1 Probabilités-variable aléatoire 2 Suites

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Probabilités-variable aléatoire
1. événements indépendants
2. Probabilité de A ∪ B
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) (rappel : A ∪ B se lit A ou B et A ∩ B se lit A et B)
3. Probabilités conditionnelles
p(A ∩ B) = p(A) × pA (B)
On a aussi p(A ∩ B) = p(B) × pB (A)
4. Calcul de pA (B)
p(A ∩ B)
pA (B) =
p(A)
5. Formule des probabilités totales
p(B) = p(A ∩ B) + p(A ∩ B)
ou bien par exemple p(A ∪ B)= p(B) − p(A ∩ B) si p(B) est donnée.
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6. Loi binomiale
Identifier l’épreuve de Bernouilli que l’on répète et les deux issues possibles, vérifier qu’il y a
indépendance, donner les paramètres de la loi binomiale...
Rédaction type (à faire avant tout calcul de probabilité) :
On répète ....fois successivement l’épreuve de Bernouilli ..........ayant les issues possibles S et S
avec p(S) =.....
Ces expériences aléatoires sont indépendantes.
La variable aléatoire X donnant le nombre de succès S parmi les n épreuves suit une loi
binomiale de paramètres n et p = p(S) notée B(n; p).
n
p(X = k) =
× pk × (1 − p)n−k
p
p
E(X) = np et V (X) = np(1 − p) (rappel : l’écart type σ = V (X))
7. Espérance-variance
Si le tableau ci-dessous donne la loi de probabilité de la variable aléatoire X prenant les valeurs
x1 , x2 .....
Valeurs de xi de X x1 x2 ...... xn
p(X = xi )
p1 p2 ...... pn
Vérifier que la somme des probabilités p1 + p2 + ...... + pn = 1
E(X) = p1 x1 + p2 x2 + − − − − − − +pn xn et V (X) = p21 x1 + p22 x2 + ...... + p2m xn − E(X)2
p
(rappel : l’écart type σ = V (X))
2
Suites
1. Forme explicite : On peut calculer un sans calculer les termes précédents quelque soit la
valeur de n donc un est sous forme explicite.
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A et B sont indépendants si p(A ∩ B) = p(A)p(B) ou pA (B) = p(B) (la réalisation de ”B” ne
dépend de ”A”)
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2. Relation de récurrence : On ne peut pas calculer un+1 sans calculer le terme précédent
donc un est définie par récurrence.
3. Variations d’une suite
Si un+1 − un > 0 alors la suite (un ) est strictement croissante.
Si un+1 − un < 0 alors la suite (un ) est strictement décroissante.
4. Suites arithmétiques
un+1 = un + r où r est la raison de la suite.
un = u0 + nr
et pour tous entiers n et p, un = up + (n − p)r
si le premier terme de la suite est u1 par exemple, on a alors un = u1 + (n − 1)r
premier terme + dernier terme
S =nombre de termes×
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quand on calcule u0 + u1 + .... + u10 par exemple, il y a 10 + 1 = 11 termes.....
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5. Suites géométriques
un+1 = un × q où q est la raison de la suite.
un = u0 × q n et pour tous entiers n et p, un = up × q n−p
si le premier terme de la suite est u1 par exemple, on a alors un = u1 × q n−1
1 − q nombre de termes
S =premier terme
1−q
La limite d’une suite géométrique quand n −→ +∞ est 0 si sa raison q est telle que −1 < q < 1
6. Suites majorées-minorées-bornées
(un ) est majorée par M si pour tout entier un ≤ M
(un ) est minorée par m si pour tout entier un ≥ m
(un ) est bornée si pour tout entier un est à la fois minorée et majorée.
3
Fonctions
1. Théorème de la valeur intermédiaire
Rédaction type : (dans le cas d’une fonction strictement croissante pour l’équation f (x) = 0)
f est continue et strictement croissante sur [a; b].
f (a) < 0 et f (b) > 0
donc d’après le théorème de la valeur intermédiaire, l’équation f (x) = 0 admet une solution
unique α avec α ∈ [a; b]
Pour arrondir aux dixièmes par exemple, il faut encadrer α aux centièmes.
2. Convexité
Graphiquement, f est convexe si les tangentes sont en-dessous de la courbe. Pour montrer
qu’une fonction est convexe (respectivement concave), il faut étudier les variations de f 0 (x).
Pour étudier les variations de f 0 (x), il faut étudier le signe de f 00 (x)
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Etudier le signe de un+1 − un .
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Si f 00 (x) > 0, f 0 est strictement croissante et f est convexe.
Si f 00 (x) < 0, f 0 est strictement décroissante et f est concave.
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Fonction ln
1. La fonction ln est définie sur ]0; +∞[ et lnu est définie pour u(x) > 0
2. ln1 = 0 et ln(e) = 1 avec e ≈ 2, 71
3. Signe de ln
lnx > 0 pour x > 1
4. Dérivation
1
(lnx)0 =
x
5. Primitives
1
x
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Si x > 0 F (x) = lnx est une primitive de f (x) =
6. Règles de calcul
Si a, b sont des réels strictement positifs :
a
lna + lnb = ln(ab)
lna − lnb = ln( )
b
√
ln( a)
1
ln( ) = −lna
a
En particulier : 2 = ln(e2 ), 3 = ln(e3 )......
5
Exponentielle
1. La fonction exp est définie sur R et ex > 0
exp est la réciproque de ln : ln(ex ) = x et si x > 0, elnx = x.
2. Signe de ex
ex > 0 et donc eu(x) > 0
3. Dérivation
(ex )0 = ex et (eu )0 = u0 eu
(e−x )0 = −e−x
4. Primitives
F (x) = ex est une primitive de f (x) = ex sur R.
G(x) = eu(x) est une primitive de g(x) = u0 (x)eu(x)
5. Règles de calcul
Si a, b sont des réels :
ea
= e(a−b)
ea × eb = e(a+b)
eb
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e−a =
1
ea
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e0 = 1 et
ln(an ) = nlna et
1
lna =
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Si f 00 (x) s’annule et change de signe en x = a, la courbe admet un point d’inflexion au point
de coordonnées (a; f (a))
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Primitives-intégrales
1. Si f est continue sur un intervalle I, f admet des primitives sur I
2. signe de f (x) donne les variations de F puisque F 0 (x) = f (x).
3. Rédaction type pour le calcul d’une aire :
f est continue et positive sur [a; b] (avec a < b) donc l’aire A du domaine limité par la courbe,
l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b
Rb
est égale à A = a f (x)dx = F (b) − F (a) unités d’aires (en vert sur le graphique).
4. Valeur moyenne
La valeur moyenne de f sur [a; b] est
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1 Rb
f (x)dx
b−a a
Loi à densité sur un intervalle
1. Pour justifier qu’une fonction f correspond bien à une loi à densité sur un intervalle [a; b], il
faut donc vérifier que :
a) f continue sur [a; b].
b) f (x) ≥ 0 pour tout réel x de [a; b]
R1
c) 0 f (x)dx = 1
2. p(X = a) = 0
p(X ≤ a) = p(X < a)
p(X ≥ a) = 1 − p(X < a)
3. Pour tous réels α et β de I (α < β), on a :
Rβ
p(α < X < β) = α f (x)dx p(a ≤ X ≤ b) = p(x ≤ b) − p(x < a)
Rb
4. E(X) = a xf (x)dx
5. La loi uniforme sur [a; b] est la loi ayant pour densité la fonction constante f définie par
1
f (x) =
b−a
α−a
a+b
p(X ≤ α) =
et E(x) =
b−a
2
6. Un variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite, notée N (0; 1) si sa densité de
−x2
1
probabilité est la fonction f définie sur R par f (x) = √ e 2
2π
2
7. Loi normale N (µ; σ )
Dire qu’une variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance µ et d’écart type σ 2 notée
X −µ
N (µ; σ 2 ) signifie que la variable aléatoire T =
suit la loi normale centrée réduite
σ
N (0; 1).
p(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) ≈ 0, 95 et p(X ≤ µ) = p(X ≥ µ) = 0, 5
8. Intervalle de fluctuation
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n; p) (p ∈]0; 1[)
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F primitive de f sur I si F !‘(x) = f (x)
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#
p
p
p(1 − p)
p(1 − p)
√
√
est l’intervalle de fluctuation asympL’intervalle IF = p − 1, 96
; p + 1, 96
n
n
X
totique au seuil de 95% de la variable aléatoire F =
n
Il faut n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1 − p) ≥ 5
"
Si on note donc "f la fréquence
dans
# un échantillon de taille n alors
p observée d’un caractère
p
f (1 − f )
f (1 − f )
√
√
l’intervalle IE = f − 1, 96
; f + 1, 96
n
n
est l’intervalle de confiance de la proportion de ce caractère dans la population totale au niveau
de confiance 95%
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Il faut aussi n ≥ 30, nf ≥ 5 et n(1 − f ) ≥ 5
1
1
qui est une approximation de l’intervalle satisfaiOn peut aussi utiliser IE f − √ ; f + √
n
n
sante.
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9. Estimation d’une proportion à partir d’un échantillon