× = = × = × = , % = = = ou = = = = = =
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Nombres rationnels (Partie 1) Thème A Nombres et calculs Thème B Organisation et gestion de données, fonctions Thème C Grandeurs et mesures Thème D Espace et géométrie Thème E Algorithme et Programmation A3 : Nombres rationnels @①De nouveaux nombres EXO 𝑎 et 𝑏 désignent deux nombres. 𝑏 est non nul. 𝒂 Le quotient est le nombre, qui multiplié par 𝒃, donne 𝒂 𝒃 𝒂 ×𝒃=𝒂 𝒃 Exemples : Quel est le nombre qui multiplié par 7 donne 13 ? 𝟏𝟑 car 𝟕 𝟏𝟑 𝟕 × 𝟕 = 𝟏𝟑 Quel est le nombre qui multiplié par 3 donne 72 ? 𝟕𝟐 = 𝟐𝟒 car 𝟑 𝟕𝟐 𝟑 × 𝟑 = 𝟐𝟒 × 𝟑 = 𝟕𝟐 Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous forme de quotient. 𝟐 𝟏 𝟐= ; 𝟎, 𝟓 = ; 𝝅 n' est pas un rationnel 𝟏 𝟐 𝟏𝟓 est un rationnel, appelé fraction car 𝟏𝟓 et 𝟐 sont entiers 𝟐 𝟖 𝟑,𝟐 est un rationnel, appelé écriture fractionnaire car 𝟑, 𝟐 n’est pas un entier 𝟑,𝟐 𝟑, 𝟐% = 𝟏𝟎𝟎 est un rationnel, appelé pourcentage car le dénominateur est 100 ②Simplifier une écriture fractionnaire EXO On obtient deux nombres en écriture fractionnaire égaux si on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. 𝟏, 𝟓 𝟏, 𝟓 × 𝟏𝟎 𝟏𝟓 𝟕 𝟕 ÷ 𝟐 𝟑, 𝟓 = = ; = = 𝟐 𝟐 × 𝟏𝟎 𝟐𝟎 𝟗 𝟗 ÷ 𝟐 𝟒, 𝟓 Pour simplifier une écriture fractionnaire, on cherche une fraction égale avec un dénominateur entier plus petit Exemple : Simplifier les fractions suivantes : 1) 2) 1) 2) 10 14 50 100 𝟏𝟎 𝟏𝟒 𝟓𝟎 𝟏𝟎÷𝟐 𝟓 = 𝟏𝟒÷𝟐 = 𝟕 𝟏𝟎𝟎 𝟓𝟎÷𝟏𝟎 ou 𝟓 𝟏𝟎 = 𝟓×𝟐 𝟏𝟒 𝟕×𝟐 𝟓÷𝟓 𝟏 = 𝟏𝟎𝟎÷𝟏𝟎 = 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎÷𝟓 = 𝟐 𝟓 =𝟕 Thème A Nombres et calculs Nombres rationnels (Partie 1) Thème B Organisation et gestion de données, fonctions Thème C Grandeurs et mesures Thème D Espace et géométrie Thème E Algorithme et Programmation A3 : Nombres rationnels @③Comparer deux écritures fractionnaires EXO Pour comparer deux nombres en écriture fractionnaire, on met au même dénominateur positif et on les range dans le même ordre que les numérateurs. Exemples : Comparer ces deux nombres : 1) 2) 1) or 2) 13 4 −2 4 13 4 5,7 et et et 2 −3 8 5,7 2 = 5,7×𝟐 2×𝟐 𝟏𝟑 > 𝟏𝟏, 𝟒 −2 = −2×𝟐 = = 11,4 donc −4 4 𝟏𝟑 𝟓, 𝟕 > 𝟒 𝟐 −3 et 4 4×𝟐 8 8 −2 −3 or −𝟒 < −𝟑 donc < 4 8 Comparer une écriture fractionnaire à 1 Si 𝒏𝒖𝒎é𝒓𝒂𝒕𝒆𝒖𝒓 < 𝒅é𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒕𝒆𝒖𝒓 alors Si 𝒏𝒖𝒎é𝒓𝒂𝒕𝒆𝒖𝒓 > 𝒅é𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒕𝒆𝒖𝒓 alors 1 Exemple 1 : Comparer à 1 2 1 1 < 2 donc <𝟏 2 3 Exemple 2 : Comparer à 1 2 3 3 > 2 donc >𝟏 2 𝒏𝒖𝒎é𝒓𝒂𝒕𝒆𝒖𝒓 𝒅é𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒕𝒆𝒖𝒓 𝒏𝒖𝒎é𝒓𝒂𝒕𝒆𝒖𝒓 𝒅é𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒕𝒆𝒖𝒓 <𝟏 >𝟏 Thème A Nombres et calculs Thème B Organisation et gestion de données, fonctions Nombres entiers Thème C Grandeurs et mesures Thème D Espace et géométrie Thème E Algorithme et Programmation A5 : Nombres entiers @ @ @①Division euclidienne EXO Effectuer la division euclidienne de deux nombres entiers : le dividende et le diviseur, c’est trouver deux nombres entiers : le quotient et le reste, avec reste < diviseur dividende diviseur quotient reste dividende = (diviseur × quotient) + reste Exemple : Effectuer la division euclidienne de 56 par 12. 𝟎𝟓𝟔 12 −𝟒𝟖 4 𝟎𝟎𝟖 Ainsi 𝟓𝟔 = 𝟏𝟐 × 𝟒 + 𝟖 Multiple, diviseur Dans la division euclidienne, quand le reste est nul, on peut dire que : ●le diviseur divise le dividende ●le diviseur est un diviseur du dividende ●le dividende est divisible par le diviseur ●le dividende est un multiple du diviseur Exemple : 𝟎𝟖𝟒 14 −𝟖𝟒 6 𝟎𝟎𝟎 Ainsi 𝟖𝟒 = 𝟏𝟒 × 𝟔 14 divise 84 14 est un diviseur de 84 84 est divisible par 14 84 est un multiple de 14 Règles de divisibilité Un nombre entier est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. Un nombre entier est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5. Un nombre entier est divisible par 10 s’il se termine par 0. Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par les deux derniers chiffres est un multiple de 4. Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Thème B Thème A Nombres et calculs Organisation et gestion de données, fonctions Nombres entiers Thème C Grandeurs et mesures Thème D Espace et géométrie A5 : Nombres entiers @②Nombres premiers EXO Un nombre premier est un nombre qui a deux diviseurs : 1 et lui-même. Exemples : 2 3 5 7 11 13 17 19 … Tout nombre entier peut se décomposer, de façon unique, en un produit de nombres premiers. Exemple : Décomposer 1800 en un produit de nombres premiers. 18000 0200On peut diviser 1800 par 2, on obtient 900 9000 02 On peut diviser 900 par 2, on obtient 450 4500 02 On peut diviser 450 par 2, on obtient 225 2250 03 On peut diviser 225 par 3, on obtient 75 750 03 On peut diviser 75 par 3, on obtient 25 250 05 On peut diviser 25 par 5, on obtient 5 50 05 On peut diviser 5 par 5, on obtient 1 10 Ainsi 1800 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 1800 = 23 × 32 × 52 Une fraction est irréductible quand elle est simplifiée au maximum. Exemple : Rendre 𝟏𝟐𝟔 𝟏𝟎𝟓𝟎 irréductible 12600200 et0010500 02 630 03 5250 05 210 03 1050 05 70 07 210 03 10 70 07 10 Ainsi 126 2×3×3×7 3 3 = 2×3×5×5×7 = 5×5 = 25 1050 Thème E Algorithme et Programmation
