Espaces vectoriels - Institut de Mathématiques de Toulouse

UT2J Département de Mathématiques et Informatique
Année 2015-2016
Licence MIASHS 1ère année
Mathématiques S2 (MI005AX)
Feuille de T.D. n◦ 1 Besoin d'espace (vectoriel)
emmanuel
bureau GS256
tél : 05 61 50 48 93
[email protected]
www.math.univ-toulouse.fr/∼hallouin/eh-L1-S2-MIASHS.html
hallouin
Exercice 1 : Sont-ce des sous-espaces vectoriels, that is the question
Les ensembles suivants sont-ils des R-espaces vectoriels (rappel : la façon la plus commode de montrer
qu'un ensemble est un espace vectoriel est de prouver que c'est un sous-espace vectoriel).
1. Dans R, les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels :
(a) R
(b) {0}
(c) [−1, 1].
2. Dans R2 , les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels :
(a) ( xy ) ∈ R2 , x + y = 0 ,
(c) ( xy ) ∈ R2 , 3x + y = x − y = 0 ,
(e) ( xy ) ∈ R2 , |x| = |y| .
(b) ( xy ) ∈ R2 , x + y = 1 ,
(d) ( xy ) ∈ R2 , x > 0 ,
3. Dans R3 , les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels :
(a)
(c)
n x y
z
n x y
z
o
∈ R3 , x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,
(b)
o
∈ R3 , 3x + y + z = x − y + 4z = 0 ,
(d)
n x y
z
n x y
z
o
∈ R3 , x + y + z > 0 ,
o
∈ R3 , x − y + z = 0 .
4. Dans F(R, R), l'ensemble des fonctions de R dans R, les sous-ensembles suivants sont-ils des sousespaces vectoriels :
a. L'ensemble des fonctions croissantes.
b. L'ensemble des fonctions monotones.
c. L'ensemble des fonctions dérivables.
d. L'ensemble des fonctions périodiques.
e. L'ensemble des fonctions périodiques de période 2π .
f. L'ensemble des fonctions admettant un développement limité à l'ordre 2.
5. Dans R[X], l'espace des polynômes à coecients réels, les sous-ensembles suivants sont-ils des
sous-espaces vectoriels :
(a) {P ∈ R[X], deg(P ) = d},
(c) {P ∈ R[X], P (0) = 0},
(b) {P ∈ R[X], deg(P ) 6 d},
(d) {P ∈ R[X], P (1) = 1},
où d désigne un entier positif.
Exercice 2 : Vect
Soit E un R-espace vectoriel et x1 , . . . , xn (n > 1) des éléments de E . On rappelle que Vect(x1 , . . . , xn )
désigne le sous-espace vectoriel engendré par x1 , . . . , xn .
Ècrire sous la forme de sous-espace engendré les sous-espaces suivants ; on précisera dans chaque cas,
l'espace vectoriel ambiant.
1. La droite du plan passant par l'origine et de pente 2.
2. Les triplets de réels ayant une deuxième composante nulle.
3. Les matrices triangulaires supérieures 3 × 3.
4. Les polynômes de degré 6 3.
5. Les polynômes pairs.
1
Exercice 3 : Vielles histoires de famille
1. La famille (( 12 ) , ( 13 ) , ( 14 )) est-elle une famille libre de R2 ? Et une famille génératrice ? Et une base ?
2. La famille (v1 , . . . , vr ) de R3 est-elle une famille libre de R3 ? Et une famille génératrice ? Et une
base ? Pour les vi , on considérera
:
1 les cas
−2suivants
2
a. v1 = 1 , v2 = 3 , v3 = 1 .
b.
c.
d.
3. a.
11 10 3 2
−3
v1 = 0 , v2 = 1 , v3 =
.
3
2
0 2
0
−4
v1 = 1 , v2 = 0 , v3 = −2 .
1
0 01 −6 0
7
v1 = −2 , v2 = 3 , v3 = 3 , v4 = 0 .
−4
0
−1
3
Dans R3 , on considère les deux vecteurs :


−1
v1 = −2
−5
 
−2

v2 = −1 .
−4
et
Montrer que la famille (v1 , v2 ) est libre puis compléter la en une base de R3 .
b. Même question avec :


1
v1 =  1 
−4


1
v2 =  2  .
−3
et
c. Même question avec :


1
v1 = −1
4
 
1

v2 = 2 .
3
et
4. Soit {e1 , e2 , e3 } la base canonique de R3 . Les vecteurs :
v1 = e1 + e2 − e3 ,
v2 = −e1 + 3e2 − e3 ,
et v3 = 4e2 − 2e3
forment-ils une famille libre. Et une famille génératrice ? Et une base ?
Exercice 4 : Dans la quatrième dimension
On se place dans R4 .
1. On considère la famille constituée des trois vecteurs :


1
2

v1 = 
−1 ,
0


2
1

v2 = 
−1 ,
0
 
−1
1

v3 = 
 1 ,
0
Montrer que la famille (v1 , v2 , v3 ) est libre puis compléter la en une base de R4 .
2. Dans chacun des cas suivants, dire si la famille (v1 , . . . , vr ) est libre, génératrice, puis donner une
base de Vect(v1 , . . . , vr ). Si la famille est libre, compléter la en une base de R4 ; si la famille est génératrice,
en extraire une base de R4 . 1 2 4
0
1
0
a. v1 = 11 , v2 = 12 , v3 = −2
, v4 = 10 , v5 = 32 .
b.
c.
−1
33 0
1
2
v1 = 3 , v2 = 2 , v3 = 45 .
14 −1
16
0
2
1
1
2
v1 = 3 , v2 = 2 , v3 = 0 , v4
−1
4
11
−1
11 =
2
3
4
5
14
1
.
3. Introduisons les vecteurs de R4 suivants :
 
1
0

u1 = 
2 ,
0


2
0

u2 = 
−3 ,
0


0
2

v1 = 
 0 ,
−2
 
0
3

v2 = 
0
5
Montrer que les sous-espaces U = Vect(u1 , u2 ) et V = Vect(v1 , v2 ) sont en somme directe et que R4 =
U ⊕V.
Exercice 5 : Echange de coordonnées
1. Plaçons nous dans R2 muni de sa base canonique B = (e1 , e2 ) et considérons les éléments :
e01 = e1 + 2e2
e02 = e1 + e2
e001
e002
= e1 − e2
v = e1 + 2e2
w = −e1 + 3e2
= 2e1 − e2
a. Vérier que les deux familles B0 = (e01 , e02 ) et B00 = (e001 , e002 ) sont des bases de R2 .
b. Calculer les coordonnées de v et w dans ces deux nouvelles bases.
2. On reprend le même exercice, mais dans R3 muni de sa base canonique C = (f1 , f2 , f3 ). On considère
les vecteurs v = f1 + 2f2 + 3f3 et w = −f1 + 3f2 + f3 .
a. Vérier que les deux familles :
C 0 = (f1 + 2f2 + 3f3 , f1 − f2 − f3 , f2 + f3 )
et C 00 = (−f1 + f2 , −f1 + 3f3 , 4f1 − 3f2 − 2f3 )
sont des bases de R3 .
b. Calculer les coordonnées de v et w dans ces deux nouvelles bases.
3. Soit :
 
 
 
−1
u =  1 ,
1
1
v = −1 ,
1
1
w =  1 ,
−1
trois vecteurs de R3 écrits dans la base canonique.
3
a. Prouver que la famille (u, v,w) est
une base de R .
2
b. Trouver les coordonnées de −3 (écrit dans la base canonique) sur cette nouvelle base.
−1
Exercice 6 : Encore une histoire de famille
Soit E un R-espace vectoriel de dimension nie d > 1, disons Rd pour xer les idées. Les armations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Accompagner la réponse d'un contre-exemple signicatif si
l'armation est fausse.
1. Toute sous-famille d'une famille génératrice est génératrice.
2. Toute sous-famille d'une famille libre est libre.
3. Toute famille dont une sous-famille est génératrice est génératrice.
4. Toute famille dont une sous-famille est libre est libre.
5. Une famille à d + 1 éléments est nécessairement une famille liée.
6. Une famille à d + 1 éléments est nécessairement une famille génératrice.
7. Une famille telle que toute sous-famille à deux éléments est libre est elle même libre.
Exercice 7 : Partons sur de bonnes bases
Soit E un R-espace vectoriel de dimension d > 1, par exemple Rd . Les armations suivantes sont-elles
vraies ou fausses, là est la question !
1. Toute famille génératrice peut être complétée en une base de E .
2. Toute famille libre peut être complétée en une base de E .
3. Une famille de vecteurs obtenue en retirant un vecteur d'une base est génératrice.
4. Une famille de vecteurs obtenue en retirant un vecteur d'une base est libre.
5. Si on ajoute un vecteur à une base on obtient une famille génératrice.
6. Si on ajoute un vecteur à une base on obtient une famille liée.
3
Exercice 8 : Veau Frais
Pour chacune des armations suivantes, dire si elle est Vraie ou Fausse, puis justier.
1. Si E est engendré par trois éléments alors toute famille à quatre éléments est liée.
2. S'il existe dans E une famille libre à deux éléments alors toute famille à trois éléments est liée.
3. Si E est de dimension 3 alors aucune famille à deux élément n'est génératrice.
4. Une famille à cinq éléments dans un espace vectoriel de dimension 3 est forcément génératrice.
5. Une famille à cinq éléments dans un espace vectoriel de dimension 3 est forcément liée.
6. Pour qu'un plan P et une droite D soient supplémentaires dans R3 il faut et il sut que D 6⊂ P .
7. Deux plans peuvent être supplémentaires dans R3 .
Exercice 9 : Doubles identités
Figurez-vous que dans le milieu (très fermé) des droites et plans de R3 , il est de coutume d'avoir
plusieurs identités ; par exemple les quatres dénominations
 
−1
R  12  ,
4
8x − y + 5z = 0,

12x + y = 0
,
4x + z = 0

 
1
−1
R 3  ⊕ R 2 
−1
2
ne cachent en fait que deux individus, à savoir une droite D et un plan P .
1. Trouver les deux identités correspondant à la droites D puis celles correspondant au plan P .
2. Montrer que la droite D est contenue dans le plan P .
3. Il s'agit maintenant de passer d'une description à l'autre.
a. Donner la seconde identité de la droite et du plan suivants :
3x − 2y + z = 0
2x − y + 3z = 0
−5x + 3y + z = 0
b. Même question avec les droite et plan suivants :


1
R 2 ,
−1


 
2
1
R 1  ⊕ R 5 
−3
−2
Exercice 10 : Visite de l'espace R3
On se place dans R3 , muni de sa base canonique {e1 , e2 , e3 }.
1
1. On considère le plan P d'équation 4x + 5y + 2z ainsi que la droite D engendrée par le vecteur 1 .
1
a. Exhiber une base du plan P ainsi qu'un système d'équations dénissant la droite D.
b. Montrer que R3 = D ⊕ P .
2. On considère le plan P et la droite D dénis par :


 
1
−1



P = R 2 ⊕ R −3
−1
2
(
x−y−z =0
D=
x + 3y + 2z = 0
.
A-t-on D ⊂ P ?
Exercice 11 : Oh surprise des jongleries avec des plans et des droites de l'espace
1. On
le plan P d'équation −3x − 4y + 2z = 0 ainsi que la droite D engendrée par le
1considère
vecteur 2 .
−1
a. Exhiber une base du plan P ainsi qu'un système d'équations dénissant la droite D.
b. Montrer que R3 = D ⊕ P .
2. On considère le plan P et la droite D dénis par :
 
 
−1
1
P = R  2  ⊕ R −3
−1
−1
(
x−y =0
D=
7x − z = 0
A-t-on D ⊂ P ?
4
.
Exercice 12 : Oh surprise des jongleries avec des plans et des droites de l'espace
1. On
le plan P d'équation −2x − 3y + z = 0 ainsi que la droite D engendrée par le
1 considère
vecteur 2 .
2
a. Exhiber une base du plan P ainsi qu'un système d'équations dénissant la droite D.
b. Montrer que R3 = D ⊕ P .
2. On considère le plan P et la droite D dénis par :
 
 
1
1
P = R 2 ⊕ R 3
1
1
(
x+y+z =0
D=
x−y+z =0
.
A-t-on D ⊂ P ?
Exercice 13 : Un toujours aussi bon plan
On se place dans R3 , muni de sa base canonique {e1 , e2 , e3 }.
1. On considère le plan P d'équation 2x − 3y + 5z = 0 ainsi que la droite D engendrée par le
vecteur (1, 3, 2).
a. Exhiber une base du plan P ainsi qu'un système d'équations dénissant la droite D.
b. Montrer que R3 = D ⊕ P .
2. On considère le plan P et la droite D dénis par :


 
1
1



P = R −2 ⊕ R 3 
1
−2
(
y=0
D=
x + 5z = 0
.
A-t-on D ⊂ P ?
Exercice 14 : Un toujours aussi bon plan
On se place dans R3 , muni de sa base canonique {e1 , e2 , e3 }.
1. On
considère
le plan P d'équation −x + 3y + 4z = 0 ainsi que la droite D engendrée par le
−1
1
vecteur
.
−2
a. Exhiber une base du plan P ainsi qu'un système d'équations dénissant la droite D.
b. Montrer que R3 = D ⊕ P .
2. On considère le plan P et la droite D dénis par :
 
 
1
1
P = R 2 ⊕ R 3
1
1
(
2x + y = 0
D=
y + 2z = 0
.
A-t-on D ⊂ P ?
Exercice 15 : Appartenance
Les appartenances suivantes sont-elles vraies :
(1)
5
10
−15
1
1 ∈
3
1 ∈R 2
−3
1
1
R 1 +R 1
−4
12
−16
1
2 ∈
3
(2)
∈R
−1 −1 (3)
3
4
12
50
5
5
∈R
1
3
3
+R
2
1
5
n 1 0 o
0 , 1
(6)
∈ P1 ∩ P2 ,
(5)
Vect
(4)
0
0
1
2
1
1
0
0
où, pour la dernière question, on a posé P1 = R 1 + R 0 et P2 = R 1 + R 0 .
0
1
1
0
Exercice 16 : Tous égaux ?
Les égalités suivantes sont-elles vraies ?
(1) R
1
−2
1
=R
(4) R
1
2
−3
+R
−3 6
−3
−1 −3
4
,
=R
(2) R
0
−1
1
1
−1
2
1
1
−2
+R
=R
2
−2
1
(5) R
,
5
(3) R
,
0
1
−1
1
−2
3
+R
=R
0
2
1
=R
2
−4
6
0
−2
2
+R
−3 +R
6
−9
1
1
1
,
.
Exercice 17 : En direct !
La somme de sous-espaces vectoriels F + G est-elle directe quand :
1. F = Vect (( 11 )) et G = Vect (( 12 )) ?
1
2 )) ?
2. F = Vect ((
et G = Vect (( 2
11))
1
3. F = Vect 1 et G = Vect 2 ?
3
11 1 1 4. F = Vect 1 , −1 et G = Vect −1 ?
11 −1
21
1
5. F = Vect 1 , −1 et G = Vect 0 ?
11 −1
01 1
6. F = Vect 1 , −1 et G = Vect −1 ,
−1
1
1
1
1
−1
?
Exercice 18 : Supplémentaires !
1. Dans R3 , posons F = R
taires dans R3 :
(a) R
−1 2
1
1
1
1
(b) R
?
2. Dans R4 , posons F = R
(a) R
2
1
0
1
1
1
(b)
2
1
2
(d)
1
2
3
. Ce sous-espace vectoriel et les suivants sont-ils supplémen-
(c) Vect
?
1
taires dans R4 :
1
⊕R
0 1 1 , 0
?
1
2
(d) Vect
0
1
−1
0 , −1
?
1
1
2
3
4
⊕R
1
R 21
21 R 10
0
. Ce sous-espace vectoriel et les suivants sont-ils supplémen1
⊕
⊕
R 31
30 R 01
1
(c) R
?
1
0
−1
−2
1
⊕R
0
1
0
?
0
⊕R
1
1
0
?
Exercice 19 : ⊂ ∩ = ⊕
On se place dans R3 .
1. On considère six sous-espaces vectoriels :
1
−2 ,
14 0 R −1 + R −3 ,
11
2 1
R 2 + R −5 ,
0
3
E1 = R
E3 =
E5 =
E2 =
E4 =
E6 =
n x o
y ∈ R3 | x − y + z = 0 ,
z
n x o
y ∈ R3 | 5x = 4y et y = 5z ,
z
−3 2 R −4 + R 6 .
−12
8
Après avoir distingué les droites vectorielles des plans vectoriels, répondre aux questions suivantes :
(a) E1 ⊂ E2 ?
(d) E2 = E3 ?
(g) E4 = E2 ∩ E3 ?
(b) E2 ⊂ E1 ?
(e) E3 = E5 ?
(h) R3 = E1 ⊕ E2 ?
(c) E4 ⊂ E3 ?
(f) E1 = E6 ?
(i) R3 = E1 ⊕ E4 ⊕ E6 ?
2. On recommence avec :
0
1
E1 = R 0 + R 2 ,
1
n x2
o
3
y ∈ R | 5x − y − 4z = 0 ,
E3 =
z
1 1
E5 = R −2 + R 2 ,
1
E2 =
E4 =
E6 =
3
n x y ∈ R3 | x = −y et
z
n x y ∈ R3 | x = z et y
z
2
−3 R 0 +R 0 .
2
−3
o
3x = 2z ,
o
=0 ,
avec les questions :
(a) E2 ⊂ E1 ?
(d) E4 = E6 ?
(g) E2 = E1 ∩ E3 ?
(b) E1 ⊂ E2 ?
(e) E1 = E5 ?
(h) R3 = E3 ⊕ E4 ?
6
(c) E4 ⊂ E3 ?
(f) E3 = E5 ?
(i) R3 = E3 ⊕ E5 ?
Exercice 20 : Sans complexe !
1. Montrer que C, le corps des nombres complexes, est un R-espace vectoriel.
2. Donner une R-base de C. En déduire la dimension de C en tant que R-espace vectoriel.
3. Montrer que pour tout z ∈ C \ R, la famille (1, z) est une R-base de C.
4. a. Soit z1 , z2 , z3 ∈ C. Pourquoi existe-t-il des réels λ1 , λ2 , λ3 ∈ R, non tous nuls, tels que λ1 z1 +
λ2 z2 + λ3 z3 = 0.
b. En déduire que pour z ∈ C, il existe P ∈ R[X] tel que deg(P ) 6 2 et P (z) = 0.
c. Que peut-on choisir pour P quand z vaut i, j, 1 + i ?
Exercice 21 : Un petit peu plus complexe
1. Les vecteurs u = (1, i, −i), v = (1, 1 + 2i, 1 + i) et w = (2, −3, 0) de C3 sont-ils linéairement
indépendants ?
Exercice 22 : A un certain degré
Plaçons nous dans R5 [X] l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 5. Considérons
les sous-espaces vectoriels :
E1 = {P ∈ R5 [X] | P (1) = 0},
E2 = {P ∈ R5 [X] | P (1) = P 0 (1) = 0},
E3 = {P ∈ R5 [X] | x 7→ P (x) est une fonction paire},
E4 = {P ∈ R5 [X] | P (X) = XP 0 (X)}.
1. Au fait quelle est la dimension de l'espace vectoriel R5 [X] ? En donner une base.
2. Assurez vous que les sous-espaces vectoriels annoncés en sont bien.
3. Déterminer une base de chacun de ces sous-espaces vectoriels, puis compléter la base obtenue en
une base de R5 [X].
Exercice 23 : L'espace vectoriel des polynômes
Pour n ∈ N, on désigne par Rn [X] le sous-ensemble de R[X] formé des polynômes de degré inférieur
ou égal à n :
Rn [X] = {P ∈ R[X], deg(P ) 6 n}
1. Qu'est-ce que R0 [X] ?
2. Montrer que pour tout n ∈ N, l'ensemble Rn [X] est un sous-espace vectoriel de R[X]. Donner sa
dimension et exhiber une de ses bases.
3. Soient P0 , P1 , . . . , Pn ∈ Rn [X] des polynômes tels que pour tout i, deg(Pi ) = i. Montrer que la
famille {Pi , 0 6 i 6 n} est une R-base de Rn [X].
4. Soient P ∈ Rn [X] et r ∈ R.
a. Montrer qu'il existe a0 , a1 , . . . , an ∈ R tels que :
P (X) = a0 + a1 (X − r) + · · · + an (X − r)n
Ces réels sont-ils déterminés de façon unique et si oui pourquoi ?
(i)
b. Vérier que pour 0 6 i 6 n, ai = P i!(r) .
c. N'est-ce pas une formule célèbre ? Si oui, quel est son petit nom ?
Exercice 24 : Et si on sortait de Rn ...
Nous allons étudier certaines familles de F(R) le R-espace vectoriel constitué des fonctions de R
dans R.
1. La famille (f1 , f2 , f3 ) de F(R) est-elle libre
a. quand f1 (x) = x, f2 (x) = ex et f3 (x) = sin(x) ?
b. quand f1 (x) = sin(x + a), f2 (x) = sin(x) et f3 (x) = cos(x) ?
2. La famille (f1 , f2 , f3 ) de F(R∗+ , R), avec f1 (x) = ln(x), f2 (x) = ln(3x) et f3 (x) = 1, est-elle libre ?
3. Soient f1 , f2 , f3 , f4 , f5 les fonctions de F(R) dénies par :
f1 (x) = 1,
f2 (x) = x,
f3 (x) = sin2 (x),
f4 (x) = cos2 (x),
Quelle est la dimension du sous-espace de F(R) engendré par f1 , f2 , f3 , f4 , f5 .
7
f5 (x) = ex
Exercice 25 : Vive la parité !
Plaçons nous le R-espace vectoriel F(R, R) constitué des fonctions de R dans R. Considérons les deux
sous-ensemble :
F = {f ∈ F(R, R) | f est paire}
et
G = {f ∈ F(R, R) | f est impaire}.
1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de F(R, R).
2. Vérier que F(R, R) = F ⊕ G.
Exercice 26 : Somme toute
Soit E un R-espace vectoriel de dimension nie d et soit F et G deux sous-espaces vectoriels.
1. Rappeler la formule reliant les dimensions de F + G et de F ∩ G.
2. Supposons que dim(F ) + dim(G) > d. Que peut-on dire de dim(F ∩ G) ?
3. Supposons F et G de dimension (d − 1). Que peut-on dire de dim(F ∩ G) ? Et s'ils sont distincts,
peut-on être plus précis ?
Exercice 27 : Hyper(Bon)Plan
Soit E un R-espace vectoriel de dimension nie d. On appelle hyperplan un sous-espace vectoriel de
dimension d − 1 ; on rappelle qu'une droite vectorielle est un sous-espace vectoriel de dimension 1.
1. Qui sont les hyperlan du plan ? de l'espace ?
2. Montrer que pour tout x 6∈ H , on a E = H ⊕ Rx.
3. Soit H un hyperlan et D une droite. Montrer les équivalences :
H et D sont supplémentaires
⇐⇒
D ∩ H = {0}
⇐⇒
D 6⊂ H
4. Montrer que deux hyperplans H et H 0 admettent un supplémentaire commun.
5. Montrer que la dimension de l'intersection de k hyperplans de E est supérieure ou égal à d − k.
6. a. Soit F un sous-espace strict de E . Montrer que F est une intersection d'un nombre ni
d'hyperplans.
b. Quel est le nombre minimal d'hyperplans vériant la question précédente.
Exercice 28 : Réunionite
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E .
1. La réunion F ∪ G est-elle un sous-espace vectoriel de E ?
2. Montrer l'équivalence :
F ∪ G est un sous-espace vectoriel de E
8
⇐⇒
F ⊂ G ou G ⊂ F .