L`hydrogène

DS 9 le 16 juin 2012
P HYSIQUE – C HIMIE
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Les copies illisibles ou mal présentées
seront pénalisées.
Toute application numérique ne comportant pas d’unité ne donnera pas lieu
à attribution de points.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur
d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
L’hydrogène
Données pour l’ensemble du problème
Constantes :
Permittivité du vide :
Célérité de la lumière :
Constante de P LANCK :
Nombre d’AVOGADRO :
Charge élémentaire :
Electron Volt :
Constante des gaz parfaits :
Accélération de la pesanteur :
Constante de R YDBERG pour l’isotope 1 H :
ε0 = 8, 8.10−12 F.m−1
c = 3.108 m.s−1
h = 6, 62.10−34 J.s
N A = 6, 02.1023 mol−1
e = 1, 6.10−19 C
1eV = 1, 6.10−19 J
R = 8, 32 J.K−1 .mol−1
g = 9, 8 m.s−2
109740 cm−1
Masses :
Masses molaires (en g.mol−1 ) : M air = 29 ; M H2 = 2 ; ; M O2 = 32
Masses atomiques :
On note mH et mD les masses respectives des noyaux de 1 H et 2 H (deutérium)
m H = 1, 00782 u ; m D = 2, 0141 u ; avec u unité de masse atomique
Pour l’électron, me = 5, 5.10−4 u ≃ 9, 1.10−31 kg
Données thermodynamiques à 298 K
Enthalpie standard de formation de H2 0(g)
Capacité thermique isobare de H2(g)
Capacité thermique isobare de H2 O(g)
Potentiel standard de O2(g) / H2 O(l)
∆ f H o = −241, 8 kJ.mol−1
C p1 (J.mol−1 .K−1 ) =
27, 28 + 3, 26.10−3 .T
C p2 (J.mol−1 .K−1 ) =
30, 54 + 10, 29.10−3 .T
Eo = 1, 23 V à pH = 0
I Genèse d’un modèle atomique
On effectue une courte approche historique d’un modèle pour l’atome d’hydrogène. Aucune connaissance préalable n’est requise ni sur les modèles, ni
en atomistique.
Un modèle globuleux pour l’hydrogène atomique
(1902)
Sir Joseph-John T HOMSON (1856-1940), Nobel 1906
L’anglais J.J.T HOMSON proposa de représenter le noyau comme une sphère
finie de centre O, de rayon R , chargée avec une densité uniforme de charge
volumique ρ . La charge totale de la sphère est celle du noyau : +e .
Soit un point M de coordonnées sphériques (r ,θ,φ) et les vecteurs unitaires
des coordonnées sphériques (u r ,u θ ,u φ ) ; OM = r u r
M
R
ur
Proton sphérique uniformément chargé
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I-1 Calcul du champ électrique au point M
I-1-a Exprimer la densité volumique de charge ρ du noyau en fonction de e
et R .
I-1-b Donner la direction de E au point M en la justifiant.
I-1-c De quelles variables spatiales E au point M dépend-il ? Justifier.
I-1-d Déterminer E en fonction de ρ , ε0 et OM pour un point M à l’intérieur
de la sphère.
I-2 Étude du mouvement d’oscillation de l’électron
Dans ce modèle, l’électron n’est soumis qu’à la force d’attraction du noyau
dans le repère galiléen lié à ce dernier. L’électron de masse me est au point
M et reste à l’intérieur du noyau (r < R ) .
I-2-a Démontrer que :
d 2 OM
+ ω20 OM = 0
dt2
Exprimer la fréquence f 0 de cet oscillateur harmonique en fonction uniquement de e , R , ε0 et me .
I-2-b La plus petite fréquence observée à l’époque dans le spectre de l’hydrogène atomique était f min = 460 THz = 460.1012 Hz. En déduire une valeur
numérique R max majorant R . C’est l’ordre de grandeur du rayon du noyau.
I-3 Critique du modèle
Quelle est l’estimation actuelle du rayon du noyau d’hydrogène ?
Ce modèle a été rapidement abandonné au profit du modèle planétaire de
B OHR suite aux expériences de R UTHERFORD en 1912-1913.
Un modèle planétaire pour l’hydrogène atomique
(1913)
Niels B OHR (1885-1962), Nobel 1922
Si le modèle de B OHR ne permet pas de décrire l’atome d’hydrogène de manière correcte, ce dinosaure de l’atomistique a néanmoins l’immense mérite
de donner accès aux ordres de grandeur caractéristiques de l’atome et d’introduire la quantification de manière très simple.
Le noyau ponctuel est fixe en O. L’électron est en M. On se place dans le
référentiel du noyau (R ) lié à la base orthonormée directe (u x ,u y ,u z ). Il est
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supposé galiléen.
(O,u r ,u θ ) est le repère de projection polaire. En permanence OM = r u r
uθ
r
uy
b
M
ur
θ
ux
I-4 Éléments cinétiques du mouvement circulaire de l’électron
L’électron décrit une trajectoire circulaire de centre O et de rayon r . Sa masse
est me . On admettra que la seule force non négligeable sur l’électron est la
force d’interaction coulombienne noyau-électron :
f =−
e2
ur
4πε0 r 2
I-4-a Déterminer la norme v de la vitesse de l’électron dans (R ) en fonction
de e , ε0 , r et me .
I-4-b Déterminer la norme L du moment cinétique orbital par rapport à O de
l’électron dans (R ) en fonction de e , ε0 , r et me .
I-4-c Démontrer que la force f dérive d’une énergie potentielle E p que l’on
r →∞
exprimera en fonction de e , ε0 et r . On prendra E p → O .
I-4-d En déduire l’énergie mécanique E de l’électron dans (R ) en fonction de
e , ε0 et r .
I-5 Équation aux dimensions
Sir Joseph L ARMOR (1857-1942) ; Jean P ERRIN (1870-1942), Nobel 1926
La puissance P rayonnée par un électron ayant une accélération a est donnée par la formule de L ARMOR :
P =
exaycz
6πε0
I-5-a Déterminer les entiers x , y et z par une analyse dimensionnelle.
I-5-b Jean P ERRIN avait proposé en 1901 ce type de modèle planétaire (1-4).
Expliquer pourquoi il semble incompatible avec la formule de L ARMOR.
I-6 Quantification des éléments cinétiques
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Pour expliquer le spectre de l’hydrogène, B OHR postula la quantification des
h
éléments cinétiques de l’électron. Il en résulte que L = n.ħ , n ∈ N ∗ et ħ = 2π
.
I-6-a Déduire que le rayon est quantifié en exprimant r n en fonction de n et
r 1 , valeur de r n pour n = 1. Exprimer le rayon de B OHR r 1 , en fonction de e ,
ε0 , m e et h et le calculer.
I-6-b Déduire que l’énergie mécanique est quantifiée en exprimant E n en
fonction de n et E 1 . Exprimer E 1 en fonction de e ,ε0 , me et h et la calculer.
I-6-c L’électron passe du niveau p d’énergie E p au niveau q d’énergie E q ,
p > q . II y a émission d’un photon de longueur d’onde λ et de nombre d’onde
σ. On a :
µ
¶
1
1
1
σ = = αm e 2 − 2
λ
q
p
Exprimer α en fonction de e , h , ε0 et c .
Calculer numériquement la constante spectrographique (αme ).
Cette synthèse des idées de Max P LANCK (quanta) et d’Ernest R UTHERFORD
(noyau ponctuel) a fait la force du modèle de B OHR à son époque.
I-7 Un problème à deux corps : le déplacement isotopique
Harold C.U REY (1893-1981), Nobel 1934
On admet la formule du I-6-c. On se place dans le référentiel barycentrique.
I-7-a Le noyau n’est pas immobile et a une masse m . En remarquant que α
reste constant, expliquer comment il suffit de corriger la formule précédente.
I-7-b L’hydrogène a deux isotopes naturels : 1 H et le deutérium 2 H noté D ;
le spectre de D est décalé par rapport à celui de H de ∆σ = σD − σH .
Trouver ∆σ
σH en fonction de m H , m D , et m e . m D > m H (voir données)
Calculer numériquement cette valeur.
Le deutérium (0,01 % de l’hydrogène naturel) a été découvert en 1931 par
U REY en observant dans le spectre de l’hydrogène les raies dues au déplacement isotopique.
II Etude de l’hydrogène atomique
II-1 Déplacement isotopique du spectre de l’hydrogène
On a relevé en nm les 4 longueurs d’onde les plus élevées des séries de B AL MER pour l’hydrogène (1 H) et son isotope naturel, le deutérium D (2 H).
λH 656,11 486, 01 433, 94 410, 07 Données à titre indicatif
λD 655,93 485,88 433,82 409,96
Données pour le II-1-b
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II-1 -a Rappeler la formule de R ITZ.
II-1 -b On rappelle que la série de B ALMER correspond à la désexcitation de
l’atome vers le niveau d’énergie E 2 . Déterminer à cinq chiffres significatifs la
constante de R YDBERG R D pour le deutérium. On précisera obligatoirement
la méthode de calcul employée.
II-2 Niveaux énergétiques
En notant n le nombre quantique principal, préciser sans démonstration
le nombre de spin-orbitales (ou nombre maximal d’électrons) d’un niveau
d’énergie E n .
II-3 Affinité électronique de l’hydrogène
II-3-a Définir l’affinité A de l’hydrogène en écrivant la réaction associée.
II-3-b Les tables de données chimiques nous donnent : A = 70 kJ.mol−1 >
O. Cette affinité faible, mais positive, limite l’existence des ions hydrure
aux éléments les plus électropositifs. A quelle famille appartiennent ces derniers ?
III Synthèse de l’eau dans un réacteur
Le mécanisme exact de la réaction H2 + 1/2 O2 = H2 O reste encore indéterminé. On peut néanmoins proposer dans le désordre le mécanisme réactionnel approché suivant :
k
H• + O2 →1 •OH + •O•
k2
•OH + H2 → H2 O + H•
k3
H• → Hadsorbé
k4
H2 → 2 H•
k5
•O• + H2 → •OH + H•
(1)
v1
(2)
v2
(3)
v3
(4)
v4
(5)
v5
III-1 Préliminaires
III-1-a Identifier les trois phases du mécanisme et préciser leur nom ainsi
que les réactions qui leurs sont associées.
III-1-b Quelles sont les charges des espèces •OH, •O• et H• ?
III-2 Vitesse de formation de l’eau
III-2-a Ecrire avec les vitesses v i les équations traduisant l’approximation
des états quasi stationnaires.
III-2-b Ecrire les vitesses v i des 5 réactions en fonction des k i et de la concentration des espèces (loi de VAN ’ T H OFF).
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III-2-c Calculer v = d[Hd t2 O] , vitesse volumique de formation de l’eau en fonction de k 1 , k 3 , k 4 , [H2 ] et [O2 ].
k3
III-2-d Pour [O2 ]= 2k
, que se passe-t-il ?
1
IV
L’Etage
d’Ariane V
Principal
Cryotechnique
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IV-2-c Calculer la température de flamme adiabatique due à ce mélange en
précisant bien votre raisonnement.
IV-3 Puissance : Evaluer l’ordre de grandeur de la puissance moyenne du
moteur Vulcain.
V La pile à combustible
Inventée en 1839 par Sir William Robert G ROVE, elle prit de l’intérêt grâce à
la conquête spatiale. Depuis les missions Apollo, une âpre compétition technologique s’est engagée car elle permet une propulsion propre devançant de
très loin les moteurs thermiques en rendement. Le tandem M ERCEDES -F ORD
a présenté en 1999 la Necar 4, une classe A avec de très honorables performances. Objectif commercial annoncé : 2005
V-1 Compréhension de la pile
V-1-a Dessiner la pile
Les ergols (carburant H2 et comburant O2 ) sont vaporisés et réchauffés à
environ Ti = 298 K avant d’être mélangés.
IV-1 Préliminaires
IV-1-a On note x 0 la fraction molaire initiale du comburant. Calculer x 0
IV-1-b Ecrire l’équation bilan de la réaction de combustion entre les ergols.
Les ergols ne sont pas en proportion stoechiométrique. Lequel est en excès ?
IV-1-c Donner un ordre de grandeur des enthalpies standard de formation
de H2(g) et O2(g) .
Par la suite, on notera n 0 le nombre de moles total initial (comburant et carburant).
IV-2 Température de flamme
Etat initial : (1 − x 0 )n 0 moles de H2 et x 0 n 0 moles de O2 gazeux à p °, Ti .
Etat final : gaz résiduel à p °, T f .
On admet que l’air extérieur n’intervient pas lors de cette combustion.
La transformation est supposée isobare (à la pression p °) et adiabatique.
IV-2-a Donner la composition du gaz résiduel dans l’état final. On tiendra
compte du fait qu’un ergol est en excès.
IV-2-b Déterminer la variation d’enthalpie ∆H du système entre l’état initial
et l’état final.
Pt| H2(g) (1bar)| H2 O(ℓ) ,KOH(1mol.L−1 )| O2(g) (1bar)| Pt
Préciser sur ce schéma sa polarité et le sens de déplacement des électrons.
V-1-b Noter sur le schéma la cathode, l’anode et leurs définitions.
V-1-c Quel type de conduction a-t-on dans la potasse ?
V-2 Etude de la pile
V-2-a Ecrire les deux demi réactions ayant lieu aux deux électrodes dans le
milieu électrolytique contenant la potasse.
V-2-b Déterminer la formule de la force électromotrice de cette pile pour des
pressions en dihydrogène et dioxygène de 1 bar.
V-2-c Pour une pile de 10 kW, calculer la charge débitée en une heure. En
déduire la consommation en g.h−1 en dihydrogène, puis en dioxygène.
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Commentaires
et correction :
Sujet proposé au concours des Petites Mines en série PCSI.
Quelques questions ont été mal traitées dans les copies :
1. Dans le calcul de champ électrostatique au début du problème, j’ai lu très
souvent à l’issue de l’étude de la symétrie sphérique du problème : E (M) ne dépend que de r . Cette expression est malheureuse et surtout fausse. En effet,
il est vrai que E r (r ) ne dépend que de r comme toutes les grandeurs°scalaires
°
°
°
relatives au problème : la densité de charge ρ , la norme du champ °E (M)° et
le potentiel électrostatique V . En revanche, il est faux d’écrire que E (M) ne
dépend que de r , car E (M) = E r (r )e r et e r dépend de θ et de ϕ.
2. Beaucoup d’entre vous ont mal compris le modèle de J.J. T HOMSON. La charge
positive correspond à une substance sphérique qui aurait les dimensions de
l’atome avec une densité de charge positive uniforme. Il n’y a pas encore de
noyau dans ce modèle, donc pas de force de C OULOMB. La force subie par
l’électron s’écrit F = −eE avec le champ calculé précédemment.
L’hydrogène
I Genèse d’un modèle atomique
I-1-a La charge diffuse vaut e donc
ρ=
5. Beaucoup de déception sur vos connaissances en matière d’accélération pour
un mouvement circulaire. Je vous le redis ici, tant que vous ne connaitrez pas
les expressions de l’accélération normale et de l’accélération tangentielle en
terme de vitesse, vous ne pourrez pas être efficaces.
1
et de savoir compter !
2
7. La charge des radicaux H•, •O• et •OH est nulle. Les • désignent les électrons
célibataires qui ne sont pas dans une paire et qui empêchent les atomes de
l’espèce considérée de respecter la règle de l’octet, l’ensemble est quand même
neutre. S’il devait y avoir une charge, elle serait indiquée.
8. Dans le calcul de la température de flamme, contrairement à ce qui est préconisé dans les programme, les C p o dépendaient de la température, il fallait en
tenir compte dans les calculs de ∆H .
3e
4πR 3
I-1-c Toute rotation d’angle θ et ϕ ne modifie pas la distribution donc E r ne dépend
que de r .
I-1-d On choisit comme surface de G AUSS une sphère de rayon r < R : D’après le
théorème de G AUSS,
Ó
E .dS = E r (r )4πr 2 =
4
πr 3 ρ
Q int
= 3
ε0
ε0
On a donc
E r (r ) =
ρr
3ε0
Finalement
ρ
OM
3ε0
E (M) =
I-2-a Dans R supposé galiléen, la relation fondamentale de la dynamique (RFD)
s’écrit :
6. En chimie, on vous demandait le nombre d’électrons pouvant occuper les orbitales atomiques relatives à une valeur du nombre quantique principal n .
Le résultat 2n 2 était attendu avec sa démonstration. A savoir faire. C’est
de la mathématique élémentaire, il suffit de savoir que ℓ = 0, 1, ..., n − 1, m =
−ℓ, ℓ + 1, ...0, ...ℓ − 1, ℓ et m s = ±
=
E (M) = E r (r, θ, ϕ)ur
2
4. Contrairement à ce que j’ai beaucoup lu, la dimension du noyau de l’atome est
de l’ordre de 10−15 m, c’est la dimension de l’atome qui est de l’ordre de 10−10
m.
e
4
3
3 πR
I-1-b On travaille en coordonnées sphériques. Tout plan passant par le centre et le
point d’observation est un plan de symétrie donc
3. Par un concours de circonstance très malheureux, mais très instructif, j’ai oublié un carré dans la relation : d dtOM
+ ω20 OM = 0. Mille excuses pour ceux que
2
j’ai trompé. Il va de soi que cette relation n’est pas homogène si l’on écrit ω0
au lieu de ω20
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me
d 2 OM
ρ
= −eE = −e
OM
dt2
3ε0
=−
e2
OM
4πR 3 ε0
On reconnait l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation
ω20 =
e2
eρ
=
4πR 3 ε0 m e 3m e ε0
donc de fréquence
e
f0 =
4π
s
1
πR 3 m
e ε0
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I-2-b On obtient pour le rayon du noyau
Rmax =
s
3
e3
= 312 pm
(2π f min )2 4πm e ε0
I-3 L’ordre de grandeur de la taille du noyau est de 10−15 m.
I-4-a Le mouvement est circulaire uniforme à cause de la conservation du moment
cinétique. Dans le référentiel galiléen la RFD projetée sur ur donne :
me
v2
e2
=
r
4πε0 r 2
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avec la convention E p (∞) = 0
I-4-d L’énergie mécanique est alors donnée par
1
e2
e2
E = E c + E p = mv 2 −
=−
2
4πε0 r
8πε0 r
I-5-a De l’expression de l’énergie potentielle (qui a la dimension d’une puissance fois
un temps P.T), on déduit que la dimension de 1/ε0 est
·
On en déduit :
v=
s
¸ ·
¸
1
L.P.T
=
ε0
q2
En reprenant l’expression de la puissance rayonnée, on a aussi
e2
4πε0 m e r
£ ¤x
q
I-4-b Le moment cinétique est égal à :
·
L
T2
¸y ·
L
T
¸z
=
·
q2
LT
¸
On en déduit
L = OM ∧ m e v


x = 2
y + z = −1


−2y − z = −1
soit en norme
m e er
L = me r v = p
=
4πε0 m e r
s
me r e 2
4πε0
d’où on tire
I-4-c En sphériques, on a
x =2
f = −gradE p
1 ∂E p
1 ∂E p
=−
ur −
uθ −
uϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
∂E p
On en déduit
∂E p
∂θ
= 0 et
∂E p
∂ϕ
∂r
y =2
;
z = −3
I-5-b Un mouvement circulaire rayonne de l’énergie car son accélération est non
nulle, donc son énergie devrait diminuer.
I-6-a Comme L = nh
2π , on a
n 2 h 2 me e 2 r n
=
4π2
4πε0
=0
soit
donc E p ne dépend que de r . Comme
∂E p
;
=−
e2
4πε0 r 2
on obtient par intégration sur r
rn =
n 2 h 2 ε0
= n2r1
πm e e 2
Le rayon de B OHR vaut donc
Ep = −
e2
4πε0 r
r1 =
h 2 ε0
πm e e 2
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II Etude de l’hydrogène atomique
L’application numérique conduit à
II-1 -a La formule de R ITZ s’écrit :
r 1 = 5, 3.10−11 m
I-6-b L’énergie est alors donnée par
En = −
σ=
e2
πm e e 4 1
E1
=−
=− 2
8πε0 r n
8πε0 h 2 n 2
n
avec
E1 =
πm e e 4
8πε0 h 2
I-6-c La transition correspond à
µ
hc
πe m e 1
1
=
− 2
2
2
2
λ
p
8πε0 h q
¶
soit
µ
¶
1
πe 4
1
1
=
me 2 − 2
λ 8πε20 h 3 c
q
p
On retrouve la relation proposée en posant
α=
πe 4
8πε20 h 3 c
Numériquement
αm e = 1, 1.107 m−1
I-7-a Comme α ne dépend pas des masses, il suffit de remplacer la masse me par la
masse réduite
µ=
I-7-b On a ainsi
µ
¶
1
1
1
=R 2 − 2
λ
q
2
Par régression linéaire à la calculatrice, on trouve
E 1 = 2, 2.10−18 J = 13, 6 eV
4
µ
¶
1
1
1
=R 2 − 2
λ
q
p
II-1 -b Pour la série de B ALMER on a
σ=
Numériquement, on a :
E=
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mm e
m + me
∆σ σD
mD me
m H me
=
−1 =
/
−1
σH σH
mD + me m H + me
mD m H + me
=
−1
m H mD + me
(m D − m H )m e
=
= 2, 72.10−4
(m D + m e )m H
RD = 109770 cm−1
II-2 Pour la couche n , ℓ peut aller de ℓ = 0 à ℓ = n − 1, et pour chaque valeur de ℓ
on a 2 × (2ℓ + 1) électrons car on a 2ℓ + 1 orbitales atomiques (mℓ = −ℓ, ..., 0, ..., ℓ) qui
contiennent chacune 2 électrons de spin opposé. Il y a
µ
¶
n(n − 1)
Σn−1
2
×
(2ℓ
+
1)
=
2
×
2
×
= 2n 2 électrons au maximum.
+
n
ℓ=0
2
II-3-a L’affinité électronique est l’énergie à fournir pour réaliser la réaction
H−g → Hg + e −
II-3-b Les éléments les moins électronégatifs sont les alcalins de la première colonne.
III-1-a L’étape d’initiation est l’étape (4).
Les étapes (1), (2) et (5) sont les étapes de propagation.
L’étape (3) est l’étape de terminaison.
III-1-b les espèces •OH, •O• et H• sont des radicaux qui possèdent des électrons
libres mais qui sont neutres.
III-2-a Les vitesses des intermédiaires réactionnels sont nulles, c’est à dire :
d[•O•]
= 0 = v1 − v5
dt
d[•OH]
= 0 = v1 − v2 + v5
dt
d[H•]
= 0 = −v 1 + v 2 − v 3 + 2v 4 + v 5
dt
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III-2-b Les expressions des vitesses sont
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Comme le réactif limitant est O2 , on a ξ = n0 x0 et donc dans l’état final, on compte
(1 − 3x0 )n0 moles de H2 et2x0 n0 moles de H2 O
v 1 = k 1 [H•][O2 ]
IV-2-b Pour une transformation adiabatique isobare, on a
v 2 = k 2 [H2 ][•OH]
v 3 = k 3 [H•]
∆H = Q = 0
v 4 = k 4 [H2 ]
IV-2-c On exploite le fait que l’enthalpie est une fonction d’état pour calculer sa variation le long d’un chemin différent : on commence par réaliser la réaction chimique
à 298 K, puis on élève la température du mélange réactionnel jusqu’à la température T f cherchée. On a donc
v 5 = k 5 [H2 ][O2 ]
III-2-c Comme v 1 = v 5 , on a
2v 1 = v 2
et
v 2 − v 3 + 2v 4 = 0
On en déduit alors
∆H = 2n0 x0 ∆r H o +
ZT f
298
£
¤
2n0 x0 C p2 + (1 − 3x0 )n0C p1 dT
Numériquement, on aboutit à l’équation
2k 4 [H2 ]
k 3 − 2k 1 [O2 ]
4k 1 k 4 [O2 ]
[•OH] =
k 2 (k 3 − 2k 1 [O2 ])
[H•] =
−125493 + 22, 187T f + 0, 2954.10−2 T f2 = 0
La seule solution possible est
T f = 3767 K
On a ainsi
d[H2 O]
= k 2 [H2 ][•OH]
dt
4k 1 k 4 [O2 ][H2 ]
=
k 3 − 2k 1 [O2 ]
IV-3 L’ordre de grandeur de l’énergie dégagée est donné par
v=
E =2
III-2-d Le modèle montre ses limites car il donne une vitesse infinie. Cela peut en
pratique correspondre à une réaction explosive.
IV-1-a On a une masse de 25 tonnes de dihydrogène donc nH2 = 12, 5.106 moles et de
130 tonnes de dioxygène soit nO2 = 4, 06.106 moles. On en déduit la fraction molaire
x0 =
nO2
nO2 + nH2
= 24, 5%
IV-1-b La réaction entre les ergols est :
2 H2 + O2 → 2 H2 O
Comme il faut deux fois plus de H2 que de O2 , H2 est en excès.
IV-1-c Il s’agit de l’état standard de référence de l’oxygène et de l’hydrogène, les
enthalpies standard de formation de H2(g) et O2(g) sont donc rigoureusement nulles.
IV-2-a Le tableau d’avancement pour l’état initial (I) et l’état final (F) s’écrit :
I
F
2 H2
O2
(1 − x0 )n0
(1 − x0 )n0 − 2ξ
x0 n0
x0 n0 − ξ
H2 O
0
2ξ
m O2
MO2
∆r H o
Pour la puissance, on a
P=
V-1-a On étudie la pile suivante
E
= 3, 4.109 W
∆t
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DS 9 le 16 juin 2012
V-1-b La réduction a lieu à l’anode, l’oxydation à la cathode.
V-1-c La conduction a lieu grâce aux ions dans la solution. On a une conduction
ionique.
V-2-a A l’anode, la réaction est :
H2 + 2 OH− → H2 O + 2 e −
Lycée Clemenceau Nantes – MPSI
On déduit l’expression de la tension de la pile
E = E cathode − E anode
Ã
!
p
P H2 P H2
0, 06
= E (O2 /H2 O) − E (H2 /H2 O) +
log
= 1, 23 V
2
(P o )3/2
o
o
V-2-c L’intensité qui circule est donnée par
A la cathode, la réaction est :
1
O2 + H2 O + 2 e − → 2 OH−
2
V-2-b La formule de N ERNST donne :
Ã
!
P H2 [OH− ]2
0, 06
o
E anode = E (H2 /H2 O) +
log
2
2
Po
cO
s

− 2
P
0,
06
[
OH
]
O
2

E cathode = E o (O2 /H2 O) +
log 
2
2
Po
cO
I=
q P
=
t
E
La charge débitée en une heure est donc
q=
Pt
= 29, 3.106 C.h−1
E
On en déduit la quantité de moles d’électrons qui circulent en une heure q/N A , puis
la quantité de moles de dihydrogène q/2N A et de moles de dioxygène q/4N A . Avec
les masses molaires, on montre qu’on consomme 304 g/h de H2 et 2431 g/h de O2 .