Spé. Math. Mathématiques D.M. 1 2016 / 2017 Divisibilité et
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Spé. Math. Lycée des Métiers Mathématiques D.M. 1 2016 / 2017 Lycée DHUODA Divisibilité et congruences Exercice 1. Critères de divisibilité. Le but de l’exercice est de donner des critères de divisibilité (relativement) simples pour vérifier si un nombre est divisible par 2, 3, 4, etc. jusqu’à 11. On rappelle que le nombre qui s’écrit en base 10 : abcde f est en fait le nombre : a × 105 + b × 104 + c × 103 + d × 102 + e × 10 + f , et, plus généralement, si a0 , a1 , . . ., an sont tous des nombres entiers entre 0 et 9, le nombre qui s’écrit N = an an−1 . . . a1 a0 en base 10 est en fait le nombre : N = 10n an + 10n−1 an−1 + · · · + 10a1 + a0 . Dans la suite de l’exercice, sauf mention explicite du contraire, N , a0 , a1 , . . ., an sont définis comme ci-dessus. 1. Critère de divisibilité par 2 : énoncer et démontrer un critère permettant de vérifier qu’un nombre est divisible par 2 juste en regardant son chiffre des unités. 2. Critère de divisibilité par 3 : (a) Montrer que pour tout entier k, on a 10k ≡ 1 (mod. 3). (b) Montrer que N ≡ a0 + a1 + · · · + an (mod. 3). (c) En déduire un critère de divisibilité par 3. 3. Critère de divisibilité par 4 : énoncer et démontrer un critère permettant de vérifier qu’un nombre est divisible par 4 juste en regardant ses deux derniers chiffres. 4. Critère de divisibilité par 5 : énoncer et démontrer un critère permettant de vérifier qu’un nombre est divisible par 5 juste en regardant son chiffre des unités. 5. Critère de divisibilité par 6 : on admettra qu’un nombre est divisible par 6 ssi il est divisible par 2 et par 3, ce qui règle ce cas. 6. Critère de divisibilité par 7 : on suppose ici que u est le chiffre des unités de N , et d le nombre obtenu en supprimant ce chiffre des unités. Par exemple, si N = 2456, on aura d = 245 et u = 6. Montrer alors que N est divisible par 7 ssi d − 2u l’est. 7. Critère de divisibilité par 8 : énoncer et démontrer un critère permettant de vérifier qu’un nombre est divisible par 8 juste en regardant ses trois derniers chiffres. 8. Critère de divisibilité par 9 : énoncer et démontrer un critère permettant de vérifier qu’un nombre est divisible par 9 en adaptant le crtère de divisibilité par 3. 9. Critère de divisibilité par 10 : faut pas pousser non plus. 10. Critère de divisibilité par 11 : démontrer le critère suivant : • On écrit la somme des chiffres de N de rang pair (unités, centaines, dizaines de milliers) pour former le nombre A, puis la somme des chiffres de rang impair (dizaines, milliers, centaines de milliers) pour former le nombre B. Alors N est divisible par 11 ssi A − B l’est. • Exemple : N = 162789. On a ici A = 6 + 7 + 9 = 22 et B = 1 + 2 + 8 = 11. A − B = 11 est divisible par 11, donc N aussi. Remarque. • Les critères de divisibilité par 2, 4, 8 se généralisent en critères de divisibilité par 2p , mais il faut alors regarder les p derniers chiffres (et ce n’est pas bien pratique). • La méthode du critère de divisibilité par 7 permet de donner des critères similaires pour la divisibilité par 13 (en considérant d +4u), par 17 (d − 5u), par 19 (d + 2u), etc. • La méthode du critère de divisibilité par 11 se généralise en critères de divisibilité par 101, 1001, etc. (mais ce n’est pas bien utile) Exercice 2. Applications des critères précédents. Utiliser les critères précédents pour trouver des diviseurs des nombres : A = 9961 B = 16302 C = 44444 Exercice 3. Tiré des Olympiades Mathématiques. Soit A = 44444444 , B le nombre égal à la somme des chiffres de A, C le nombre égal à la somme des chiffres de B et D le nombre égal à la somme des chiffres de C . Combien vaut D ? LYCÉE D HUODA Spé. Math. 1
