Lois de probabilités discrètes Loi Notation Modèle propriétés Loi

Lois de probabilités discrètes
Loi
Loi uniforme
P(X=k)= avec k = 1, 2, …, n.
Notation
U(1 ;n)
Modèle
propriétés
Si X ˷ U (1 ; n) alors :
E(X) =
Var (X) =
Loi de bernouilli
P(X=k) =
p
si k=1
q=1-p si k=0
Loi binomiale
P(X=k)=
Avec k = 0, 1,2,…, n.
X ˷ B (1,p)
X ˷ B (n,p)
modélise le résultat d’une expérience de Bernoulli,
c’est-à-dire pouvant avoir uniquement 2 issues
dénommées succès (k=1) et échec (k=0)
modélise le nombre de succès au cours de n
répétitions indépendantes d’une même expérience
de Bernoulli dont la probabilité de succès est p.
Si X ˷ B (1,p) alors :
E(X) = p
Var(X)= pq
 Si n= 1 alors cela suit une loi de
Bernouilli
 Si X ˷ B (n,p) alors
=1


Si X ˷ B (n,p) alors E(X)= np et
Var (X) = npq.
Si X ˷ B (n,p) alors P(X=k+1)=
P(X=k) x
Loi de poisson
P(X=k) =
Avec k = 0,1, ….
X ˷ P(λ)
Loi associée aux succès des évènements rares. (peut
être utilisé comme approximation d’une autre loi).

Si X et Y sont indépendants X X
˷ B (n1,p) et Y ˷ B (n2,p) alors
X+Y ˷ B ( n1+ n2,p)

Peut prendre un nombre infini
de valeurs
Si X ˷ P(λ) alors



Si X ˷ P(λ) alors E(X) = λ et
Var(X) = λ
Si X ˷ P(λ) alors
P(X=k+1)=P(x=k)
Lois de probabilité continues
Loi
Loi uniforme
f(x)=
si a≤x≤b
0 sinon
Notation
X U [a ; b]
avec b>a
Modèle
Propriétés
Si X U [a ; b] alors :
0 si x ≤ a
 F(x)=
si a<x≤b
1 si x > b
 E(X) =

Loi
exponentielle
Loi normale
f(x)=
f(x)=
si x≥ 0
0 sinon
*
cette formule n’est pas à
connaître)
X
E( )
X N (µ ;σ)
µdéfini la position et σ
défini la largeur.
Loi du chi2
E ( ) alors :
 P(X ≤x) = F(x)=1 E(X) =
Est notamment utilisée pour une
variable aléatoire X décrivant des
évènements aléatoires évoluant dans
le temps.
Si X
Est notamment utilisée pour une
variable aléatoire X décrivant des
évènements aléatoires divers comme
des mesures mais aussi utile comme
loi d’erreurs.
Soit X N (µ ; σ) alors :
 σ>0
 E(X)= µ
 Var(X) = σ²
 U=
N (0 ; 1)
χ²n=
Avec Xi
indépendants




T T (n)
T=
si x > 0
Var (X) =

E (χ²n) = n
Var (χ²n) = 2n
Pour 2 lois du χ² indépendantes à n et p
ddl : χ²n + χ²p = χ²n+p
P(X²≤u) = P (- ≤X≤ +
)= π ( ) – π
)
E (T (n)) =0

E (F (n ; p)) =

Loi de student
Var(X) =
Avec U N (0 ; 1) et
V χ²n
Loi de fischer
Z
F (n ;p)
Z=
X
= v.a.r de Fischer à n et p ddl
χ²n et Y
χ²p
pour p>2
B (n,p)
n≥30
np>5
nq>5
np
=
=
N (µ; σ)
n>20
p<0,5
=
λ
λ≥20
P(λ)
=
np
Correction de continuité
=