Mécanique quantique (ondulatoire)

1 Principes généraux
1. Onde de de Broglie
La dualité onde corpuscule de la lumière mise en évidence par l’effet photoélectrique ou l’effet Compton a conduit de Broglie (1925) à extrapoler
cette dualité à la matière 1 .
Pour de Broglie, une particule de masse m se déplaçant à la vitesse ~v et
de quantité de mouvement :
p~ = m~v
se voit attribuer la longueur d’onde λ :
λ=
Mécanique quantique
(ondulatoire)
h
p
où h = 6,626 068 76(52) × 10−34 J s est la constante de Planck.
La constante de Planck réduite ~, souvent plus pratique, est définie par
h
= 1,054 571 596(82) × 10−34 J s
2π
La formule de de Broglie relie aussi la quantité de mouvement de la particule au vecteur d’onde associé ~k :
~=
p~ = ~~k
c’est la formule d’Einstein, initialement appliquée au photon, que de Broglie propose ainsi d’appliquer à une particule de matière.
De même la pulsation ω, ou la fréquence ν, de l’onde sont reliées à l’énergie
E par la formule d’Einstein :
E = hν = ~ω
1. La diffraction des électrons a été mise en évidence deux ans plus tard par Davisson
et Germer
1
2
Si la particule est isolée, p~ et E sont des constantes du mouvement. Des
considération générales d’invariance relativiste amènent de Broglie à associer à la particule une onde plane progressive monochromatique :
~
Ψ(x, t) = Aei(k·~r−ωt) = Aei(kx−ωt)
la vitesse de la particule étant supposée dirigée suivant l’axe Ox.
Comme E = 21 mv 2 et p = mv la vitesse de phase vϕ = ω/k est la moitié
de la vitesse v de la particule,
v
2
Lorsque la particule se trouve plongée dans un champ extérieur, d’énergie
potentielle V (x), les choses se compliquent. On peut, comme on le fait en
optique ondulatoire dans le cadre de l’approximation de l’optique géométrique, introduire un vecteur d’onde local :
p
2m [E − V (x)]
p(x)
k(x) =
=
(1.1)
~
~
et lui associer l’onde :
vϕ =
Rx
Ψ(x, t) = Aei(
0
kdx−ωt)
.
La théorie de de Broglie permet alors d’expliquer le phénomène d’interférence ou de diffraction des électrons ou encore de justifier le postulat de
Bohr concernant la quantification des orbites électroniques dans l’atome
d’hydrogène, mais son pouvoir prédictif reste limité. Elle est incapable par
exemple de déterminer l’intensité relative des raies spectrales.
2. Équation de Schrödinger
1 ∂2Ψ
∂2Ψ
=
∂x2
vϕ2 ∂t2
Supposons l’onde Ψ(x, t) associée à une particule isolée d’énergie E. Suivant l’idée de de Broglie, l’onde doit varier de manière harmonique en e−iωt
avec une pulsation ω telle que E = ~ω. L’équation devient :
ω2
∂2Ψ
Ψ
=
−
∂x2
vϕ2
(1.2)
Dans l’équation de propagation de d’Alembert le rapport ω/vϕ = k est
une constante qui désigne le vecteur d’onde. Schrödinger propose de lui
substituer le vecteur d’onde semi-classique k(x) de l’équation (1.1) qui
conduit à :
−
~2 ∂ 2 Ψ
+ V (x)Ψ = EΨ
2m ∂x2
(1.3)
C’est l’équation de Schrödinger indépendante du temps associée à une particule d’énergie E.
L’équation décrivant l’onde associée à une particule quelconque s’obtient
en remplaçant la multiplication par −iω par une dérivation par rapport
au temps,
−
∂Ψ
~2 ∂ 2 Ψ
+ V (x)Ψ = i~
2
2m ∂x
∂t
(1.4)
Dans sa version à trois variables spatiales cette équation devient :
−
~2
∂Ψ
∆Ψ + V (~r)Ψ = i~
2m
∂t
(1.5)
Finalement ce qui manque à l’onde de de Broglie c’est une équation d’onde.
C’est à sa recherche que s’est attelé Schrödinger en 1926. Cette équation ne
se démontre pas mais en se laissant guider par l’intuition voici une manière
utilisée par Schrödinger pour y parvenir.
Le point de départ est l’équation d’onde de d’Alembert à une dimension :
où ∆ est le laplacien.
Après cette découverte, Schrödinger met son équation à l’épreuve en s’attaquant au problème de l’atome d’hydrogène pour lequel V (~r) est le champ
coulombien. La résolution lui donne entièrement satisfaction puisqu’elle
3
4
prédit avec exactitude le spectre des énergies des états liés connu expérimentalement et expliqué par la formule de Rydberg ou la théorie de Bohr.
Son équation est désormais célèbre, elle permet de résoudre n’importe quel
problème de mécanique quantique à une particule sans spin dans le cadre
non relativiste. L’équation (1.4) est appelée équation de Schrödinger dépendante du temps.
3. Principe de superposition
En mécanique quantique, l’état d’une particule est entièrement décrit par
une certaine fonction complexe Ψ(~r, t) appelée fonction d’onde. Cette approche s’oppose radicalement à la mécanique classique où l’état dynamique
d’une particule est déterminé par sa position et sa vitesse. Cet état, donné
à un instant initial, permet de prévoir n’importe quel état futur par l’intégration de l’équation du mouvement déduite du principe fondamental
de la dynamique. Ici, c’est l’équation de Schrödinger qui joue le rôle du
PFD. Elle donne l’évolution au cours du temps de la fonction d’onde à
tout instant dès lors qu’elle est connue à un certain instant initial.
Cette équation de Schrödinger est linéaire : si Ψ1 et Ψ2 sont deux fonctions
d’onde solutions de l’équation de Schrödinger et associées à deux états possibles d’une même particule alors toute combinaison linéaire aΨ1 + bΨ2 est
aussi solution de l’équation de Schrödinger. Cette fonction d’onde représente donc un état possible de la particule, différents des deux précédents,
appelé état de superposition. Il n’y a pas d’équivalent de ce principe en
mécanique classique et c’est là une des propriétés les plus étranges de la
mécanique quantique.
4. Interprétation probabiliste
Une autre difficulté soulevée par la mécanique quantique est de concilier
la notion de particule ponctuelle avec celle du champ Ψ(~r, t) de la fonction
d’onde. Quelle signification physique doit-on donner à la fonction d’onde ?
Une réponse est donnée par le postulat de Born ou interprétation probabiliste : la fonction d’onde représente une amplitude de probabilité et
|Ψ(~r, t)|2 dτ est la probabilité de trouver la particule dans le volume dτ
situé en ~r à l’instant t.
5
Si la fonction d’onde ne dépend que de la seule variable spatiale x, |Ψ(x, t)|2 dx
est la probabilité de trouver à l’instant t, par une mesure de sa position,
la particule dans l’intervalle [x, x + dx] ou encore :
Z
b
2
a
|Ψ(x, t)| dx =
probabilité de trouver la particule
dans l’intervalle [a, b].
Suivant cette interprétation probabiliste la fonction d’onde Ψ(x, t) doit
vérifier la condition de normalisation :
Z
+∞
−∞
|Ψ(x, t)|2 dx = 1
Il faut donc que la fonction d’onde soit de carré sommable :
Z +∞
|Ψ(x, t)|2 dx < ∞
(1.6)
−∞
pour pouvoir être normalisée.
Le fait que Ψ soit une grandeur complexe entraı̂ne que la fonction d’onde
associée à un même état de la particule n’est pas unique, elle est déterminée
à un facteur de phase multiplicatif arbitraire près Ψ → eiα Ψ 2 Le plus
souvent, le facteur de phase est choisi de manière à rendre Ψ réelle.
Une solution de l’équation de Schrödinger qui n’est pas de carré sommable
ne peut pas représenter l’état d’une particule réelle. Les états physiquement réalisables sont ceux pour lesquels la fonction d’onde est de carré
sommable. En particulier, la fonction d’onde doit s’annuler à l’infini.
Puisque la fonction d’onde d’un état physiquement acceptable est normalisée, il faut s’assurer que son évolution au cours du temps préserve cette
propriété. Montrons dans le cas unidimensionnel que l’équation de Schrödinger conserve bien la norme.
Multiplions (1.4) par le conjugué Ψ∗ ,
2. Cette invariance a une grande importance en physique des particules.
6
~2 ∗ ∂ 2 Ψ
∂Ψ
−
Ψ
+ V (x)Ψ∗ Ψ = i~Ψ∗
2
2m ∂x
∂t
soustrayons ensuite cette équation à son expression conjuguée, il vient
2
∂ΨΨ∗
~2
∂ 2 Ψ∗
∗∂ Ψ
i~
Ψ
=−
−Ψ
∂t
2m
∂x2
∂x2
(1.7)
∂Ψ∗
~2 ∂
∗ ∂Ψ
Ψ
−Ψ
=−
2m ∂x
∂x
∂x
Intégrons à présent sur toutes les positions de la particule :
+∞
Z +∞
∂ΨΨ∗
~2
∂Ψ∗
∗ ∂Ψ
Ψ
dx = −
−Ψ
∂t
2m
∂x
∂x −∞
−∞
Le terme de droite disparaı̂t car
d’onde s’annule à l’infini ainsi
R la fonction
2
que sa dérivée. L’intégrale de |Ψ(x, t)| dx ne dépend du temps :
Z
Z +∞
d +∞
∂ΨΨ∗
dx =
ΨΨ∗ dx
∂t
dt
−∞
−∞
et ainsi
d
dt
Z
+∞
−∞
|Ψ(x, t)|2 dx = 0.
La fonction d’onde d’onde normalisée à t = 0, restera donc normalisée au
cours de son évolution.
La conservation de la norme s’exprime aussi sous forme locale. Pour obtenir
une équation vectorielle, partons de l’équation de Schrödinger spatiale (1.5)
~ :
et de son conjugué et remplaçons ∆ = div ∇
~2
∂Ψ
~ +VΨ
=−
div ∇Ψ
∂t
2m
∂Ψ∗
~2
~ ∗ − V Ψ∗ ,
i~
=
div ∇Ψ
∂t
2m
i~
7
La somme de ces deux équations
i
h
i
~
~ h
∂|Ψ|2
∗
∗ ~
∗
∗
~
~
~
Ψ div ∇Ψ − Ψ div ∇Ψ =
=
div Ψ∇Ψ − Ψ ∇Ψ
∂t
2im
2im
conduit bien à l’équation locale de continuité :
∂|Ψ|2
+ div J~ = 0 ,
∂t
où le courant densité de probabilité J~ a l’expression suivante :
(1.8)
h
i
~
~
∗
∗
∗
~ − Ψ∇Ψ
~
~
Ψ ∇Ψ
= Im
Ψ ∇Ψ
J~ =
2im
m
(1.9)
5. Principe d’incertitude
Suivant les principes fondateurs de la mécanique quantique, une particule
libre d’énergie E = ~ω et de quantité de mouvement p~ = m~v = ~~k se voit
attribuer la fonction d’onde :
~
Ψ(~r, t) = Aei(~p·~r−Et)/~ = Aei(k·~r−ωt)
et, pour un mouvement unidimensionnel sur Ox :
Ψ(x, t) = Aei(px−Et)/~ = Aei(kx−ωt) .
On vérifie sans peine que cette onde plane est solution de l’équation de
Schrödinger lorsque le potentiel V (x) est posé = 0 ou est constant. La
relation de dispersion entre E et p qui en découle se ramène à :
p2
= 21 mv 2
2m
Le courant densité de probabilité associé à l’onde plane (5.) s’écrit :
E=
~~k 2
~ ∗~
~
Ψ ∇Ψ =
|Ψ| = |Ψ|2~v
J = Im
m
m
8
(1.10)
où ~v = p~/m est la vitesse classique de la particule libre (cette formule est
analogue à celle qui donne la densité de courant électrique ~j = ρ~v où la
densité de charge ρ est jouée par la densité de présence |Ψ|2 ).
On constate cependant que les fonctions d’onde (5.) et ne sont pas normalisables. Cela ne signifie pas que la particule ne peut pas être libre mais
plutôt qu’elle ne peut exister dans cet état défini par p et E. Dans l’interprétation probabiliste, une onde plane représente le cas limite d’un état
où la particule a une chance équiprobable de se trouver n’importe où dans
l’espace. Cela semble en effet peu réaliste. En revanche, il est possible de
construire des états normalisables associés à une particule libre sous forme
de paquet d’ondes planes :
Z +∞
Ψ(x, t) =
a(p)ei[px−E(p)t]/~ dp
Comme |Ψ|2 représente la densité de probabilité de présence de la particule,
∆x représente l’incertitude sur la position de la particule et ∆p celle sur
sa quantité de mouvement.
La relation (1.11) est appelée relation d’incertitude de Heisenberg. Elle exprime l’impossibilité de connaı̂tre simultanément avec une précision arbitrairement petite la position et la quantité de mouvement d’une particule.
Il devient donc illusoire d’espérer décrire la particule par sa trajectoire.
−∞
Si a(p) présente un pic bien prononcé pour une certaine valeur p = p0 on
peut attribuer au déplacement du paquet d’onde une vitesse qui correspond
à la vitesse de groupe :
dω
dE
p0
=
=
= v0
dk
dp
m
Contrairement à la vitesse de phase, la vitesse de groupe coı̈ncide avec la
vitesse, au sens classique, de la particule 3
On sait, d’autre part, que l’extension spatiale ∆x du paquet d’onde et son
extension en vecteur d’onde ∆k = ∆p/~ doivent vérifier l’inégalité propre
à toute onde :
vg =
Il s’ensuit la relation :
∆x∆k ≥
1
2
∆x∆p ≥
~
2
(1.11)
3. Cela pourrait nous pousser à identifier le paquet d’onde avec la particule, mais si
un paquet d’onde peut se diviser à volonté ce n’est pas le cas d’une particule.
9
10
2 États stationnaires dans des potentiels simples
1. Propriétés générales des états stationnaires
L’équation de Schrödinger indépendante du temps (1.3) se déduit de l’équation dépendante du temps (1.4) en recherchant des solutions à variables
spatiales et temporelle séparées :
En reportant dans (1.4) puis en divisant par ϕ(x)θ(t) :
θ̇(t)
~2 ϕ′′ (x)
+ V (x) = i~
2m ϕ(x)
θ(t)
1.2. Une inégalité sur l’énergie
L’égalité comporte à gauche une fonction de x et à droite une fonction
du temps et doit être vérifiée pour tout x et t. Ce ne peut être qu’une
constante que l’on pose égale à E.
L’équation différentielle ordinaire pour θ(t) s’intègre immédiatement :
θ(t) = Ae−iEt/~
et la partie spatiale ϕ(x) est solution de l’équation de Schrödinger indépendante du temps :
−
~2 ′′
ϕ (x) + V (x)ϕ(x) = Eϕ(x)
2m
Multiplions par ϕ(x)∗ l’équation (2.1) et intégrons sur tout l’espace. Le
terme ϕ′′ (x)ϕ∗ (x) est intégré par parties et, sachant que la fonction d’onde
s’annule à l’infini, il vient :
Z +∞ 2
Z +∞
~
′
2
E=
|ϕ (x)| dx +
V (x)|ϕ(x)|2 dx
2m
−∞
−∞
Le second terme de droite étant l’énergie potentielle moyenne hV i, le premier terme de droite représente donc l’énergie cinétique moyenne hEc i.
Comme ce dernier terme est positif nous avons :
(2.1)
On dit que la fonction d’onde résultante :
Φ(x, t) = ϕ(x)e−iEt/~ .
représente un état stationnaire de la particule. En effet, même si la fonction
d’onde dépend explicitement du temps la densité de probabilité
|Φ(x, t)|2 = |ϕ(x)|2
1.1. Dégénérescence d’un niveau
Lorsqu’il existe plusieurs fonctions d’onde linéairement indépendantes associées à une même énergie, on dit que le niveau d’énergie est dégénéré.
Pour un mouvement à une seule dimension spatiale on montre que les niveaux d’énergie ne sont pas dégénérés : à une énergie correspond une seule
fonction d’onde (à un facteur de phase près).
Φ(x, t) = ϕ(x)θ(t).
−
D’autre part, suivant les principes généraux qui fondent la mécanique
quantique examinés au chapitre précédent, la constante de séparation des
variables E s’identifie à l’énergie de la particule. Dans un état stationnaire
la particule possède donc une énergie bien définie.
E > hV i ≥ Vmin .
1.3. Orthogonalité
Considérons deux états stationnaires d’énergies différentes E1 et E2 et de
fonctions d’onde respectives ϕ1 (x) et ϕ2 (x). Montrons que ces fonctions
d’ondes sont orthogonales vis à vis du produit scalaire hermitien suivant :
Z +∞
hϕ1 , ϕ2 i =
ϕ∗1 (x)ϕ2 (x)dx
−∞
est indépendante du temps.
11
(2.2)
12
Multiplions par ϕ∗1 (x) l’équation :
cn = hϕn , ψ0 i.
2
−
~ ′′
ϕ (x) + V (x)ϕ2 (x) = E2 ϕ2 (x)
2m 2
D’après la linéarité de l’équation de Schrödinger, l’état de superposition à
t = 0 évolue en même temps que chacun des états stationnaires qui entrent
dans sa décomposition :
et, en intégrant sur tout l’espace comme précédemment :
Z +∞ 2
Z +∞
~ ∗′
′
E2 hϕ1 , ϕ2 i =
ϕ1 (x)ϕ2 (x)dx +
V (x)ϕ∗1 (x)ϕ2 (x)dx
2m
−∞
−∞
Ψ(x, t) =
donc ϕ1 et ϕ2 sont orthogonales et puisqu’elles sont normalisées :
hϕm , ϕn i = δm,n
1.4. Décomposition d’un état sur les états stationnaires
L’énergie étant une grandeur physique caractérisant l’état d’une particule,
on en déduit que les états stationnaires forment un système complet d’états
dans l’espace des états possibles de la particule. La fonction d’onde Ψ(x, t)
associée à un état quelconque de la particule peut se décomposer en état de
superposition sur les fonctions d’onde des états stationnaires ϕ(x)e−iEt/~ .
Supposons pour fixer les idées que les fonctions d’onde des états stationnaires forment un spectre discret : ϕ1 (x)e−iE1 t/~ , ϕ2 (x)e−iE2 t/~ , etc. et, qu’à
l’instant initial t = 0, la particule soit dans un état quelconque décrit par
la fonction d’onde Ψ(x, 0) = ψ0 (x).
Décomposons alors cet état initial sur les fonctions d’onde des états stationnaires :
ψ0 (x) =
n=1
avec
13
cn ϕn (x),
cn ϕn (x)e−iEn t/~ .
n=1
Prenons le conjugué de cette équation puis permutons 1 et 2 et soustrayons :
(E2 − E1 )hϕ1 , ϕ2 i = 0
∞
X
∞
X
(2.3)
2. Puits de potentiel carré infini
Considérons la particule dans une énergie potentielle :
(
0 si 0 ≤ x ≤ a,
V (x) =
∞ sinon.
D’un point de vue classique la particule évolue librement dans le puits
(région 0 ≤ x ≤ a) mais elle ne peut s’en échapper car son énergie E est
finie et l’énergie potentielle à l’extérieur est infinie.
Comme E > hV i la fonction d’onde doit s’annuler à l’extérieur du puits :
la probabilité de trouver la particule dans cette région est donc nulle :
ϕ(x) = 0 à l’extérieur.
À l’intérieur du puits la fonction d’onde d’un état stationnaire vérifie :
r
2mE
ϕ′′ (x) + k 2 ϕ(x) = 0 k =
(2.4)
~
k est réel car la valeur de E est positive d’après (2.2).
La solution générale s’écrit :
ϕ(x) = A sin kx + B cos kx
Les constantes d’intégration sont fixées par les conditions aux limites.
La continuité de la fonction d’onde en x = 0 et x = a impose :
14
ϕ(0) = ϕ(a) = 0
ϕ1
ϕ2
La première condition se traduit par :
x
ϕ(x) = A sin kx
et la seconde donne soit A = 0 qui conduit à la solution nulle et non
normalisable, soit sin ka = 0 qui impose une quantification des valeurs de
k:
kn =
nπ
a
n ∈ N∗
On a rejeté k0 = 0 pour la même raison que A = 0 ainsi que les valeurs négatives aussi qui changent ϕ en −ϕ mais conduisent au même état puisque
la fonction d’onde n’est définie qu’à un facteur de phase près.
Les énergies associées des états stationnaires s’en déduisent :
En =
~2 kn2
n2 π 2 ~2
.
=
2m
2ma2
Le spectre est donc discret en contraste avec la situation classique où toutes
les énergies positives sont possibles.
La constante A est déterminée en normalisant ϕ,
Z ∞
Z a
a
2
2
|ϕ(x)| dx = |A|
sin2 (kx) = |A|2 = 1
2
−∞
0
En convenant de choisir A réelle, les fonctions d’onde des états stationnaires s’écrivent à l’intérieur du puits :
ϕn (x) =
r
ϕ3
nπ 2
sin
x
a
a
0
a
x
a
0
x
0
a
La théorie de de Broglie permet de retrouver le spectre et dans une moindre
mesure ces fonctions d’onde, en imposant qu’il s’établisse des ondes stationnaires (au sens ordinaire du mot) analogues à celles qui s’établissent
le long d’une corde de longueur a fixée à ses extrémités de sorte que
a=n
λ
2
où λ est la longueur d’onde de de Broglie.
L’état associé à l’énergie la plus basse est appelée l’état fondamental, les
autres dont l’énergie augmente comme n2 sont appelées les états excités.
En dehors du fait qu’elles forment un système complet sur l’espace des
états de la particule, les fonctions d’ondes ϕn ont les propriétés suivantes :
∗ Elles sont alternativement paires et impaires par rapport au centre
du puits.
∗ En montant d’un niveau d’énergie à l’autre il apparaı̂t un nœud
supplémentaire : ϕ1 n’a pas de nœud.
∗ Elles sont orthogonales :
Z +∞
hϕm , ϕn i =
ϕ∗m (x)ϕn (x)dx
−∞
Z
mπ nπ 2 a
=
sin
x sin
x = δm,n
a 0
a
a
3. Marche de potentiel
Supposons la particule placée dans une énergie potentielle formant une
“marche” de hauteur V0 :
15
16
a. Propriétés de raccordement de la fonction d’onde
V( x)
(
0
V (x) =
V0
si x ≤ 0,
si x > 0.
V0
x
0
D’un point de vue classique le mouvement de la particule n’est pas borné,
c’est un état de diffusion. Si E ≥ V0 la particule a un mouvement allant
de ±∞ à ∓∞. Si V0 > E ≥ 0 la particule a un mouvement allant de −∞
à x = 0 où elle rebondit et repart en −∞, on dit qu’il y a collision sur la
barrière.
Passons à l’étude quantique en recherchant les états stationnaires de l’équation de Schrödinger d’énergie E ≥ 0.
3.1. Cas E ≥ V0
Supposons tout d’abord E ≥ V0 . Décomposons ϕ(x) en deux fonctions
ϕ1 (x) et ϕ2 (x) définies respectivement dans l’intervalle x < 0 et x ≥ 0.
Nous avons
√
2mE
p~
2m(E − V0 )
ϕ′′2 + k22 ϕ2 = 0 k2 =
~
ϕ′′1
+
k12 ϕ1
= 0 k1 =
pour x < 0,
(2.5)
pour x ≥ 0
(2.6)
de solution générale :
(
A1 eik1 x + B1 e−ik1 x
ϕ(x) =
A2 eik2 x + B2 e−ik2 x
pour x < 0,
pour x ≥ 0.
Il faut à présent raccorder les solutions en x = 0.
17
La fonction d’onde Ψ d’un état quelconque est un fonction continue de
ses variables spatiales car une discontinuité de la densité de probabilité de
présence |Ψ|2 est dénué de sens physique.
On a vu d’autre part que si le potentiel tend vers l’infini sur un intervalle
la fonction d’onde ψ(x) doit s’annuler sur cet intervalle. Il s’ensuit que sa
dérivée obtenue par intégration
Z x
2m
′
ψ (x) =
(V (ξ) − E)ψ(ξ)dξ + ψ ′ (0)
2
~
0
est une fonction continue. La continuité de ψ ′ (x) ou, plus généralement
~ Ψ se traduit physiquement par la continuité du courant densité de
de ∇
probabilité (1.9).
En appliquant ces résultats à notre problème : ϕ1 (0− ) = ϕ2 (0+ ), ϕ′1 (0− ) =
ϕ′2 (0+ ) qui conduit au système suivant :
(
A1 + B1 = A2 + B2
k1 (A1 − B1 ) = k2 (A2 − B2 )
à quatre inconnues pour deux équations.
En fait, les solutions obtenues décrivent deux processus symétriques que
nous pouvons analyser séparément à l’aide du principe de superposition.
En faisant apparaı̂tre les termes dépendant du temps nous avons
(
A1 ei(k1 x−Et/~) + B1 e−i(k1 x+Et/~) pour x < 0,
Φ(x, t) =
A2 ei(k2 x−Et/~) + B2 e−i(k2 x+Et/~) pour x ≥ 0.
Les amplitudes A1 et A2 correspondent à des ondes se déplaçant vers la
droite, B1 et B2 aux amplitudes d’onde se propageant vers la gauche.
Dans une expérience de diffusion, les particules sont envoyées depuis une
extrémité, −∞ par exemple ce qui fait que l’onde provenant de +∞
n’existe pas :
B2 = 0 Pour une diffusion provenant de la gauche.
18
A1 est l’amplitude de l’onde incidente, B1 l’amplitude de l’onde réfléchie
et A2 l’amplitude de l’onde transmise.
La solution du système d’équations homogène (a.) exprimée en fonction
de A1 s’écrit
La condition de continuité J1 (0− ) = J2 (0+ ) de J~ en x = 0 se traduit ici
par la loi des nœuds :
k1 − k2
2k1
A1
A2 =
A1 .
k1 + k2
k1 + k2
Pour une diffusion provenant de droite : poser A1 = 0, B2 sera alors l’amplitude incidente, A2 l’amplitude réfléchie et B1 l’amplitude transmise.
Définissons les coefficients de réflexion et de transmission de l amarche de
potentiel :
B1 =
b. Coefficient de réflexion et de transmission
Ces coefficients sont déterminés à partir des flux de probabilité donné
par (1.9).
Pour des états stationnaires |Φ(x, t)|2 = |ϕ(x)|2 et l’équation de continuité (1.8) se réduit à :
div J~ = 0
Dans le problème à une dimension qui nous occupe nous avons :
J1 (x, t) =
~k1
~k1
~
Im {ϕ∗1 (x)ϕ′1 (x)} =
|A1 |2 −
|B1 |2
m
m
m
Ce courant se décompose en deux courants associés aux mouvements libre
incident et réfléchi :
où, d’après (1.10),
J1 (x, t) = Jinc (x, t) − Jréf (x, t)
~~k
J~ =
m
est le courant densité de probabilité associé à une onde plane de vecteur
d’onde ~k.
De même pour le courantr transmis dans la région x ≥ 0 :
J2 (x, t) =
~
~k2
Im {ϕ∗2 (x)ϕ′2 (x)} =
|A2 |2 = Jtrans (x, t)
m
m
19
Jinc (0, t) = Jref (0, t) + Jtrans (0, t)
R=
Jref (0, t)
Jinc (0, t)
T =
Jtrans (0, t)
Jinc (0, t)
Pour un faisceau de particules incidentes, le coefficient R représente statistiquement la fraction de particules réfléchies et le coefficient de transmission la fraction de particules transmises.
Il vient :
2 2
B1 k
−
k
1
2
,
R = =
A1
k1 + k2
2
4k1 k2
k2 A2 Jtrans (0, t)
=
=
T =
Jinc (0, t)
k1 A1
(k1 + k2 )2
Nous vérifions bien l’égalité, qui découle de la loi des nœuds :
R+T =1.
Exprimés, en fonction de l’énergie, ces coefficients s’écrivent :
p
2 ǫ(1 − ǫ)
p
,
R=
2ǫ + 2 ǫ(1 − ǫ) − 1
p
2ǫ − 2 ǫ(1 − ǫ) − 1
p
T =
,
2ǫ + 2 ǫ(1 − ǫ) − 1
avec : ǫ =
E
V0
La réflexion des particules à des énergies E > V0 est un phénomène purement quantique qui ne s’observe pas avec une particule classique. Il est
analogue au phénomène de réflexion–réfraction de la lumière à la surface
d’un dioptre.
20
3.2. Cas E < V0
Le cas E < V0 présente un point de rebroussement en x = 0 et la région
classiquement accessible est la demie droite x < 0.
L’équation de Schrödinger indépendante du temps prend la forme :
√
2mE
+
= 0 k1 =
p~
2m(V0 − E)
ϕ′′2 − α22 ϕ2 = 0 α2 =
~
ϕ′′1
k12 ϕ1
avec une solution générale :
(
A1 eik1 x + B1 e−ik1 x
ϕ(x) =
A2 e−α2 x + B2 eα2 x
pour x < 0,
2 2
Jref (0, t) B1 k1 − iα2
R=
=
=
= 1.
Jinc (0, t) A1 k1 + iα2
Voici les variations de R et T en fonction de l’énergie réduite ǫ = E/V0 :
1
R
T
pour x ≥ 0
pour x < 0,
pour x ≥ 0.
Ici, B2 = 0, car sinon, la fonction d’onde divergerait en +∞. Dans la région
x ≥ 0 l’onde décroı̂t exponentiellement, c’est une onde évanescente.
Les conditions de continuité de ϕ et de sa dérivée appliquées en x = 0
donnent :
2k1
k1 − iα2
A1
A2 =
A1 .
k1 + iα2
k1 + iα2
Le courant de probabilité transmis associé à l’onde évanescente est identiquement nul :
B1 =
Jtrans = 0
d’où
0
E
La particule est donc toujours réfléchie, (réflexion totale) conformément
à la situation classique. En revanche, dans le cas quantique il existe une
probabilité non nulle de trouver la particule dans la région classiquement
infranchissable x > 0. L’onde apparaı̂t dans cette région sous forme évanescente avec une profondeur de pénétration dans la barrière de l’ordre
de 1/α2 . La réflexion conduit aussi à un déphasage, le rapport B1 /A1
dans (3.2.) étant complexe, alors qu’il n’apparaissait pas dans la situation
précédente avec E > V0 (B1 /A1 dans (a.) est réel). Ce déphasage s’explique
par le retard que prend la particule lorsqu’elle pénètre dans la région x > 0.
4. Barrière de potentiel
Examinons ici le cas de la diffusion par une barrière de potentiel de largeur
a et de hauteur V0 .
T =0.
Le coefficient de réflexion est donc égal à un, comme on le vérifie par le
calcul direct,
21
22
puis exprimons A2 et B2 en fonction de A3 à partir des deux dernières :
V( x)


0
V (x) = V0


0
2k2 A2 = (k2 + k1 )A3 ei(k1 −k2 )a ,
V0
si x ≤ 0,
si 0 < x < a,
si a ≤ x.
2k2 B2 = (k2 − k1 )A3 ei(k1 +k2 )a
Finalement, on en tire l’expression de A1 en fonction de A3
0
a
x
4k1 k2 A1 = (k1 + k2 )2 e−ik2 a − (k1 − k2 )2 eik2 a eik1 a A3
.
= 4k1 k2 cos k2 a − 2i(k12 + k22 ) sin k2 a eik1 a A3
La loi des nœuds de courants de probabilité, en régime stationnaire, appliquée entre x = 0 et x = a s’écrit
4.1. Cas E > V0
La résolution de l’équation de Schrödinger indépendante du temps donne
dans les trois régions de l’espace des états stationnaires libres :

ik1 x

+ B1 e−ik1 x si x ≤ 0,
A1 e
ϕ(x) = A2 eik2 x + B2 e−ik2 x si 0 < x < a,
(2.7)


A3 eik1 x + B3 e−ik1 x si a ≤ x.
avec
p
√
2m(E − V0 )
2mE
k1 =
,
k2 =
~
~
Dans le cas d’une diffusion vers la gauche on pose B3 = 0. Les relations de
continuité en x = 0 et x = a forment le système d’équations :

A1 + B1 = A2 + B2



 k1 (A1 − B1 ) = k2 (A2 − B2 )
.

A2 eik2 a + B2 e−ik2 a = A3 eik1 a



k2 (A2 eik2 a − B2 e−ik2 a ) = k1 A3 eik1 a
Déterminons A1 en fonction de A2 et B2 en éliminant B1 à partir des deux
premières équations :
2k1 A1 = (k1 + k2 )A2 + (k1 − k2 )B2
23
Jinc (0, t) = Jref (0, t) + Jtrans (a, t)
(ces courants ne dépendent pas du temps.).
Il s’ensuit les définitions et expressions des coefficients de transmission T
et de réflexion R de la barrière :
2
Jtrans (a, t) A3 = =
T =
Jinc (0, t)
A1
1
1+
V02
4E(E − V0 )
,
2
sin k2 a
2
Jref (0, t) B1 =
= 1 − T.
R=
Jinc (0, t) A1 T
1
Tmin
0
1
2 λ2
λ2
24
3
2 λ2
a
Le coefficient oscille entre la valeur maximale 1 et la valeur minimale
1
Tmin =
V02
4E(E − V0 )
1+
.
Le maximum apparaı̂t lorsque la largeur a de la barrière est multiple entier de la demi longueur d’onde λ2 = 2π/k2 . Ce phénomène de résonance
s’explique par des interférences destructives entre les multiples ondes progressives qui sortent de la barrière par la gauche et l’onde incidente réfléchie (l’ensemble forme l’onde réfléchie d’amplitude B1 ). Optiquement,
la condition sur le chemin optique δ = 2a = nλ2 impose une interférence
constructive entre toutes les ondes qui se réfléchissent dans la barrière.
V( x)
4.2. Cas E < V0
La région occupée par la barrière devenant classiquement inaccessible, le
vecteur d’onde associé devient imaginaire pur,
p
√
2m(V0 − E)
2mE
,
k2 = iα2 = i
.
k1 =
~
~
Tous les calculs restant les mêmes, nous pouvons immédiatement donner
l’expression du coefficients de transmission :
2
A3 T = =
A1
1
1+
T
V0
V02
4E(V0 − E)
.
2
sinh α2 a
1
0
a
x
Une étude sur la propagation d’un paquet d’onde gaussien montre que
la durée de traversée de la barrière est particulièrement longue lorsque la
condition de résonance est réalisée, ce phénomène est appelé résonance de
diffusion.
Exercice 2.1 Étudier la densité de présence d’un état stationnaire de la
particule dans la barrière.
Exercice 2.2 Retrouver les expressions de A1 , B1 et T à partir d’une
analyse des diffusions multiples sur les parois de la barrière.
0
a
1
α2
La nouveauté ici, c’est de trouver un coefficient de transmission non nul,
c’est à dire une probabilité non nulle pour la particule de franchir la barrière alors que, du point de vue classique, elle ne possède pas l’énergie
suffisante.
Ce phénomène curieux lié à l’existence d’une onde évanescente dans la
barrière s’appelle l’effet tunnel. L’inversion de la molécule d’ammoniac ou
la désintégration α de certains noyaux s’expliquent par cet effet. La diode
tunnel, le microscope à effet tunnel utilisent aussi cet effet.
Exercice 2.3 Comparer les profondeurs de pénétration, δ = 1/α2 , d’un
électron et d’un proton d’énergie E = 21 V0 dans une barrière de hauteur
25
26
V0 = 1 eV. Pour une barrière de largeur a = 100 pm quelles sont les probabilités à l’électron et au proton de franchir cette barrière ?
3 Réponses aux exercices
Exercice 2.1
En résolvant (4.1.) pour A2 et B2 :
k2 + k1 i(k1 −k2 )a
e
A3 ,
2k2
k2 − k1 i(k1 +k2 )a
e
A3
B2 =
2k2
A2 =
La fonction d’onde dans la barrière s’écrit alors
k1
ϕ = cos k2 (x − a) + i sin k2 (x − a) A′3
k2
on en déduit la densité de présence
V0
sin2 k2 (x − a)
E − V0
2
2
|A1 |2
|ϕ(x, t)| = |ϕ(x)| =
V02
sin2 k2 a
1+
4E(E − V0 )
1+
Celle-ci varie périodiquement avec une période λ2 entre une valeur maximale et une valeur minimale non nulle. Il s’installe dans la barrière un
régime d’ondes quasi stationnaires (au sens habituel du terme). La résonance se caractérise par une amplitude maximale mais l’onde reste quasi
stationnaire.
Exercice 2.2
D’après les résultats (a.) sur la marche de potentiel, les coefficients de
réflexion et de transmission en amplitude de la fonction d’onde incidente
se propageant du milieu 1 vers le milieu 2 s’écrivent
r1/2 =
B1
k1 − k2
=
A1
k1 + k2
t1→2 =
où k1 et k2 sont donnés dans (2.6).
27
28
A2
2k1
=
A1
k1 + k2
De même, pour une diffusion de 2 vers 1,
r2/1 =
k2 − k1
= −r1/2
k2 + k1
En remaniant l’expression de A3
t2→1 =
2k2
k1 + k2
On posera t = t1→2 , t′ = t2→1 et r = r2/1 En x = 0 l’amplitude de l’onde
qui pénètre dans la barrière est tA1 , lorsqu’elle arrive en x = a elle devient tA1 eik2 a . L’amplitude réfléchie est tA1 reik2 a et l’amplitude transmise
t′ tA1 reik2 a .
L’onde réfléchie qui se propage ensuite dans la barrière est tA1 reik2 a e−ik2 (x−a) .
Son amplitude lorsqu’elle arrive en x = 0 vaut tA1 re2ik2 a , la partie qui
s’échappe de la barrière a pour amplitude t′ tA1 re2ik2 a et celle de l’onde
réfléchie t′ tA1 r 2 e2ik2 a .
En répétant à l’infini ce raisonnement, l’onde qui sort à gauche de la barrière ce s’écrit
t′ tA1 re2ik2 a 1 + r 2 e2ik2 a + r 4 e4ik2 a + . . . e−ik1 x
A3 = A1
et en utilisant les définitions de r, t et t′ , il vient
tt′ = 1 − r 2 =
Comme r < 1, la série géométrique converge vers
1 + r 2 e2ik2 a + r 4 e4ik2 a + . . . =
En identifiant avec la solution générale (2.7),
1
1 − r 2 e2ik2 a
tt′ ei(k2 −k1 )a
1 − r 2 ei(k2 −k1 )a
tt′ re2ik2 a
− rA1 = rA3 ei(k2 +k1 )a − rA1
B1 = A1
2
2ik
a
2
1−r e
A3 = A1
4k1 k2
(k1 + k2 )2
1 + r2 = 2
k12 + k22
(k1 + k2 )2
d’où
k12 + k22
sin k2 a eik1 a A3
A1 = cos k2 a − i
2k1 k2
et
i(k2 +k1 )a
B1 = r(A3 e
et celle qui sort de droite
t′ tA1 eik2 a 1 + r 2 e2ik2 a + r 4 e4ik2 a + . . . eik1 (x−a)
tt′ e−ik1 a
tt′ e−ik1 a
=
A
1
e−ik2 a − r 2 eik2 a
(1 − r 2 ) cos k2 a − i(1 + r 2 ) sin k2 a
=i
ik1 a
− A1 ) = rA3 e
k22 − k12
sin k2 aA3 eik1 a
2k1 k2
k12 + k22
ik2 a
sin k2 a
e
− cos k2 a + i
2k1 k2
conformément aux formules (4.1.).
Exercice 2.3
Pour un électron m = 9,1 × 10−31 kg et δ = 276 pm. Pour un proton,
mp = 1836m, δp = 6,4 pm.
Pour l’électron T = 0,88 tandis que pour le proton T = 1,3 × 10−13 .
L’électron a pratiquement neuf chances sur dix de traverser la barrière
alors que pour le proton c’est quasiment impossible
Le second terme dans B1 est l’amplitude de l’onde incidente réfléchie sur
la parois x = 0 et qui ne provient pas de la barrière.
23 mars 2017
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