C22 operations sur les Vecteurs

CPGE / Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
Vecteurs
OPERATIONS SUR LES VECTEURS
Ce document reprend les opérations sur les vecteurs auxquelles on a recours en Sciences de
l’Ingénieur.
Par la suite, on désigne par scalaire une grandeur réelle
V
Un vecteur est une grandeur définie par :
une direction
Un sens
Une intensité (ou norme)
Un point d’application dans le cas d’un vecteur lié ou pointeur
La représentation graphique du vecteur est faite par un segment muni d’une flèche.
On peut également définir le vecteur à partir de ses composantes dans une base donnée.
V = V x .x + V y . y + V z .z
La base est généralement orthonormée directe, car les résultats d’opérations s’exprimeront alors plus
simplement.
Opérations sur les vecteurs :
Produit du vecteur par un scalaire :
Opération qui associe à un vecteur et un scalaire un vecteur :
(λ, V ) → W
= λ.V
λ .V est colinéaire à V
est de même sens si λ > 0, de sens contraire si λ < 0
de norme
λ.V = λ . V
On a 1.V = V
et
0.V = 0
1 est l'élément scalaire neutre, et 0 l'élément scalaire absorbant pour cette opération. Le produit d'un
vecteur par un scalaire est distributif sur l'addition des scalaires (λ
+ µ ).V = λ.V + µV
Somme de vecteurs
Opération qui associe à deux vecteurs un troisième vecteur :
(U , V ) → W
= U +V
C’est une opération qui est associative, commutative qui a pour élément neutre
U
M Salette- Lycée Brizeux- Quimper
V
Graphiquement , on construit
de
W
V
U
l’origine de
V
W
0
en plaçant à l’extrémité
et en joignant l’origine de
l’extrémité de V
(en gras, tracé de
U + V , en trait fin tracé de V + U )
U
En plaçant des points A, B et C, on a la relation des Chasles :
AB + BC = AC
Le produit d'un scalaire par un vecteur est distributif sur l'addition des vecteurs :
λ.(U + V ) = λ.U + λ.V
: C22 operations sur les Vecteurs.docCréé le 03/11/2011 –
U
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et
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Produit scalaire
Vecteurs
Opération qui associe à deux vecteurs un scalaire :
(U , V ) → λ =U.V
tel que U.V = U . .V . cos α où α est l’angle entre les deux vecteurs
V
α
Remarque : l’angle entre deux vecteurs est obtenu en plaçant les deux
origines en un même point
C’est une opération qui est commutative, distributive sur l’addition de
vecteurs :
et λ .(U .V ) = (λ.U ).V
Le produit scalaire de vecteurs perpendiculaire est nul
(U + V ).W = U .W + V .W
0
= U (λ.V )
U
est l’élément absorbant pour le produit scalaire
Si on pose :
U = U x .x + U y . y + U z .z et V = Vx .x + V y . y + Vz .z , avec une BOND
on a U .V = UxVx + UyVy + UzVz +
W
Produit vectoriel
Opération qui associe à deux vecteurs un troisième vecteur :
(U , V ) → W
= U ∧V
V
tel que
α
W est perpendiculaire au plan formé par U et V
(U , V ,W ) forme un trièdre direct
W = U . V . sin α
U
avec α angle entre les deux vecteurs
Cette opération est anticommutative et distributive par rapport à l’addition de vecteurs
La norme du produit vectoriel correspond à l’aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs
U
et V
Double produit vectoriel
Attention : comme le produit vectoriel n'est ni associatif, ni commutatif, il est nécessaire d'utiliser comme ici des
parenthèses et le résultat va dépendre à la fois de l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées et de
l'ordre de présentation des 3 vecteurs.
On montre que
A ∧ ( B ∧ C ) = B.( A.C ) − C.( A.B)
Produit mixte :
[
[
] [
]
] [
] [
Opération qui associe à trois vecteurs un scalaire:
(U ∧ V ).W = U ,V , W
On montre que U , V , W = V , W , U = W , U , V
− U ,V ,W = W ,V ,U = U ,W ,V = V ,U ,W
[
] [
] [
] et que
]
La valeur absolue du produit mixte correspond au volume du parallélépipède construit sur
U,V
et
W
Produit de torseurs :
Un torseur est constitué d’un vecteur uniforme et d’un vecteur Moment (qui varie en fonction du point
considéré) : le produit de torseurs est une opération qui associe à ces 2 torseurs une grandeur
 R1

 R2 
et
{
}
T
=


 alors {T1}× {T2 } = R1 × M A, 2 + R2 × M A,1
2
M
M



A,1 
A, 2 

A
A
scalaire telle que si {T1 }= 
Le produit {T1 }× {T2 } ne dépend pas du point commun où sont exprimés les 2 torseurs
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