Algèbre - Faculté Polydisciplinaire de Khouribga

Algèbre
Pr. Driss El
Moutawakil
Chapitre 1 :
Matrices
Algèbre
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Pr. Driss El Moutawakil
Université Hassan 1er,
Faculté polydisciplinaire de Khouribga, BP. 145,
Khouribga, Maroc.
Année Universitaire: 2016 - 2017
Plan du Cours
Algèbre
Pr. Driss El
Moutawakil
Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
1
2
3
4
5
Chapitre 1 : Matrices
Chapitre 2 : Déterminants
Chapitre 3 : Systèmes linéaires
Chapitre 4 : Espaces vectoriels
Chapitre 5 : Diagonalisation
Algèbre
Pr. Driss El
Moutawakil
Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Chapitre 1
Matrices
1. Dénitions
Algèbre
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Moutawakil
Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénitions
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres,
appelées coecients de la matrice, qui sont arrangés dans
une grille de lignes horizontales et de colonnes. Chaque
coecient est l'intersection d'une ligne et d'une colonne.
Une matrice à m lignes et n colonnes est dite de taille
(m, n).
Pour parler d'une matrice en général, on utilise les deux
notations :

a11 a12 · · ·
 a21 a22 · · ·

A= .
..
 ..
.
am1 am2 · · ·

a1n
a2n 

..  ou A = (aij )1≤i≤m
. 
1≤j≤n
amn
Algèbre
aij s'appelle coecient d'indice (i, j)
Pr. Driss El
Moutawakil
La matrice de taille (m, 1) s'appelle matrice uni-colonne
La matrice de taille (1, n) s'appelle matrice uni-lignei
Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Exemples
1
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
1 3 0 −4
A = 5 11 −2 6  est une matrice de type (3, 4)
7 2 0 10
 
1
A = 2 est une matrice uni-colonne
3
A = 7 2 0 10 est une matrice uni-ligne

2
3

2. Algèbre des matrices
Algèbre
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Pour les matrices, on peut eectuer les opérations d'addition,
soustraction, multiplication par un réel, produit, transposition et
les opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes.
2-1. Addition
Algèbre
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénition
Soient A = (aij )1≤i≤m et B = (bij )1≤i≤m deux matrices
≤j≤n
≤j≤n
1
même type
telle que :
1
de
. Alors, A + B est aussi une matrice de type (m, n)
A + B = (aij + bij )1≤i≤m
1
≤j≤n
Exemple
1 3 0
5 11 −2
2 5 7
6 3 2
+
=
2-2. Multiplication par un réel
Algèbre
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Chapitre 1 :
Matrices
Dénition
Soit A = (aij )1≤i≤m et λ ∈ R. Alors, λA est une matrice de
≤j≤n
1
type (m, n) telle que :
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
λA = (λaij )1≤i≤m
≤j≤n
1
Exemple
1 3 0
2
5 11 −2
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Remarque
On a : −A = (−1)A
=
2-3. Soustraction
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Dénition
Soient A = (aij )1≤i≤m et B = (bij )1≤i≤m deux matrices
≤j≤n
même type
Chapitre 5 :
Diagonalisation
1
. Alors, on a :
A − B = A + (−1)B = (aij − bij )1≤i≤m
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
≤j≤n
1
≤j≤n
1
Exemple
1 3 0
5 11 −2
2 5 7
6 3 2
−
=
de
2-4. Produit
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Dénition
Soient A = (aij )1≤i≤m et B = (bij )1≤i≤p deux matrices
≤j≤p
1
A égale au nombre de lignes
B . Alors, AB est une matrice C de type (m, n) telle que :
que le nombre de colonnes de
de
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
cij =
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
telles
≤j≤n
1
p
X
aik bkj
k=1
Remarque
Pour calculer cij , on multiplie la ième ligne de A par la jème
colonne de B .
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Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Exemples
1 3 5
2 5
=
5 −2 0
6 3
1 3
2 5
=
5 −2
6 3

 

−1 0 3
2 1 −3
 2 5 0 −1 5 0  =
1 0 5
0 2 1
1
2
3
2-5. Matrice nulle
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Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénition
La matrice nulle de type (m, n), notée O(m,n) , est la matrice
dont tous les coecients sont nuls. Elle peut être citée avec
n'importe quelle type.
Exemples
1 3 5
1 3 5
−
= O( , )
5 −2 0
5 −2 0
1 3
1 3
−
= O( , )
5 −2
5 −2

 

−1 0 3
−1 0 3
 2 5 0  −  2 5 0  = O( , )
1 0 5
1 0 5
1
2
3
2 3
2 2
3 3
2-6. Propriétés
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Propriétés
A+O =O+A=A
AO = OA = O
A0 = 0A = O
A+B =B +A
(A + B) + C = A + (B + C )
(AB)C = A(BC )
λ(αA) = α(λA) = (λα)A
Remarque
On a pas toujours AB = BA.
2-7. Matrice transposée
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénition
La transposée d'une matrice A, notée AT , est obtenue en
intervertissant les lignes et les colonnes de A.
Exemples
1 3
A=
5 −2

−1 0
B= 2 5
1 0
1
2
5
0

3
0
5
3. Matrices carrées particulières
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénition
Soit A = (aij )1≤i≤m une matrice.
≤j≤n
1
Si m = n, alors A est dite matrice carrée de taille n. Dans ce
cas, on écrit : A = (aij )1≤i,j≤n ou A = (aij )n
3-1. Matrice diagonale
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Chapitre 1 :
Matrices
Dénition
Une matrice carrée A = (aij )1≤i,j≤n est dite diagonale si :
aij = 0, ∀i 6= j . Une matrice diagonale A s'écrit :
Chapitre 2 :
Déterminants



A=

Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
0···
a11
0
..
.
a22 · · ·
..
0
.
0···
0
0


.. 
. 
ann
Exemple

−5
A= 0
0
0 0
11 0
0 3

3-2. Matrice triangulaire supérieure
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Chapitre 1 :
Matrices
Dénition
Une matrice carrée A = (aij )1≤i,j≤n est dite triangulaire
supérieure si : aij = 0, ∀i > j . Une matrice triangulaire
supérieurement A s'écrit :
Chapitre 2 :
Déterminants

a11 a12 · · ·
 0 a22 · · ·

A= .
..
 ..
.
0 0···
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation

a1n
a2n 

.. 
. 
ann
Exemple
0 4 −3
A = 0 11 1 
0 0 3


3-2. Matrice triangulaire inférieure
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Chapitre 1 :
Matrices
Dénition
Une matrice carrée A = (aij )1≤i,j≤n est dite triangulaire
inférieure si : aij = 0, ∀i < j . Une matrice triangulaire
inférieurement A s'écrit :
Chapitre 2 :
Déterminants
a11 0 · · ·
a21 a22 · · ·

A= .
..
 ..
.
an1 an2 · · ·

Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
0
0


.. 
. 
ann
Exemple

−5
A= 2
4
0 0
11 0
0 3

3-3. Matrice symétrique
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénition
Une matrice carrée A = (aij )1≤i,j≤n est dite symétrique si
A = AT , ce qui est équivalent à :
aij = aji , ∀i, j
Exemple
1 5 3
A = 5 2 1 
3 1 −9


3-4. Matrice identité ou Matrice unité
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Chapitre 1 :
Matrices
Dénition
La matrice unité de taille n, notée In , est une matrice carrée
diagonale de taille n dont tous les coecients diagonaus sont
des 1. Plus précisément, ona :
Chapitre 2 :
Déterminants
1 0··· 0
0 1 · · · 0 


Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
In =  .
 ..
..
.
.. 
.
0 0··· 1
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation


Remarque
Pour toute matrice carrée A de taille n, on a :
AIn = In A = A.
On utilise la matrice unité de taille correspondant au
contexte.
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Exemples
1 0
I =
0 1
Chapitre 1 :
Matrices
2
Chapitre 2 :
Déterminants
1 0 0
I = 0 1 0
0 0 1
Chapitre 5 :
Diagonalisation


Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
3
1
0
I =
0
0

4
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0

0
1

Algèbre
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Chapitre 2
Déterminants
1. Dénitions
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénitions
Le déterminant d'une matrice carrée A est nombre réel,
noté det(A), qu'on associe à A et qui apparaît dans
plusieurs formules.

a11
a21

Pour une matrice A =  ..
 .
an 1
le déterminant de A s'écrit :
a11
a21
det(A) = .
..
an1
a12 · · ·
a22 · · ·
..
.
an2 · · ·
a12 · · ·
a22 · · ·
..
.
an 2 · · ·

a1n
a2n 

.. ,
. 
ann
a1n a2n .. . ann 2. Déterminants d'ordre 2 et 3
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénitions
Le déterminant d'une matrice carrée A =
a c
b d
est :
a c = ad − bc
det(A) = b d
Le déterminant d'une matrice carrée d'ordre 3 se caclcule
en utilisant la règle de Sarrus. On a :
a11 a12 a13 a21 a22 a23 =
a31 a32 a33 Algèbre
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Exemples
1
2
1
4
7
−1
=
5
2 3
5 6 =
8 9
3. Déterminants d'une matrice triangulaire
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Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Le déterminant d'une matrice carrée triangulaire est le produit
de ses coecients diagonaux.
Exemples
1 3
4
0 −2 1
0 0 −4
0 0
0
5
1
=
1
5
2 0
0 0
2 5
0 0
3 4 −3 0
4 −2 1 −1
5 −5 2
7
0
0
0 =
0
3
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Exemples
2 0
0 −2
0 0
1
0
det(In ) = .
..
0
0 0 =
−4
0 · · · 0
1 · · · 0
..
.
.. =
.
0 · · · 1
4. Calcul d'un déterminant quelconque
Algèbre
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Les règles à suivre :
Un déterminant change de signe si on permute deux lignes
ou deux colonnes
c
a c b d = − d
a d
=
b c
b a
Multiplier un déterminant par un réel λ équivaut à
multiplier λ par une ligne ou une colonne
a c λa λc λa c λ
=
=
b d b d λb d Un déterminant ne change pas si on ajoute à une ligne
(resp. une colonne) une autre ligne multipliée par un réel
(resp. une autre colonne multipliée par un réel)
a c a + λc
b d = b + λd
c a
c =
d b + λa d + λc Algèbre
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Calcul pratique
Calculons les
suivants :
déterminants
1
2
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
3
1
D1 = 2
3
3
D2 = 2
3
1
2
D3 = 2
3
2 3
2 1
−1 2
5 2
1 5
−2 2
0 −1
3 2
4 2
1 5
2 −2
1 −3
5. Matrice inversible
Algèbre
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Dénition
Soit A une matrice carrée d'ordre n.
On dit que A est inversible s'il existe une matrice B d'ordre n
telle que : AB = BA = In .
La matrice B s'appelle la matrice inverse de la matrice A et on
la note par : A−1 .
Exemple
2 7
A=
1 4
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Résultat
4 −7
et B =
−1 2
A est inversible si et seulement si det(A) 6= 0.
6. La comatrice d'une matrice
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Dénition
Soit A = (aij )n une matrice carrée d'ordre n. On note par Aij la
matrice déduite de A en éliminant la ième ligne et la jème
colonne de A.
La comatrice de A, notée Com(A), est la matrice dénie par :
Com(A) = ((−1)i+j det(Aij ))1≤i,j≤n
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Exemple
2
1

1

B= 1
2
1
2
A=
7
4

1 1
2 3
4 5
Algèbre
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Résultat
Soit A une matrice carré d'ordre n.Si A est inversible, alors ona :
Chapitre 1 :
Matrices
A−1 =
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
1
det(A)
(Com(A))T
Exemple
Calculons 
les matrices
 inverses des matrices suivantes :
1 1 1
1
Chapitre 5 :
Diagonalisation
A = 1 2 3
2
1

B= 2
3

2
4
2
3
1
5

3
1
2
Algèbre
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Chapitre 3
Systèmes linéaires
1. Equation linéaire
Algèbre
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénition
Une équation linéaire à n inconuues x1 , x2 , . . . , xn à coecients
dans R est une égalité de type :
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn = b1
où a1 , a2 , . . . , an et b1 sont des constantes données dans R.
Exemples
Chercher x, y , z ∈ R tel que : 2x + y − z = 0
√
L'équation 2x12 + x2 + 3x3 + 5x4 = 0 n'est pas linéaire.
2. Système linéaire
Algèbre
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Moutawakil
Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénition
Un système linéaire de m équations linéaires à n inconuues
x1 , x2 , . . . , xn à coecients dans R est de la forme suivante :

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn = b1 (E1 )




a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = b2 (E2 )




..
.
..
.
..
.
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + . . . + amn xn = bm (Em )
où les inconnues sont x1 , x2 , . . . , xn et les nombres
b1 , b2 , . . . , bm et les aij sont des constantes données dans R.
Algèbre
Exemple
x1 − 3x2 + 4x3 − 2x4
−2x1 + 3x2 − x3 + 2x4
5x1 + 2x2 + x3 + x4



2x1 + x2 − 3x3
Pr. Driss El
Moutawakil




Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
=
=
=
=
3
0
−2
4
Remarque
Une solution d'un système linéaire est tout élément
(x1 , x2 , . . . , xn ) de Rn vériant toutes les équations du système.
L'ensemble des solutions S d'un système linéaire est l'un des
cas suivants :
L'ensemble vide
Une solution unique
Une innité de solutions.
3. Résolution d'un système linéaire par la méthode
de Gauss
Algèbre
Pr. Driss El
Moutawakil
Chapitre 1 :
Matrices
Calcul pratique
1
Chapitre 2 :
Déterminants
x − x + 3x
2x + 3x + 2x

x + 4x − x

 2x + x − 2x
3x + 2x + 2x

5x + 4x + 3x
x + 2x − 3x
2x + 4x − 6x

 x + 2x − 3x
2x − x + 4x

4x + 3x − 2x


1
1
2
1
1
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
2
2
3
Chapitre 5 :
Diagonalisation
2
3
3
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
4
2
3
1
1
2
3
2
3
2
3
= −2
=1
=2
= 10
=1
=4
=6
= 12
=6
=2
= 14
4. Ecriture matricielle d'un système linéaire
Algèbre
Pr. Driss El
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
On considère le système linéaire (S) :





a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = b2




am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + . . . + amn xn = bm
..
.
..
.
..
.
On pose :

a11 a12 · · ·
 a21 a22 · · ·

A= .
...
 ..
am1 am2 · · ·

 
 
a1n
x1
b1
x2 
 b2 
a2n 

 
 
X =  .  et B =  . 
.. 
.



 .. 
.
.
amn
xn
bm
Alors l'écriture matricielle du système (S) est AX = B .
Cas particulier
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Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
On considère le système linéaire (S) :

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn = b1



 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = b2




..
.
..
.
..
.
an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + . . . + ann xn = bn
et son écriture matricielle AX = B avec :

a11 a12 · · ·
a21 a22 · · ·

A= .
...
 ..
an1 an2 · · ·

 
 
a1n
x1
b1
 x2 
b2 
a2n 

 
 
X =  .  et B =  . 
.. 
.



 .. 
.
.
ann
xn
bn
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Matrices
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Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Résultat
Si la matrice A est inversible, alors le système (S) possède une
solution unique X telle que X = A−1 B
Exemple
x +x +x = 2
2x − x − 3x = −3

3x + x − x = 0


1
1
2
2
1
3
3
2
3
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Matrices
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Déterminants
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Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Chapitre 4
Espaces vectoriels
1. Loi de composition interne
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Déterminants
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Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénition
Soit E un ensemble. On dit que (∗) est une loi de composition
interne sur E si pour tous x, y ∈ E , on a : x ∗ y ∈ E .
Exemple
1
2
E = R et ∗ = +. L'addition usuelle est une loi de
composition interne sur R.
E = N et ∗ = −. La soustraction usuelle n'est pas une loi
de composition interne sur N.
Dénition
La loi ∗ est dite commutative sur E si pour tous x, y ∈ E , on a :
x ∗ y = y ∗ x.
2. Groupe
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Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénition
Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne (∗).
On dit que (E , ∗) est un groupe si les trois propriétés suivantes
sont vériées :
g1 ) ∀x, y , z ∈ E , on a (x ∗ y ) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) (Associativité)
g2 ) ∃e ∈ E , ∀x ∈ E , on a x ∗ e = e ∗ x = x (Existence d'un
élément neutre )
g3 ) ∀x ∈ E , ∃x 0 ∈ E tel que x ∗ x 0 = x 0 ∗ x = e (Tout
élément est symétrisable)
Si de plus la loi (∗) est commutative sur E, alors (E , ∗) est
appelé groupe commutatif ou abélien.
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Matrices
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Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Exemple
1
(R, +) est un groupe commutatif.
2
(R, ×) n'est pas un groupe.
3
(R∗ , ×) est un groupe commutatif.
3. Loi de composition externe
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Matrices
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Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénition
Soit E un ensemble. On dit que (.) est une loi de composition
externe sur E si pour tout x ∈ E et tout α ∈ R, on a : α.x ∈ E .
Exemple
1
2
E = R et ∗ = ×. La multiplication usuelle est une loi de
composition externe sur R.
E = N et ∗ = ×. La multiplication usuelle n'est pas une loi
de composition externe sur N.
4. Espace vectoriel
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Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénition
Un espace vectoriel E sur R est ensemble muni d'une loi de
composition interne (∗) et d'une loi de composition externe (.)
tel que :
ev1 ) (E , ∗) est un groupe commutatif
ev2 ) ∀x, y ∈ E , ∀α ∈ R, on a : α.(x ∗ y ) = α.x ∗ α.y
ev3 ) ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ E , on a : (α + β).x = α.x ∗ β.x
ev4 ) ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ E , on a : (α × β).x = α.(β.x)
ev5 ) ∀x ∈ E , on a : 1.x = x
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Exemple
1
Chapitre 1 :
Matrices
2
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 5 :
Diagonalisation
(R2 , +, .) est un espace vectoriel sur R pour les lois (+) et
(.) dénies par :
(x1 , x2 )+(y1 , y2 ) = (x1 +y1 , x2 +y2 ) et α.(x1 , x2 ) = (αx1 , αx2 )
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
(R, +, ×) est un espace vectoriel sur R.
3
En général, pour tout n ≥ 2, (Rn , +, .) est un espace
vectoriel sur R pour les lois (+) et (.) dénies par :
(x1 , x2 , . . . , xn )+(y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 +y1 , x2 +y2 , . . . , xn +yn )
et α.(x1 , x2 , . . . , xn ) = (αx1 , αx2 , . . . , αxn )
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Remarques
1
0Rn = (0, 0, . . . , 0)
2
Un élément x ∈ Rn s'écrit sous la forme
x = (x1 , x2 , . . . , xn )
3
Pour tout α ∈ R et tout x ∈ Rn , on a : 0.x = 0Rn et
α.0Rn = 0Rn
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
L'élément neutre du groupe commutatif (Rn , +) est
4
Pour tout α ∈ R et tout x ∈ Rn , on a :
αx = 0Rn ⇐⇒ α = 0 ou x = 0Rn
5. Sous-espace vectoriel
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Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénition
Soient (E , ∗, .) un espace vectoriel et F une partie de E . On dit
que F est sous-espace vectoriel de E si les deux propriétés
suivantes sont vériées :
sev1 ) F est non vide
sev2 ) ∀x, y ∈ F , on a x ∗ y ∈ F
sev3 ) ∀α ∈ R, ∀x ∈ F , on a : α.x ∈ F
6. Sous-espace vectoriel de Rn
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Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Proposition
Une partie F de Rn est un sous-espace vectoriel de (Rn , +, .) si
les deux propriétés suivantes sont vériées :
sev1 ) 0Rn ∈ F
sev2 ) ∀α ∈ R, ∀x, y ∈ F , on a : x + α.y ∈ F
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Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Exemple
1
L'ensemble U = {(x, y , z) ∈ R3 /x + y = 0} est un sev de
R3
2
3
L'ensemble V = {(x, y , z) ∈ R3 /x + y + z = 0} est un sev
de R3
L'ensemble U ∩ V est un sev de R3
Proposition
Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriel de E . Alors F1 ∩ F2
est un sous-espace vectoriel de E .
7. Combinaison linéaire
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Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénition
Soient A = {x1 , x2 , . . . , xn } une famille d'un espace vectoriel
(E , +, .) et α1 , α2 , . . . , αn des éléments de R.
1
L'élément
n
X
i=1
2
αi xi = α1 x1 + α2 x2 , . . . , αn xn s'appelle une
combinaison linéaire des vecteurs xi .
L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires des
vecteurs de A s'appelle le sous-espace vectoriel engendré
par A ou par la famille {x1 , x2 , . . . , xn }. Ce sous-espace
vectoriel est noté par Vect(A).
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Matrices
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Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Exemple
Soient u = (1, 2, 3) et v = (0, 1, −1) deux vecteurs de l'espace
vectoriel R3 .
1
2u + 3v = (2, 7, 3) est une combinaison linéaire de u et v .
2
5u − 2v = (5, 8, 17) et 0u + 0v = (0, 0, 0) sont des
combinaisons linéaires de u et v .
3
Vect({u, v }) = {(α1 , 2α1 + α2 , 3α1 − α2 )/α1 , α2 ∈ R}.
8. Famille génératrice
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Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénition
Soient S = {x1 , x2 , . . . , xn } une famille d'un espace vectoriel
(E , +, .).
1
2
3
On dit que S engendre E si Vect(S) = E .
Si S engendre E alors pour tout x ∈ E , il existe
α1 , α2 , . . . , αn ∈ R tels que x = α1 x1 + α2 x2 , . . . , αn xn .
On dit S engendre E ou S est une partie génératrice de E .
Exemple
1
2
La famille {(1, 0), (0, 1)} est une partie génératrice de R.
La famille {(1, 1), (1, −1)} est une partie génératrice de R.
9. Famille libre
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Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Dénition
Soient L = {x1 , x2 , . . . , xn } une famille d'un espace vectoriel
(E , +, .) et α1 , α2 , . . . , αn des éléments de R.
On dit que L est libre ou que les vecteurs x1 , x2 , . . . , xn sont
linéairement indépendants si :
Pour tous ∀α1 , α2 , . . . , αn ∈ R, on a :
n
X
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
αi xi = 0E =⇒ α1 = α2 = . . . = αn = 0
i=1
Remarque
Une famille qui n'est pas libre est dite famille liée.
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Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Exemple
1
2
3
4
La
La
La
La
famille
famille
famille
famille
{(1, 0), (0, 1)} est libre.
{(1, 1), (1, −1)} est libre.
{(1, 1), (−1, −1)} est liée.
{0E } est liée.
Remarques
1
2
3
Si B ⊂ A et A est libre, alors B est libre.
Si B ⊂ A et B est liée, alors A est liée. Par conséquent,
toute famille qui contient {0E } est liée.
Si {x1 , x2 , . . . , xn } est liée, alors l'un au moins des vecteurs
de cette famille s'écrit comme combinaison linéaire des
autres vecteurs.
10. Base d'un espace vectoriel
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Systèmes
linéaires
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Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénition
Soit B une partie d'un espace vectoriel (E , +, .). On dit que B
est une base de E si B est libre et génératrice.
Exemple
1
2
3
La famille {(1, 0), (0, 1)} est une base de R2 .
La famille {(1, 1), (1, −1)} est une base de R2 .
La famille {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} est une base de R3 .
Remarque
En général, la famille {e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 =
(0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1)} est une base de
l'espace vectoriel Rn , appel`'ee base canonique de Rn .
11. Dimension d'un espace vectoriel
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Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénition
Le cardinal d'une base B d'un espace vectoriel E , càd le nombre
des éléments de B , s'appelle la dimension de E et on la note
dim(E ).
Exemple
1
2
La famille {(1, 0), (0, 1)} est une base de R2 donc
dim(R2 ) = 2.
La famille {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} est une base de R3
donc dim(R3 ) = 2. En g«éral, on a dim(Rn ) = n pour tout
n ≥ 1.
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Déterminants
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Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Remarque
En général, la famille {e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 =
(0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1)} est une base de
l'espace vectoriel Rn . Donc dim(Rn ) = n.
Théorème
Soit B une partie de cardinal n d'un espace vectoriel E de
dimension n. Alors B est une base de E si et seulement si B est
libre ou génératrice.
Exemple
{(1, 3), (1, 4)} est une famille libre de R . Donc c'est une base
2
de R .
2
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Matrices
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Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Chapitre 5
Diagonalisation
1. Valeur propre - Vecteur propre
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Matrices
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Déterminants
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Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénitions
Soient A une matrice carrée de taille n et λ un réel
On considère l'équation :
Chercher X ∈ Rn tel que : AX = λX
Le vecteur nul (0, 0, ...., 0) est une solution triviale de cette
équation
Cette équation possède une innité de solutions dans Rn
λ est appelé valeur propre de A
X est appelé vecteur propre de A associé à λ
La matrice A − λIn s'appelle matrice caractéristique de A
2. Polynôme caractéristique
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénitions
Soient A une matrice carrée de taille n et λ un réel
Le polynôme caractéristique pA de la matrice A est dénie
par :
pA (λ) = det(A − λIn )
Les racines de pA sont les valeurs propres de A
Exemple
Déterminons les valeurs propres ainsi que les vecteurs propres
associés de la matrice A dénie par :
0 2 −1
A = 2 0 1 
1 1 0


3. Matrice diagonalisable
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Matrices
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Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénition
Une matrice carrée A de taille n est dite diagonalisable si il
existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D
telles que : A = PDP −1
Remarque
On a : A = PDP −1 ⇐⇒ P −1 AP = D
Toute matrice symétrique est diagonalisable
4. Sous-espace propre associé à une valeur propre
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Chapitre 1 :
Matrices
Chapitre 2 :
Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Dénition
Soit λ une valeur propre d'une matrice carrée A. Le sous-espace
propre associé à λ, noté Eλ , est formé de tous les vecteurs
propres associés à λ.
Remarques
Pour tout λ ∈ sp(A), Eλ est un sous-espace vectoriel.
Si PA (x) = (x − λ)α Q(x) tel que Q(λ) 6= 0. Alors λ est
dite valeur propre de A d'ordre de multiplicité α et on note
o(λ) = α.
Pour tout λ ∈ sp(A), on a : dim(Eλ ) ≤ o(λ).
5. Diagonalisation d'une matrice
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Chapitre 1 :
Matrices
Proposition
Chapitre 2 :
Déterminants
Une matrice carrée A est diagonalisable si et seulement si pour
toute valeur propre λ de A,on a dim(Eλ ) = o(λ).
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Remarque
Toute matrice carrée A d'ordre n ayant n valeurs propres 2 à 2
distinctes λ1 , λ2 , . . . , λn , est diagonalisable
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Déterminants
Chapitre 3 :
Systèmes
linéaires
Chapitre 4 :
Espaces
vectoriels
Chapitre 5 :
Diagonalisation
Exemples
0 2 −1
A = 2 0 1 
1 1 0


1 0 0
B = 2 4 −3
7 0 1

