fiche 1 - ambition
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LFA/PremièreS exercicesmathématiques MmeMAINGUY Première S Loi binomiale Ch.9 – Fiche n°1 Exercice 1 Dansquelquesgrandesvillesespagnoles,ontestedenouveauxtypesdefeuxauxcarrefours.Lesfeuxnesontplus tricolores(vert,orange,rouge)maisbicolores(vert,rouge).Uncycle«vert–rouge»sedérouledelafaçonsuivante: • l’événement V «lefeuestvert»dure25secondes,clignotantdurantles5dernièressecondesafindeprévenirle conducteurqu’àcourttermelefeuserarouge. • l’événement R «lefeuestrougedure35secondes. Letempstotald’uncycleestdoncde1minute. 5 1) Unevoiturearriveàunfeubicolore.Justifierquelaprobabilitéqu’ellesetrouvefaceàunfeuvertestégaleà . 12 ( ) 2) Déterminer p R . 3) Pourserendreàsontravail,unautomobilisterencontresurleparcours3feuxbicolores. a/Représenterlasituationàl’aided’unarbrepondéré b/Déterminerlaprobabilitéquelepremierfeurencontrésoitvert,lesecondrougeetletroisième,vert. b/Déterminerlaprobabilitéqu’ilrencontreaumoinsunfeuvert. Exercice 2 Partie1 ⎛ 6⎞ 1) Interpréter ⎜ ⎟ etendonnerlavaleur. ⎝1⎠ ⎛6⎞ ⎛7⎞ 2) Onsupposeconnuque ⎜ ⎟ = 15 .Endéduire ⎜ ⎟ . ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎛7⎞ 3) Commentobtenirfacilement ⎜ ⎟ ? ⎝ 5⎠ Partie2 Lesquestionssuivantessontindépendantes. 1) On dispose de cinq antibiotiques efficaces pour triter une maladie infectieuse. On a vérifié au laboratoire que les cinq produits sont également actifs in vitro sur le microbe, mais on ne peut pas donner plus de deux antibiotiques à la fois . º Combien y a-t-il de traitements possibles en asociant deux antibiotiques ? 2) L’épreuve orale de statistiques et probabilités d’un examen universitaire est organisé en lots de 3 sujets tirés au sort parmi 80 sujets portant sur ce cours. L’étudiant doit traiter un des trois sujets à la décision du jury. a / Combien d’épreuves orales l’université pourra–t-elle organiser ? b / Un candidat n’a révisé que 50 sujets. • Justifier qu’il pourra traiter 19 600 épreuves sans avoir à craindre un mauvais choix de sujet du jury. • Quelle est alors la probabilité qu’il puisse traiter les trois sujets de son épreuve ? LFA/PremièreS exercicesmathématiques MmeMAINGUY Exercice 3 ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞ ⎟=⎜ ⎟ . ⎝ k ⎠ ⎝ k + 1⎠ ⎝ k + 1⎠ Onsaitd'aprèslecoursquepour 0 ≤ k ≤ n − 1 ,onalarelation: ⎜ ⎟ + ⎜ ⎛ n − 1 ⎞ ⎛ n − 1⎞ ⎟+⎜ ⎟ pour 0 ≤ k ≤ n − 1 . ⎝ k − 1⎠ ⎝ k ⎠ 1 / Trouver la valeur de ⎜ 2 / En déduire l'égalité suivante pour 2 ≤ k ≤ n − 2 : ⎜ ⎛ n − 2⎞ ⎛ n − 2⎞ ⎛ n − 2⎞ ⎛ n⎞ ⎟ + 2⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ k − 2⎠ ⎝ k −1 ⎠ ⎝ k ⎠ ⎝ k ⎠ Exercice 4 Onconsidèreunevariablealéatoire X suivantuneloibinomialedeparamètre n = 15 et p = 0,6 . ⎛ 15 ⎞ ⎛ 15 ⎞ ⎛ 15 ⎞ 1) A l’aide de la calculatrice, déterminer les coefficients binomiaux suivants : ⎜ ⎟ ; ⎜ ⎟ ; ⎜ ⎟. ⎝ 2 ⎠ ⎝ 14 ⎠ ⎝ 0 ⎠ 2) Déterminer les valeurs exactes puis arrondies à 10−4 près, des probabilités suivantes : p X = 13 ; p X = 14 ; p X = 15 ( ) ( ) ( ) Exercice 5 Unconcourssportifestorganiséchaqueannéepourrelierdeuxvillagesleplusrapidementpossible.Plusieursmoyensde déplacementsontpossibles:àvélo,àpied,enroller Onadmetquelesrésultatsdesdifférentesannéessontindépendantslesunsdesautres.L’expériencedesannées 2 précédentespermetd’affirmerquelaprobabilitépourlevainqueurd’avoireffectuéletrajetàvéloest . 3 ºCalculerlaprobabilitéqu’aucoursdessixprochainesannées,l’épreuvesoitremportéeaumoinsunefoisparun concurrent«noncycliste».Donnerlavaleurexactepuislavaleurapprochéeaumillième. Exercice 6 Unebouleestlancéeenhautd’unepyramide. Àchaqueobstacle,ilyaunechancesurdeuxpourqu’elle sedirigeàdroiteouàgauche. Soit X lavariablealéatoirecorrespondantàlacaseoùla bouletombeàlafinduparcours. Déterminerlaloideprobabilitéde X .
