CIBLE PRINCIPALE Première – Terminale SERIE Série F1-2-3

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CIBLE PRINCIPALE
SERIE
MATIERE
TITRE
Première – Terminale
Série F1-2-3-4-C-D
Mathématiques
Contrôle
RESUME DU SUJET
Thème abordé :
Nombres Complexes
Exercice
r r
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O ; u, v) (unité graphique 4 cm). Soit I le point
d’affixe 1. On note Γ le cercle de diamètre [OI] et on nomme son centre Ω .
Partie A
1
2
1
2
On pose ao = + i et on note A0 son image.
1. Montrer que le point A0 appartient au cercle Γ .
2. Soit B le point d’affixe b, avec b = −1 + 2i , et B’ le point d’affixe b’ telle que b ' = a0 b .
a. Calculer b’.
b. Démontrer que le triangle OBB’ est rectangle en B’.
Partie B
Soit a un nombre complexe non nul et différent de 1, et A son image dans le plan complexe. A tout point M
d’affixe z non nulle, on associe le point M’ d’affixe z’ telle que z ' = az .
On se propose de déterminer l’ensemble des points A tels que le triangle OMM’ soit rectangle en M'.
a−1
).
a
uuuuuur uuuuuuur
a−1
) + 2kπ (où k ∈ Z ).
2. Montrer que ( M ' O ; M ' M ) = arg(
a
1. Interpréter géométriquement arg(
3. En déduire que le triangle OMM’ est rectangle en M’ si et seulement si A appartient au cercle Γ privé de
O et I.
Correction
Partie A
1. Ω a pour affixe 1/2 et Γ a pour rayon 1/2 ; on calcule ΩA0 =
1 1 1
1
1
+ i − = i = donc A0 est sur Γ.
2 2 2
2
2
2. a. b ' = a0 b = ( −1 + 2i)  + i  = − + i − i − 1 = − + i .
2 2
2
2
2 2
1

1
1
1
3
1

b. Avec l’argument : on calcule
i)(3 + i)
π
= arg i = .
( B' O , B' B ) = arg 0b −− bb '' = arg −1 + 32i/ +2 3− /i 2/ 2− i / 2 = arg 13+−3ii = arg (1 + 310
2
uuuur uuuur
On pouvait aussi faire Pythagore.
Partie B
uuur uur
uur
uuur
a−1
) = OA, IA puisque le vecteur IA a pour affixe a − 1 et OA a pour affixe a.
a
uuuuuur uuuuuuur
z − z'
z − az
1− a
a −1
) + 2kπ = arg(
) + 2kπ = arg(
) + 2kπ = arg(
) + 2 kπ .
2. ( M ' O ; M ' M ) = arg(
0 − z'
− az
−a
a
1. arg(
(
)
uuuuuur uuuuuuur
3. OMM’ est rectangle en M’ si ( M ' O ; M ' M ) , soit lorsque arg(
uuur uur
a−1
π
) = OA, IA = ± (2π ) ,
a
2
(
)
c‘est-à-dire lorsque
le triangle OAI est rectangle en A. A doit donc être sur le cercle de diamètre [OI]. On enlève les points O et I
sinon l’écriture arg(
uuur uur
a−1
) = OA, IA
a
(
)
n’a pas de sens.