énoncé

ECE 2 - Mathématiques
Quentin Dunstetter - ENC-Bessières 2016\2017
DM no 1
DM no 1
pour le 26 septembre 2016
Exercice 1
On considère la famille de fonctions (fn )n∈N∗ dénies sur ] − 1, +∞[ par :
fn (x) = xn ln(1 + x).
I. Étude des fonctions
fn .
Soit n ∈ N . On note hn la fonction dénie sur ] − 1, +∞[ par :
∗
hn (x) = n ln(1 + x) +
x
.
1+x
1. Étudier le sens de variation des fonctions hn .
2. Calculer hn (0), puis en déduire le signe de hn .
3. Étude du cas particulier n = 1.
(a) Après avoir justié la dérivabilité de f1 sur ] − 1, +∞[, exprimer f10 (x) en fonction de h1 (x).
(b) En déduire les variations de la fonction f1 sur ] − 1, +∞[.
4. Soit n ∈ N∗ \ {1}.
(a) Justier la dérivabilité de fn sur ] − 1, +∞[ et exprimer fn0 (x) en fonction de hn (x).
(b) En déduire les variations de fn sur ] − 1, +∞[. (On distinguera les cas n pair et n impair). On
précisera les limites aux bornes sans étudier les branches innies.
II. Étude d'une suite.
On considère la suite (Un )n∈N∗ dénie par :
Z1
Un =
fn (x) dx.
0
Calcul de
U1 .
1. Prouver l'existence de trois réels a, b, c tels que :
∀x ∈ [0, 1],
2. En déduire la valeur de l'intégrale :
x2
c
= ax + b +
.
x+1
x+1
Z1
x2
dx.
x+1
0
1
4
3. Montrer que U1 = .
1
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Convergence de la suite
DM no 1
(Un )n∈N∗ .
1. Montrer que la suite (Un )n∈N∗ est monotone.
2. Justier la convergence de la suite (Un )n∈N∗ . (On ne demande pas sa limite.)
3. Démontrer que :
∀n ∈ N∗ ,
ln 2
.
n+1
0 6 Un 6
4. En déduire la limite de la suite (Un )n∈N∗ .
Calcul de
Un
pour
n > 2.
Pour x ∈ [0, 1] et n ∈ N∗ \ {1}, on pose :
Sn (x) = 1 − x + x2 + · · · + (−1)n xn =
n
X
(−1)k xk .
k=0
1. Montrer que :
Sn (x) =
(−1)n xn+1
1
+
.
1+x
1+x
2. En déduire que :
n
X
(−1)k
k=0
k+1
n
Z1
= ln 2 + (−1)
xn+1
dx.
1+x
0
3. En utilisant une intégration par parties dans le calcul de Un , montrer que :
ln 2
(−1)n
(−1)k
(−1)n
1
Un =
+
+ ··· +
ln 2 − 1 − + · · · +
.
n+1
n+1
2
k+1
n+1
Exercice 2

0
A = 0
0
On considère les matrices carrées d'ordre trois :
1
1
0


0
3
3 et D = 0
0
4
0
1
0

0
0
4
Partie I : Réduction de A
1. Est-ce que A est inversible ?
2. Déterminer les valeurs de λ telles que A − λI n'est pas inversible.
3. Pour chaque valeur de λ solution de la question 2, résoudre l'équation (A − λI)X = 0, d'inconnue
X ∈ M3,1 (R).
4. Déterminer une matrice carrée P d'ordre trois, dont tous les termes diagonaux sont égaux à 1, dont
chaque colonne est une base d'un espace de solution de la question 3 : la première pour λ = 0, la
seconde pour λ = 1, la troisième pour λ = 4.
5. Montrer que P est inversible et calculer P −1 , puis montrer que A = P DP −1 .
Partie II : Résolution de l'équation
M2 = A
On se propose de résoudre l'équation (1) : M 2 = A, d'inconnue M , matrice carrée d'ordre trois.
Soit M une matrice carrée d'ordre trois. On note N = P −1 M P . (La matrice P a été dénie en I.3.)
1. Montrer :
M 2 = A ⇐⇒ N 2 = D.
2. Établir que, si N 2 = D, alors N D = D N .
3. En déduire que, si N 2 = D, alors N est diagonale.
4. Déterminer toutes les matrices diagonales N telles que N 2 = D.
5. En déduire la solution B de l'équation (1) dont toutes les valeurs propres sont positives ou nulles.
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Partie III : Intervention d'un polynôme
1. Montrer qu'il existe un polynôme Q de degré deux, et un seul, que l'on calculera, tel que :
Q (0) = 0,
2. En déduire :
Q (1) = 1,
Q (4) = 2.
1
7
− A2 + A = B . (La matrice B a été dénie en
6
6
)
II.5.
3. Montrer, pour toute matrice carrée F d'ordre trois :
A F = F A ⇐⇒ B F = F B.
Exercice supplémentaire
On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On note p un réel de ]0; 1[ et on pose q = 1 − p.
On dispose d'une pièce donnant "Pile" avec la probabilité p et "Face" avec la probabilité q . On lance cette
pièce et on arrête les lancers dans l'une des deux situations suivantes :
• Soit si l'on a obtenu "Pile"
• Soit si l'on a obtenu n fois "Face".
Pour tout entier naturel k non nul, on note Pk (respectivement Fk l'évènement " on obtient "Pile"
(respectivement "Face") au ke lancer ".
On note Tn le nombre de lancers eectués, Xn le nombre de "Pile" obtenus et enn Yn le nombre de
"Face" obtenus.
On admet que Tn , Xn et Yn sont des variables aléatoires toutes les trois dénies sur un espace probabilisé
(Ω; A; P ) que l'on ne cherchera pas à préciser.
1. Loi de Tn .
(a) Pour tout k de [[1; n − 1]] , déterminer, en distinguant le cas k = 1, la probabilité P (Tn = k) .
(b) Déterminer P (Tn = n) .
(c) Vérier que
n
X
P (Tn = k) = 1 .
k=1
(d) Établir que Tn possède une espérance et vérier que E (Tn ) =
1 − qn
.
1−q
2. Loi de Xn .
(a) Donner la loi de Xn .
(b) Vérier que E(Xn ) = 1 − q n .
3. Loi de Yn .
(a) Déterminer, pour tout k de [[0; n − 1]] , la probabilité P (Yn = k) .
(b) Déterminer P (Yn = n) .
(c) Écrire une égalité liant les variables aléatoires Tn , Xn et Yn , puis en déduire E (Yn ) .
4. (CUBE) Montrer que la suite (Tn )n∈N∗ converge en loi vers une variable aléatoire T dont on donnera
la loi.
5. Simulation informatique.
Compléter les trois instructions manquantes pour que la procédure suivante simule l'expérience
aléatoire décrite ci-dessus et pour qu'il ache, dans cet ordre, les valeurs prises par les variables
aléatoires Tn , Xn et Yn , à l'exécution de l'instruction disp(t, x, y) ;
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t=0 , x=0 , y=0
n=input('Donner la valeur de n : ')
while (x==0) and (t<n) do
-----if rand()>p then
-----else -----end
end
disp(t,x,y)
4