DM n°6 Physique - Optimal Sup Spé

Optimal Sup-Spé. Le n°1 en Sup-Spé
DM n°6 : Mouvement de
Satellites
Préparation ITPE Interne - Concours 2018
Problème - Cas d’un Satellites Quelconque
I.
Préliminaires
On s’intéresse au point matériel P , de masse m, placé dans le champ de gravitation créé par une masse M " m située
en O. Dans tout le sujet, on notera G la constante universelle de gravitation, on rappelle G “ 6.67 10´11 Nm2 /kg2 .
1) À quelle force est soumise la masse m, et la masse M . Comparer alors le module de l’accélération des point O
et P . En déduire que l’on peut supposer que le point O est quasiment fixe.
Dans la suite, on suppose que la masse M est immobile au centre d’un repère Oxyz supposé galiléen. On notera
´´Ñ
r “ ||OP || la distance entre le point O et P .
2) En considérant le moment cinétique de P par rapport au point O, montrer que le mouvement de la masse m est
plan. On le suppose alors compris dans le plan Oxy.
dθ
3) En introduisant les coordonnées cylindriques, représentées sur le schéma 1.1, montrer que la quantité C “ r2
dt
est une constante du mouvement.
y
Ñ́
eθ Ñ́
er
P
O
θ
x
Figure 1.1 – Notation utilisées dans le sujet.
4) On rappelle les formules de Binet pour la vitesse de P , notée Ñ́
v pP q et pour l’accélération radiale de P , notée
Ñ́
er ¨ Ñ́
a pP q :
´ d2 u
¯
´
du Ñ́¯
1
Ñ́
Ñ́
er
et :
er ¨ Ñ́
a pP q “ ´C 2 u2
`
u
avec :
u“ .
v pP q “ C uÑ́
eθ ´
dθ
dθ2
r
Montrer que l’équation polaire du mouvement peut se mettre sous la forme :
Optimal Sup/Spé - 11, rue Geoffroy l’Angevin 75004 Paris - tel : 01.40.26.78.78 - www.optimalsupspe.fr
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r“
5)
6)
7)
8)
9)
p
1 ` εe cospθ ´ θ0 q
où e et p sont deux constantes positives et θ0 est une autre constante.
Exprimer p en fonction de C, M et G.
Pour e ă 1 les trajectoires sont liées : il s’agit d’ellipses dont un des foyers est situé en O. Dans ce cas e est
appelé excentricité de l’ellipse. Exprimer le demi grand axe a de l’ellipse en fonction de e et p.
Donner l’expression de l’énergie potentielle Ep du point P en la supposant nulle à l’infini.
On note Ec l’énergie cinétique et E “ Ec ` Ep l’énergie totale du point P . Donner l’expression de E en fonction
de G, M , m et a.
Donner l’expression de T , la période de révolution de P autour de O, en fonction de a, M et G.
II.
Transfert sur Mars
Les résultats obtenus vont être appliqués au cas particulier du système solaire. On supposera dans la suite que les
trajectoires de la Terre et de Mars autour du Soleil sont circulaires de rayons respectifs rT “ 1.0 ua et rM “ 1.52 ua
, et situées dans le même plan. On donne de plus les masses du Soleil, de la Terre et de Mars : MS “ 2.0 1030 kg,
mT “ 6.0 1024 kg, mM “ 6.4 1023 kg.
On considère une sonde de masse m “ 103 kg en orbite autour de la terre à une altitude négligeable devant rT . À
l’instant t “ 0, on propulse la sonde de telle sorte à ce que celle-ci quitte son orbite et devienne un satellite du Soleil.
On négligera donc le champ gravitationnel de la Terre et de Mars lors de la trajectoire de la sonde.
À t “ 0, la vitesse vÑ́
P de la sonde est choisie perpendiculaire à l’axe Terre-Soleil. On veut de plus que l’ellipse
décrite par la sonde soit tangente en A à la trajectoire de Mars pour y aller faire des mesure. Le schéma 1.2 résume
les hypothèses et notations précédentes.
Orbite Marsienne
Orbite Terrestre
P
vÑ́
P
O
A
Axe Terre-Soleil à t “ 0.
β
M0
Figure 1.2 – Trajectoires de la Terre, Mars et de la sonde. Au temps t “ 0, la Terre se situe en P et Mars en M0 . On
note β l’angle entre pOM0 q et pOAq que l’on oriente dans le sens du mouvment de la sonde et de Mars.
10) Rappeler la définition d’une unité astronomique, notée ua. On rappelle que 1 ua “ 1.50 1011 m.
11) Calculer les vitesses orbitales de la Terre et de Mars, que l’on notera vT et vM .
12) Quelle est la valeur du demi grand axe de l’ellipse décrite par la sonde ? Où se situe le périhélie et l’aphélie de
la trajectoire de la sonde ?
13) Par un argument énergétique, donner la valeur de la norme de la vitesse ||Ñ́
vp ||.
14) Calculer la durée ∆T du trajet de la sonde entre la Terre et A. Pour pouvoir être satellisée sur Mars, la sonde
doit arriver en A en même temps que Mars. Déterminer alors littéralement, puis numériquement l’angle β (on
donnera l’expression de β en fonction de vM , rM et ∆T ).
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III.
Orbite autour de Mars
En A on utilise de nouveau la propulsion de la sonde pour stabiliser la position de cette dernière et pour qu’elle
reste ainsi en orbite autour de Mars. Un fois la sonde en orbite circulaire, à une distance r0 du centre de Mars, la
sonde ne ressent quasiment plus l’attraction gravitationnelle du Soleil ou de la Terre.
La sonde ne présente pas de symétrie sphérique, elle se compose de deux modules sphériques de masse égale m{2
dont les barycentres se situent en P1 et P2 . Ces deux modules sont reliés par une liaison de masse négligeable devant
m. On note G le barycentre totale de la sonde, et on note GP1 “ GP2 “ h.
C’est donc G qui décrit une orbite circulaire de rayon r0 autour de Mars. On considére de plus que le mouvement
autour de Mars se fait de telle sorte à ce que les points P1 , G et P2 soient à tout temps alignés sur un axe comprenant
le centre de Mars (voir figure 1.3).
r0 ` h
r0
r0 ´ h
G
P1
Centre de Mars
P2
Figure 1.3 – Description en détail de l’orbite de la sonde après satellisation autour de Mars.
15) Donner la vitesse de rotation ω de la sonde autour de Mars en fonction de mM , r0 et G. Application numérique
pour r0 “ 3.5 106 m.
16) Pour la durée de la mission, on suppose le référentiel lié à Mars galiléen. Le mouvement de P1 se fait donc sous
Ñ́
l’attraction gravitationnelle de Mars et sous une force de réaction R du au second module et transmise par la
´´´Ñ
´´´Ñ
Ñ́
P1 P2
liaison. Cette force est colinéaire à P1 P2 , on la note R “ R
. Donner l’expression de R en fonction de G,
2h
r0 , m, mM et h.
17) Simplifier cette expression en remarquant que pour h “ 10 m, on a h ! r0 . Faire alors l’application numérique.
La structure de la sonde est-elle mise en péril par cette force de réaction ?
Exercice - Etude d’un Ressort
y
Ñ́
eθ Ñ́
er
M
O
θ
x
Figure 1.4 – Système avec ressort étudié.
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Le mouvement est étudié dans le référentiel du laboratoire assimilé à un référentiel galiléen et associé à un repère
Oxyz. Un palet M de masse m peut se mouvoir sans frottement dans le plan Oxy horizontal (table à coussin d’air
Ñ́. La masse m est accrochée à l’extrémité
par exemple). Le champ de pesanteur est suivant la verticale Oz : Ñ́
g “ ´g u
z
d’un ressort (point M ) de longueur à vide `0 , de raideur k , dont l’autre extrémité est fixée en O. La position de M
Ñ́
Ñ́
est repérée dans la base cartésienne dont les vecteurs unitaires sont notés i et j qui correspondent respectivement
aux directions de x et y du schéma 1.4 ; ou bien dans la base polaire, représentée sur le schéma :
´´Ñ
Ñ́
Ñ́
OM “ x i ` y j “ rÑ́
er .
´Ñ
1) Faire un bilan des forces et montrer que le moment cinétique par rapport à O, noté LO , de la masse m est
conservé.
´´´Ñ ´´Ñ
Ñ́
Ñ́
2) On lance la particule d’un point OM0 “ OM pt “ 0q “ `1 i , avec une vitesse initiale Ñ́
v0 “ `1 ω j , orthogonale à
´´´Ñ
OM0 . Dans la suite, on travaillera en coordonnées polaires dans le plan Oxy.
´Ñ
dθ
puis en fonction des conditions initiales et des vecteurs de bases.
(a) Donner LO d’abord en fonction de r et
dt
´Ñ
On notera dans la suite L la module de LO .
(b) Rappeler l’expression de l’énergie potentielle élastique. Doit-on tenir compte de l’énergie potentielle de
pesanteur pour étudier le mouvement ? Montrer qu’il y a conservation de l’énergie mécanique, Em .
(c) Donner l’expression de Em d’abord en fonction des données initiales, puis en fonction de m, k, `0 , r, θ et
leur dérivés temporelles.
(d) Montrer que l’on peut la mettre sous la forme :
1 ´ dr ¯2
Em “ m
` Eef f prq,
2
dt
où l’on donnera l’expression de l’énergie potentielle effective Eef f . Tracer l’allure de Eef f prq.
(e) La masse peut-elle s’éloigner infiniment loin de l’origine ?
(f) La vitesse de la particule peut-elle s’annuler au cours du mouvement ?
3) Trouver la condition entre `1 et ω pour que le mouvement soit circulaire. (On pourra remarquer que dans ce cas
le mouvement est uniforme). Cette relation est-elle valable pour tout ω ?