre ainsi que la focale du collimateur. Vérifier que vos mesures sont
cohérentes avec le résultat théorique attendu.
Le contraste des anneaux d’égale inclinaison est a priori insensible à l’étendue géométrique
de la source. Toutefois ceci n’est vrai que pour des miroirs strictement parallèles. En effet, si
l’épaisseur de la lame d’air varie légèrement, l’état interférentiel des anneaux (qui reste bien défini
si on isole les faisceaux provenant d’une zone localisée du miroir) varie en fonction de la position
d’incidence sur le miroir.
2. Cohérence temporelle de la source
Le filtre vert permet d’isoler la raie verte de la lampe à mercure basse pression. On reviendra
en configuration de lame d’air et on regardera les anneaux à l’infini.
TP 1A premier semestre
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Interféromètre de Michelson (2015)
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Placer les deux miroirs le plus près possible de la séparatrice et repérer comme
précédemment le contact optique.
Augmenter la différence de marche en observant les anneaux à l’œil nu (le mouvement de
translation n’étant jamais parfait, dès que la visibilité diminue retoucher à l’orientation de
M2).
Q : Jusqu’où peut-on reculer M2 ? En déduire une estimation de la longueur de cohérence de la raie
verte ( = 546,1 nm). En déduire sa largeur spectrale et sa finesse (cf Q3). Avec quelle incertitude
donnez-vous ce résultat ? Observez-vous une annulation franche du contraste ? Pourquoi ?
Q : Expliquer comment, en utilisant un interféromètre de Michelson, on peut en principe déterminer
le profil spectral de la raie.
3. Franges du coin d’air et cohérence spatiale de la source
On va étudier dans cette partie la visibilité des franges de coin d’air en fonction de la taille de
la source. On constatera que pour un coin d’air d’épaisseur e non nulle, les franges ne sont bien
visibles que si la source est suffisamment petite (« suffisamment cohérente spatialement »). On
placera le filtre vert devant la lampe à mercure.
Ramener les miroirs parallèles entre eux. Revenir au contact optique et repérer sa position.
Placer la lentille pour observer les franges d’égale épaisseur à l’œil nu.
Q : Estimer la qualité des optiques du Michelson en étudiant la qualité de la teinte plate (cf Q6).
Dérégler le miroir M2 pour faire apparaître une dizaine de franges.
Q : Constater qu’au voisinage du contact optique, les franges sont observables même avec une
source étendue. Pourquoi ?
Q : Estimer l’angle entre les deux miroirs (on pourra mesurer le diamètre des miroirs…). Quelle est
votre précision ?
À l’aide d’une deuxième lentille, projeter les franges sur un écran dépoli (utiliser un pied en
fonte, des noix, etc.). Vous devez placer l’écran de manière à voir les franges les plus nettes
possible. Choisissez un trou source de diamètre moyen : 5 à 15 mm et faites attention à ce que le
trou soit éclairé de manière uniforme. Les observations suivantes se font facilement avec
typiquement 4 à 6 franges.
Observer attentivement la visibilité des franges lorsque vous translatez le miroir M2 de part
et d’autre du contact optique.
Q : Constater l’influence du diamètre du trou source sur la position des annulations de contraste.
Repérer les positions de ces annulations de contraste de chaque côté du contact optique.
Q : Placer le miroir M2 à la première annulation de contraste, enlever les lentilles et le dépoli et
observer les anneaux à l’infini après avoir réglé l’orientation de M2. Combien d’anneaux observezvous ? En vous aidant des questions Q5 et Q7, interpréter et commenter ce résultat.
TP 1A premier semestre
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Interféromètre de Michelson (2015)
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4. Mesure d’un intervalle spectral
Revenir en configuration lame d'air (observation des anneaux d'égale inclinaison). Un filtre
orangé permet d’isoler le doublet jaune du mercure (on a environ ~ 577 nm , ~ 579 nm).
Q : Observer et expliquer la présence de coïncidences et d’anticoïncidences. Vérifier par le calcul la
distance d entre 2 anticoïncidences.
Rappel : la distance, e ,qui sépare 2 coïncidences ou 2 anticoïncidences est telle que : 2e
(avec
).
1
En partant d'une position où les coïncidences et anticoïncidences sont bien visibles, relever
les positions successives des 10 premières anticoïncidences
Q : Mesurer la distance d entre deux anticoïncidences successives et évaluer l’incertitude de la
mesure. Comment avoir une mesure plus précise ? Donner une nouvelle mesure de d ainsi que la
nouvelle incertitude en utilisant vos relevés.
Q : Quelle précision relative obtiendrait-on si l’on comptait 100 anticoïncidences ? Proposer une
méthode pour compter un grand nombre de coïncidences.
Q : Déterminer le plus précisément possible l’écart spectral entre les 2 composantes du doublet du
mercure ?
5. Franges en lumière blanche
Revenir aussi près que possible de la différence de marche nulle.
Remplacer la lampe à mercure par la lampe de bureau. On n'observe en général rien, parce
que la cohérence temporelle de cette source est très faible. Elle ne dépasse pas quelques
micromètres.
Régler le spectroscope de poche sur la lampe à mercure (ou une lampe « économique » du
couloir) avec une fente fine, puis observer la lumière blanche issue de l'interféromètre.
Analyser avec le spectroscope la lumière provenant du Michelson. Avec un peu de chance et
si vous êtes très près de la différence de marche nulle, vous devez voir des cannelures plus
ou moins serrées. Changer le pas des cannelures en agissant délicatement sur la translation
de M2. Si la différence de marche est trop grande, les cannelures sont trop serrées pour que
l'on puisse les résoudre dans le spectroscope.
Q : Expliquer la présence de ces cannelures dans le spectre. Pourquoi les cannelures s’élargissentelles lorsque l’on diminue la différence de marche ?
Agir sur la position de M2 pour obtenir les cannelures les plus larges. Observer alors
directement dans l'interféromètre les couleurs d'interférence.
Former un coin d'air de petit angle pour observer quatre ou cinq franges sur les miroirs.
Q : Combien de franges pouvez-vous observer ? Quel est l'état interférentiel de la frange centrale ?
TP 1A premier semestre
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Interféromètre de Michelson (2015)
Page 63
f
et ccomparer à l’échelle de teintes dee Newton (een annexe du
d
Q : Obseerver les couuleurs des franges
TP). Vouus retrouverrez ces tein
ntes de New
wton au co
ours des TP
P Polarisattions. À paartir de vottre
comparaiison avec l’ééchelle des teintes de N
Newton, estimer la long
gueur de coh
ohérence de la lampe.
NB : Deuux échelles de
d teintes sont donnéess : d’une pa
art, l’échellle à centre bblanc : on a la premièrre
échelle ddes teintes de
d Newton autour
a
d’unne frange bllanche et d’autre part l’échelle à centre noirr :
on a la deeuxième échhelle des teiintes de New
wton autourr d’une fran
nge noire.
6.. Cohéren
nce spatia
ale et tem
mporelle : cas de brras dissym
métriques
Ne faitess cette partiie que s’il vous
v
reste ssuffisammeent de temp
ps.
Nouus allons daans cette parrtie insérer une lame de verre épaiisse sur l’unn des bras du
d Michelsoon.
La lame à tester est à disposer sur
s l'un des bras de l'in
nterféromètrre après le réglage en teinte platte.
Elle introoduit donc sur
s le bras correspondannt du Micheelson une différence dee marche moyenne
m
égaale
2ee( n 1) , n et e étant reespectivemeent l'indice et
à
e l'épaisseu
ur de la lam
me.
En analysant les frangees d’égale épaisseur observées, il serait possible d’obtenir
d
des
informatiions sur la qualité
q
optiq
que de cettee lame. Tou
utefois ces franges
f
ne ssont bien co
ontrastées quue
si l’on uttilise une soource suffisaamment cohhérente spa
atialement et
e temporelllement. Lee but de cettte
partie estt d’étudier précisémen
nt les conttraintes liéees à ces deeux sourcess de décoh
hérence et de
d
montrer ppourquoi ellles sont pas forcément conciliables.
a. Coohérence teemporelle :
Q : Retrrouver l’exppression dee 0. Pour une sourcce de longu
ueur de coohérence Lc, quelle est
e
l’épaisseuur tolérablee maximale pour obbtenir des franges suffisammentt contrastéees au centtre
(incidencce nulle) (oon prendra le critère uusuel p <1
1/4) ? Danss quel senss et de com
mbien doit-oon
déplacer le miroir poour résoudree le problèm
me de la coh
hérence tem
mporelle ?
b. Coohérence sp
patiale :
Vouus avez étuudié précéd
demment l’éévolution du
d contrastee des frangges d’égale épaisseur en
e
fonction de l’étenduue de la sou
urce et de l’’épaisseur de
d la lame d’air
d
effectiive. Dans lee cas présennt,
ces consiidérations restent
r
valab
bles sauf qque l’introdu
uction de l’échantillonn modifie l’épaisseur de
d
cette lame d’air équiivalente.
TP 1A prremier semeestre
13
Interféromè
I
ètre de Mich
helson (2015)
Page 64
Q : Retrouver que l'image du miroir par la lame est avancée de la quantité e(1-1/n) (voir figure cidessus). Où doit-on placer le miroir M’1 pour minimiser la perte de contraste ? Pourquoi ? En
particulier dans quel sens doit-on déplacer le miroir ? Est-ce conciliable avec la contrainte sur la
cohérence temporelle ?
c. Travail expérimental demandé :
Régler le Michelson en teinte plate et au contact optique sans l'échantillon (e=0
utilisera ici un grand trou source.
Placer maintenant l'échantillon et observer les franges d’égale épaisseur sur la lame.
. On
Q : Que se passe-t-il sur le contraste ? Comment peut-on améliorer celui-ci ?
Enlever la lentille et regarder les franges d’égale inclinaison.
Q : Déplacer le miroir de manière à diminuer au maximum le nombre d’anneau. Vérifier que le
déplacement est compatible avec la valeur e(1-1/n) trouvée ci-dessus.
Q : En replaçant la lentille que constatez-vous sur le contraste des franges ? Que se passe-t-il pour le
contraste lorsque vous changez la taille du trou ? Expliquez.
TP 1A premier semestre
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Interféromètre de Michelson (2015)
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Échelle des teintes de Newton
en nanomètres
0
40
97
158
218
234
259
267
275
281
306
332
430
505
536
551
565
575
589
664
728
747
826
843
866
910
948
998
1101
1128
1151
1258
1334
1376
1426
1495
1534
1621
1658
1682
1711
1744
1811
1927
2007
2048
2338
2668
TP 1A premier semestre
échelle à centre blanc
échelle à centre noir
blanc
blanc
blanc jaunâtre
blanc jaunâtre
brun jaune
brun
rouge clair
rouge carmin
brun rouge sombre
violet sombre
indigo
bleu
bleu gris
vert bleuâtre
vert pâle
vert jaunâtre
vert plus clair
jaune verdâtre
jaune d'or
orangé
orangé brunâtre
rouge carmin clair
pourpre
pourpre violacé
violet
indigo
bleu sombre
bleu verdâtre
vert
vert jaunâtre
jaune sale
couleur chair
rouge brun
violet
bleu violacé grisâtre
bleu verdâtre
bleu vert
vert terne
vert jaunâtre
jaune verdâtre
jaune gris
mauve gris rouge
carmin
gris rouge
bleu gris
vert
rose pâle
vert bleu pâle
noir
gris de fer
gris lavande
bleu gris
gris plus clair
blanc verdâtre
blanc
blanc jaunâtre
jaune paille pâle
jaune paille
jaune clair
jaune vif
jaune brun
orangé rougeâtre
rouge chaud
rouge plus foncé
pourpre
violet
indigo
bleu de ciel
bleu verdâtre
vert
vert plus clair
vert jaunâtre
jaune verdâtre
jaune pur
orangé
orangé rougeâtre vif
rouge violacé foncé
violet bleuâtre clair
indigo
bleu (teinte verdâtre)
vert de mer
vert brillant
jaune verdâtre
rose (nuance clair)
rouge carmin
carmin pourpre
gris violacé
bleu gris
vert de mer
vert bleuâtre
beau vert
gris vert
gris presque blanc
rouge clair
vert bleu pâle
rose pâle
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