Q T-2 Page 1 of 2 Le principe variationnel (« The Extremum Principle ») A A1 A2 (Total des points: 10) 𝑦 Le principe variationnel en mécanique On considère un plan horizontal et sans frottement, x-y, représenté sur la figure 1. Il est divisé en deux régions, I et II, par une ligne AB d’équation . L’énergie potentielle d’une particule ponctuelle de masse m est dans la région I et dans la région II. La particule est envoyée depuis l'origine O avec une vitesse , suivant une direction inclinée d’un angle par rapport à l'axe Ox. Il atteint le point P dans la dans la région II où sa vitesse est suivant une direction inclinée d’un angle avec l'axe Ox. Dans la totalité du problème T-2, la gravité et les effets relativistes ne seront pas considérés. Exprimer en fonction de , et . Exprimer en fonction de , et . I II A × 𝑉 𝜃 𝑉 𝑉 𝛼 𝜃 B 𝑥 𝑥 Figure 1 0.2 0.3 On définit une grandeur appelée action , où est une longueur infinitésimale le long du ∫ chemin suivi par une particule de masse m se déplaçant à la vitesse et où l’intégrale est calculée le long de ce chemin. Par exemple, pour une particule se déplaçant à vitesse constante sur cercle de rayon , l’action pour une révolution est . Pour une particule d’énergie constante, on montre que, parmi l’ensemble des chemins possibles entre deux points fixés, la trajectoire effectivement suivie est celle pour laquelle définie ci-dessus est un extremum (minimum ou maximum). Historiquement, ceci est connu comme le Principe de Moindre Action (PMA). A3 B B1 Le PMA implique que la trajectoire d'une particule se déplaçant entre deux points fixes dans une région de potentiel constant est une ligne droite. Les points et de la figure 1 ont pour coordonnées respectives and et le point où la particule franchit la frontière de la région I à la région II a pour coordonnées On notera que est fixé et que l’action ne dépend que de la coordonnée . Déterminer l’expression pour l’action . Utiliser le PMA pour obtenir la relation entre et les coordonnées. 𝑦 Le principe variationnel en optique 1.0 II Un rayon lumineux se propage d’un milieu I à un milieu II dont les 𝑥 𝑦 𝑛 𝑖 indices de réfraction respectifs sont et . Les deux milieux sont séparés par une ligne parallèle à l’axe Ox. Le rayon lumineux est incliné 𝑛 𝑖 d’un angle avec l’axe Oy dans le milieu I et d’un angle dans le I milieu II (voir figure 2). Afin d’obtenir le trajet du rayon lumineux, on 𝛼 𝑥 utilise un autre principe variationnel (ou principe d’extremum), connu Figure 2 sous le nom de principe Fermat. Ce principe postule qu’entre deux points fixés, le rayon lumineux effectivement parcouru correspond à celui 0.5 qui rend extrémal le temps de parcours. Déduire du principe de Fermat la relation entre et . La figure 3 représente de manière schématique le trajet d’un faisceau laser incident horizontal atteignant une solution de sucre dont la concentration décroît avec l’altitude. Par conséquent l’indice de réfraction de la solution décroît également avec l’altitude. 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 Figure 3: cuve avec la solution de sucre B2 B3 On suppose que l’indice de réfraction ne dépend que de . En utilisant l’équation obtenue en B1, exprimer la pente en un point du trajet du rayon lumineux en fonction de n(y) et de l’indice de réfraction en . Le faisceau laser est dirigé horizontalement dans la solution de sucre au niveau de l’origine située à la hauteur comptée à partir du bas de la cuve comme indiqué figure 3. En considérant que où et sont des constantes positives, exprimer x en fonction de et 1.5 1.2 Q T-2 Page 2 of 2 de grandeurs reliées au trajet effectif du faisceau laser. Indication : ∫ constant , où ( ∫√ B4 C C1 C2 Calculer la valeur de cm, , √ ⁄ ou bien ) correspondant au point où le faisceau arrive au fond de la cuve. On prendra cm (1 cm = 10-2 m). Le principe variationnel et la nature ondulatoire de la matière Nous allons maintenant étudier le lien entre le PMA et le caractère ondulatoire d’une particule en mouvement. Nous ferons pour cela l’hypothèse qu’une particule se déplaçant depuis O jusqu’à P peut emprunter toute les trajectoires et nous cherchons une trajectoire qui vérifie une condition d’interférence constructive pour les ondes de de Broglie. Pour une particule se déplaçant le long de sa trajectoire d’une distance infinitésimale , relier la variation de la phase de l’onde de de Broglie de la particule à la variation de son action et à la constante de Planck. On rappelle le problème de la partie A où la particule se déplace de à (voir figure. 4). On place un écran opaque sur la frontière AB entre les deux régions sauf au niveau d’une petite ouverture CD dans AB de largeur telle que et . 𝑦 I 𝑉 D Interférence d’ondes de matière On considère un canon à électrons situé en qui dirige un faisceau quasi-parallèle d’électrons vers une fente fine dans la frontière opaque A B en de sorte que est une ligne droite. est un point de l’écran situé en (voir figure 5). La vitesse dans I est × m s et . Le potentiel en II est tel que la vitesse devient × m s . La distance est ( ). On ne considère pas les interactions entre électrons. D1 D2 D3 D4 Si les électrons en 𝑥 𝑦 𝑉 C 0.6 II A D On considère deux chemins limites C et D avec C correspondant à la trajectoire classique discutée dans la partie A. Déterminer la différence de phase entre les deux chemins, on se limite au premier ordre. 0.8 𝑉 1.2 CD d B 𝑥 𝑥 Figure 4 𝑦 I A II 215.00 nm B 𝑥 𝑥 𝑥 250 mm Figure 5 ont été accélérés à partir du repos, calculer le potentiel d’accélération . Une autre fente identique est réalisée dans la frontière A B à une distance nm ( nm m) sous la fente (figure 5). Si le déphasage entre les ondes de de Broglie arrivant en P après avoir traversé F et G est , calculer la valeur de . Quelle est la plus petite distance dont on doit se déplacer sur l’écran à partir de P pour ne plus détecter aucun électron ? [NB: vous pouvez utiliser l’approximation ] Le faisceau a une section carrée de × et le dispositif fait 2 m long. La densité de flux est le nombre d’électrons par unité de surface perpendiculaire au faisceau et par unité de temps. Que devrait être la densité de flux minimale Imin s’il existe au moins un électron dans le dispositif à un instant donné ? 0.3 0.8 1.2 0.4