Sciences Physiques/DS/DM/Dm6 électrostatique et atome/dm6

Retour sur le modèle de l'atome en physique classique
Documents d'appui:
http://culturesciences.chimie.ens.fr/content/lexperience-de-rutherford-1230
http://culturesciences.chimie.ens.fr/node/772
Constantes :
 0 = 8,8.10-12 F.m-1
Permittivité du vide :
Célérité de la lumière :
c =3.108 m.s-1
Constante de Planck :
h = 6,62.10-34 J.s
Charge élémentaire :
e = 1,6.10-19 C
Electron Volt :
1 eV = 1,6.10-19 J
Rayon de l'atome d'hydrogène:
a=53 pm
Energie d'ionisation de l'atome
d 'hydrogène
E i=13,6eV
Masses :
Masses atomiques
On note mH la masse dunoyau de 1H
mH = 1,00782 u avec u unité de masse atomique
Pour l'électron, me = 5,5.10-4 u ≈ 9,1.10-31 kg
On effectue une courte approche historique d’un modèle pour l’atome d’hydrogène.
Aucune connaissance préalable n’est requise ni sur les modèles, ni en atomistique.
I Un modèle globuleux pour l’hydrogène atomique (1902)
Sir Joseph-John Thomson (1856-1940), Nobel 1906
L'anglais J.J.Thomson proposa de représenter le noyau comme une sphère
finie de centre O, de rayon R, chargée avec une densité uniforme de charge
volumique ρ . La charge totale de la sphère est celle du noyau : +e.
u r M
O
R
Soit un point M de coordonnées
sphériques
( r , θ , ϕ ) et les vecteurs unitaires des coordonnées sphériques
OM = r . ⃗
ur
( u r ,u ,u  ) ; ⃗

I-1
Calcul du champ électrique au point M
I-1-a
I-1-b
I-1-c
I-1-d
Exprimer la densité volumique de charge ρ du noyau en fonction de e et R.
E au point M en la justifiant.
Donner la direction de ⃗
E au point M dépend-il ? Justifier.
De quelles variables spatiales ⃗
E en fonction de ρ , ε 0 et ⃗
OM pour un
En appliquant le théorème de Gauss, déterminer ⃗
point M à l'intérieur de la sphère.
I-2
Étude du mouvement d'oscillation de l'électron
Dans ce modèle, l'électron n'est soumis qu'à la force d'attraction coulombienne du noyau dans le
repère galiléen lié à ce dernier. L'électron de masse me est au point M et reste à l'intérieur du noyau
(r < R) .
Montrer que l'interaction gravitationnelle électron=proton est négligeable devant l'interaction
coulombienne.
I-2-a
2
d⃗
OM
2
OM = ⃗0 .
Démontrer que
+ ω0 . ⃗
2
dt
I-2-b
Exprimer la fréquence fo de cet oscillateur harmonique en fonction uniquement de e, R, ε 0 et
me .
I-2-c
La plus petite fréquence observée à l'époque dans le spectre de l'hydrogène atomique était
fmin = 460 THz = 460.1012Hz. En déduire une valeur numérique Rmax majorant R. C'est l'ordre de
grandeur du rayon du noyau.
I-3
Critique du modèle
Quelle est l'estimation actuelle du rayon du noyau d'hydrogène ?
Ce modèle a été rapidement abandonné au profit du modèle planétaire de Bohr suite aux expériences de
Rutherford en 1912-1913.
II Un modèle planétaire pour l’hydrogène atomique (1913)
Rutherford(1909) vérifie expérimentalement que l'atome est essentiellement constitué
de vide et propose un modèle planétaire de l'atome:
Les électrons soumis à l'interaction coulombienne tournent autour du noyau comme les
planètes autour du soleil dans notre système solaire.
II-1 En comparant l'interaction coulombienne et gravitationnelle , justifiez l'analogie.
Atome d'hydrogène
uy
ur
u

O
M
r
ux
Le noyau ponctuel est fixe en O. L’électron est en M. On se
place dans le référentiel du noyau R  lié à la base
ux , ⃗
u y ,⃗
u z ) .Il est supposé galiléen.
orthonormée directe ( O ,⃗
ur ,⃗
uθ )
( O, ⃗
est le repère de projection polaire.
ur
OM = r. ⃗
En permanence ⃗
II-2
Exprimer le champ électrostatique auquel est soumis l'électron en M , en déduire le potentiel
électrostatique au point M , l'énergie potentielle électrostatique que l'électron possède lorsqu'il est placé
en M .
II-3
Montrez que le modèle de Rutherford implique que l'énergie( énergie cinétique + énergie
potentielle) de l'électron sur son orbite ne varie pas.
II-4
Montrer que le mouvement circulaire de l'électron ne peut-être qu'uniforme.Que dire de son
accélération ?
II-5
En vous appuyant sur vos connaissances en dynamique du point dans le cas d'un mouvement
circulaire uniforme, montrer que ‖⃗a‖ , norme de l' accélération du point est égale à v 2/r
II-6
En déduire que Ec=-Ep/2
II-7
Estimer la valeur de l'énergie de l'électron , la comparer à l'énergie d'ionisation. Conclure.