Dérivation 1 Fonction carré : étude d`un exemple - maths

Dérivation
Première ES
1
Fonction carré : étude d’un exemple
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = x2 .
On donne ci-dessous la représentation graphique Cf de f dans un repère orthogonal.
On considère les points A(1; f (1)) et Mh (1 + h; f (1 + h)) avec h ∈ R.
La droite Th est la droite passant par A et Mh
1. Placer Mh puis tracer Th pour les valeurs de h = 3, h = 2, h = 1 puis h = 0, 5.
2. Calculer le coefficient directeur ch de Th pour h = 1 puis h = 0, 5
3. Calculs avec h quelconque :
(a) Exprimer le coefficient directeur ch de Th en fonction de h en simplifiant au maximum l’expression
obtenue.
f (1 + h) − f (1)
* Rappel : Le coefficient directeur de Th ,
est le taux de variation de f entre
(1 + h) − 1
1 et 1 + h.
(b) Déterminer lim ch
h→0
(c) Que représente la droite Th pour la courbe Cf lorsque h → 0 ?
La limite (si elle existe) du taux de variation de f (coefficient directeur de (AMh )) entre 1 et 1 + h
lorsque h → 0 est appelé nombre dérivé de f en x = 1 et se note f 0 (1).
f (1 + h) − f (1)
= 2 et c’est donc le coefficient directeur de la tangente à
On a donc ici : f 0 (1) = lim
h→0
h
Cf au point d’abscisse 1.
4. Recherche du nombre dérivé de f pour une valeur réelle x quelconque :
On considère les points M0 (x; f (x)) et Mh (x + h; f (x + h)) de la courbe Cf et on veut déterminer le nombre
dérivé f 0 (x)
(a) Exprimer le taux th de variation de f entre les points M0 et Mh
(b) Déterminer alors lim th en fonction de x
h→0
(c) En déduire f 0 (x) en fonction de x
(d) Retrouver alors le résultat de f 0 (2)
(e) En utilisant le résultat du c, déterminer f 0 (2) et tracer la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse 2.
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2
Définition et propriété du nombre dérivé
2.1
Nombre dérivé
Définition 1 : Nombre dérivé de f en x = a
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit a ∈ I et h 6= 0 tel que a + h ∈ I.
f (a + h) − f (a)
On appelle taux de variation de f entre a et h le réel
.
h
f (a + h) − f (a)
existe et est finie et on note f 0 (a) le nombre dérivé de
On dit que f est dérivable en a si lim
h→0
h
f en a.
2.2
Interprétation graphique
propriété 2 :Interprétation graphique du nombre dérivé
Soit f une fonction définie sur I et Cf sa représentation graphique dans un repère. Soit a ∈ I.
Si f est dérivable en a alors f 0 (a) est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point A(a; f (a)). L’équation
de cette tangente est alors : y = f 0 (a)(x − a) + f (a).
Remarque : y = f 0 (a)(x − a) + f (a) ⇐⇒ y = f 0 (a)x − af 0 (a) + f (a)
Le coefficient directeur de la droite dont l’équation est donnée ci-dessus est f 0 (a) et le point A(a; f (a)) appartient
à cette droite, en effet :
f 0 (a) × a − af 0 (a) + f (a) = f (a) = yA
2.3
Applications de la dérivation
2.3.1
Dérivée et variations
propriété 3 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
– f est croissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f 0 (x) ≥ 0.
– f est constante sur I si et seulement si pour tout x de I, f 0 (x) = 0.
– f est décroissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f 0 (x) ≤ 0.
Exemple 1 :
Étudier les variations de la fonction f définie sur R par f (x) = x2 de la partie 1.
2.3.2
Extremums
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et x0 ∈ I.
propriété 4 Si f (x0 ) est un extremum (maximum ou minimum) local de f alors f 0 (x0 ) = 0.
Remarque : La réciproque de cette propriété est fausse. La condition f 0 (x0 ) = 0 ne suffit pas pour conclure
qu’il existe un extremum en x0 (voir propriété ci-dessous).
propriété 5 Si f 0 s’annule en changeant de signe en x0 alors f (x0 ) est un extremum local de f .
3
Dérivées des fonctions usuelles
fonction
a
x
x2
xn n ∈ N∗
1
x
1
x2
1
(n ∈ N∗ )
xn
√
x
Dérivable sur :
Dérivée :
Exemple 2 : Calcul de dérivées]
1. Calculer la dérivée de la fonction f définie sur R par f (x) = x3
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Dérivation
2. Calculer la dérivée de la fonction g définie sur R par g(x) = x4
1
3. Calculer la dérivée de la fonction h définie sur R∗ par h(x) = 3
x
1
4. Calculer la dérivée de la fonction i définie sur R∗ par i(x) = 4
x
4
Formules de dérivation
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I de R et k un réel.
1
u
fonction ku
u+v
u×v
(v 6= 0 sur I)
(v 6= 0 sur I)
v
v
Dérivée :
Exemple 3 : Calcul de dérivées
1. Calculer la dérivée de la fonction f définie sur R par f (x) = 3x3 − 4x2 + 5x + 1
2
2. Calculer la dérivée de la fonction g définie sur R par g(x) = − 2
x +3
3. Calculer la dérivée de la fonction h définie sur R par h(x) = (x2 − 1)(x3 + 4)
4. Calculer la dérivée de la fonction i définie sur R par i(x) =
5
x2 − x + 1
x2 + 1
Etude des variations d’une fonction avec le signe de la dérivée
Méthode
– Identifier les différents termes de f (x) et les formules à utiliser
– Calculer f (x)
– Factoriser au maximum f 0 (x) pour étudier son signe
– Identifier les facteurs de signe constant (carrés, facteurs positifs sur Df ) pour simplifier l’étude du signe
5.1
Fonction polynôme
Exemple 4 : Fonction polynôme (de degré 3)
3
f est la fonction définie sur R par f (x) = x3 + x2 − 6x − 3
2
Etudier les variations de f .
5.2
Fonction rationnelle
Exemple 5 : Fonction rationnelle
g est la fonction définie sur R par g(x) =
Etudier les variations de g.
x+1
x2 + 3
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