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Chapitre XII : Géométrie dans l’espace
I - Positions relatives dans l’espace
1) Positions relatives de droites et de plans
Définition 1 : On dit que deux droites et de l’espace sont coplanaires lorsqu’elles appartiennent à un
même plan : autrement dit, elles sont sécantes ou parallèles.
Dans le cas contraire, on dit que et sont non coplanaires.
Remarque : On parle de droites parallèles lorsqu’elles sont strictement parallèles ou confondues.
Exemple : Soit le cube ci-dessous :
Les droites () et () sont ……………………………………………
Les droites (
) et () sont ………………………..…………….
Les droites (
) et () sont ………………………..…………….
Les droites () et () sont ………………………..…………….
Les droites () et () sont ………………………..…………….
Les droites () et () sont ………………………..…………….
Remarque : Les droites parallèles sur une perspective cavalière sont parallèles en réalité mais les droites
sécantes sur le dessin ne le sont pas forcément en réalité (comme () et () par exemple).
Propriété 1 : Une droite et un plan sont soit sécants soit parallèles.
La droite et le plan sont sécants.
Ils ont un point en commun.
La droite et le plan sont strictement
parallèles. Ils n’ont rien en commun.
La droite et le plan sont confondus.
Ils ont une droite en commun.
Propriété 2 : Deux plans et sont soit sécants soit parallèles.
Les plans sont sécants.
Ils ont une droite en commun.
Les plans sont strictement parallèles.
Ils n’ont rien en commun.
1
Les plans sont confondus.
Ils ont un plan en commun.
2) Parallélisme
Propriété 3 : Si une droite est parallèle à une droite d’un plan , alors elle est parallèle au plan .
Propriété 4 : Si un plan contient deux droites sécantes et toutes deux parallèles à un plan alors
les plans et sont parallèles.
Propriété 5 : Si deux plans sont strictement parallèles, alors tout plan sécant à l’un est sécant à l’autre et
les intersections sont deux droites parallèles.
Théorème « du toit » : Soient deux droites et parallèles, avec incluse dans un plan et incluse
dans un plan .
Si les plans et sont sécants en une droite alors les droites et sont parallèles à .
2
II - Orthogonalité dans l’espace
1) Orthogonalité de deux droites
Définition 2 : Deux droites et sont dites orthogonales lorsqu’il existe une droite ′ parallèle à et
une droite ′ parallèle à telles que ′ et ′ soient perpendiculaires dans le plan qu’elles déterminent.
Remarque :
Deux droites perpendiculaires sont coplanaires car elles sont sécantes.
Deux droites orthogonales ne sont pas forcément coplanaires (et donc ne sont pas nécessairement
sécantes).
Exemple :
Dans le cube H du paragraphe I :
Les droites () et () sont orthogonales et coplanaires (elles sont perpendiculaires) ;
Les droites () et (
) sont orthogonales et non coplanaires (la droite () est parallèle à la droite ()
qui elle, est perpendiculaire à la droite (
)…).
2) Orthogonalité d’une droite et d’un plan
Définition 3 : Une droite est dite orthogonale à un plan lorsqu’elle est orthogonale à toutes les droites
du plan.
Propriété 6 : Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d’un plan alors elle est orthogonale
au plan.
Exemple :
Toujours dans le cube du paragraphe I :
La droite () est orthogonale aux droites sécantes () et (), elle est donc orthogonale au plan (C)
déterminé par ces deux dernières.
D’après la définition 3, la droite () est donc orthogonale à toutes les droites du plan () : (), (),
(), …
Propriété 7 : On dit que deux plans sont perpendiculaires lorsque l’un d’eux contient une droite
orthogonale à l’autre.
3
III - Repérage dans l’espace
1) Vecteurs de l’espace
Comme en géométrie plane, un vecteur de l’espace est défini par une direction, un sens et une longueur
(ou norme).
La somme de deux vecteurs est définie de la même façon et suit les mêmes règles qu’en géométrie plane.
La relation de Chasles est elle aussi valable dans l’espace.
On définit le produit d’un vecteur par un nombre réel comme en géométrie plane et le vecteur obtenu est colinéaire à .
On rappelle également les résultats suivants :
(i) Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.
(ii) Les points , et sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.
(iii) Les droites () et () sont parallèles si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.
2) Caractérisation vectorielle d’un plan
et deux vecteurs non colinéaires et un point de l’espace.
Propriété 8 : Soient = L’ensemble des points tels que + , où et sont des nombres réels, est un plan contenant
le point .
Remarques :
1) Le triplet (; , ) est alors un repère du plan défini dans la propriété 8.
2) C’est une propriété caractéristique d’un plan. On peut aussi définir un plan par deux droites sécantes ce
qui est équivalent.
Conséquence : Si les points , et ne sont pas alignés, le plan () est l’ensemble des points tels
+ , où et sont des nombres réels.
que = Propriété 9 : Si deux plans sont définis par le même couple de vecteurs non colinéaires (
, ), alors ils sont
parallèles.
3) Vecteurs coplanaires et applications
Définition 4 : Des vecteurs sont dits coplanaires lorsqu’ils possèdent chacun un représentant dans un
même plan.
Propriété 10 : Tout vecteur de l’espace peut se décomposer suivant trois vecteurs non coplanaires de
l’espace.
Exemple : Toujours dans le cube du paragraphe I :
Les vecteurs , et ne sont pas coplanaires. On peut alors exprimer tout vecteur de l’espace
comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs.
+ = = + !" + !# + !$.
= + + = −!# − !$ + !".
4
Remarque importante : la décomposition de la propriété 10 est unique.
Vocabulaire : Une famille de trois vecteurs non coplanaires est dite libre : on dit que les vecteurs sont
libres ou indépendants ou encore non liés.
4) Repérage dans l’espace
trois vecteurs non coplanaires.
Propriété 11 : Soit un point de l’espace et &, ', ) est un repère de l’espace : pour tout point de l’espace, il existe un unique triplet (, , *) tel
(; &, ', que = & + ' + *
Notation :
On note (; ; *) les coordonnées du point dans ce repère et + , les coordonnées du vecteur dans
*
ce même repère.
Vocabulaire : la coordonnée s’appelle l’abscisse, l’ordonnée et * la cote.
Remarque : Les opérations sur les coordonnées dans l’espace sont exactement les mêmes que celles sur
les coordonnées dans le plan, avec une coordonnée de plus.
IV - Système d’équations paramétriques
1) Représentation paramétrique d’une droite
(non nul), si et
Définition 5 : Le point appartient à la droite passant par et de vecteur directeur seulement si les vecteurs et sont colinéaires, ce qui se traduit par : = -
où - ∈ ℝ.
).
Propriété 12 : L’espace est muni d’un repère (; &, ', 1
Soit la droite passant par (0 ; 0 ; *0 ) et de vecteur directeur +2 ,.
3
= 0 + -1
On appelle représentation paramétrique de la droite le système : 4 = 0 + -2 5, où - décrit l’ensemble
* = *0 + -3
des réels.
Remarque : La représentation paramétrique d’une droite n’est pas unique : en effet, ni le point , ni le
vecteur directeur ne sont uniques …
Exemple : Soient (1; 2; 3) et (4; 4; 1) deux points de l’espace.
= 4 − 6
= 1 + 35
Les systèmes 4 = 2 + 2- où - ∈ ℝ et 4 = 4 − 4 5 où ∈ ℝ sont deux représentations paramétriques de
* = 3 − 2* = 1 + 4
la droite ().
5
2) Représentation paramétrique d’un plan
Un plan étant défini par un point et deux vecteurs non colinéaires, on définit de la même façon la
représentation paramétrique d’un plan :
).
Propriété 13 : L’espace est muni d’un repère (; &, ', 1
1′
2
Soit le plan contenant (0 ; 0 ; *0 ) et dirigé par les vecteurs + , et <2′=.
3
3′
= 0 + -1 + -′1′
On appelle représentation paramétrique du plan le système : > = 0 + -2 + -′2′5, où -et-′ décrivent
* = *0 + -3 + -′3′
l’ensemble des réels.
V - Produit scalaire dans l’espace
1) Produit scalaire de deux vecteurs
Deux vecteurs de l’espace peuvent être représentés dans un même plan, le produit scalaire défini en classe
de première dans le plan peut donc être défini de la même façon dans l’espace :
Définition 6 : Soient et deux vecteurs de l’espace. On définit le produit scalaire de et par :
⋅ = 0 si l’un des deux vecteurs est nul ;
⋅ = ‖
‖ × ‖‖ × cos(
, ) sinon.
Les propriétés du produit scalaire dans le plan sont étendues à l’espace :
Propriété 14 : Soient et deux vecteurs non nuls de l’espace tels que = et = , alors :
⋅ = ⋅ = ⋅ = H ⋅ Où est le projeté orthogonal du point sur la droite () et H le projeté orthogonal de sur la droite
().
6
Propriété 15 :
Soient , et I
trois vecteurs de l’espace et un réel :
⋅ = ‖
‖²
⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ( + I
) = ⋅ I
(
) ⋅ = ⋅ () = (
⋅ )
⋅ = 0 si et seulement si les vecteurs et sont orthogonaux.
2) Dans un repère orthonormé
).
Propriété 16 : L’espace est muni d’un repère orthonormé (; &, ', ′
Soient les vecteurs + , et <′=.
*
*′
Le produit scalaire s’écrit alors :
⋅ = K + K + **′
)
Conséquences : Dans un repère orthonormé (; &, ', 1) Le vecteur +, a pour norme : ‖
‖ = L² + ² + *²
*
′
2) Les vecteurs +, et <′= sont orthogonaux si et seulement si K + K + ** K = 0
*
*′
VI - Application du produit scalaire
1) Vecteur normal à un plan
Définition 7 : Soit un plan, un point appartenant à ce plan et M un vecteur non nul de l’espace.
Le vecteur M est dit normal au plan si et seulement si, pour tout point du plan, les vecteurs M et sont orthogonaux.
Autrement dit : Le vecteur M est dit normal au plan si et seulement s’il est orthogonal à tout vecteur
admettant un représentant dans .
Théorème 2 : Un vecteur non nul M est normal à un plan si et seulement s’il est orthogonal à deux
vecteurs non colinéaires de .
Remarque : Ce théorème permet de démontrer la propriété 6 du paragraphe II-2) :
« Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d’un plan alors elle est orthogonale au plan »
7
2) Équations cartésiennes d’un plan
).
Théorème 3 : L’espace est muni d’un repère orthonormé (; &, ', 1
Soit un plan défini par un point et un vecteur M +2 , non nul et normal à .
3
Le plan admet une équation cartésienne de la forme 1 + 2 + 3* + = 0 où est un réel.
−1
Exemple : Le plan défini par le point (1 ; 2 ; −1) et le vecteur normal M < 1 = a une équation
3
cartésienne de la forme : − + + 3* + = 0
Le point appartenant à , ses coordonnées sont solutions de l’équation : −1 + 2 − 3 + = 0 ⇔ = 2
Une équation cartésienne de est donc : − + + 3* + 2 = 0
Ou encore : − − 3* − 2 = 0 ou bien −2 + 2 + 6* + 4 = 0 …
).
Propriété 17 : L’espace est muni d’un repère orthonormé (; &, ', Pour tous réels 1, 2, 3 non tous nuls et tout réel , l’ensemble des points ( ; ; *) du plan vérifiant
1
l’équation 1 + 2 + 3* + = 0 est un plan dont un vecteur normal est M +2 ,.
3
3) Plans perpendiculaires
Propriété 18 : Deux plans sont perpendiculaires lorsque :
1) un vecteur de l’un est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de l’autre ;
2) un vecteur normal de l’un est orthogonal à un vecteur normal de l’autre.
Remarque : Le premier point est immédiat d’après le théorème 2.
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