Le circuit transformé dans le domaine des phaseurs: Courant I1: A

1
GEL-15216 Électrotechnique
1.1
Le circuit transformé dans le domaine des phaseurs:
j 18.85 Ω
I1
+
+
240 V
60 Hz -
-
20 Ω
(13.16 - j14.89) Ω
I4
I3
+ V2 -
V1
+
V3
-
30 Ω
ZT
-j 26.53 Ω
Courant I1:
Vs
240 ∠0°
I 1 = ------ = ------------------------------------------------------------------------------ = 7.18 ∠– 6.8° A
ZT
( 20 + j18.85 + 13.16 – j14.89 )
Tension V1:
V 1 = ( j18.85 )I 1 = 135.44 ∠83.2° V
Tension V2:
V 2 = 20I 1 = 143.71 ∠– 6.8° V
Tension V3:
V 3 = ( 13.16 – j14.89 )I 1 = 142.8 ∠– 55.3° V
Courant I3:
V3
I 3 = ------ = 4.76 ∠– 55.3° A
30
Courant I4:
V3
I 4 = ------------------- = 5.38 ∠34.7° A
– j26.53
Diagramme vectoriel:
V2
V1
V3
240 V
I1
I4
I3
Puissance complexe dans la charge:
S = V s I 1∗ = ( 240 ) ( 7.18 ∠6.8° ) = 1724 ∠6.8° = 1712 + j204
Puissance active:
P = 1712 W
Puissance réactive:
Q = 204 VAR
Facteur de puissance:
fp = cos(6.8°) = 0.993
Diagramme de puissance:
S = 1724 VA
Q = 204 VAR
P = 1712 W
2
GEL-15216 Électrotechnique
1.2
Le circuit transformé dans le domaine des phaseurs:
I1
+
240 V
60 Hz -
V2
j37.7 Ω
I3
+ V3 -
+ V1 - I2
+
V2
-
-j53 Ω
V4
j18.85 Ω
I4
-j53 Ω
I5
+
V4
20 Ω
-
a) On établit les équation d’équilibre du circuit par la méthode des noeuds:
–1
1
1
1
---------------------------- + ---------------- + ----------240
V2
------------j18.85
j37.7 j18.85 – j53
= j37.7
–1
V4
1
1
1
--------------------- + ---------------- + ----------0
j18.85
20 j18.85 – j53
V2
1 + 2 – 0.711
–2
= 240
–2
j1.885 + 2 – 0.711 V 4
0
V2
2.289
–2
= 240
– 2 1.289 + j1.885 V 4
0
On calcule V2 et V4 par la méthode de Cramer.
∆2
V 2 = -----∆
avec ∆ 2 =
et ∆ =
240
–2
0 1.289 + j1.885
2.289
–2
– 2 1.289 + j1.885
= 309.36 + j452.4
= – 1.0495 + j4.3148
V 2 = 123.42 ∠– 48 ° V
∆4
V 4 = -----∆
avec ∆ 4 =
2.289 240
–2
0
= 480
V 4 = 108.09 ∠– 103.7 ° V
On calcule les autres tensions du circuit:
V 1 = V s – V 2 = 240 – ( 123.42 ∠– 48 ° ) = 182.26 ∠30.2° V
V 3 = V 2 – V 4 = ( 123.42 ∠–48 ° ) – ( 108.09 ∠– 103.7 ° ) = 108.89 ∠7° V
On calcule les courants du circuit:
V1
182.26 ∠30.2°
I 1 = ------------- = ------------------------------------- = 4.83 ∠– 59.8° A
j37.7
j37.7
V2
123.42 ∠–48 °
I 2 = ----------- = ------------------------------------ = 2.33 ∠42° A
– j53
– j53
V3
108.89 ∠7°
I 3 = ---------------- = ----------------------------- = 5.78 ∠– 83° A
j18.85
j18.85
3
GEL-15216 Électrotechnique
V4
108.09 ∠–103.7 °
I 4 = ----------- = -------------------------------------------- = 2.04 ∠– 13.7° A
– j53
– j53
V4
108.09 ∠–103.7 °
I 5 = ------ = -------------------------------------------- = 5.4 ∠– 103.7° A
20
20
Diagramme vectoriel:
V3
V1
V2
V4
I4
I2
Vs
I3
I1
I1
b) La puissance complexe dans la charge:
S = V s I 1∗ = 240 ( 4.83 ∠59.8° ) = 584 + j1002.5 = 1160 ∠59.8°
Q = 1002.5 VAR
S=
116
0
VA
Diagramme des puissances:
8°
59.
=
φ
P = 584 W
Le facteur de puissance est:
fp = cos(59.8°) = 0.503
I5
4
GEL-15216 Électrotechnique
1.3
a) Cas où Z2 = (10 + j15) Ω
I1
j 15 Ω
I2
I3
+
10 Ω
240 V
60 Hz -
Le courant I1:
+
V2
-
(6.8 + j2.4) Ω
Z2 (10 + j15) Ω
Vs
240
I 1 = -------------------------------------------- = ---------------------------- = 12.85 ∠– 68.7° A
j15 + ( 6.8 + j2.4 )
6.8 + j17.4
La tension V2:
V 2 = ( 6.8 + j2.4 )I 1 = ( 6.8 + j2.4 ) ( 12.85 ∠– 68.7° ) = 92.64 ∠–49.2°
V1
V2
21.3°
Vs
- 68.7°
I1
V2
I 2 = -----Z2
Le courant I2:
La puissance complexe dans Z2 est:
2
2
V2 ∗
V 2 V 2∗
V2
( 92.64 )
S 2 = V 2 I 2∗ = V 2  ------ = ----------------- = ------------ = ---------------------- = 264 + j396
 Z 2
10 – j15
Z 2∗
Z 2∗
La puissance active dans Z2:
P = 264 W
La puissance réactive dans Z2:
Q = 396 VAR
b) Cas où Z2 = (10 - j7.5) Ω
I1
j 15 Ω
I2
I3
+
240 V
60 Hz -
10 Ω
+
V2
-
Z2 (10 - j7.5) Ω
(5.62 - j1.64) Ω
5
GEL-15216 Électrotechnique
Vs
240
I 1 = -------------------------------------------------- = ------------------------------- = 16.56 ∠– 67.2° A
j15 + ( 5.62 – j1.64 )
6.8 + j13.36
Le courant I1:
La tension V2:
V 2 = ( 5.62 – j1.64 )I 1 = ( 5.62 – j1.64 ) ( 16.56 ∠– 67.2° ) = 96.94 ∠– 83.5°
V1
V2
22.8°
Vs
- 67.2°
I1
V2
I 2 = -----Z2
Le courant I2:
La puissance complexe dans Z2 est:
2
2
V2 ∗
V 2 V 2∗
V2
( 96.94 )


S 2 = V 2 I 2∗ = V 2 ------ = ----------------- = ------------ = ----------------------- = 601 – j451
 Z 2
10 + j7.5
Z 2∗
Z 2∗
1.4
La puissance active dans Z2:
P = 601 W
La puissance réactive dans Z2:
Q = 451 VAR
Le circuit transformé dans le domaine des phaseurs:
- j 15 Ω
j 25 Ω
I
I
1
2
+ V1 +
Vs1
240 V
60 Hz
20 Ω
-
+
V3
-
+ V2 j 30 Ω
+
-
Vs2
150 V
60 Hz
a) On établit l’équation d’équilibre du circuit en utilisant la méthode des noeuds:
V s1 V s2
1
1
1
1
-------- + ------ + -------- + ----------- V 3 = --------- + ----------j25 20 j30 – j15
j25 – j15
[ 1.2 + j1.5 + 1 – 2 ]V 3 = 1.2V s1 – 2V s2
[ 0.2 + j1.5 ]V 3 = 1.2V s1 – 2V s2
Alors:
1.2V s1 – 2V s2
1.2 ( 240 ∠0° ) – 2 ( 150 ∠0° )
V 3 = ------------------------------------- = ---------------------------------------------------------------------- = 7.93 ∠97.6° V
0.2 + j1.5
0.2 + j1.5
On calcule les courants I1 et I2:
V s1 – V 3
( 240 ∠0° ) – ( 7.93 ∠97.6° )
I 1 = ---------------------- = ------------------------------------------------------------------- = 9.65 ∠–91.9° A
j25
j25
6
GEL-15216 Électrotechnique
V 3 – V s2
( 7.93 ∠97.6° ) – ( 150 ∠0° )
I 2 = ---------------------- = ------------------------------------------------------------------- = 10.08 ∠– 93° A
– j15
– j15
On calcule les tensions V1 et V2:
V 1 = j25 × I 1 = j25 × ( 9.65 ∠– 91.9° ) = 241.18 ∠– 1.9° V
V 2 = – j15 × I 2 = – j15 × ( 10.08 ∠– 93° ) = 151.25 ∠177° V
Diagramme vectoriel:
Vs1
Vs2
V3
V2
V1
b) La puissance complexe fournie par la source Vs1 est:
S 1 = V s1 × I 1∗ = ( 240 ) × ( 9.65 ∠91.9° ) = – 75.5 + j2314
1.5
Puissance active fournie par la source Vs1:
P = -75.5 W
Puissance réactive fournie par la source Vs1:
Q = 2314 VAR
Le circuit transformé dans le domaine des phaseurs:
j37.7 Ω
15 Ω
I1
+
120 V
60 Hz
0º
Vs1
-
120 V
60 Hz
60º
Vs2
+
Vs2
-
(Vs1 - Vs2)
Vs1
( 120 ∠0° ) – ( 120 ∠60° )
120 ∠– 60 °
I 1 = ------------------------------------------------------------- = --------------------------- = 2.96 ∠– 128.3° A
15 + j37.7
15 + j37.7
Le courant I1 est donné par:
1.6
2
2
La puissance dissipée dans la résistance:
P = RI 1 = 15 ( 2.96 ) = 131.2 W
La puissance réactive dans l’inductance:
Q = X L I 1 = 37.7 ( 2.96 ) = 329.8 VAR
2
2
Le circuit transformé dans le domaine des phaseurs:
I1
A
+
Vs1
+
Vs2
-
+
120 V
60 Hz
0º
VAB
60 V
180 Hz
36º
B
50 mH
10 Ω
100 µF
7
GEL-15216 Électrotechnique
a) Tracer vAB(t)
vAB(t)
t
V AB ( eff ) =
Valeur efficace de vAB(t):
2
2
120 + 60 = 134.16 V
b) Pour calculer le courant i1(t), on applique le principe de superposition: on considère individuellement les
sources vs1(t) et vs2(t).
Source vs1(t) seule:
I11
A
+
Vs1
-
j18.85 Ω
+
120 V
60 Hz
0º
10 Ω
VAB1
-j26.53 Ω
B
V s1
120
I 11 = ---------------------------------------------------- = -------------------------- = 9.52 ∠37.5° A
10 + j18.85 – j26.53
10 – j7.68
Courant I11:
Puissance complexe dans la charge:
S 1 = V s1 I 11∗ = ( 120 ) ( 9.52 ∠– 37.5 ° ) = 906 – j696
Source vs2(t) seule:
I12
A
+
j56.55 Ω
10 Ω
VAB2
+
Vs2
-
60 V
180 Hz
36º
-
-j8.84 Ω
B
Courant I12:
V s2
60 ∠36°
I 12 = ------------------------------------------------- = ----------------------------- = 1.23 ∠– 60.2 ° A
10 + j56.55 – j8.84
10 + j47.71
8
GEL-15216 Électrotechnique
S 2 = V s2 I 12∗ = ( 60 ∠36° ) ( 1.23 ∠– 60.2 ° ) = 15 + j72
Puissance complexe dans la charge:
Le courant i1(t) sera la somme de i11(t) et i12(t):
i 1 ( t ) = 9.52 2 cos ( 120πt + 0.655 ) + 1.23 2 cos ( 360πt – 1.05 )
La valeur efficace de i1(t):
I 1 ( eff ) =
2
2
9.52 + 1.23 = 9.60 A
i1(t)
t
c) La puissance complexe dans la charge est égale à la somme de S1 et S2 déjà calculées:
S = S 1 + S 2 = ( 906 – j696 ) + ( 15 + j72 ) = 921 – j624
Puissance active dans la charge:
P = 921 W
Puissance réactive dans la charge:
Q = - 624 VAR
1.7
a)
v 1 ( t ) = 70 + 50 cos ( ωt + φ )
Valeur moyenne:
V1(moy) = 70 V
Valeur efficace:
V 1 ( eff ) =
2
50 2
70 +  ------- = 78.42 V
 2
b) v2(t) = tension sinusoïdale d’amplitude 160 V, redressée double alternance
Valeur moyenne:
0.01
1
V 2 ( moy ) = -----T0
∫
T0
1
v 2 ( t ) dt = ----------0.01
∫
2π
2
160 sin  -----------t dt = --- 160 = 101.86 V
 0.02 
π
0
La valeur efficace de v2(t) est égale à la valeur efficace de la tension sinusoïdale non redressée:
160
V 2 ( eff ) = ---------- = 113.14
2
V
c) v3(t) = tension sinusoïdale d’amplitude 160 V, redressée double alternance, tranchée à 45°
0.01
Valeur moyenne:
1
V 3 ( moy ) = -----T0
∫
T0
1
v 3 ( t ) dt = ----------0.01
∫
0.0025
2π
160 sin  -----------t dt
 0.02 
9
GEL-15216 Électrotechnique
160
2π
V 3 ( moy ) = ----------  – cos -----------t
π 
0.02 
0.01
1.707
= --------------- 160 = 86.94 V
π
0.0025
0.01
1
-----T0
V 3 ( eff ) =
Valeur efficace:
∫
2
v 3 ( t ) dt
=
T0
2π
160 sin  -----------t
 0.02 
2
dt
0.0025
0.01
2
∫
160
-----------0.01
V 3 ( eff ) =
∫
1
----------0.01
2π
1 – cos 2  -----------t
 0.02 
------------------------------------------------ dt =
2
0.0025
2π
sin 2  -----------t
2
 0.02 
160
------------ t – ------------------------------0.02
4π
----------0.02
0.01
0.0025
V3(eff) = 107.88 V
d) i4(t) = courant triangulaire, période 1 ms
( 15000t + 4 ) pour
i4 ( t ) =
0 < t < 0.4 ×10
–3
( – 10000 t + 14 ) pour 0.4 ×10
–3
–3
< t < 1 ×10
10 + 4
I 4 ( moy ) = ---------------- = 7 A
2
Valeur moyenne:
0.4ms
I 4 ( eff ) =
Valeur efficace:
I 4 ( eff ) =
1
-----T0
∫ [ i4 ( t ) ] dt =
2
1
--------------0.001
T0
∫
1ms
2
( 15000t + 4 ) dt +
0
3
1  ( 15000t + 4 )
---------------  -----------------------------------0.001 
45000
0.4ms
0
∫
2
( – 10000 t + 14 ) dt
0.4ms
3
( – 10000 t + 14 )
+ -----------------------------------------– 30000
1ms

 = 7.21 A
0.4ms 
e) i5(t) = courant de forme carrée, période 6 ms
Valeur moyenne:
1
I 5 ( moy ) = -----T0
∫ i5 ( t )dt = 0
T0
2ms
Valeur efficace:
I 5 ( eff ) =
1
-----T0
∫ [ i5 ( t ) ] dt =
2
T0
1
-----------------3–
3 ×10
∫
144 dt = 9.8 A
0
1.8
2.5ms
a) Le courant est en avance de phase de ----------------- × 360° = 45° par rapport à la tension. Donc, l’impédance
20ms
339.4
Z est capacitive. Son module est donné par Z = --------------- = 28.28Ω .
12
Alors:
Z = ( 28.28 ∠– 45° )Ω = ( 20 – j20 )Ω
10
GEL-15216 Électrotechnique
b) Une inductance de 100 mH est connectée en parallèle avec Z:
Is
IL
A
IZ
+
240 V
50 Hz
0º
Vs
-
j31.42 Ω
Z
B
Le courant dans Z:
12
I Z =  ------- ∠45° A = ( 8.49 ∠45° )A
 2

Le courant dans L:
Vs
240
I L = -------- = ---------------- = ( 7.64 ∠–90° ) A
jX L
j31.42
Le courant Is est la somme de IZ et IL:
I s = I Z + I L = ( 8.49 ∠45° ) + ( 7.64 ∠–90° ) = ( 6.22 ∠– 15.3° ) A
IZ
Vs
-15.3°
Is
IL
1.9
Le circuit transformé dans le domaine des phaseurs:
I1
j 25 Ω
I3
j 10 Ω
+
Vs
550 V
60 Hz
+
- j 15 Ω
-
V2
Wattmètre
Zeq
a) L’impédance équivalente vue par la source est:
( – j15 ) ( 15 + j10 )
Z eq = j25 + ------------------------------------------------- = ( 13.5 + j14.5 )Ω = ( 19.81 ∠47° )Ω
( – j15 ) + ( 15 + j10 )
Le courant I1 est:
Vs
550
I 1 = --------- = ----------------------------- = ( 27.76 ∠– 47° ) A
Z eq
19.81 ∠47°
15 Ω
11
GEL-15216 Électrotechnique
S = V s I 1∗ = 10404 + j11175
La puissance complexe dans la charge est:
Puissance apparente:
S = 550 x 27.76 = 15269 VA
Puissance active:
P = 10404 W
Puissance réactive:
Q = 11175 VAR
Facteur de puissance:
fp = P/S = 10404/15269 = 0.68
b) Le wattmètre indique la puissance active dissipée dans la résistance 15 Ω: 10404 W.
1.10
Un alternateur monophasé 550 V / 60 Hz a comme impédance interne une réactance de j15 Ω
a)
Alternateur
j15 Ω
IR
+
+
550 V
60 Hz -
R
VR
-
jφ
550
550
I R = ------------------- = --------------------------- e
R + j15
2
2
R + 15
Le courant IR:
La puissance active dissipée dans R est égale à:
Cette puissance est maximale lorsque sa dérivée
avec φ = -arctg(15/R)
PR = R IR
2
550
= R --------------------------2
2
R + 15
2
2
dP R
302500 ( 15 – R )
----------- = ----------------------------------------------dR
2
2 2
( R + 15 )
2
302500R
= ----------------------2
2
R + 15
est nulle, c’est à dire lors-
que R = 15 Ω.
b)
Alternateur
j15 Ω
IZ
+
+
550 V
60 Hz -
VZ
Charge inductive
Z = R + jX
-
jφ
550
550
I Z = ------------------------------------ = ------------------------------------------e
( R + jX ) + j15
2
2
R + ( 15 + X )
Le courant IZ:
La puissance active dissipée dans la charge est égale à:
PZ = R IR
2
550
= R -----------------------------------------2
2
R + ( 15 + X )
2
302500R
= -------------------------------------2
2
R + ( 15 + X )
15 + X
où φ = -arctg  -----------------
 R 
12
GEL-15216 Électrotechnique
La dérivée de PZ est:
2
2
dP Z
302500 [ ( 15 + X ) – R ]
---------- = -------------------------------------------------------------dR
2
2 2
( R + 15 )
Cette dérivée est nulle lorsque R = (15 + X) Ω.
1.11
Une usine est alimentée par une ligne de transport monophasée de 2200 V. L’usine consomme 200 kW
avec une facteur de puissance de 0.750 arrière
a)
Usine
IL
200 kW
VL = 2200 V
60 Hz
fp = 0.75 AR
200000
P
I L = -------------------- = ------------------------------- = 121.2 A
2200 × 0.75
V L cos φ
Le courant IL sur la ligne est donné par:
L’angle φ de la charge:
φ = arccos(0.75) = 41.41°
Q = P × tgφ = 200000 × tg ( 41.41° ) = 176383 VAR
La puissance réactive de la charge:
b) Pour augmenter le facteur de puissance à 0.9, on connecte en parallèle avec la ligne un condensateur
qui réduira l’angle φ à une valeur égale à arccos(0.9) = 25.84°.
La nouvelle valeur de la puissance réactive sera:
Q′ = P × tgφ′ = 200000 × tg ( 25.84° ) = 96856 VAR
Q C = Q – Q′ = 176383 – 96856 = 79527 VAR
La puissance réactive du condensateur:
2
La réactance du condensateur est:
2
V
( 2200 )
X C = -------- = --------------------- = 60.86 Ω
QC
79527
200000
P
I L ′ = ---------------------- = ---------------------------- = 101 A
2200 × 0.9
V L cos φ′
La nouvelle valeur du courant de ligne est:
1.12
Remarque: Dans ce problème, on peut supposer que la tension à l’entrée de l’usine est égale à 2400 V
(c’est à dire que la chute de tension sur la ligne de transport est considérée négligeable).
a)
IL
0.25 Ω
j1.5 Ω
Ligne de transport
VL = 2400 V
60 Hz
Le courant IL sur la ligne est donné par:
L’angle φ de la charge:
Usine
150 kW
fp = 0.78 AR
150000
P
I L = -------------------- = ------------------------------- = 80.13 A
2400 × 0.78
V L cos φ
φ = arccos(0.78) = 38.74°
La puissance réactive de la charge:
Q = P × tgφ = 150000 × tg ( 38.74° ) = 120345 VAR
La puissance dissipée dans la résistance de la ligne de transport représente les pertes sur la ligne:
13
GEL-15216 Électrotechnique
2
2
Pertes = P r = R L I L = 0.25 ( 80.13 ) = 1605 W
b) Pour augmenter le facteur de puissance à 0.9, on connecte en parallèle avec la ligne un condensateur
qui réduira l’angle φ à une valeur égale à arccos(0.9) = 25.84°.
La nouvelle valeur de la puissance réactive sera:
La puissance réactive du condensateur:
Q′ = P × tgφ′ = 150000 × tg ( 25.84° ) = 72642 VAR
Q C = Q – Q′ = 120345 – 72642 = 47703 VAR
2
2
La réactance du condensateur est:
V
( 2400 )
X C = -------- = --------------------- = 120.75 Ω
QC
47703
La nouvelle valeur du courant de ligne est:
150000
P
I L ′ = ---------------------- = ---------------------------- = 69.44 A
2400 × 0.9
V L cos φ′
Les pertes sur la ligne de transport sont:
2
2
Pertes = P r = R L I′ L = 0.25 ( 69.44 ) = 1205.5 W
1.13
a) Calculer le facteur de puissance de la charge
IL = 100 A
+
240 V
60 Hz -
Charge inductive
15 kW
15000
P
fp = cos φ = ---- = -------------------------- = 0.625 AR
S
240 × 100
Le facteur de puissance de la charge est donné par:
La puissance réactive de la charge est:
Q =
2
2
S –P =
2
2
24000 – 15000 = 18735 VAR
b) On connecte un condensateur C en parallèle avec la charge pour amener cette dernière à la résonance.
IL’ = 62.5 A
+
240 V
60 Hz -
Charge inductive
15 kW
C
Pour amener la charge à la résonance, le condensateur doit fournir une puissance réactive égale à celle
de la charge inductive. Donc QC = 18735 VAR.
2
2
V
( 240 )
La réactance du condensateur est: X C = -------- = ----------------- = 3.07 Ω
QC
18735
Le facteur de résonance est:
QC
18735
Q R = -------- = ---------------- = 1.25
P
15000
La nouvelle valeur du courant de ligne est:
15000
P
I L ′ = ---------------------- = ------------------------ = 62.5 A
240 × 1.0
V L cos φ′