Mathématiques 1 Niv.1 et 2 GEOMETRIE Exercices chapitre 5 Dans les exercices de cette série, sauf indication contraire, l’approximation finale sera donnée à deux décimales. Attention de ne pas approximer les calculs intermédiaires et travailler avec les mémoires de la calculatrice. 1. Compléter le tableau ci-dessous. α en degrés 30 60 120 150 180 " 2 α en radians 2. 90 " 12 α est un angle dont on connaît une des trois mesures proposées ci-dessous. Compléter le tableau. ! ! ! Les réponses peuvent être contrôlées directement par certaines calculatrices. 30°15'25" α(deg,min,sec) 200°42'15" α(deg décimaux) 45,68 4,5 α(radians) 3. 7" 3 4π Sachant que ABC est un triangle rectangle en C, " c compléter le tableau ci-dessous. (approximation à 1 décimale) ! Unités de α β a b c mesure des Aire du triangle angles Degré 27 7,8 Degré 63 92 Degré 4. 7 Sachant que ABC est un triangle isocèle en A, 12,5 A compléter le tableau ci-dessous : c (approximation à 1 décimale) hc hb b ha B α β a b a C ha 9,3 65° 7,8 35 47 29° Collège Sismondi hb 51 17,5 2007 - 2008 p.1 Mathématiques 1 Niv.1 et 2 5. 6. 7. GEOMETRIE Exercices chapitre 5 Résoudre le triangle ABC (déterminer les angles et les côtés), sachant qu'il est rectangle en C. a) c = 4,75 β = 65,8° b) c = 12,21 α = 40,23° c) c = 25,43 a = 12,30 d) a = 22,3 b = 46,8 Résoudre le triangle ABC (déterminer les angles et les côtés), sachant qu'il est isocèle en A : a) α = 48,6° a = 22,8 b) α = 103,48° b = 4,24 c) β = 72,4° a = 8,5 d) γ = 32,89° b = 18,72 Un arbre de 100 m de haut projette une ombre de 120 m de long. Quel est l'angle d'élévation du soleil ? (angle formé par le sol et les rayons du soleil) 8. Du haut d'un phare de 120 m de hauteur, l'angle de dépression d'un bateau est de 15°. Angle de dépression A quelle distance du phare se trouve le bateau ? 9. Trouver la hauteur d'un arbre si l'angle d'élévation de son sommet change de 20° à 40° lorsque l'observateur avance de 75 m en direction de l'arbre. 10. Quelle est la hauteur d'une tour qui donne 36 m d'ombre lorsque le soleil est élevé de 37,5° au-dessus de l'horizon ? 11. a) Quelle est la longueur de l'ombre projetée sur le sol par une tour de 60 m., si le soleil est à 20° au-dessus de l'horizon ? b) Quel est l'angle d'élévation du soleil si la longueur de l'ombre projetée par cette tour est de 25 m ? 12. Une route s'élève régulièrement en formant avec l'horizontale un angle de 4,5°. Quelle distance horizontale parcourt-on lorsqu'on a suivi la route durant 6,400 km ? De combien s'est-on élevé ? 13. Connaissant la base a et l'angle au sommet α d'un triangle isocèle, calculer les côtés égaux, les rayons des cercles inscrit et circonscrit, ainsi que l'aire du triangle. Application numérique : α = 40°; a = 15. 14. Le côté d’un losange mesure 25 mm et l’angle aigu que forme ses diagonales mesure 65°. Calculer les longueurs de chacune des diagonales. Collège Sismondi 2007 - 2008 p.2 Mathématiques 1 Niv.1 et 2 15. GEOMETRIE Dans les deux cas suivants, calculer les Exercices chapitre 5 C angles,le périmètre et la hauteur h (si elle n'est pas donnée) du triangle ABC sachant : h a) h = 35 et β = 35° ! A b) c = 12 et b = 7 16. B Calculer le périmètre et l'aire du quadrilatère ABCD C " D sachant que AD // BC, α = 35°, γ = 20° et δ(A; B) = 50 cm. H A 17. ! B Un homme aperçoit un arbre vertical sous un angle de 38,6°. Il recule de 25 m et voit l'arbre sous un angle de 18,3° (On admettra que les y yeux de l'observateur et le pied de l'arbre sont ! = 18,3° au même niveau). 25 Quelle est la hauteur de l'arbre ? A quelle " = 38,6° x distance du pied de l'arbre l'observateur se trouvait-il au début ? 18. Un promeneur veut évaluer la hauteur d'une falaise. En un premier point, il voit le sommet de la falaise sous un angle de 29,15°. Il s'avance ensuite de 152 m en direction de la falaise. Il voit alors le sommet de celle-ci sous un angle de 44,32°. Quelle est la hauteur de la falaise ? 19. Un rectangle a pour dimensions 117,40 m et 65,18 m. Quels sont les angles formés par les diagonales avec les côtés ? 20. Dans un cercle, une corde sous-tendant un arc de 82° est à 20 cm du centre. Quelle est la longueur de cette corde ? 21. Un observateur, placé à une hauteur de 252 m du niveau de la mer, a trouvé que le rayon visuel aboutissant à l'horizon sensible faisait avec la verticale un angle de 89,49°. On demande de calculer, d'après cette mesure, le rayon terrestre. 22. Une boule de 100 cm de diamètre est suspendue au-dessus du sol. Un homme la voit sous un angle de 3°. On fait descendre la boule jusqu'à ce que son centre soit au niveau de l'oeil de l'observateur qui la voit alors sous un angle de 4°. A quelle hauteur se trouvait la boule ? Collège Sismondi 2007 - 2008 p.3 Mathématiques 1 Niv.1 et 2 23. GEOMETRIE Exercices chapitre 5 Une tour est située au nord d'un point A et à l'ouest d'un point B. Les angles d'élévation du sommet de la tour mesurés de A et B sont respectivement de 16° et 21°. Calculer la hauteur de la tour sachant que la distance δ(A; B) est de 300 m. 24. Dans un losange ABCD, on donne l'angle α et la diagonale AC. Calculer les longueurs des côtés et de l'autre diagonale BD ainsi que l'aire du losange. Application numérique : α = 124°; AC = 42 25. Un pentagone régulier (5!côtés égaux) est inscrit dans un cercle de 12 cm de rayon. Calculer l’aire de ce pentagone. 26. Le cercle inscrit dans un octogone régulier (8 côtés égaux) a un rayon de 1 m. Calculer le périmètre de cet octogone. 27. Calculer la largeur du fleuve situé entre A et B A si l’on sait que : α = 20°, β = 43°15 et δ(C;D) = 80 [m] B " ! C Collège Sismondi 2007 - 2008 D p.4