QBF et la logique intuitioniste

QBF et la logique intuitioniste
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seront à remettre le 8 mars en cours ou avant dans le casier courier du LSV.
Le but du devoir est de montrer que le problème de la validité d’une formule de la logique intuitioniste
est équivalent à celui de la validité d’une formule de la logique propositionnelle classique avec variables
propositionnelles quantifiées (en anglais quantified boolean formulas, QBF) à des réductions polynomiales
près.
Les parties 1 et 2 sont indépendantes.
Définitions
On se donne un ensemble infini P = {p, q, . . .} de variables propositionnelles. On note F0 (P) l’ensemble
des formules propositionnelles utilisant les constantes >, ⊥, les variables P, et les connecteurs logiques ∧, ∨, →
, ¬. On considère que → est associatif à droite et que ¬ est prioritaire
sur → qui est prioritaire sur ∨ et ∧.
Par exemple, ϕ1 → ¬ϕ2 → ϕ3 ∨ ϕ4 doit se lire ϕ1 → (¬ϕ2 ) → ϕ3 ∨ ϕ4 . La taille |ϕ| d’une formule ϕ est
le nombre de noeuds de son arbre syntaxique.
Une formule QBF (prénexe) à n quantificateurs est définie par récurrence sur n :
— si n = 0, c’est une formule de F0 (P)
— une formule QBF à n + 1 quantificateurs est une formule de la forme Qp.ϕ où Q ∈ {∀, ∃} est un
quantificateur et ϕ est une formule QBF à n quantificateurs.
Soit ϕ une formule QBF. Les ensembles fv(ϕ) et bv(ϕ) de variables propositionnelles libres (f ree) et liées
(bound) sont définis par récurrence sur le nombre de quantificateurs :
— si ϕ ∈ F0 (P), fv(ϕ) est l’ensemble des variables propositionnelles qui apparaissent au moins une fois
dans ϕ, et bv(ϕ) = ∅ ;
— si ϕ = Qp.ψ, fv(ϕ) = fv(ψ) \ {p} et bv(ϕ) = bv(ψ) ∪ {p}.
Une formule QBF ϕ est close si fv(ϕ) = ∅. La taille d’une formule QBF est le nombre de noeuds de son
arbre syntaxique. Une formule QBF ϕ est bien quantifiée si toute sous-formule Qp.ψ de ϕ vérifie p 6∈ bv(ψ).
QBF
Soit I ⊆ P une interprétation. La relation “I satisfait la formule QBF ϕ”, I |= ϕ, est définie par
récurrence sur le nombre de quantificateurs de ϕ.
QBF
CL
— I |= ϕ pour une formule ϕ ∈ F0 (P) si I |= ϕ au sens de la logique propositionnelle classique.
QBF
QBF
QBF
— I |= ∀p.ψ si I ∪ {p} |= ψ et I \ {p} |= ψ.
1
QBF
QBF
QBF
— I |= ∃p.ψ si I ∪ {p} |= ψ ou I \ {p} |= ψ.
QBF
QBF
Une formule QBF ϕ est valide, |= ϕ, si pour tout I ⊆ P, I |= ϕ. Une formule QBF ψ est logiquement
QBF
QBF
équivalente à ϕ si pour tout I ⊆ P, (I |= ϕ ssi I |= ψ).
Dans la seconde partie, il sera autorisé d’utiliser, par commodité, des formules QBF non prénexes. Une
formule QBF non prénexe est soit une formule de F0 (P), soit une formule Qp.ϕ où Q ∈ {∀, ∃} et ϕ est une
formule QBF non prénexe, soit une combinaison Booléene de formules QBF non prénexes. Dans la première
partie, toutes les formules QBF sont implicitement prénexes.
1
De QBF à la logique intuitioniste
Question 1
Montrer que toute formule QBF est logiquement équivalente à une formule QBF bien quantifiée.
On montre par récurrence sur le nombre n de quantificateurs de ϕ qu’il existe ϕ0 équivalente à ϕ, bien
quantifiée, et telle que bv(ϕ0 ) ⊆ bv(ϕ) et fv(ϕ0 ) = fv(ϕ).
— Si n = 0, il suffit de prendre ϕ.
— Sinon, ϕ = Qp.ψ, et par récurrence il existe ψ 0 équivalente à ψ telle que bv(ψ 0 ) ⊆ bv(ψ) et
fv(ψ 0 ) = fv(ψ). Si p ∈ bv(ψ), alors ϕ est logiquement équivalente à ψ, donc ψ 0 convient. Sinon,
Qp.ψ 0 est bien quantifiée et logiquement équivalente à ϕ.
Pour tout modèle de Kripke 1 K = (W, ≤K , αK ) et pour toute interprétation I ⊆ P, et pour tout ensemble
S ⊆ P, on dira que K force I sur S si pour tout p ∈ S, pour tout monde w ∈ W :
KPK
— si p ∈ I, alors K, w |= p
KPK
— si p 6∈ I, alors K, w |= ¬p
On se donne un ensemble infini Q ⊆ P, Q = {q0 , q1 , . . .} de variables propositionnelles, avec qi 6= qj pour
i 6= j. À toute formule QBF ϕ telle que fv(ϕ) ∪ bv(ϕ) ∩ Q = ∅ on associe la formule ϕ∗ ∈ F0 (P) définie
par récurrence sur le nombre de quantificateurs de ϕ comme suit :
— ϕ∗ = ϕ si ϕ est une formule sans quantificateur
— (∀p.ϕ)∗ = (p ∨ ¬p) → ϕ∗
— (∃p.ϕ)∗ = (ϕ∗ → qn ) → (p → qn ) ∨ (¬p → qn ) si ϕ est une formule avec n ≥ 0 quantificateurs.
Question 2
Montrer que pour toute formule QBF ϕ bien quantifiée, pour tout I ⊆ P, pour tout modèle de Kripke
K = (W, ≤K , αK ),
QBF
— si I |= ϕ et K force I sur P \ (bv(ϕ) ∪ Q),
KPK
— alors pour tout w ∈ W, K, w |= ϕ∗ .
On raisonne par récurrence sur le nombre de quantificateurs de ϕ
Cas ϕ sans quantificateur On montre par récurrence sur le nombre de connecteurs logiques dans
KPK
CL
ψ que pour toute formule ψ ∈ F0 (P \ Q), pour tout monde w, K, w |= ψ ssi I |= ψ (détails
KPK
omis). En particulier, K, w |= ϕ∗ = ϕ.
KPK
KPK
Cas ∀p.ϕ Supposons que K, w |= p∨¬p, et montrons que K, w |= ϕ∗ . On a deux sous-cas possibles
1. Voir définition rappelée en annexe.
2
KPK
sous-cas 1 K, w |= p : soit ↑ w = {w0 | w ≤K w0 } et soit K∩ ↑ w le modèle Kripke induit par
QBF
K sur ↑ w. Alors I ∪ {p} |= ϕ et K∩ ↑ w force I ∪ {p} sur P \ (bv(ϕ) ∪ Q). Par récurrence,
KPK
KPK
K∩ ↑ w, w |= ϕ∗ , et par conséquent K, w |= ϕ∗ .
KPK
sous-cas 2 K, w |= ¬p : similaire au sous-cas 1. Soit ↑ w = {w0 | w ≤K w0 } et soit K∩ ↑ w
QBF
le modèle Kripke induit par K sur ↑ w. Alors I \ {p} |= ϕ et K∩ ↑ w force I \ {p} sur
KPK
KPK
P \ (bv(ϕ) ∪ Q). Par récurrence, K∩ ↑ w, w |= ϕ∗ , et par conséquent K, w |= ϕ∗ .
Cas ∃p.ϕ avec n quantificateurs dans ϕ. Soit w tel que K, w |= ϕ∗ → qn et montrons que K, w |=
QBF
(p → qn ) ∨ (¬p → qn ). Par hypothèse, I |= ∃p.ϕ, ce qui nous amène à nouveau à deux sous-cas.
QBF
KPK
KPK
sous-cas 1 I ∪ {p} |= ϕ : montrons que K, w |= p → qn . Soit w0 ≥K w tel que K, w0 |= p
KPK
et montrons que K, w0 |= qn . On a K∩ ↑ w0 force I ∪ {p} sur P \ (bv(ϕ) ∪ Q), puis par
KPK
KPK
KPK
récurrence, K∩ ↑, w0 |= ϕ∗ , et par conséquent K, w0 |= ϕ∗ . Par hypothèse K, w |= ϕ∗ → qn
KPK
et w0 ≥ w, donc K, w0 |= qn .
QBF
KPK
sous-cas 2 I \ {p} |= ϕ : similaire au sous-cas 1. Montrons que K, w |= ¬p → qn . Soit
KPK
KPK
w0 ≥K w tel que K, w0 |= ¬p et montrons que K, w0 |= qn . On a K∩ ↑ w0 force I \ {p} sur
KPK
KPK
P \ (bv(ϕ) ∪ Q), puis par récurrence, K∩ ↑, w0 |= ϕ∗ , et par conséquent K, w0 |= ϕ∗ . Par
KPK
KPK
hypothèse K, w |= ϕ∗ → qn et w0 ≥ w, donc K, w0 |= qn .
Question 3
QBF
Montrer que pour toute formule QBF ϕ bien quantifiée, pour tout I ⊆ P, si I 6 |= ϕ, alors il existe un
modèle de Kripke K = (W, ≤K , αK ) et un monde w0 ∈ W tels que
— K force I sur P \ (bv(ϕ) ∪ Q), et
KPK
— K, w0 6 |= ϕ∗ .
On raisonne par récurrence sur le nombre de quantificateurs de ϕ
Cas ϕ sans quantificateur On pose K = ({w0 }, =, α) avec α(w0 ) = I. Par construction, et notamment du fait que w0 est le seul monde de K, K force I sur P \ (bv(ϕ) ∪ Q) = P \ Q. Pour la
KPK
CL
même raison, on montre aisément par récurrence sur ψ que K, w |= ψ ssi I |= ψ. En particulier,
KPK
K, w 6 |= ϕ.
Cas ∀p.ϕ Par définition, I ∪ {p} 6|= ϕ ou I \ {p} 6|= ϕ.
QBF
— Supposons I ∪ {p} 6 |= ϕ. Par récurrence, il existe un modèle de Kripke K = (W, ≤K , αK ) et
KPK
un monde w0 ∈ W tels que K force I ∪ {p} sur P \ (bv(ϕ) ∪ Q) et K, w0 6 |= ϕ∗ . Montrons
que K et w0 conviennent aussi pour ∀p.ϕ et I.
1. Comme K force I ∪ {p} sur P \ (bv(ϕ) ∪ Q), K force I sur P \ (bv(∀p.ϕ) ∪ Q).
KPK
KPK
KPK
2. Comme ϕ est bien quantifiée, K, w0 |= p, donc K, w0 |= p ∨ ¬p, et finalement K, w0 6 |=
(p ∨ ¬p) → ϕ∗ .
QBF
— Le cas I \ {p} 6 |= ϕ est similaire.
3
QBF
QBF
Cas ∃p.ϕ avec n quantificateurs dans ϕ. Par définition, I ∪{p} 6 |= ϕ et I \{p} 6 |= ϕ. Par récurrence,
il existe K+ = (W + , ≤+ , α+ ) et K− = (W − , ≤− , α− ) tels que K+ force I ∪{p} sur P \(bv(ϕ)∪Q),
KPK
K− force I \ {p} sur P \ (bv(ϕ) ∪ Q), et il existe w0+ ∈ W + et w0− ∈ W − tels que K+ , w0+ 6 |= ϕ∗
KPK
et K− , w0− 6 |= ϕ∗ . On peut supposer sans perte de généralité que W + ∩ W − = ∅. On construit
le modèle de Kripke K = (W + ] W − ] {w0 }, ≤K , α) tel que
— w ≤K w0 si w ≤+ w0 ou w ≤− w0 ou w = w0
KPK
— pour tout ∈ {+, −}, pour tout w ∈ W , si K , w |= ϕ∗ alors α(w) = α (w) ∪ {qn }, sinon
α(w) = α (w) \ {qn }.
— α(w0 ) = I \ (bv(∃p.ϕ) ∪ Q)
Justifions brièvement qu’il s’agit d’un modèle de Kripke : le fait que ≤ est une relation d’ordre
se vérifie aisément. La monotonie de α contient deux subtilités : il faut verifier que
1. α(w) ⊇ α(w0 ) = I \ (bv(∃p.ϕ) ∪ Q) pour tout w ∈ W + ∪ W − ∪ {w0 } : cela découle du fait
que K+ , K− forcent I sur P \ (bv(∃p.ϕ) ∪ Q),
KPK
KPK
KPK
2. pour tout w ≤ w0 , on a K, w |= qn implique K, w0 |= qn : cela découle de K , w |= ϕ∗
KPK
implique K , w0 |= ϕ∗ .
On a mentioné au passage K+ , K− forcent I sur P \ (bv(∃p.ϕ) ∪ Q), d’où découle que K force
aussi I sur P \ (bv(∃p.ϕ) ∪ Q).
KPK
Montrons maintenant que K, w0 6 |= (ϕ∗ → qn ) → (p → qn ) ∨ (¬p → qn ) .
KPK
KPK
KPK
Montrons que K, w0 |= ϕ∗ → qn . Soit w ≥ w0 tel que K, w |= ϕ∗ , et montrons que K, w |=
qn . Trois cas sont possibles.
KPK
1. w ∈ W + . Comme α(w) \ {qn } = α+ (w) \ {qn } et qn 6∈ fv(ϕ∗ ), K, w |= ϕ∗ entraine
KPK
KPK
K+ , w |= ϕ∗ . Par définition de α, on a donc K, w |= qn .
2. w ∈ W − : similaire au cas précédent.
KPK
KPK
3. w = w0 : ce cas est impossible. En effet, w0 ≤ w0+ et K, w0+ 6 |= ϕ∗ , donc K, w0 6 |= ϕ∗ , ce
KPK
qui contredit l’hypothèse K, w |= ϕ∗ .
KPK
KPK
KPK
Montrons que K, w0 6 |= (p → qn ) ∨ (¬p → qn ). K, w0+ 6 |= p → qn et w0 ≤ w0+ , donc K, w0 6 |=
KPK
KPK
p → qn . De même, K, w0− 6 |= ¬p → qn et w0 ≤ w0− , donc K, w0 6 |= ¬p → qn .
Question 4
En déduire qu’il existe une fonction calculable en temps polynomial qui à chaque formule QBF ϕ close
QBF
associe une formule (nécessairement de taille polynomiale) ϕ† sans quantificateur telle que |= ϕ ssi
KPK
|= ϕ† .
On pose ϕ† = (ϕ0 )∗ où ϕ0 est la formule bien quantifiée construite à la question 1. On montre aisément
par récurrence sur le nombre de quantificateurs que la taille |ϕ† | de ϕ† est majorée par 11 · |ϕ| (la
principale chose à remarquer étant que pour définir (Qp.ψ)∗ on utilise une seule fois ψ ∗ ). De plus, ϕ†
se calcule aisément en temps polynomial. Enfin, ϕ† vérifie bien la propriété demandée :
QBF
KPK
— Supposons que |= ϕ. Soit K = (W, ≤K , αK ), et montrons que K |= ϕ† Soit K0 = (W, ≤K , αK0 )
KPK
avec αK0 (w) = αK (w) ∩ (bv(ϕ) ∪ Q) pour tout w ∈ W. Comme fv(ϕ† ) ⊆ bv(ϕ0 ) ∪ Q, K |= ϕ† ssi
4
KPK
QBF
KPK
K0 |= ϕ† . Montrons que K0 , |= ϕ† . Soit I = ∅, Alors K0 force I sur P \ (bv(ϕ0 ) ∪ Q) et I |= ϕ0 ,
KPK
donc K0 |= ϕ† par la question 2.
QBF
QBF
KPK
QBF
— Supposons que 6 |= ϕ, et montrons que 6 |= ϕ† . Comme 6 |= ϕ, il existe I tel que I 6 |= ϕ0 (en fait,
n’importe quel I convient puisque ϕ est supposée close). Par la question 3, il existe un modèle
KPK
KPK
de Kripke K = (W, ≤K , αK ) et un monde w0 tel que K, w0 6 |= ϕ† . Autrement dit 6 |= ϕ† .
2
De la logique intuitioniste à QBF
On appelera séquent un jugement de la forme Γ ` ϕ où Γ est un ensemble de formules appelées hypothèses
et ϕ est une formule appelée but. Par soucis de simplicité, on s’intéresse ci-dessous au fragment implicatif,
i.e. à des formules de F0 (P) qui ne contiennent ni >, ni ⊥, et dont le seul connecteur logique est →. On
considère le système LJ00 suivant :
Γ ∪ {ϕ} ` ϕ
Γ ` ϕ1
Γ ∪ {ϕ2 } ` ψ
Γ`ψ
(Ax)
ϕ1 → ϕ2 ∈ Γ
(→ L)
Γ ∪ {ϕ1 } ` ϕ2
(→ R)
Γ ` ϕ1 → ϕ2
Notez que le système LJ00 n’est pas tout à fait le calcul des séquents intuitioniste vu en cours. On admettra
qu’il est correct et complet pour la logique intuitioniste.
On appelle profondeur d’un arbre de preuve la longueur d’une plus longue branche. On note Γ `nLJ 0 ϕ si
0
il existe une preuve de profondeur p ≤ n de Γ ` ϕ dans LJ00 , et Γ `LJ00 ϕ si Γ `nLJ 0 ϕ pour un certain n.
0
Question 5
Montrer qu’il existe un polynôme p(n) assez simple tel que pour toute formule ϕ de taille n, `LJ00 ϕ ssi
p(n)
`LJ 0 ϕ.
0
On pose p(n) = n · (n + 1). Pour toute preuve π, soit |π| = (a, b) où a est la longueur d’une plus longue
branche de π et b est le nombre de branches de longueur a. Soit π une preuve de ` ϕ qui minimise |π|
pour l’ordre lexicographique. Montrons que toutes les branches de π sont de longueur au plus n · (n + 1).
Soit Γ1 ` ϕ1 ,. . . ,Γk ` ϕk les jugements apparaissant sur une branche de longueur maximale (en
lisant de la racine ` ϕ vers une feuille axiome). Par minimalité de |π|, les séquents Γi ` ϕi sont deux à
deux distincts (sinon on pourrait raccourcir la branche sans rallonger les autres branches). D’après les
règles de LJ00 , pour tout i ≤ j il est vrai que Γi ⊆ Γj , Γi ne contient que des sous-formules de ϕ, et ϕi est
une sous-formule de ϕ. Soit ψ une sous-formule de ϕ, et soit i1 < · · · < ir les indices i tels que ϕi = ψ.
Alors Γi1 ( Γi2 ( · · · ( Γir , et en particulier Γir contient au moins r − 1 sous-formules distinctes de ϕ.
Comme il y a au plus n = |ϕ| sous-formules distinctes, on obtient r ≤ n + 1. On a donc au plus n + 1
séquents ayant ψ pour but sur la branche, et comme il y a au plus n buts distincts possibles, il y a au
plus n · (n + 1) séquents distincts sur la branche. Enfin, comme les séquents apparaissant sur la branche
sont deux à deux distincts, la branche est de longueur au plus n · (n + 1).
On fixe une formule implicative ϕ ayant n sous-formules et on se donne une énumération ψ1 , . . . , ψn des
sous-formules de ϕ.
5
Question 6
Montrer que pour tout p ≥ 0, il existe une formule QBF (éventuellement non prénexe) entailsϕ
p ayant pour
variables libres X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Yn et de taille polynomiale en n+p telle que pour tout S ⊆ {1, . . . , n},
pour tout i ∈ {1, . . . , n},
QBF
{X` | ` ∈ S} ∪ {Yi } |= entailsϕ
p
On prendra soin de justifier que la taille de
entailsϕ
p
ssi
{ψ` | ` ∈ S} `pLJ 0 ψi .
0
est polynomiale en n + p.
Il existe, bien sûr, plein de codages différents. En voici un.
Wn
V
0
WF(Y)
=
`=1 Y` ∧
`0 6=` ¬Y`
Equals(X, X0 )
=
V|X|
X` ↔ X`0
Axiom(X, Y)
=
Wn
Xi ∧ Yi
Righti,j,k (X, Y, X0 , Y0 )
=
Right(X, Y, X0 , Y0 )
=
V
Yi ∧ Yk0 ∧ Xj0 ∧ `6=j X` ↔ X`0
_
Righti,j,k (X, Y, X0 , Y0 )
Left1i,j,k (X, Y, X0 , Y0 )
= Equals(X, X0 ) ∧ Yj0
Left2i,j,k (X, Y, X0 , Y0 )
= Equals(Y, Y0 ) ∧ Xk0 ∧
Lefti,j,k (X, Y, X0 , Y0 , X00 , Y00 )
=
Left(X, Y, X0 , Y0 , X00 , Y00 ) =
_
`=1
`=1
ψi =ψj →ψk
V
`6=k
X` ↔ X`0
Left1i,j,k (X, Y, X0 , Y0 )∧
Left2i,j,k (X, Y, X00 , Y00 )
Lefti,j,k (X, Y, X0 , Y0 , X00 , Y00 )
ψi =ψj →ψk
La taille de ces formules est en O(n3 ). De plus, on peut vérifier que si entailsϕ
p (X, Y) code la prouvabilité
en profondeur p, alors la formule
Axiom(X, Y)
0
0
0
0
∨ ∃X0 , Y0 .WF(Y0 ) ∧ entailsϕ
p (X , Y ) ∧ Right(X, Y, X , Y )
0
0
00
00
0
00
∨ ∃X , Y , X , Y .WF(Y ) ∧ WF(Y )∧
ϕ
0
0
00
00
0
0
00
00
entailsϕ
p (X , Y ) ∧ entailsp (X , Y ) ∧ Left(X, Y, X , Y , X , Y )
encode la prouvabilité de profondeur p + 1. Malheureusement, la taille de cette formule est minorée
ϕ
par 3 · |entailsϕ
p |, et si l’on prenait cela comme définition de entailsp+1 , on obtiendrait une formule en
ϕ
O(3p ). Pour garder une taille polynomiale, il faut définir entailsp+1 en utilisant une seule fois la formule
ϕ
entailsϕ
p . On pose donc entails0 = ⊥ et
entailsϕ
p+1 (X, Y) = Axiom(X, Y)∨
∃X1 , Y1 , X2 , Y2 .WF(Y1 ) ∧ WF(Y2 ) ∧ ∀X3 , Y3 .
ϕ
Equals(X3 · Y3 , X1 · Y1 ) ∨ Equals(X3 · Y3 , X2 · Y2 ) → entailsp (X3 , Y3 )
∧
Left(X, Y, X1 , Y1 X2 , Y2 ) ∨ Right(X, Y, X1 , Y1 ) ∧ Equals(X1 · Y1 , X2 · Y2 )
ϕ
ϕ
3
0
4
On a alors |entailsϕ
p+1 | ≤ |entailsp |+C·n pour une certaine constante C, et donc |entailsp+1 | ≤ C ·(n+p)
0
pour une certaine constante C .
6
Question 7
En déduire qu’il existe une fonction calculable en temps polynomial qui à toute formule implicative ϕ,
QBF
associe une formule QBF close (éventuellement non prénexe) ϕ[ telle que `LJ00 ϕ ssi |= ϕ[ .
Soit ϕ de taille n, soit p(n) comme à la question 5 et soit Soit entailsϕ
p(n) comme à la question 6.
Supposons que ϕ est numérotée ψ1 parmi les sous-formules de ϕ. On pose
ϕ[ = entailsϕ
p(n) [⊥/X1 , . . . , ⊥/Xn , >/Y1 , ⊥/Y2 , . . . , ⊥/Yn ].
Alors ϕ[ est close, de taille polynomiale en n et effectivement calculable en temps polynomial en sa
taille, ϕ[ encode la prouvabilité de ϕ en profondeur p(n), qui correspond en la prouvabilité en profondeur
arbitraire, d’où le résultat.
3
Conclusion
Un problème de décision est PSPACE-complet s’il peut être décidé par une machine de Turing utilisant un
espace polynomial en la taille d’une instance, et si tout problème se décidant en espace polynomial se ramène
à ce problème par une réduction en temps polynomial. PSPACE est une classe de complexité intermédiaire
entre NP et EXPTIME qui est close par complémentaire, et la satisfaisabilité/validité d’une formule QBF
est un problème PSPACE-complet classique.
On a presque montré l’équivalence entre QBF et la validité en logique intuitioniste modulo des réductions
polynomiales. Pour compléter la preuve, il faudrait soit étendre la partie 2 à toutes les formules, soit montrer
KPK
que pour toute formule ϕ, il existe une formule implicative ϕ] calculable en temps polynomial telle que |= ϕ
KPK
ssi |= ϕ] (à ce propos, les curieux consulteront [Sta79]). Comme QBF est PSPACE-complet, on a donc
montré que la validité d’une formule en logique intuitioniste, sa satisfaisabilité, ou encore l’existence d’un
λ-terme habitant un type donné, sont des problèmes PSPACE-complets.
Références
[Sta79] Richard Statman. Intuitionistic propositional logic is polynomial-space complete. Theor. Comput.
Sci., 9 :67–72, 1979.
A
Sémantique de Kripke
Un modèle de Kripke est un tuple K = (W, ≤K , αK ) où
— W est un ensemble de mondes
— ≤K est une relation d’ordre (partiel) sur W
— αK : W → 2P est une fonction monotone qui associe à chaque monde w une interprétation αK (w).
Remarque : la monotonie de αK signifie que w ≤K w0 implique αK (w) ⊆ αK (w0 ).
KPK
Soit un modèle de Kripke K = (W, ≤K , αK ) donné. On définit la relation K, w |= ϕ, pour tout w ∈ W,
par récurrence sur la taille de ϕ :
KPK
— K, w |= p si p ∈ αK (w)
KPK
— K, w |= ⊥ jamais
KPK
KPK
KPK
— K, w |= ϕ ∨ ψ si K, w |= ϕ ou K, w |= ψ
KPK
KPK
KPK
— K, w |= ϕ ∧ ψ si K, w |= ϕ et K, w |= ψ
7
KPK
KPK
KPK
— K, w |= ϕ → ψ si pour tout w0 ≥K w, K, w0 |= ϕ entraine K, w0 |= ψ
KPK
KPK
— K, w |= ¬ϕ si pour tout w0 ≥K w, K, w0 6 |= ϕ.
8