DEVELOPPER & FACTORISER Pourquoi développer ou factoriser ? Dans de nombreuses situations (économie, sciences de l’ingénieur, informatique, etc.) on doit procéder à de grandes quantités de calculs. Par exemple, imaginons que l’on doive calculer : 99 001 67 + 99 001 33 99 002 67 + 99 002 33 99 003 67 + 99 003 33 … 99 999 67 + 99 999 33 Si l’on remarque que toutes ces formules peuvent se calculer plus simplement en faisant ceci : 99 001 67 + 99 001 33 = 99 001 (67 + 33) = 99 001 100 on imagine alors aisément le gain de temps accompli : on a remplacé 2997 opérations difficiles par 999 opérations faciles ! Comment développer ou factoriser ? Cette possibilité de remplacer une formule difficile à calculer par une formule plus facile à calculer n’est malheureusement pas toujours possible. Il faut que la formule difficile à calculer soit d’une certaine forme. Reprenons 99 001 67 + 99 001 33 et identifions sa forme : notre formule est une somme de deux termes ; chaque terme est un produit ; dans tous les produits apparaît un facteur commun. On peut donc coder la forme à l’aide de lettres : AB + AC ; une fois cette forme identifiée, on peut factoriser la formule : A (B + C). Propriété 1. Formules de distributivité. Quelques soient les nombres A, B et C on a : A (B + C) = AB + AC A (B C) = AB AC Factoriser veut dire « transformer en facteurs » c’est-à-dire « donner la forme d’une produit». Développer veut dire « enlever les enveloppes » c’est-à-dire « enlever les parenthèses ». Ces deux formes, quoique différentes dans leur aspect, donnent toujours le même résultat. La double distributivité Propriété 2. Formules de double distributivité. Quelques soient les nombres A, B, C et D on a : (A + B) (C + D) = AC + AD + BC + BD (A B) (C + D) = AC + AD BC BD (A + B) (C D) = AC AD + BC BD (A B) (C D) = AC AD BC + BD ―1― Démonstration. (A + B) (C + D) = (A + B) C + (A + B) D = C (A + B) + D (A + B) = CA + CB + DA + DB = AC + BC + AD + BD = AC + AD + BC + BD Cette formule peut se justifier, dans le cas de nombres positifs, en les interprétant comme des longueurs. Si on assemble quatre rectangles pour en former un plus grand alors nous avons (Propriété 1) (On peut changer l'ordre des facteurs) (Propriété 1) (On peut changer l'ordre des facteurs) (On peut changer l'ordre des termes) A B AC BC C AD BD D Aire totale = Aire + Aire + Aire + Aire et nous en déduisons (A + B) (C + D) = AC + AD + BC + BD. Les trois autres formules se démontrent de façon analogue. Exemple. Développer puis réduire l'expression (4x3)(2x+4) : ( 4x 3 ) ( 2x +4 ) = 8x² Il faut voir 4 facteurs 16x 6x 12 Il faut faire 4 produits = 8x² +22x 12 Il faut ajouter les 2 termes en x 4x 3 8x² 16x 2x 6x 12 4 Le signe devant une parenthèse. Propriété 3. Pour tout nombre a, a = (1) a. Propriété 4. Pour tout nombre a et b, (a + b) = (a) + (b). Démonstration. (a + b) = (1) (a + b) (Propriété 3) = (1) a + (1) b (Propriété 1) = (a) + (b) (Propriété 3). Exemples. (5+3)=53 ( x + 2y 3z + 4t) = x 2y + 3z 4t Application. Développer puis réduire l'expression (2x 3)(x+2) (3x + 2)(x + 1) : (2x 3)(x+2) — (3x + 2)(x + 1) = 2x² + 4x 3x 6 — [3x² + 3x 2x + 2] (on développe chaque terme) = 2x² + 4x 3x 6 + 3x² 3x + 2x 2 (Propriété 4) = 5x² 8 (on réduit) ―2―