APTITUDE NUMERIQUE IFSI - Réussir les Concours Infirmiers

Beltrame Stéphane
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APTITUDE NUMERIQUE
IFSI
cos²a + sin² a = 1
(a+b)² = a² + 2ab +b²
(a-b)² = a² - 2ab + b²
(a-b) (a+b) = a² - b²
Table des matières
1 Opérations de base
2 Nombres relatifs
3 Division entière
4 La décomposition en facteur(s) premier(s) d' un nombre entier
5 Fraction
6 Puissance
7 Racine carrée
8 Identités remarquables
9 Développement / Factorisation
10 Pourcentages
11 Proportionnalité
12 Mesures, Conversions d’unités
13 Résolutions d’équations du premier degré à une inconnue
14 Résolutions d’un système d’équations du premier degré
à deux inconnues
p1
p5
p7
p 11
p 13
p 20
p 22
p 25
p 26
p 28
p 31
p 34
p 38
p 38
p 42
Beltrame Stéphane
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Les opérations de base
1 Les ensembles
Il existe principalement 4 ensembles qui sont ceux avec lesquels nous travaillons le plus souvent.
Ces ensembles sont :
ℕ : ensemble des entiers naturels.
ℕ = {0,1,2,3,4,…,10,…}
ℤ : ensemble des entiers relatifs.
ℤ = {…,-10,…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…,10,…}
ℚ : ensemble des nombres rationnels (nombres pouvant se mettre sous forme de fraction).
ℚ = {…,-1/3,…,0,…,2/3,…,2,…}
1 appartient à ℚ car 1 = 1/1, de même, 2 = 2/1 et ainsi de suite pour tous les entiers.
ℝ : ensemble des nombres réels.
ℝ = {…,-200,…,-5/2,…,-3,…,0,…,∏,…, 27 ,…}
Il ne faut pas oublier que : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ (où ⊂ signifie est inclus dans)
Exemple : 2 appartient à ℕ donc à ℤ , à ℚ et à ℝ .
∏ appartient à ℝ mais pas aux autres.
ℝ
ℚ
ℤ
ℕ
1
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2 Les 4 opérations de base
1. Addition.
Propriétés :
• Commutativité : l’addition de deux nombres réels est indépendante de l’ordre de ses
termes.
Soient a et b, a + b = b + a
Exemple : 5 + 3 = 3 + 5
8 = 8
• Associativité : quelques soient les entiers a, b, c :
(a + b) + c = a + (b + c)
Exemple : (3 + 2) + 5 = 3 + (2 + 5)
5 +5=3+ 7
10 = 10
Techniques opératoires
Somme de deux nombres sans retenue
323
+465
788
unité 3 + 5 =8
dizaine 2 + 6 = 8
centaine 3 + 7 = 8
Somme de deux nombres avec retenue
1
1 9 9 1
+1034
2025
unité 1 + 4 = 5
dizaine 9 + 3 = 12 soit 2 dizaines et 1 centaine
centaine 9 + 1 (retenue) = 10 soit 0 centaines et 1 millier
millier 1 + 1(retenue) = 2 milliers
2
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2. Soustraction.
Cette méthode de calcul sera abordée en détails dans le chapitre concernant les nombres relatifs.
Technique opératoire
Exemple :
8 11 8
- 644
174
8–4=4
11 – 4 = 7
8 – 6 –1 = 1
3. Multiplication.
Propriétés :
• Commutativité : le produit de deux nombres réels est indépendant de l’ordre de ses
facteurs.
Soient a et b, a x b = b x a
Exemple : 3 x 4 = 4 x 3
12 = 12
•
Associativité : soient a,b,c :
(a x b) x c = a x (b x c)
Exemple : (3 x 4) x 2 = 3 x (4 x 2)
8
12 x 2 = 3 x
24 =
24
Technique opératoire
148
x 23
444
296.
3404
3 x 148 = 444
2 x 148 = 296
unité 4 + 0 = 4
dizaine 6 + 4 = 10
centaine 9 + 4 + 1 = 14
milliers 2 + 1 =3
Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition
Soient a, b, c : a x (b + c) = a x b + a x c
Exemple : 4 x (3 + 2) = 4 x 3 + 4 x 2
4 x 5 = 12 + 8
20
=
20
3
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Règles de priorité
La multiplication est prioritaire sur l’addition et la soustraction.
Exemple : 1 + 5 x 4 = 1 + (5 x 4) = 1 + 20 = 21
4. Division.
Dividende Diviseur
Reste
Quotient
Règles de priorité
La division est prioritaire sur l’addition et la soustraction.
Exemple : 3 - 4 : 2 = 3 - ( 4 :2) = 3 – 2 = 1
Technique opératoire
Exemple : 324
-30
24
-20
40
-40
0
5
64,8
5. Règles de priorité entre la division et la multiplication.
Ces deux opérations ont le même ordre de priorité. Dans ce cas, les calculs s’effectuent dans le
sens de la leture.
Dans un calcul contenant des parenthèses et/ou des crochets, il faut d’abord effectuer les
calculs dans ces parenthèses ou crochets en respectant les règles de priorité.
4
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Nombres relatifs
1. Valeur absolue ou distance à zéro.
La fonction distance à zéro (ou valeur absolue) de a est notée de la façon suivante | a | . Elle
supprime le signe négatif du nombre a pour le rendre positif .En d'autres termes :
| a | = a si a est positif
| a | = - a si a est négatif
-6
-5
-4
Ex | 3 | = 3
Ex |-3 | = 3
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
2. Addition de deux nombres relatifs.
2.1 Nombres relatifs de même signe
Tout d’abord, on reporte le signe commun aux deux nombres puis on additionne leurs
distances à zéro (ou valeurs absolues).
Exemples :
(-13) + (-36) = - ( | -13 | + | -36 | ) = - ( 13 + 36 ) = - 49
(-24) + (- 52) = - ( | -24 | + | -52 | ) = - ( 24 + 52 ) = - 76
-17 – 123 = - ( | -17 | + | -123 | ) = - ( 17 + 123 ) = - 140
(+72) + (+12) = + ( | +72 | + | +12 | ) = + ( 72+12 ) = + 84
-39 – 58 = - ( | -39 | + | -58 | ) = - ( 39 + 58 ) = - 97
-56 – 32 = - ( | -56 | + | -32 | ) = - ( 56 + 32 ) = - 88
33 + 38 = + ( | 33 | + | 38 | ) = + ( 33 + 38 ) = + 71
- 25 - 45 = - (25 + 45 ) = - 70
- 137 – 110 = - (137 + 110 ) = - 247
- a – b = - ( | -a | + | -b | )
2.2 Nombres relatifs de signe opposé (différent)
Tout d’abord, on reporte le signe du nombre le plus grand ‘par rapport aux distances à zéro’ (ou
le plus grand en valeur absolue) puis on soustrait la plus grande distance à zéro (plus grand
nombre en valeur absolue) à la plus petite distance à zéro (au plus petit nombre en valeur
absolue).
Exemples :
( -15 ) + ( +7 ) = - ( | -15 | - | +7 | ) = - ( 15 – 7 ) = - 8
( -36 ) + ( + 41) = + ( | +41 | - | -36 | ) = + ( 41 – 36 ) = + 5
5
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23 – 44 = - ( | -44 | -| +23 | ) = - ( 44 – 23 ) = - 21
39 – 52 = - ( | -52 | - | +39 | ) = - ( 52 – 39 ) = - 13
-73 + 54 = - ( | -73 | - | +54 | ) = - ( 73 – 54 ) = - 19
-44 + 52 = + ( | +52 | - | -44 | ) = + ( 52 – 44 ) = + 8
70 –73 = - ( | -73 | - | +70 | ) = - ( 73 - 70 ) = - 3
- 45 + 12 = - ( | -45 | - | +12 | ) = - ( 45 -12 ) = - 33
3. Multiplication de deux nombres relatifs.
3.1 Nombres relatifs de même signe
Il suffit de multiplier les deux nombres sans tenir compte des signes.
Exemples :
(-7) x (-8) = 7 x 8 = 56
(-7) x (-9) = 7 x 9 = 63
(+8) x (+9) = 8 x 9 = 72
-4 x (-8) = 4 x 8 = 32
3.2 Nombres relatifs de signe opposé (différent)
On reporte le signe moins puis on multiplie ‘les distances à zéro’ (les valeurs absolues) des
deux nombres.
Exemples :
(-8) x 8 = - ( | -8 | x | +8 | ) = - ( 8 x 8 ) = - 64
9 x (-6) = - ( | +9 | x | -6 | ) = - ( 9 x 6 ) = - 54
-7 x 6 = - ( | -7 | x | +6 | ) = - ( 7 x 6 ) = - 42
3.3 Règles des parenthèses
-(-a)=+a=a
+ (+ a ) = + a = a
Ex : - (-14) = +14 = 14
Ex : + (+72) = +72 = 72
-(+b)=-b
+ (- b ) = - b
Ex : - (+24) = -24
Ex : + (-36) = -36
-(a-b-c+d)=-a+b+c–d
Ex : - ( 2+3 +2 –4) = -2 –3 –2 +4
Quand il y a un signe moins devant une parenthèse, cela revient à enlever la parenthèse et à
inverser les signes de chacun des nombres.
+(a-b-c+d)=a-b-c+d
Ex : + ( 2+3 +2 –4) = 2+3 +2 –4
Quand il y a un signe plus devant une parenthèse, cela revient uniquement à enlever la
parenthèse.
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Division entière
Définition 1: Un nombre entier a est un diviseur du nombre entier b s’il existe un nombre entier
n tel que : b = a x n
Définition 2 : Un nombre entier a est divisible par un nombre entier non nul b si et seulement si
b est un diviseur de a ,c’est à dire s’il existe un nombre entier n tel que : a = b x n
Exemples:33 est divisible par 3 car 33 = 3 x 11
33 est divisible par 11 car 33 = 11 x 3
21 est divisible par 3 et par 7 ( 21 = 3 x 7)
24 est divisible par 3,par 2 (24 = 3 x 2 x 2 x2)
1. Division entière par 2 (reste = 0 et quotient est entier).
Un nombre est divisible par deux (reste = 0 et quotient est entier) si et seulement si
l'unité de ce nombre est un nombre pair ( { 0;2;4;6;8 } )
Exemples :
2 456 : l'unité de 2 456 est 6, 6 est un nombre pair, 2 456 est nombre pair donc 2 456
est divisible par deux (reste = 0 et quotient est entier)
244 : l'unité de 244 est 4, 4 est un nombre pair, 244 est nombre pair donc 244 est
divisible par deux (reste = 0 et quotient est entier)
1 457 : l'unité de 1 457 est 7 , 7 est un nombre impair, 1 457 est nombre impair donc
1 457 n'est pas divisible par deux (reste ≠0 et quotient est entier)
2. Division entière par 3 (reste = 0 et quotient est entier).
Un nombre est divisible par trois (reste = 0 et quotient est entier) si et seulement si
la somme de l'unité, dizaine, centaine, millier, dizaine de millier, etc. de ce nombre est égale à un
nombre divisible par trois (reste = 0 et quotient est entier) .
Exemples :
12 324 : l'unité = 4, dizaine = 2 , centaine =3 , millier = 2 dizaine de millier = 1
la somme de l'unité, dizaine, centaine, ... est égale 4+2+3+2+1 ( = 12 ) .
12 divisé par trois égale quatre (reste = 0 et 4 est un quotient entier)
donc 12 324 est divisible par trois .
321 : l'unité = 1, dizaine = 2 , centaine =3 ,la somme de l'unité, dizaine, centaine est
égale 1+2+3 ( = 6 ) .6 divisé par trois égale deux (reste = 0 et 2 est un quotient entier )
donc 321 est divisible par trois .
323 : l'unité = 3, dizaine = 2 , centaine =3, la somme de l'unité, dizaine, centaine est
égale 3+2+3 ( = 8 ) .
7
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8 divisé par trois égale 2,666 (reste = 2 et 2 est un quotient entier ) donc 323 n'est pas
divisible par trois .
ATTENTION: Cette règle ne fonctionne que pour des nombres divisibles par trois ou neuf mais
surtout pas pour 7 ou d'autres.
3. Division entière par 9 (reste = 0 et quotient est entier).
( Même règle que la division entière par 3 en remplaçant trois par neuf)
Un nombre est divisible par neuf (reste = 0 et quotient est entier) si et seulement si
la somme de l'unité, dizaine, centaine, millier, dizaine de millier, etc. de ce nombre est égale à un
nombre divisible par neuf (reste = 0 et quotient est entier)
Exemples :
12 384 : l'unité = 4, dizaine = 8 , centaine =3 , millier = 2 dizaine de millier = 1
la somme de l'unité, dizaine, centaine, ... est égale 4+8+3+2+1 ( = 18 ) .18 divisé par
neuf égale deux (reste = 0 et 2 est un quotient entier ) donc 12 384 est divisible par
neuf .
2 799 : l'unité = 9, dizaine = 9 , centaine =7 , millier = 2
la somme de l'unité, dizaine, centaine, ... est égale 9+9+7+2 ( = 27 ) . 27 divisé par
neuf égale trois (reste = 0 et 3 est un quotient entier ) donc 2 799 est divisible par neuf .
ATTENTION: Cette règle ne fonctionne que pour des nombres divisibles par trois ou neuf
mais surtout pas pour 7 ou d'autres.
4. Division entière par 5 (reste = 0 et quotient est entier).
Un nombre est divisible par cinq (reste = 0 et quotient est entier) si et seulement si
ce nombre finit par 5 ou 0 .
Exemples :2 455 : l'unité de 2 455 est 5, donc 2 455 est divisible par cinq (reste = 0 et quotient
est entier)
1 450 : l'unité de 2 450 est 0, donc 1 450 est divisible par cinq (reste = 0 et quotient est
entier)
5. Division entière par 10 (reste = 0 et quotient est entier).
Un nombre est divisible par dix (reste = 0 et quotient est entier) si et seulement si
ce nombre finit par 0 .La division entière par 10 revient à retirer le 0 de l'unité.
Exemple :
8
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1 450 : l'unité de 1 450 est 0, donc 1 450 est divisible par cinq (reste = 0 et quotient
est entier.
(1 450 divisé par 10 est égal à 145 )
ATTENTION : Si 10 est diviseur d'un nombre alors 2 et 5 le sont aussi (car 5 x 2 =10).
De même si 9 est diviseur d'un nombre alors 3 l'est aussi (car 3 x 3 =9).
Un nombre est divisible par 100 si son chiffre des dizaines et son chiffre des unités est 0
Exemple :
1200 : unité de 1200 est 0 et dizaine est 0, donc 1200 est divisible par 100
(1200 = 12 x 100 )
6. Division entière par 11 (reste = 0 et quotient est entier) d'un nombre inférieur à
1 000.
Un nombre inférieur à 100 est divisible par onze (reste = 0 et quotient est entier ) si et
seulement si l'unité est égale à la dizaine .
Exemple :
99 : unité = 9 dizaine = 9
unité = dizaine donc 99 est divisible par 11 (reste =0 et quotient est entier).
Un nombre supérieur à 100 et inférieur à 1 000 est divisible par onze (reste = 0 et
quotient est entier) si la somme de l'unité et centaine est inférieure strictement à 10 et est égale à
la dizaine . Ce nombre est égale à {centaine unité} fois 11.(Premier cas)
sinon si la somme de l'unité et centaine est supérieure ou égale à 10 et la somme de l'unité
et de la centaine moins 11 est égale à la dizaine . Ce nombre est égale à { [centaine -1]
unité} fois 11 .( Deuxième cas)
Premier cas
x
Deuxième cas
45
11
45
45•
495
x
39
11
139
39•
429
Exemples :
Premier cas : 275 ( unité =5 , centaine = 2 , dizaine =7 )
5+2 =7 (unité + centaine = dizaine et unité + centaine < 10)
donc 275 est divisible par 11.
ce nombre est égale à {centaine unité} fois 11 donc (25) fois 11 .
792 (2+7 =9 , unité + centaine = dizaine
donc792 = 72 x 11)
Deuxième cas 209 ( unité =9 , centaine = 2 , dizaine =0 )
9
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9+2 =11 (unité + centaine ≥10)
9+2-1 =10 , unité de 10 est égale à 0
unité( unité + centaine-1 ) = dizaine
donc 209 est divisible par 11.
ce nombre est égale à{[centaine-1] unité} fois 11
donc (19) fois 11 .
737 (7+7 -1 =13 , 13 est strictement supérieur à 10 , l’unité de 13 est
égale à 3 ,donc 737 = 67 x 11)
7. Division entière par 11, méthode générale
Un nombre est divisible par 11 si la différence entre la somme des chiffres de rangs
impairs et la somme des chiffres de rangs pairs est un multiple de 11.
Exemples :
Nombre
1 837
637 483
12 485
30 451
Somme des
chiffres de rangs
pairs
7 + 8 = 15
3 + 4 + 3 = 10
1 + 4 + 5 = 10
1+4+3=8
Somme des
chiffres de rangs
impairs
3+1=4
8 + 7 + 6 = 21
2 + 8 =10
0+5=5
Différence
Divisibilité par 11
15 – 4 = 11
21 – 10 = 11
10 – 10 = 0
8-5=3
oui
oui
oui
non
8. Division entière par 4 (reste = 0 et quotient est entier).
Un nombre est divisible par 4 (reste = 0 et quotient est entier) si le nombre constitué par le
chiffre des unités et le chiffre des dizaines est divisible par 4 ou si les deux chiffres sont des 00
Exemples : 4 328 est divisible par 4 en effet 28 = 7 x 4
524 est divisible par 4 en effet 24= 6x 4
9. Division entière par 25 (reste = 0 et quotient est entier)
Un nombre est divisible par 25 si le nombre constitué par le chiffre des unités et le chiffre
des dizaines est 25 ; 50 ; 75 ou si ces deux chiffres sont des 0
Exemples : 675 ; 100 ; 325 ; 550 .
10
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La décomposition en facteur(s) premier(s) d' un nombre entier.
1. Définitions d'un nombre premier:
1) Un nombre premier n'est divisible (sous entendu division entière donc reste =0 et le
quotient est entier) que par lui même et par 1. Le nombre 1 n'est pas considéré comme un
nombre entier .
2) Un nombre premier n'est pas divisible par les autres nombres premiers qui le précèdent.
Exemples : 2 ; 3 ; 5 ;7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31; 37 ;41 ; 43 ; 47 .......
2. décomposition en facteur(s) premier(s) d'un nombre.
i) tout d'abord repérer tous les diviseurs du nombre en question en utilisant les
méthodes citées dans les paragraphes 1 à 8 , chapitre division entière.
ii) diviser par le diviseur le plus simple et mettre le diviseur dans une liste de facteurs.
Puis appliquer de nouveau i) au nombre trouvé jusqu'à ce que i) ne fonctionne plus.
(sachant que nous retrouverons au moins les diviseurs qui n'ont pas été utilisés).
iii) si le nombre trouvé n'est pas un nombre premier alors diviser successivement par les
nombres premiers 7 , 13 ,17 ,19 , 23 ... .Si l'un ou plusieurs de ces diviseurs donne un reste
= 0 et un quotient qui est entier alors les ajouter à la liste des facteurs. Si le quotient trouvé
est un nombre premier alors l'ajouter à la liste des facteurs.
iv) Ne pas oublier de décomposer 10 , 9 , en facteurs premiers
10=2 x 5
9 =3 x 3
Exemples :
Décomposition en facteurs premier du nombre entier 52 .
11 , 10 , 9 , 5 , 3 ne sont pas des diviseurs (division entière) de 52, mais par contre 2
est un diviseur de 52 (52 = 26 x 2) donc nous ajoutons 2 à notre liste de diviseurs.
2 est à nouveau le diviseur de 26 ( 26 = 13 x 2 ) nous rajoutons de nouveau 2 à notre
liste de diviseurs .
13 s'avère être un nombre premier donc nous ajoutons 13 à notre liste de diviseurs.
Représentation symbolique de la décomposition en facteurs premiers de 52
nombre de départ liste des diviseurs
ou nouveau nombre
52
26
13
1
| 2
| 2
| 13
|
La décomposition en facteurs premiers de 52 est égale 2 x 2 x 13 ( 52 = 2² x 13) .
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Décomposition en facteurs premier du nombre entier 495 .
10 ,4, 2 ne sont pas des diviseurs (division entière) de 495, mais par contre 11, 9
(donc 3), 5 sont des diviseurs de 495 (495 = 11x45) donc nous mettons 11 dans notre
liste de diviseurs.
45 est divisible par 9 (donc 3) et 5 ( 45 = 5 x 9 ) : nous retrouvons bien les deux
diviseurs 9 et 5 qui n’ont pas été utilisés .
Représentation symbolique de la décomposition en facteurs premiers de 495 .
nombre de départ liste des diviseurs
ou nouveau nombre
495
45
9
1
| 11
| 5
| 9=3x3
|
Attention 9 n'est pas un nombre premier ( 9 = 3 x 3 )
Décomposition en facteurs premiers de 495 : 495 = 11 x 5 x 3 x 3 = 3² x 5 x 11
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Fraction
a
nous appelons numérateur la partie supérieure de la fraction (a),
b
dénominateur la partie inférieure de la fraction (b)
3
Exemple : Pour la fraction le numérateur est égal à 3 et le dénominateur est égal à 2 .
2
Soit la fraction
a
est aussi noté sous les formes a b ou a b .
b
1. Règles sur les fractions par rapport à la multiplication ou la division.
Le produit de deux fractions est une fraction dont le numérateur est le produit des
numérateurs des deux fractions et dont le dénominateur est le produit des dénominateurs
des deux fractions voir iii). Attention avant d’effectuer les deux produits vérifier si on peut la
simplifier voir § 2 .
1) règles sur l'écriture d'une fraction :
i)
a
= 1, ∀ a ≠ 0
a
Ex :
7
=1
7
ii)
a 1
= × a, ∀ c ≠ 0
c c
Ex :
8 1
= ×8
7 7
iii)
a×b a b
2×3 2 3
= ×
= × , ∀ c, d ≠ 0
Ex :
5× 7 5 7
c×d c d
b×a b a
3× 2 3 2
= × , ∀ c, d≠ 0
=
=
= ×
c×d c d
5× 7 5 7
b×a b a
= × , ∀ c, d ≠ 0
d×c d c
a×b a b
=
= × , ∀ c, d ≠ 0
d×c d c
=
iv)
a×b a
= × b, ∀ c ≠ 0
c
c
Ex :
v)
a×b b×a b
=
= × a, ∀ c ≠ 0
c
c
c
Ex :
v)
a×b 1
= × a × b, ∀ c ≠ 0
c
c
(la multiplication est commutative)
3× 2 3 2
= ×
7×5 7 5
2×3 2 3
=
= ×
7×5 7 5
=
4 × 25 4
= × 25
9
9
4 × 25 25 × 4 25
=
=
×4
9
9
9
(la multiplication est commutative)
Ex :
2×3 1
= × 2 × 3 (application de la règle
5
5
ii deux fois)
13
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vi)
a
a
=− ,∀b≠0
−b
b
Ex :
3
3
=−
−2
2
vii)
−a
a
=− ,∀b≠0
b
b
Ex :
5
−5
=−
3
3
viii) −
a + b −(a + b) − a − b
=
=
,∀c≠0
c
c
c
a
b = a×d
ix ) c
b c , ∀ b, c, d ≠ 0
d
Ex : −
3 + 2 − (3 + 2) − 3 − 2
=
=
2
2
2
3
5 = 3 × 25 = 3 × 5 × 5 = 3/ × 5/ × 5 = 5
Ex : 9
5 9 5 3 × 3 5/ × 3/ × 3 3
25
Proposition :La valeur d'une fraction reste inchangée si nous multiplions ou divisons le
numérateur et le dénominateur par un même nombre entier non nul.
∀c≠0
a a×b
=
avec b non nul
c c×b
Exemple :
7 7 × 8 56
=
=
9 9 × 8 72
ATTENTION : Les règles ci dessus ne fonctionnent pas si nous remplaçons la
multiplication par l'addition .
Exemple :
4 4 +1
≠
2 2 +1
car
et
4 2×2 2
=
= × 2 = 1× 2 = 2
2
2
2
4 +1 5
= ≈ 1, 666666666.....
2 +1 3
2. Simplification d'une fraction
2.1 Définition d'une fraction irréductible .
14
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Une fraction est irréductible si nous n'avons pas au numérateur et dénominateur
un diviseur commun dans leurs produits de facteurs.
Exemples :
7 25 12 9
, ,
, .
2 6 11 2
2.2 Définition d'une fraction réductible
Une fraction est réductible si nous avons au numérateur et dénominateur au
moins un diviseur commun dans leurs produits de facteurs.
Exemples :
16 2/ × 8 8 2/ × 4 4
=
= =
=
12 2/ × 6 6 2/ × 3 3
16
8
4
puis en
: est une fraction réductible en
12
6
3
27 3/ × 9
9 3/ × 3 3
=
=
=
=
36 3/ × 12 12 3/ × 4 4
27
9
3
: est une fraction réductible en
qui est réductible en qui est cette fois ci irréductible.
36
12
4
2.3 Méthode pratique pour simplifier une fraction
Pour simplifier une fraction et trouver la fraction irréductible qui lui est égale, il faut
diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction donnée par le PGCD (Plus Grand
Commun Diviseur) du nombre au numérateur et du nombre au dénominateur .
Le PGCD de deux ou plusieurs nombres entiers non nul est le produit de facteurs
premiers communs, chacun d’eux étant affecté du plus petit exposant sous lequel il figure .
126
126 = 2 x 3² x 7
54
le PGCD ( 126 ; 54 ) = 2 x 3² = 2 x 9 =18
Exemple :
54 = 2 x 33
126 : 18 7
=
54 : 18 3
15
Beltrame Stéphane
Version 03.02
2.4 Il est aussi possible de simplifier directement les décompositions en produits de
facteurs premiers .
/ x7 7
126 2/ x 3²
=
=
/ x3 3
54
2/ x 3²
ATTENTION AU PIEGE : Quand nous avons une fraction qui ressemble à
sommes tentés de simplifier la fraction de la manière suivante
est faux et même extrêmement faux . Pourquoi ?
Voici la reponse : nous avons
0,44 ≠ 1.
3× 4
nous
9+3
3/ × 4 4
= or il s'avère que cela
9 + 3/ 9
3 × 4 12
4
qui est égale à 1 ! Et nous avons , soit environ
=
9 + 3 12
9
Voici la réponse exacte : nous avons l'opérateur plus au dénominateur or il s'avère qu'il aurait
fallu avoir l'opérateur multiplier pour pouvoir simplifier.
Donc la simplification est possible uniquement pour un produit de facteurs en commun
au numérateur et dénominateur .
3. Comparaison de deux fraction .
3.1. Cas particuliers :
Si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit
dénominateur .
Exemple : 13/8 est une fraction supérieure à 13/25 car 8 est plus petit que 25
on écrit 13/8 > 13/25
Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand
numérateur .
Exemple 7/3 est une fraction supérieure à 4/3 car 7 est plus grand que 4
on écrit 7/3 > 4/3
3.2 Cas général
Pour comparer deux fractions on les réduit généralement au même dénominateur. Le
dénominateur commun à deux fractions est un multiple commun de leurs dénominateurs.
Afin que les calculs soient plus simples, nous choisirons comme dénominateur commun le
PPCM des dénominateurs des deux fractions. Voir § 4.2.
16
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Exemple : 12/9 et 5/3 Le PPCM (9 ;3) est 9 d’où 5/3 = 15/9 or 12/9 < 15/9
on a donc 12/9 < 5/3
4. Règles sur les fractions par rapport à l'addition et la soustraction.
Proposition : Nous pouvons additionner ou soustraire deux fractions si et seulement si
elles ont le même dénominateur . Alors nous additionnons ou nous soustrayons les deux
numérateurs des fractions tout en conservant le même dénominateur .
4 5 9
+ = =1
9 9 9
Exemple :
4.1 Méthode pas très efficace
Pour additionner ou soustraire deux fractions qui possèdent des dénominateurs différents, il
faut d'abord trouver un dénominateur commun aux deux, puis effectuer l'addition .
Comment trouver un dénominateur commun à deux fractions ?
a
c
Quand nous avons deux fractions et il suffit de multiplier la première fraction par d et la
b d
deuxième par b , alors nous avons b x d comme dénominateur commun .
a c a×d c×b a×d+c×b
=
+ =
+
b d b×d d×b
d×b
8 9 8 × 16 3 × 9 8 × 16 + 3 × 9 128 + 27 155
+
+ =
=
=
=
(fraction irréductible)
48
48
3 16 3 × 16 3 × 16
3 × 16
Exemples :
Cette méthode n'est pas très efficace lorsqu'il s'agit de dénominateurs grands qui
possèdent beaucoup de facteurs premiers en commun .
Exemple :
7 3 7 × 16 8 × 3 7 × 16 + 8 × 3 112 + 24 136
+ =
+
=
=
=
(fraction
8 16 8 × 16 8 × 16
8 × 16
128
128
réductible )
136 2/ × 68 2/ × 34 2/ × 17 17
=
=
=
=
car
128 2/ × 64 2/ × 32 2/ × 16 16
4.2 Autre méthode pour trouver un dénominateur commun. (TRES EFFICACE)
Pour minimiser le risque d'erreurs de calcul et le nombre de calculs, nous cherchons le
dénominateur commun le plus petit qui se trouve être le PPCM (plus petit commun
multiple) des deux dénominateurs de nos fractions.
17
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Définition du PPCM : Le PPCM de deux ou plusieurs nombres entiers non nuls est le
produit de tous les facteurs premiers communs ou non aux décompositions de ces
nombres affectés, pour chacun d’eux, du plus grand exposant sous lequel ils figurent .
Ainsi pour trouver le PPCM, nous utilisons la méthode de la décomposition en facteurs
premiers.( Voir paragraphe § 2 p.11)
Exemple :
792 | 11
72 | 9 (3 x3 )
8 | 8 (2 x 2 x 2)
1|
836 | 11
76 | 2
38 | 2
19| 19
1
Donc :
792 = (2)3 x (3)² x (11)1
836 = (2)² x
(11)1 x (19)1
Le PPCM contient tous les facteurs premiers de chaque nombre à la puissance la
plus élevée :
pour le facteur premier "2" -> la puissance la plus élevée est "3"
[car "2" est à la puissance 3 dans 792 et à la puissance 2 dans 836]
pour le facteur premier "3" -> la puissance la plus élevée est "2"
[car "3" est à la puissance 2 dans 792 et à la puissance 0 dans 836]
pour le facteur premier "11" -> la puissance la plus élevée est "1"
[car "11" est à la puissance 1 dans 792 et à la puissance 1 dans 836]
pour le facteur premier "19" -> la puissance la plus élevée est "1"
[car "19" est à la puissance 0 dans 792 et à la puissance 1 dans 836]
Le PPCM est donc :
(2)3 x (3)² x (11)1 x (19)1 = 15 048
= 792 x (19)1 = 836 x [ (2)1 x (3)² ] = 836 x 18
Il vaut mieux avoir 15 048 pour dénominateur commun que 836 x 792 = 662 112 !
Attention : La fraction trouvée peut être réductible .
Plan pour additionner ou soustraire deux ou plusieurs fractions
1. On simplifie si possible chacune d’elle en les rendant irréductibles (méthode de la
décomposition en facteurs premiers ou du PGCD) Voir paragraphe § 2.4 ou § 2.3
18
Beltrame Stéphane
Version 03.02
2. On les réduit au même dénominateur (méthode de la décomposition en facteurs premiers
ou du PPCM) Voir paragraphe § 4.2
3. On additionne ou l’on soustrait les numérateurs tout en conservant le même dénominateur
commun
4. On simplifie éventuellement la fraction en la rendant irréductible Voir paragraphe § 2.4
ou § 2.3 .
Exemple :
16 4 3
3
2/ x 2 3
2/ ²
+
− =
+
−
30 36 5 2/ x 3 x 5 2/ ² x 3² 5
23
1 3
=
+ −
3 x 5 3² 5
23
3
1 5
3 3²
=
x +
x
- x
3x5 3
3² 5
5 3²
3
3
2 x3
5
3
=
+
−
3² x 5 3² x 5 3² x 5
2 3 x 3 + 5 - 33 24 + 5 - 9
=
=
3² x 5
3² x 5
20
2² x 5/ 2²
=
=
=
3² x 5
3² x 5/ 3²
4
=
9
19
On applique 1
On applique 2
On applique 3
On applique 4
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Puissance
Règles de calcul
i ) an = a x a x a x ............................ x a x a
\____________ _____________/
\/
n fois
Ex : 3 5 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
\_____ ____/
\/
Il y a 5 fois le multiple de 3
ii ) a0 = 1
Ex : 1810 = 1
iii ) a1 = a
Ex : 1231 = 123
iv ) aP x aQ = a P+Q
Ex : 32 x 33 = 3 2+3 = 3 5
v ) (a x b)n = an x bn
Ex : (3 x 2)4 = 34 x 24
vi ) (aP)Q = a PxQ
Ex : (22)3 = 2 2 x 3 = 2 6
vii ) a-n = 1 avec a≠0
an
Ex : 3-1 = 1 = 1
31 3
Démontrons la formule vii) avec la formule iv)
Nous substituons n à P et -n à Q dans iv)
cela donne : an x a-n = an+(-n)
= an-n
= a0
=1
n
alors nous avons a x a-n = 1 que nous nommons eq 1
1 x an x a-n = 1 x 1 (nous avons multiplié eq 1 par 1 )
an
an
an
donc a-n = 1
an
viii ) (-a)2n = a2n
2n signifie que la puissance de a est paire .
dem : (-a)2n = ((-a)²)n d’après vi)
= (a²)n
= a2n d’après vi)
ix) (-a)2n+1 = -a2n+1
2n+1 signifie que la puissance de a est impaire .
dem : (-a)2n+1 = (-a)²n(-a)1 d’après iv)
= -(a )(a²)n =-a2n+1
Remarque :
20
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Un nombre positif à une puissance quelconque est toujours positif.
Un nombre négatif : -à une puissance paire (2; 4; 6;...) est toujours positif.
- à une puissance impaire (3; 5; 7;...) est toujours négatif.
5
Ex (-3) = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 3 x 3 x 3 x 3 x (-3) = -243 = (-1)5 x (3)5
21
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Racine carrée
a=x
nul.
a est un nombre toujours positif ou nul ( a ∈ℜ + ) et x est aussi toujours positif ou
Avec x vérifiant : x² = a
En d'autres termes, la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas .
1. Relation entre une racine carrée et une puissance
a = a1/2
donc nous avons les mêmes relations qu'avec les puissances.
2. Relations des racines carrées
i)
0=0
ii)
1=1
iii)
a² = a et
Ex :
( a ) 2 = a a ≥ 0 avec "a" positif
iv)
a × b= a ×
Ex : ( 3 ) 2 = 3 car 3 > 0
Ex :
b
( −3)² = − 3 = 3
6= 3 × 2= 3 ×
2
v) c a + b a = (c + b) a (attention Ex : a + a = 2 a ≠ a ) Ex : 3 5 + 6 5 = 9 5
vi) c × ( a + b) = c a + c × b
vii) a 2n = a
n
Ex : 2 × ( 3 + 5) = 2 3 + 2 × 5 = 2 3 + 10
Ex :
(− 3)6
=
(− 3)2×3
3
= − 3 = 33
3
5 6 = 5 2×3 = 5 = 5 3
2n signifie que la puissance de a est paire .
Démonstration de vii)
a 2n = a 2 x n = (a 2 ) n =
= a
n
(a )
2 n
=
a
2xn
=
a
nx2
=
d' après iii)
Ex : ( 5 ) 8 = ( 5 ) 2 × 4 = 54
viii) ( a ) 2 n = a n avec "a" positif
2n signifie que la puissance de racine de a est paire .
même type de démonstration vii)
22
(a )
n 2
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Ex : 2 15 = 2 2 × 7 +1 = 2 7 2 = 128 2
ix) a 2n+1 = a n a avec "a" positif
2n+1 signifie que la puissance de racine de a est impaire .
Démonstration de ix)
a 2n+1 = a n × 2 × a
= a 2n × a d'après iv)
= an × a
d'après vii)
Ex : ( 2 ) 15 = ( 2 ) 2 n+1 = 2 7 2 = 128 2
x) ( a ) 2n +1 = a n a avec "a" positif
2n+1 signifie que la puissance de racine de a est impaire .
même type de démonstration ix)
3. Comment enlever la racine carrée au dénominateur d’une fraction
3.1
a
a× b
a b
a b
=
=
=
2
b
b
b × b ( b)
Ex :
3
3× 2
3 2
3 2
=
=
=
2
2
2
2 × 2 ( 2)
3.2
a
a × (b - c d )
a × (b - c d ) a × (b - c d )
=
= 2
=
b² - c² × d
b + c d (b + c d ) × (b - c d ) b - (c d ) 2
Nous nous servons de l'identité remarquable (a - b ) (a + b) = a² - b² pour enlever le
radical au dénominateur. Ici nous multiplions le numérateur et le dénominateur par
b-c d
4
4 × (11 − 5 5 )
4 × (11 − 5 5 ) 4 × (11 − 5 5 ) 4 × (11 − 5 5 )
=
= 2
=
=
121 − 125
112 − 52 × 5
11 + 5 5 (11 + 5 5 ) × (11 − 5 5 ) 11 − (5 5 ) 2
Ex :
4 × (6 − 5 5 ) 4/ × (6 − 2 5 ) 6 − 2 5
=
=
= − ( 6 − 2 5 ) = −2 × ( 3 − 5 )
=
− 4/
−1
−4
Nous avons le cas analogue avec :
a
a × (b + c d )
a × (b + c d ) a × (b + c d )
=
= 2
=
b² - c² × d
b - c d (b - c d ) × (b + c d )
b - (c d ) 2
23
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Ex :
12
3/ × 4
4
4 × (3 + 2 3)
4 × (3 + 2 3 ) 4 × (3 + 2 3 )
=
=
= 2
=
=
9−4×3
9 − 6 2 3/ × (3 − 2 3 ) 3 − 2 3 (3 − 2 3 ) × (3 + 2 3 ) 3 − 2 2 ( 3 ) 2
=
4 × (3 + 2 3 )
4 × (3 + 2 3)
=−
−3
3
de même :
a
a × (b - c )
a × (b - c ) a × (b - c )
=
= 2
=
b² - c
b + c (b + c) × (b - c ) b - ( c ) 2
etc...
Attention : il est possible que la racine se trouvant au dénominateur soit la racine carrée
d'un carré donc il n'y a pas lieu d'utiliser la méthode ci dessus .
a
a
3
3
3
Ex :
=
Ex
numérique
=
=
= −1
b+c×d
2 − 25 2 − 5 − 3
b + c d2
24
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Identités remarquables
1. Identités remarquables des polynômes du second degré
(a + b )² = a² + 2 a b + b²
(a - b )² = a² - 2 a b + b²
(a + b ) ( a - b ) = a² - b²
2. Triangle de Pascal
1
1 3
1 4 6
1 5 10 10
1
2
3
4
5
1
1
1
1
1
1
( coef du 2ième degré )
( coef du 3ième degré )
( coef du 4ième degré )
( coef du 5ième degré )
Explication de la construction du triangle de Pascal
1
1
1
1
1+2
↓
1 3+3
↓
1 4 6+4
↓
5 10 10 5
1
.
1
.
1
.
1
1
1
1+3
↓
1 4+6
↓
5 10 10
1
1+1
↓ .
2+1
↓ .
3+1
↓ .
4+1
↓ .
5 1
3. identités remarquables des polynômes du nième degré de la forme (a + b )n
Le premier terme est de la forme an , le suivant an-1 b, puis an-2 b2 ....... jusqu'à bn .
Les coefficients se situant devant chaque terme sont les coefficients du triangle de pascal se
trouvant à la ligne n+2
Ex : (a + b ) 5 = 1 a5 + 5 a4 b1 + 10 a3 b2 + 10 a2 b3 + 5 a1 b4 + b5
Il en est de même pour (a - b )n sauf à chaque fois que b est à une puissance impaire, le signe
devant le terme se transforme en moins au lieu de plus
Ex : (a - b ) 5 = 1 a5 + 5 a4 x (- b)1 + 10 a3 b2 + 10 a2 x (- b)3 + 5 a1 b4 + (- b)5
= 1 a5 - 5 a4 b1 + 10 a3 b2 - 10 a2 b3 + 5 a1 b4 - b5
25
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Développement / Factorisation
1. Développer
Développer c'est transformer un produit de facteurs en somme ou en différence de termes (en
polynôme). C’est le processus inverse de la factorisation.
a × (b + c) = a × b + a × c =ab + ac
Exemple : 3 ×(5a + 4) = 3 × 5a + 3 × 4 =15a + 12 (où 15a = 15 × a)
Ainsi développer consiste à multiplier le terme se trouvant devant ou derrière les parenthèses, crochets,
etc., par tous les autres termes se trouvant dans ces parenthèses (etc.).
Exemple :
(x - 7)(x + 7) = (x – 7) × x + (x – 7) × 7 = x × x – 7 × x + x × 7 – 7 × 7 = x² - 7x + 7x – 49 = x² - 49.
On peut aussi reconnaître l’identité remarquable (a – b)(a + b) = a² - b² et donc dire :
(x - 7)(x + 7) = x² - 49.
2. Factoriser
Factoriser c'est transformer un polynôme en un produit de polynômes (ou transformer une somme ou
une différence en produit de facteurs). C’est le processus inverse du développement.
Pour factoriser, on utilise le plus souvent les identités remarquables si c’est possible sinon on utilise la
méthode suivante :
1. on recherche le facteur commun à chacun des termes de l’expression.
2. on met ce facteur commun en évidence dans chaque terme de l’expression.
3. on le met au début de l’expression, on ouvre une parenthèse et on écrit ensuite la somme et/ou la
différence des termes restants).
4. on recommence jusqu’à ce qu’il n’y ait plus aucun terme commun.
ab + ac = a × b + a × c = a × (b + c)
Exemple : 15a + 12 = 3 × 5a + 3 × 4 = 3 ×(5a + 4) (où 15a = 15 × a)
Premier exemple :
Factoriser A = 15y2 + 12y.
Cette expression est une somme comportant deux termes : 15y2 et 12y.
1. On commence par chercher le facteur commun à chacun de ces deux termes :
26
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Le facteur commun est 3y, car 15y2 = 3y × 5y et 12y = 3y × 4
2. On met ce facteur commun en évidence dans chacun des termes : A = 3y × 5y + 3y × 4
3. On peut écrire A sous la forme d'un produit dont 3y est un facteur.
A = 3y × (5y + 4)
Soit A = 3y (5y + 4)
4. Il n’y a plus aucun terme commun, la factorisation est donc terminée.
Deuxième exemple :
Factoriser A = x3 - 16x.
Cette expression est une somme comportant deux termes : x3 et 16x.
1. On commence par chercher le facteur commun à chacun de ces deux termes :
Le facteur commun est x, car x3 = x × x² et 16x = x × 16
2. On met ce facteur commun en évidence dans chacun des termes : A = x × x² - x × 16
3. On peut écrire A sous la forme d'un produit dont x est un facteur.
A = x × (x² - 16)
Soit A = x (x² - 16)
4. On reconnaît maintenant une identité remarquable de la forme (a – b)(a + b) = a² - b² dans
le deuxième facteur, soit : (x² - 16) = (x – 4)(x + 4).
5. A peut s’écrire sous la forme A = x (x² - 16) = x(x – 4) (x + 4).
6. Il n’y a plus aucun terme commun, la factorisation est donc terminée.
27
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Pourcentages
Le pourcentage est un rapport qui compare le nombre à 100.
Exemple : Exprimer 38/100 sous forme de pourcentage.
On peut dire que cette fraction équivaut à 38 parts sur 100 parts égales, soit 38%.
Le symbole du pourcentage (%) veut dire «pour cent», mais de façon abrégée.
Exemple : Exprimer ¾ sous forme de pourcentage.
En multipliant par 25 le numérateur et le dénominateur de ¾, on obtient la fraction 75/100.
Puisque le dénominateur est maintenant 100, on peut exprimer ceci de façon abrégée en tant que
75 %.
Soit ¾ = 75/100 = 75 %.
Les problèmes de pourcentage sont généralement reliés aux prix, remises, intérêts, impôts,
moyennes, etc.
Calcul d’un prix TTC (Toutes Taxes Comprises) : Pour cela, il faut multiplier le prix HT (Hors
Taxes) par le taux de TVA : Prix TTC = Prix HT + (Prix HT × TVA).
Exemple : Le prix d’un article est de 20 € HT. Sachant que la TVA qui lui est appliquée est de
5,5%, quel est son prix TTC ?
Prix TTC = Prix HT + (Prix HT × TVA)
5,5
11
) = 20 +
= 20 + 1,1 = 21,1 €
soit Prix TTC = 20 + (20 ×
100
10
Calcul du taux de TVA : Le calcul précédent pour le prix TTC nous donne :
PrixTTC
Prix TTC = Prix HT + (Prix HT × TVA) = Prix HT (1 + TVA) soit
= 1 + TVA soit :
PrixHT
PrixTTC
−1.
TVA =
PrixHT
Calcul du montant de l’intérêt : une somme S est placée au taux annuel de TA%. Le but est de
TA
.
calculer l’intérêt annuel (IA) rapporté par ce placement : IA = S ×
100
Exemple : Une somme de 1800€ est placée au taux annuel de 8% pendant un an. Quel est
l’intérêt annuel rapporté par ce placement ?
8
TA
, on trouve : IA = 1800 ×
= 18 × 8 = 144 . L’intérêt
En utilisant la formule : IA = S ×
100
100
annuel est donc de 144€.
28
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Calcul du taux : Une somme S placée pendant un an a rapporté R€. Pour calculer le taux annuel
R
de placement (TA%), il faut effectuer l’opération suivante : TA = × 100 .
S
Exemple : Une somme de 45 000€ placée pendant un an a rapporté 5175€. A quel taux a-t-elle
été placée ?
R
5175
5175
× 100 =
= 11,5 . Le taux
En utilisant la formule : TA = × 100 , on trouve : TA =
S
45000
450
annuel est donc de 11,5%.
Calcul du capital : Pour obtenir un revenu R par an en plaçant une somme S à TA% l’an, quelle
100
×R .
somme faut-il placer ? Le calcul à effectuer est le suivant : S =
TA
Exemple : Pour obtenir un revenu de 54000€ par an en plaçant une somme à 9% l’an, quelle
somme faut-il placer ?
100
100
5 400 000
× R , on trouve : S =
× 54000 =
= 600 000 . Il faut
En utilisant la formule : S =
TA
9
9
donc placer 600 000€.
29
Beltrame Stéphane
Version 03.02
La règle de trois (ou produit en croix)
Les produits en croix nous permettent d'écrire: a × d = b × c.
Nous retiendrons alors que:
Si
b d
= Alors a × d = b × c
a c
Exemple :
et donc, puisque c'est un tableau de proportionnalité:
on fait le produit en croix :
x × 6,5 = 100 × 47
x × 6,5 = 4 700
x=
4700
6,5
x = 723 à 0,1 près
On peut parcourir 723 Km avec un plein de 47 L.
30
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Proportionnalité
1. Proportionnalité dans un tableau.
On dit qu'un tableau est proportionnel quand on peut multiplier les termes de la première ligne
par un même nombre pour obtenir ceux de la deuxième.
Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, la suite des nombres qui mesurent l’une et la suite
correspondante des nombres qui mesurent l’autre sont proportionnelles.
Exemple :
× 22
Quantités (en Kg)
Prix (en Euros)
1
22
2
44
3
66
4
88
5
110
On passe de la première ligne à la seconde en multipliant chaque terme par 22. Le
coefficient de proportionnalité est 22.
Définition : Deux suites de nombres sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre par
une multiplication, une division ou une succession de ces opérations.
Soient A=(a,c) et B=(b,d) deux suites proportionnelles. On sait que le coefficient de
proportionnalité de A vers B est calculé en divisant un nombre de la suite B par le nombre de
même rang de la suite A. Nous avons donc: b/a = d/c.
Pour vérifier que 2 suites de nombres {a ; b ; c ; d} et {x ; y ; z ; t} sont proportionnelles, il suffit
de vérifier que :
x y z t
= = =
a b c d
2. Proportionnalité dans un graphique.
On dit qu'il y a proportionnalité sur un graphique quand tous les points sont alignés sur une
droite qui passe par l'origine.
3. Echelles.
Pour des raisons pratiques, il arrive qu’on représente un objet en l’agrandissant ou en le
réduisant. Chaque longueur est alors multipliée par un coefficient et les angles sont conservés.
3.1 Sur une carte
On peut lire :
o 1cm = 1 Km
1
o échelle :
ème : Dréelle = dcarte × 20 000.
20 000
31
Beltrame Stéphane
Version 03.02
1
, la distance entre deux villes est de 8 cm. Quelle est la
100 000
distance réelle entre ces deux villes ?
Dréelle = dcarte × 100 000 soit Dréelle = 8 × 100 000 = 800 000 cm soit 8 Km.
Exemple : Sur une carte au
3.2 En dessin technique
L’échelle est donnée par le nombre e (par exemple 1,5 ; 3 ; 0,2) par lequel il faut multiplier la
ddessin
distance réelle D pour obtenir la distance d sur le dessin : ddessin = Dréelle × e ou Dréelle =
.
e
4. Les vitesses
Un mouvement est dit uniforme si la distance parcourue est proportionnelle à la durée du
parcours.
On appelle vitesse le quotient de la distance parcourue par la durée du parcours.
V=
d
t
ou
d =V×t
ou
t=
d
V
V = vitesse

où d = distance
t = temps

Les unités utiles pour les calculs de vitesse :
m
s
m/s
Unité de longueur
Unité de durée
Unité de vitesse
Km
h
Km/h
Km
min
Km/min
m
h
m/h
5. Les masses volumiques
Un corps est homogène lorsque la masse de ce corps est proportionnelle à son volume.
La masse volumique d’un corps homogène est le quotient de la masse de ce corps par son
volume.
M=
m
V
ou
m =M×V
ou
V=
M = masse volumique

où m = masse
V = volume

32
m
M
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Les unités utiles pour les calculs de masses volumiques :
mg
mm3
mg / mm3
Unité de masse
Unité de volume
Unité de masse volumique
cg
cm3
cg / cm3
Kg
dm3
Kg / dm3
hg
m3
hg/ m3
g
L
g /L
Quelques masses volumiques usuelles (en g/cm3):
Solides
Or : 21,4
Plomb : 11,3
Fer : 7,8
Liquides
Mercure : 13,6
Eau pure : 1
Alcool à 90° : 0,83
Essence super : 0,77
Gaz
Gaz carbonique (CO2) : 0,0024
Oxygène :0,0013
Hélium :0,00017
Hydrogène :0,00008
6. Les débits
Le débit moyen (D) d’un fleuve, d’une rivière, d’un robinet, …, est le quotient du volume de
liquide écoulé (V) par la durée de l’écoulement (t). Lorsque l’écoulement est régulier, le volume
qui s’écoule est proportionnel à la durée de l’écoulement.
D=
V
t
ou
V = D×t
ou
t=
V
D
D = débit

où V = volume de liquide écoulé
t = durée de l' écoulement

33
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Conversions d’unités
1. Les masses.
t
tonne
1
q
quinta
l
0
0
Kg
kilo gramme
0
1
hg
hecto gramme
0
0
dag
déca gramme
0
0
g
gramme
0
0
1
dg
déci gramme
0
0
0
cg
centi gramme
0
0
0
mg
milli –
gramme
0
0
0
1 t = 10 q = 1000 Kg = 10000 hg = 100000 dag = 1000 000 g = 10000000 dg = 100000000 cg =
1000000000 mg.
1 Kg = 10 hg = 100 dag = 1000 g = 10000 dg = 100000 cg = 1000000 mg.
1 g = 10 dg = 100 cg = 1000 mg.
1 once = 30,594 g.
1 livre = 12 onces.
2. Les longueurs.
Km
kilo mètre
1
hm
hecto mètre
0
dam
déca mètre
0
m
mètre
dm
déci mètre
0
0
0
1
cm
centi mètre
0
0
mm
milli –
mètre
0
0
1 Km = 10 hm = 100 dam = 1000 m = 10000 dm = 100000 cm = 1000000 mm.
1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm.
1 mm = 100 µ.
1 toise = 1,949 m.
1 yard = 914 m.
3. Les aires.
Km2
hm2
dam2
1
m2
0
dm2
1
0
0
0
cm2
0
0
0
1
0
1 dm² = 100 cm² = 10000 mm².
1 cm² = 100 mm².
1 dam² = 100 m² = 10000 dm² = 1000000 cm² = 100000000 mm².
Justification : prenons comme exemple le cm²/mm².
On a : 1 cm × 1 cm = 1 cm² or 1 cm = 10 mm soit 10 mm × 10 mm = 100 mm²,
on a bien 1 cm² = 100 mm².
34
mm2
0
0
0
0
0
0
Beltrame Stéphane
Version 03.02
1 ha = 100 a = 1 hm² (ha = hectare)
1 a = 1 dam² = 100 m² (a = are)
1 ca = 1 m² (ca = centiare)
4. Les volumes.
Km3
hm3
dam3
m3
1
0
0
dm3
0
cm3
1 0 0 0
1
0 0 0 0 0 0
mm3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 dm3 = 1000 cm3 = 1000000 mm3.
1 cm3 = 1000 mm3.
1 dam3 = 1000 m3 = 1000000 dm3 = 1000000000 cm3 = 1000000000000 mm3.
Justification : prenons comme exemple le dm3/cm3.
On a : 1 dm × 1 dm × 1 dm = 1 dm3 or 1 dm = 10 cm soit 10 cm × 10 cm × 10 cm = 1000 cm3,
on a bien 1 dm3 = 1000 cm3.
5. Les capacités.
hL
hectolitre
daL
décalitre
1
1
0
L
litre
1
0
0
dL
décilitre
0
0
0
cL
centilitre
0
0
0
mL
Millilitre
0
0
0
1 L = 10 dL = 100 cL = 1000 mL.
1 daL = 10 L = 100 dL = 1000 cL = 10000 mL.
1 hL = 10 daL = 100 L = 1000 dL = 10000 cL = 100000 mL.
1 L = 1 dm3.
1 stère = 1 m3 = 1000 L.
6. Les durées.
1 année = 12 mois = 52 semaines = 365 ou 366 jours.
1 mois = 30 ou 31 jours.
1 semaine = 7 jours.
1 jour = 24 h.
1 h = 60 min = 3600 s.
1 min = 60 s.
Comment reconnaître si une année est bissextile ?
- Si les deux derniers chiffres ne sont pas nuls tous les deux : le nombre formé par les deux
derniers chiffres est divisible par 4.
- Si les deux derniers chiffres sont nuls : le nombre formé par les autres chiffres est divisible par
4.
35
Beltrame Stéphane
Version 03.02
6.1 Addition de durées
On cherche à calculer : 3 h 25 min + 2 h 48 min.
3 h 25 min
+ 2 h 48 min
or 60 min = 1 h soit 73 min = 1 h 13 min
5 h 73 min
d’où 5 h 73 min = 5 h + 1 h 13 min = 6 h 13 min.
6.2 Soustraction de durées
On cherche à calculer : 5 min 25 s – 2 min 48 s.
5 min 25 s
4 min 85 s
− 2 min 48 s revient à poser : − 2 min 48 s
4 min 85 s
− 2 min 48 s
On obtient donc : 2 min 37 s
6.3 Multiplication de durées
On veut calculer (5 h 15 min) × 7.
5 h × 7 = 35 h,
15 min × 7 = 105 min = 1 h 45 min
Le résultat est donc : 35 h + 1 h 45 min soit 36 h 45 min.
6.4 Division de durées
On cherche à diviser 5 h 10 min 15 s par 3.
5 h 10 min 15 s
-3h
2 h 10 min 15 s
× 60
3
1 h 43 min 25 s
130 min 15 s
- 129 min
1 min 15 s
× 60
75 s
- 75
0
Explication : On regarde combien de fois 5 h vont dans 3 : on trouve 1 fois (1 h × 3 = 3 h), on
les ôte à 5 h, il reste donc 2 heures. Ces deux heures ne pouvant pas être un multiple de 3, on les
36
Beltrame Stéphane
Version 03.02
convertit en minutes soit 2 h = 2 × 60 min = 120 min, minutes que l’on additionne aux minutes
existantes. Soit 120 + 10 = 130 minutes. On cherche maintenant combien de fois 3 il y a dans
130, on trouve 43 fois (43 × 3 = 129), il reste donc 1 minute. On convertit ensuite cette minute en
secondes : 1 × 60 s = 60 s, secondes que l’on additionne aux secondes existantes, soit 60 + 15 =
75 s. Ensuite, on voit que 75 = 3 x 25, le reste de la division est 0.
Autre méthode (beaucoup plus lourde et pas indiquée !):
On a des heures, des minutes et des secondes : on peut donc tout convertir en secondes. Soit :
5 h = 5 × 3600 s = 18 000 s,
10 min = 10 × 60 s = 600 s,
soit 5 h 10 min 15 s = 18 000 + 600 +15 s = 18 615 s.
Ensuite, on fait une division classique : 18 615 : 3 = 6 205. Nous obtenons donc 6 205 s qu’il faut
à nouveau convertir en heures, minutes, secondes.
6205 s = 6205 / 3600 = 1,72… : nous retenons seulement les unités, soit 1 h.
Il nous reste 6205 – 3600 = 2605 s soit 2605 : 60 = 43,41…, nous retenons aussi uniquement les
chiffres à gauche de la virgule soit 43 min (ou on prend le résultat 1,72… auquel on soustrait 1 et
on multiplie par 60).
Il nous reste : 2605 – (43 × 60) = 25 s (ou on prend le résultat 43,41… auquel on soustrait 43 et
on multiplie par 60).
Nous obtenons bien 1 h 43 min 25 s comme avec la méthode précédente.
37
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Résolutions d’équations du premier degré à une inconnue
a) résolvons : X + 3 = 5
Considérons le symbole égalité comme une balance, X comme un objet (une bille, une pomme,
une cerise, …) :
5gr
X
3gr
3gr
X+3
=
5
3gr
3gr
3gr
X+3-3
2gr
3gr
=
2gr
Nous enlevons les deux poids de 3gr
de chaque coté de la balance.
5-3
Nous obtenons X = 2.
2gr
X
=
2
Autre explication : chez le marchand vous payez 5€ , le vendeur, tout en vous donnant la bille
X, vous rend 3€ vous en déduisez que le prix de la bille est 5€ - 3€ = 2€.
En résumé pour résoudre X + 3 = 5 nous avons soustrait 3 de chaque coté de l’égalité (X + 3 3 = 5 - 3). Dans la pratique nous écrivons X = 5 - 3, puis X = 2.
Dans le cas X – 6 = 4 nous aurions du additionner 6 de chaque coté de l’égalité (X – 6 + 6 = 4 +
6) et nous aurions eu X = 10.
b) Résolution d’une équation de la forme X ± b = c avec b et c nombres connus et X qui est
l’inconnu :
X + b = c ⇔ X = c - b Attention quand nous passons + b de l’autre coté de l’égalité, il se
transforme en - b.
Ex : X + 10 = -6 ⇔ X = -6 - 10 ⇔ X = -(6 + 10) ⇔ X = -16
38
Beltrame Stéphane
Version 03.02
X - b = c ⇔ X = c + b Attention quand nous passons - b de l’autre coté de l’égalité, il se
transforme en + b.
Ex : X – 11 = -5 ⇔ X= -5 + 11⇔ X = +11 - 5⇔ X = 6
c) résolvons : 3 X = 6
Considérons le symbole égalité comme une balance, X comme un objet (une bille, une pomme,
une cerise, …) :
6gr
3X
2gr
3X
=
= 2gr =
2gr
6
2gr
2gr
3X
3
=
Nous divisons par 3 le nombre
d’objets X et le nombre de poids.
6
3
2gr
Nous obtenons X=2.
X
=
2
Autre explication : chez le marchand il y a une promotion sur les billes X, 6€ les trois billes.
Le prix de la bille X est de 6€/3 soit 2€.
En résumé pour résoudre 3X=6 nous divisons chaque coté de l’égalité par 3. Dans la pratique
nous écrivons X = 6/3, puis X = 2.
Dans le cas 3 X= 5 nous devons multiplier chaque
2 2
l’inverse de 3/2. En effet 3× 2 =1 ) et nous aurions eu
2 3
39
coté de l’égalité par la fraction 2/3 (qui est
3/ × 2/ X= 5 × 2/ puis X = 5 .
2/ 3/
2/ 3
3
Beltrame Stéphane
Version 03.02
d) Résolution d’une équation de la forme a X = c avec a, b, c et d nombres connus non nuls
b
d
et X qui est l’inconnu :
a X= c ⇔ b × a X= b × c ⇔ X= b × c Attention la deuxième étape n’est pas obligatoire. Ici nous
b
d a b
a d
a d
multiplions par la fraction inverse de a/b qui est b/a.
Ex : X = 5 ⇔3/ × X = 5 ×3/ ⇔ X = 5
3 6
3/ 3/ ×2
2
e) Résolution d’une équation de la forme a X +e= c avec a, b, c, d,e nombres connus non
d
b
nuls et X qui est l’inconnu :
1) Nous passons le terme e de l’autre côté de l’égalité en inversant le signe :
a X = c −e
b
d
2) Nous calculons c −e en utilisant les règles sur les fractions c −e= c−e×d ,
d
d
d
3) nous multiplions le nombre trouvé en 2) par la fraction b/a (inverse de a/b)


X = c−e×d × b
d

 a
Ex :
2 X +1= 1 ⇔ 2 X = 1 −1⇔ 2 X = 1 − 5 ⇔ 2 X =1−5 ⇔ 2 X = −4 ⇔ X = −4× 3 ⇔ X = −4×3 ⇔ X = −2×2/ ×3 ⇔ X = −6
3
5 3
5
3
5 5 3
5
3
5
5 2
5×2
5×2/
5
f) Exemples :
a) X +9=7⇔ X =7−9⇔ X =−(9−7)⇔ X =−2
b) X −18=22⇔ X =22+18⇔ X =40
c) 3X =9⇔ X = 9 ⇔ X = 3×3/ ⇔ X =3
3
3/
d) 11 X = 22 ⇔ X = 2×11×13 ⇔ X = 2×11×13 ⇔ X = 2
13
39
13×3 11
13×3×11
3
e) 3X +1=−5⇔3X =−5−1⇔3X =−6⇔ X = −6 ⇔ X = −2×3/ ⇔ X =−2
3
3/
f) X +2=1⇔ 1 X + 2=1⇔ 1 X =1−2⇔ 1 X =−1⇔ X =−1× 3 ⇔ X =−1×3⇔ X =−3
3
3
3
3
1
40
Beltrame Stéphane
Version 03.02
g)
2X − 5 = 2 ⇔ 2X = 2 + 5 ⇔ 2X = 2×2 + 5 ⇔ 2X = 4+5 ⇔ 2X = 9 ⇔ 2X = 3/ ×3 ⇔ 2X = 3 ⇔ X = 3 ⇔ X = 3
6 3
3 6
3×2 3×2
3×2
3×2
3/ ×2
2
2×2
4
h) 4 X −1=− 3 ⇔ 4 X = −3 +1⇔ 4 X = −3 + 7 ⇔ 4 X = −3+7 ⇔ 4 X = 4 ⇔ X = 4× 3 ⇔ X = 4/ ×3 ⇔ X = 3
3
7 3
7
3
7 7 3
7
3
7
7 4
7×4/
7
41
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Résolution d’un système d’équations du premier degré
à deux inconnues
1) Résolution par substitution
Soient x et y deux inconnues, nous devons résoudre le système ci dessous par substitution (ou
remplacement).
−4x+2y=30 (eq 1)

 2x+3y=35 (eq 2)
La méthode de substitution consiste : à exprimer y en fonction de x (càd y=ax+b) grâce à l’une
des deux équations ou vice versa. Ici nous allons nous servir de (eq 1) afin d’exprimer y en
fonction de x tout en laissant (eq 2) identique:
−4x+2y =−30 (eq 1) 2y =−30+4x
⇔

 2x+3y =35 (eq 2)
 2x+3y =35
 y = −30+4x
2

⇔
(eq 2)
 2x+3y =35

(eq 1a)
(eq 1b)
(eq 2)
ainsi nous obtenons (eq 1b) après la transformation de (eq 1)
Puis à substituer ou remplacer la valeur de y dans (eq 2) par celle de y dans (eq 1b) comme ci
dessous :
 y = −30+ 4x
2


 2x+3y =35


(eq 1b) 
y = −30+ 4x (eq 1b)
y = −30+4x

2
2


⇒
⇒
(eq 2) 2x+3× −30+4x =35 (eq 2a) 
 2/ ×(−15+2x )
2

2x+3×
2/
(eq 1b)
=35



 y = −30+ 4x (eq 1b)
y = −30+4x (eq 1b)
2
2


⇒
⇒
2x+3×(−15+ 2x )=35 (eq 2 c) 2x−45+6x=35 (eq 2 d)


42
(eq 2b)
Beltrame Stéphane
Version 03.02
 y = −30+4x (eq 1b)  y = −30+4x (eq 1b)
2
2


⇒
⇒
8x=35+45 (eq 2 e)  8x=80 (eq 2 f)


 y = −30+4x (eq 1b)  y = −30+4x (eq 1b)
2
2


⇒
⇒
 x= 80 =10 (eq 2 g)  x=10 (eq 2 h)
8


Et enfin nous substituons ou remplaçons la valeur de x dans (eq 1b) par celle de x dans (eq 2h)
comme ci dessous :
 y = −30+4×10 (eq 1b)  y = −30+40 (eq 1b)
2
2


⇒
⇒
x=10 (eq 2 h)
 x=10 (eq 2 h)



 y =10 (eq 1b)
 y =5 (eq 1b)
2

⇒
⇒
 x=10 (eq 2 h)  x=10 (eq 2 h)

Ainsi nous obtenons les solutions suivantes x=10 et y =5
1) Résolution par combinaison
Soient x et y deux inconnues, nous devons résoudre le système ci dessous par combinaisons (ou
par addition).
 5x+3y =34

2x+10y =40
(eq 1)
(eq 2)
La méthode de combinaison consiste à faire apparaître le même nombre de x dans chacune des
deux équations. Pour cela nous devons multiplier l’une ou les deux équation(s) afin d’avoir des
coefficients opposés pour x ou y.
Ici nous allons multiplier (eq 1) par -2 et (eq2) par 5 afin d’ avoir le même nombre de x dans
chacune des équations :
43
Beltrame Stéphane
 5x+3y =34

2x+10y =40
Version 03.02
(−2)×(5x+3y )=34×(−2)
⇔
(eq 2)  5×(2x+10y )=40×5
(eq 1a)=(eq 1)×(−2)
(eq 1)
−10x−6y=−68
⇒
10x+50y=200
(eq 2a)=(eq 2a)×5
(eq 1a)
(eq 2a)
Puis nous additionnons les deux équations (eq1a) et (eq2a) pour obtenir dans ce cas une
équation en fonction de y uniquement :
−10x−6y +(10x+50y )=−68+(200 ) (eq 1a)+(eq 2a)=(eq1b)
⇒
 10x+50y =200
(eq 2a)
(eq1c)
−10x −6y +10x +50y =200−68 (eq1b)  44y =132
⇒
⇒
 10x +50y =200
(eq 2a) 10x +50y =200 (eq 2a)
 y =132 =11×4×3 =3
(eq1d)
44 11×4

⇒
(eq 2a)
10x+50y =200

Deux solutions maintenant s’offrent à nous :
- nous pouvons substituer ou remplacer la valeur de y dans (eq 2a) par celle de y dans
(eq 1d) :
(eq1d)  y =3
(eq1d)  y =3
(eq1d)
 y =3
⇒
⇒
⇒
10x+50×3=200 (eq 2b) 10x+150=200 (eq 2c) 10x=200−150 (eq 2d)

(eq1d)  y =3
(eq1d)
 y =3
⇒
⇒
10x=50 (eq 2e)  x= 50/ =5 (eq 2f)
 10/
- nous pouvons repartir des équations de départ (eq1) et (eq2) et appliquer de nouveau
la méthode de combinaison pour trouver la valeur de x :
 5x+3y =34

2x+10y =40
 (10)×(5x+3y )=34×(10)
⇔
(eq 2) −3×(2x+10y )=40×(−3)
(eq 1)
 50x+30y =340
⇒
−6x−30y =−120
44
(eq 1a)
(eq 2a)
(eq 1a)=(eq 1)×(10)
(eq 2a)=(eq 2a)×−3
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Puis nous additionnons les deux équations (eq1a) et (eq2a) pour obtenir dans ce cas une
équation en fonction de x uniquement :
 50x+30y =340
⇒
−6x−30y +(50x+30y )=−120+340
(eq 1a)
(eq 1a)+(eq 2a)=(eq 2b)
(eq 1a)
 50x +30y =340
50x+30y =340 (eq 1a)
⇒
⇒
−6x−30y +50x+30y =340−120 (eq 2b)  44x=220
(eq 2c)

50x+30y =340 (eq 1a)
50x+30y =340 (eq 1a)

⇒
⇒
(eq 2e)
 x= 220 = 2×11×2×5
(eq 2d)  x=5
 44 2×2×11
En général, nous utilisons la première solution.
Rappel : n’oubliez pas de remplacer les valeurs de x et y trouvées dans vos deux équations, cela
vous permettra de vérifier que vous ne vous êtes pas trompé ! (ceci est valable aussi pour les
équations du premier degré à une inconnue)
45
Beltrame Stéphane
Version 03.02
LEXIQUE DE GEOMETRIE
IFSI
cos²a + sin² a = 1
46
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Aires (mesure des)
Carré
A = c x c = c²
Rectangle
A=lxL
Losange
A = (L x l)/2
Parallèlogramme
A=Bxh
Triangle
A = (B x h)/2
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Beltrame Stéphane
Version 03.02
Cercle de diamètre d, de rayon r
A = ∏ (d²/4) = ∏ r²
Trapeze
A = ((B + b)/2) x h
Angle
Deux angles sont adjacents s’ils ont : même sommet, un côté commun et s’ils sont situés de part
et d’autre de ce côté commun.
Un angle aigu est un angle plus petit qu’un angle droit.
48
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Un angle obtus est un angle saillant plus grand qu’un angle droit.
Un angle plat mesure 180°, un angle droit mesure 90°.
Mesure des angles
La mesure d’un angle s’exprime en degrés, minutes et secondes d’angle (un degré vaut 60
minutes d’angle et une minute d’angle vaut 60 secondes d’angle), on n’utilise généralement que
des degrés. Il est aussi possible d’utiliser le radian (180°= ∏ radians).
Pour mesurer des angles, on utilise un rapporteur.
Propriété des angles d’un triangle
La somme des angles d’un triangle est égale à un angle plat (180°).
Bissectrice
La bissectrice d’un angle est la droite qui partage l’angle en deux angles égaux adjacents.
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Beltrame Stéphane
Version 03.02
Les bissectrices des « angles » d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre du
cercle inscrit.
Si une droite partage un angle en deux angles égaux alors c’est la bissectrice de cet angle.
Si une droite est la bissectrice d’un angle alors elle partage l’angle en deux angles égaux.
Si un point est sur la bissectrice d’un angle, alors il est à égale distance des côtés de l’angle.
La bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie de cet angle.
Carré
Un carré est à la fois un rectangle et un losange.
Centre de gravité
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du
triangle.
50
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Si un point est le point de concours des médianes d’un triangle alors ce point est le centre de
gravité du triangle.
Si un point est le centre de gravité d’un triangle alors toute médiane de ce triangle passe par ce
point.
Le centre de gravité se trouve aux deux tiers de chaque médiane, à partir du sommet
correspondant.
Cercle
Un cercle est l’ensemble des points d’un plan situés à la distance r d’un point fixe O. Cette
distance est appelée le rayon, le point O est le centre du cercle.
Positions relatives d’une droite et d’un cercle.
Droite extérieure au cercle
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Beltrame Stéphane
Version 03.02
Droite sécante au cercle
Droite tangente au cercle
Hauteur
Dans un triangle on appelle hauteur une droite passant par un sommet et coupant le côté opposé
perpendiculairement.
Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre.
Losange
52
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Un losange est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont de même longueur.
Les quatre côtés d’un losange sont de même longueur.
Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur, alors c’est un losange.
Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires en leur milieu.
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires en leur milieu, alors c’est un losange.
Médiane
Dans un triangle on appelle médiane une droite passant par un sommet et le milieu du côté
opposé.
Si, dans un triangle, une droite passe par un sommet et le milieu du côté opposé, alors cette droite
est une médiane de ce triangle.
Si une droite est une médiane d’un triangle alors elle passe par un sommet et le milieu de son
côté opposé.
Les médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle. Ce
point est situé aux deux-tiers de chaque médiane à partir du sommet.
Médiatrice
La médiatrice d’un segment [AB] est la perpendiculaire à la droite (AB) passant par le milieu du
segment [AB].
53
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Les médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre du cercle
circonscrit au triangle.
Tout point situé sur la médiatrice est équidistant des extrémités de ce segment.
Tout point équidistant de deux points A et B appartiennent à la médiatrice du segment [AB].
Milieu
Le milieu d’un segment est le point situé à égale distance des extrémités de ce segment.
Si un point d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment alors ce point est le milieu
de ce segment.
Si un point est le milieu d’un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
Orthocentre
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre d’un triangle.
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Beltrame Stéphane
Version 03.02
Si les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes, leur point commun s’appelle l’orthocentre.
Parallèles (droites)
Deux droites parallèles sont deux droites qui ne sont pas sécantes.
Lorsque deux droites sont parallèles :
- Toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
- Toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
- Toute droite sécante à l’une est sécante à l’autre.
Parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux.
Les diagonales d’un parallélogramme ont même milieu.
Les côtés opposés d’un parallélogramme sont de même longueur.
Les angles opposés d’un parallélogramme sont égaux.
Un quadrilatère dont les diagonales ont même milieu est un parallélogramme.
Périmètres (mesure des)
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Beltrame Stéphane
Version 03.02
Dans tous les cas, pour connaître un périmètre il faut additionner les valeurs des longueurs des
côtés de la figure.
Carré
P=c+c+c+c=4xc
Rectangle
P = l + L + l + L = 2 x (l + L)
Losange
P=c+c+c+c=4xc
Parallèlogramme
P = l + L + l + L = 2 x (l + L)
Triangle
P = AB + BC + CA
Cercle de diamètre d, de rayon r
P=∏d=2∏r
Perpendiculaires (droites)
Deux droites sont perpendiculaires si elles forment un angle droit.
Lorsque deux droites sont perpendiculaires :
- Toute droite parallèle à l’une est perpendiculaire à l’autre.
- Toute droite perpendiculaire à l’une est parallèle à l’autre.
Pythagore (théorème de)
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux
autres côtés perpendiculaires.
Réciproque : si dans un triangle le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres,
alors ce triangle est rectangle, l’hypoténuse est le plus grand côté.
Rectangle
Un rectangle est un parallélogramme dont un angle est droit.
56
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Les diagonales d’un rectangle sont de même longueur.
Un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur est un rectangle.
Sécantes (droites)
Deux droites sécantes sont des droites ayant un seul point commun.
Symétrie centrale
Deux points A et B sont symétriques par rapport à un point O lorsque O est le milieu du segment
[AB].
Si A et B sont symétriques par rapport à un point O alors O est le milieu du segment [AB].
Si O est le milieu d’un segment [AB] alors A et B sont symétriques par rapport au point O.
Thalès (théorème de)
Dans un triangle ABC, soit M un point de [AB] et N un point de [AC].
Si (MN) et (BC) sont parallèles alors :
57
Beltrame Stéphane
Version 03.02
AM AN MN
=
=
AB AC BC
Trapèze
Un trapèze est un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles.
Un trapèze dont un angle est droit est un trapèze rectangle.
Un trapèze dont deux côtés opposés sont de même longueur est un trapèze isocèle.
Triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés de même longueur. On peut aussi dire q’il
a trois angles de même mesure (60°).
58
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Si un triangle a trois côtés de même longueur alors il est équilatéral.
Si un triangle est équilatéral alors il a trois côtés de même longueur.
Si un triangle a trois angles de même mesure alors c’est un triangle équilatéral.
Si un triangle est équilatéral alors il a trois angles de même mesure.
(AA’), (BB’), (CC’) sont à la fois médiatrices, hauteurs et axes de symétrie du triangle. Le point
O est centre des cercles circonscrit et inscrit, centre de gravité et orthocentre, c’est le centre du
triangle.
Triangle isocèle
Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. On peut aussi dire q’il a
deux angles de même mesure.
Si un triangle a deux côtés de même longueur alors il est isocèle.
Si un triangle est isocèle alors il a deux côtés de même longueur.
Si un triangle a deux angles de même mesure alors c’est un triangle isocèle.
Si un triangle est isocèle alors il a deux angles de même mesure.
A’
(AA’) est à la fois médiatrice, hauteur et axe de symétrie.
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Beltrame Stéphane
Version 03.02
Triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.
Si un triangle a un angle droit, alors il est rectangle.
Si un triangle est rectangle, alors il a un angle droit.
Un triangle qui a deux côtés perpendiculaires est appelé triangle rectangle.
On appelle triangle rectangle un triangle qui a un secteur angulaire droit.
Le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.
Si un triangle ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [BC], alors il est rectangle en A.
Triangle rectangle isocèle
Dans ce triangle, les côtés qui ont même longueur sont ceux de l’angle droit.
Triangle (théorèmes)
Théorème de la droite des milieux
Si dans un triangle une droite passe par le milieu de deux côtés alors elle est parallèle au
troisième côté.
60
Beltrame Stéphane
Version 03.02
Théorème du segment des milieux
Si dans un triangle un segment joint les milieux de deux côtés alors la longueur de ce segment est
la moitié de la longueur du troisième côté.
Théorème de la droite passant par le milieu d’un côté et parallèle à un autre côté
Si dans un triangle une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté
alors cette droite coupe le troisième côté en son milieu.
Volumes (mesure des)
Cube : toutes les faces sont des carrés.
V=axaxa
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Beltrame Stéphane
Version 03.02
Parallélépipède rectangle : toutes les faces sont des rectangles.
V=Lxlxh
Prisme droit : la base est un polygone, les faces sont des rectangles.
V = B x h, B = aire de la base et h = hauteur
Prisme oblique :
V = B x h, B = aire de la base et h = hauteur
Cylindre :
V = B x h, B = aire de la base (aire d’un cercle) et h = hauteur
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Beltrame Stéphane
Version 03.02
Pyramide :
V = (B x h)/3, B = aire de la base et h = hauteur
Cône :
V = (B x h)/3, B = aire de la base (aire d’un cercle) et h = hauteur
Tronc de cône :
V = (∏ h (R²+r²+Rr))/3
Sphère : rayon R
V = ∏ R3 x (4/3)
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