La théorie de MIE et l`approximation dipolaire discrète pour le calcul

La théorie de MIE et l’approximation dipolaire discrète
pour le calcul des propriétés radiatives des milieux
particulaires Application aux matériaux nanostructurés
Franck Enguehard
To cite this version:
Franck Enguehard. La théorie de MIE et l’approximation dipolaire discrète pour le calcul
des propriétés radiatives des milieux particulaires Application aux matériaux nanostructurés.
Doctorat. France. 2008. <cel-01289012>
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La théorie de MIE et l’approximation dipolaire discrète pour
le calcul des propriétés radiatives des milieux particulaires
Application aux matériaux nanostructurés
Franck ENGUEHARD
CEA / Le Ripault, BP 16, 37260 Monts, France
([email protected])
1 Introduction
Le transfert radiatif au sein d’un milieu semi-transparent est décrit par un champ spatio-temporel
de luminance monochromatique directionnelle L λ (r , n ,t ) , notation dans laquelle λ, r, n et t
désignent respectivement la longueur d’onde, le vecteur position, le vecteur direction (unitaire) et
le temps. Ce champ L λ (r , n ,t ) est régi par une équation de transport intégro-différentielle dite
Equation de Transfert Radiatif (ETR) dont l’écriture générale est la suivante [1] :
1 ∂L λ (r , n ,t )
+ n ⋅ ∇ r L λ (r , n ,t ) = − ( κ λ + σλ ) L λ (r , n ,t ) + κ λ nλ2 L0λ ( T (r , t ) ) ...
∂t
cλ
1 ∂L λ (r , n ,t )
+ n ⋅ ∇ r L λ (r , n ,t ) =
∂t
cλ
σ
... + λ
4π
∫
4π
(1)
Φ λ (n′ , n ) L λ (r , n′ , t ) dΩ′
Dans cette formulation, c λ est la vitesse de propagation de l’énergie dans le milieu semitransparent, et la notation ∇ r désigne le gradient par rapport à la position r ; nλ est l’indice de
réfraction (i. e. la partie réelle de l’indice optique complexe mλ ) du milieu, T (r ,t ) le champ spatiotemporel de température régnant en son sein, et la notation L0λ ( T ) désigne la luminance du
rayonnement d’équilibre à la température T ; enfin, les quantités κλ , σλ et Φ λ (n′ , n ) sont les
propriétés radiatives de volume du milieu, à savoir son coefficient d’absorption, son coefficient de
diffusion et sa fonction de phase de diffusion respectivement. Introduisant le coefficient d’extinction
βλ = κ λ + σλ et l’albédo de diffusion ωλ = σλ / βλ , la version stationnaire de l’ETR (1) (valable à des
échelles de temps telles que la propagation du rayonnement peut être considérée comme étant
instantanée) peut se réécrire sous la forme suivante :
ω
1
n ⋅ ∇ r L λ (r , n ,t ) = − L λ (r , n ,t ) + (1 − ωλ ) nλ2 L0λ ( T (r ,t ) ) + λ
βλ
4π
-1-
∫
4π
Φ λ (n′ , n ) L λ (r , n′ , t ) dΩ′
(2)
et il apparaît que les données d’entrée de cette équation, outre le champ T (r ,t ) , se réduisent aux
propriétés radiatives βλ , ωλ et Φ λ (n′ , n) du milieu. Par ailleurs, le calcul du vecteur flux radiatif
ϕR (r ,t ) résultant d’intégrations spectrale et directionnelle du champ de luminance vectorielle
L λ (r , n ,t ) n , il s’ensuit que l’évaluation du champ spatio-temporel
ϕR (r ,t )
nécessite la
connaissance préalable des propriétés radiatives βλ , ωλ et Φ λ (n′ , n ) du milieu semi-transparent
sur toutes les longueurs d’onde λ d’une bande spectrale utile liée au niveau de température
régnant dans le milieu [2].
Dans ce document, nous nous intéressons aux milieux semi-transparents non pas homogènes
mais particulaires, i. e. constitués d’une phase solide ou liquide dispersée sous forme de particules
dans un milieu hôte n’absorbant pas le rayonnement ; les nuages (ensembles de gouttelettes
d’eau ou de cristaux de glace en suspension dans l’air), les fumées (où cette fois ce sont de fines
particules solides qui sont en suspension dans l’air), l’atmosphère (population de molécules
gazeuses se comportant comme autant de particules de très faible taille) ou encore les matériaux
nanostructurés constitués de nanoparticules solides agglomérées sont quelques exemples
particuliers de cette famille de milieux semi-transparents hétérogènes. Nous allons voir qu’il existe
des outils théoriques permettant de calculer les spectres des propriétés radiatives βλ , ωλ et
Φ λ (n′ , n ) de ces milieux ; dans ce qui suit, nous proposons le survol de deux de ces techniques
basées sur la théorie de MIE d’une part et sur l’approximation dipolaire discrète d’autre part.
Ce document sera structuré en trois grandes parties. Dans un premier temps, nous aborderons la
théorie de l’interaction entre un rayonnement et une particule ou une population de particules, et
nous présenterons les résultats de cette théorie applicables au cas général de la particule de
forme quelconque. Nous nous focaliserons ensuite sur le cas particulier de la particule de forme
sphérique : les formules principales de la théorie de MIE seront écrites, et les résultats de cette
théorie seront illustrés par le calcul des propriétés radiatives d’un nuage de goutelettes d’eau sur
un large spectre de longueurs d’onde. Enfin, nous aborderons la théorie de l’approximation
dipolaire discrète, et nous montrerons que cette technique de modélisation peut, dans une certaine
mesure, combler une lacune importante de la théorie de MIE, à savoir l’incapacité de cette théorie
à rendre compte de l’agencement spatial de la matière dans les propriétés radiatives qu’elle
produit.
Avant de commencer, nous voudrions attirer l’attention sur les deux points suivants :
- Tous les développements théoriques qui vont suivre seront monochromatiques, ce qui
signifie qu’ils concerneront une longueur d’onde λ donnée ; l’indice « λ » rappelant le
caractère monochromatique sera donc omis et sous-entendu.
-2-
- Tous les champs électromagnétiques que nous serons amenés à manipuler seront des
champs harmoniques dans le temps ; conformément à une convention que l’on trouve dans
la plupart des références classiques d’optique, nous associerons à ces champs des
évolutions temporelles non pas en exp ( i ω t ) mais en exp ( − i ω t ) , expression dans laquelle
i = −1 et ω et t désignent respectivement la pulsation et le temps. Cette précision n’est pas
anodine : en particulier, elle impose à l’indice optique complexe m une partie imaginaire
positive, ce qui signifie que dans tout ce document, l’indice optique complexe m sera
exprimé sous la forme m = n + i χ dans laquelle n et χ désignent respectivement l’indice de
réfraction et l’indice d’extinction. Attention : on trouve dans la littérature des expressions
analytiques de la théorie de MIE basées sur la convention exp ( i ω t ) (et donc sur l’écriture
m = n − i χ de l’indice optique complexe) et par conséquent différant quelque peu des
formules auxquelles nous aboutirons.
2 Absorption et diffusion par une particule de forme arbitraire
et par une population de telles particules
La grande majorité des résultats présentés dans cette partie a été tirée du chapitre 3 de l’ouvrage
de C. F. BOHREN et D. R. HUFFMAN, Absorption and Scattering of Light by Small Particles [3], qui
constitue sans aucun doute une référence incontournable dans ce domaine.
2.1 Champ électromagnétique incident ; vecteur de
Poynting et puissance surfacique associés
Pour commencer, considérons une particule (indicée 1) de forme, taille et matériau constitutif
spécifiés, isolée dans l’espace tridimensionnel rempli d’un milieu hôte (indicé 2) non absorbant. La
particule est éclairée par une onde électromagnétique incidente se propageant dans le milieu 2 et
que l’on peut, sans aucune perte de généralité, supposer monochromatique (de longueur d’onde
λ 2 , de pulsation ω et de vecteur d’onde (quantité scalaire) k 2 = 2 π / λ 2 = ω / c 2 ) et plane ; le
champ électromagnétique {Einc (r, t ) ; Hinc (r,t )} associé à l’onde incidente a donc une expression
du type :
⎧
∂B
⎪⎪ Einc (r, t ) = E0 e exp ⎣⎡i ( k 2 u ⋅ r − ω t ) ⎤⎦
∂t
⎨
Binc
∂Binc
⎪ ∇ × Einc = −
& Hinc =
→
∂t
µ2
⎪⎩
-3-
Hinc (r,t ) =
k2
(u × Einc (r, t ) )
µ2 ω
(3)
Dans ces formules (3) :
- L’indice « inc » signifie « incident » ;
- L’indice « 2 » réfère aux propriétés physiques du milieu 2 : µ2 est sa perméabilité
magnétique ; quant à la longueur d’onde λ 2 et la célérité de la lumière c 2 dans le milieu 2,
ces deux quantités valent respectivement λ 0 / n2 et c 0 / n2 où l’indice « 0 » réfère au vide et
n2 désigne l’indice de réfraction du milieu 2 à la longueur d’onde λ 0 , de sorte que le vecteur
d’onde k 2 s’exprime indifféremment par k 2 = 2 π n2 / λ 0 ou k 2 = ω n2 / c 0 ;
- Les notations E, B et H désignent respectivement le champ électrique, l’induction
magnétique et le champ magnétique ;
- La grandeur E0 est l’amplitude (en V.m-1) du champ électrique incident Einc ; cette quantité
peut être considérée réelle sans aucune perte de généralité (la prendre complexe ne ferait
que décaler le terme de phase ( k 2 u ⋅ r − ω t ) d’une constante) ;
- Le vecteur e, unitaire, indique la polarisation du champ Einc ; à la différence de l’amplitude
E0 , il doit être envisagé que cette polarisation e puisse prendre des valeurs complexes, ce
qui est le cas lorsque l’onde incidente présente une polarisation non pas linéaire mais
elliptique ; dans ce cas, la condition « e unitaire » s’écrit e = 1 en étendant la définition de
la norme aux vecteurs complexes de la manière suivante :
x =
x ⋅ x*
(4)
la notation x * désignant le complexe conjugué de x ;
- Enfin, le vecteur u, lui aussi unitaire ( u = 1), indique la direction de propagation de l’onde
incidente ; à la différence de la polarisation e, ce vecteur u est toujours un vecteur réel ; par
ailleurs, u est orthogonal à e, ce qui se traduit par la relation u ⋅ e = 0 .
Au champ électromagnétique
puissance surfacique
{E (r,t ) ; H (r,t )}
ψ (r,t )
{E (r, t ) ; H (r,t )}
inc
inc
exprimé en (3) peut être associée une
qui, dans le cas général d’un champ électromagnétique
quelconque, se calcule via le vecteur de Poynting S (r,t ) = E (r,t ) × H (r,t ) de ce
champ ; le vecteur S (r,t ) ainsi défini, qui a pour dimension des W.m-2, spécifie l’amplitude et la
direction du flux d’énergie électromagnétique en tout point et à chaque instant. Lorsque le champ
{E (r,t ) ; H (r,t )}
évolue de façon sinusoïdale dans le temps (i. e. en exp ( − i ω t ) ), on démontre que
-4-
le vecteur de Poynting S (r,t ) évolue lui aussi de façon sinusoïdale autour d’une valeur moyenne
S (r ) valant :
S (r ) =
1
Re ⎡⎣E (r,t ) × H* (r,t ) ⎤⎦
2
(5)
et qui est la seule quantité que la plupart des instruments de mesure sont capables d’évaluer.
Appliquant ce résultat (5) au champ électromagnétique incident {Einc (r, t ) ; Hinc (r,t )} exprimé en
(3), on obtient :
Sinc (r ) =
k 2 E02
u
2 µ2 ω
(6)
Le vecteur de Poynting moyenné dans le temps Sinc (r ) est donc un vecteur constant, de norme
k 2 E02
, et en tout point orienté selon la direction de propagation u. La puissance surfacique ψ inc
2 µ2 ω
associée à l’éclairement incident a donc pour expression :
ψinc
k 2 E02
=
2 µ2 ω
(7)
2.2 Champs électromagnétiques au sein de la particule et
diffusé par celle-ci
Sous l’effet de l’éclairement incident
{E (r, t ) ; H (r,t )} ,
inc
inc
un champ électromagnétique
{E (r, t ) ; H (r, t )} va apparaître au sein de la particule. Par ailleurs, l’interaction entre la particule et
1
1
le rayonnement incident va produire un champ électromagnétique diffusé par la particule dans le
milieu 2 (voir figure 1) ; ce champ, que nous noterons {E sca (r, t ) ; Hsca (r, t )} (l’indice « sca » faisant
référence au mot anglais « scattered »), sera superposé au champ incident {Einc (r, t ) ; Hinc (r,t )}
dans le milieu 2, de sorte que le champ électromagnétique total régnant dans le milieu 2 sera le
champ {E2 (r,t ) = Einc (r, t ) + E sca (r,t ) ; H2 (r,t ) = Hinc (r,t ) + Hsca (r, t )} .
-5-
scattered
{Esca ; Hsca }
incident
internal
{Einc ; Hinc }
{E1 ; H1}
Figure 1 : champs électromagnétiques incident, interne (i. e. régnant au sein de la particule) et
diffusé par la particule (figure tirée de [3]).
A ce stade, on se trouve confronté au problème de la détermination des expressions des deux
champs électromagnétiques inconnus, à savoir le champ {E1 (r, t ) ; H1 (r, t )} dans la particule (milieu
1) et le champ {E sca (r,t ) ; Hsca (r,t )} dans le milieu hôte (milieu 2). Ces deux champs vérifient
chacun les quatre équations de Maxwell débarrassées des termes de charges et courants libres ;
les évolutions temporelles de nos champs étant sinusoïdales (i. e. en exp ( − i ω t ) ), ces quatre
équations s’écrivent :
∇ ⋅ Eα = 0 , ∇ ⋅ Hα = 0 , ∇ × Eα = i ωµβ Hα
et
∇ × Hα = − i ωεβ Eα
(8)
la notation ε faisant référence à la notion de permittivité diélectrique, et le couple ( α , β ) valant
(1,1)
pour le champ
{E (r, t ) ; H (r, t )}
1
1
et
( sca,2)
pour le champ
{E (r, t ) ; H (r, t )} .
sca
sca
Cet
ensemble d’équations (8) est assorti de conditions de continuité à l’interface entre la particule et le
milieu hôte ; celles-ci concernent naturellement les champs totaux dans les deux milieux en
présence, soit donc le champ {E1 (r,t ) ; H1 (r,t )} dans la particule et le champ {E2 (r,t ) ; H2 (r,t )}
dans le milieu environnant, et expriment la continuité des composantes tangentielles des champs
électrique E et magnétique H de part et d’autre de l’interface. Le vecteur position R désignant un
point quelconque de l’interface, et le vecteur N étant le vecteur unitaire normal à l’interface en R et
orienté vers l’extérieur de la particule, les conditions de continuité à l’interface s’écrivent donc :
-6-
⎡⎣E2 (R,t ) − E1 (R, t ) ⎤⎦ × N = 0
⎡⎣H2 (R,t ) − H1 (R, t ) ⎤⎦ × N = 0
et
(9)
L’ensemble d’équations (8) et (9) constitue un système mathématique complet ; par conséquent, le
problème de la détermination des deux champs électromagnétiques inconnus {E1 (r, t ) ; H1 (r, t )} et
{E (r,t ) ; H (r,t )}
sca
sca
est formellement résolu. Malheureusement, lorsque la forme de la particule
ne présente pas de symétrie géométrique particulière, il s’avère impossible de trouver des
solutions analytiques à ces deux champs, et seules des techniques numériques permettent de les
évaluer.
2.3 Puissances éteinte, absorbée et diffusée par la particule
Nous supposons à ce stade que le champ {E sca (r, t ) ; Hsca (r, t )} diffusé par la particule dans le
milieu hôte est connu. Construisons une sphère fictive Σ de rayon suffisamment grand pour qu’elle
emprisonne complètement la particule ; la puissance électromagnétique Ψ 2 traversant cette
sphère fictive Σ vers son intérieur est donnée par l’opposé du flux du vecteur de Poynting dans le
milieu 2 S2 (r ) à travers Σ :
Ψ2 = −
∫
Σ
S2 ( R ) ⋅ N dΣ
(10)
le vecteur position R étant un point quelconque de la sphère, et le vecteur N étant le vecteur
unitaire normal à la sphère en R et orienté vers l’extérieur de celle-ci. Le vecteur de Poynting
S2 ( r )
ayant pour expression
{E (r,t ) ; H (r,t )}
2
2
1
Re ⎡⎣E2 (r,t ) × H2* (r, t ) ⎤⎦ d’une part, le champ électromagnétique
2
résultant de la superposition des champs incident et diffusé d’autre part, il
s’ensuit que la puissance Ψ 2 peut se décomposer en trois termes selon l’écriture suivante :
Ψ 2 = Ψ inc − Ψ sca + Ψ couplage
(11)
les puissances Ψ inc , Ψ sca et Ψ couplage ayant pour expressions :
∫
=+
∫
Ψ inc = −
Ψ sca
Ψ couplage = −
Σ
Σ
1
2
1
2
1
S sca (R ) ⋅ N dΣ = +
2
Sinc (R ) ⋅ N dΣ = −
∫ Re {⎡⎣E
Σ
inc
∫ Re ⎡⎣E
∫ Re ⎡⎣E
Σ
Σ
inc
sca
*
(R,t ) × Hinc
(R,t ) ⎤⎦ ⋅ N dΣ
*
(R, t ) × Hsca
(R,t )⎤⎦ ⋅ N dΣ
*
(R, t ) × H*sca (R,t )⎤⎦ + ⎡⎣Esca (R, t ) × Hinc
(R,t )⎤⎦} ⋅ N dΣ
-7-
(12)
Le terme Ψ inc est (au signe près) le flux du vecteur de Poynting incident au travers de la sphère Σ ;
cette sphère étant entièrement incluse dans le milieu hôte supposé non absorbant, il s’ensuit que
la puissance Ψ inc ne peut être que nulle. L’égalité (11) se réduit donc à :
Ψ couplage = Ψ 2 + Ψ sca
(13)
nouvelle écriture dans laquelle les deux puissances Ψ 2 et Ψ sca à droite du signe égal sont toutes
deux positives ou nulles :
- La puissance Ψ 2 est définie comme étant fournie (algébriquement) à l’intérieur de Σ. Ψ 2 est
S2 ( r )
le flux vers l’intérieur de Σ du vecteur de Poynting
associé au champ
électromagnétique total {E2 (r,t ) ; H2 (r,t )} régnant dans le milieu hôte, et ce flux ne peut être
que positif ou nul : en effet, Ψ 2 < 0 signifierait que de la puissance associée au champ total
sort globalement de la surface fermée Σ, ce qui n’est possible que si le volume matériel
emprisonné par Σ produit de l’énergie électromagnétique (situation que nous excluons ici).
Par conséquent, Ψ 2 est ≥ 0 et représente la puissance absorbée dans le volume limité par
la sphère fictive Σ ; ce volume n’étant constitué que de la particule d’une part et du milieu
environnant supposé non absorbant d’autre part, il s’ensuit que Ψ 2 , toujours ≥ 0 , est la
puissance absorbée par la particule. Nous noterons donc dorénavant Ψ abs cette puissance
Ψ2 .
- Quant à la puissance Ψ sca exprimée en (12), son interprétation physique est très simple :
cette puissance correspond au flux algébrique vers l’extérieur de Σ du vecteur de Poynting
Ssca (r )
associé
au
champ
électromagnétique
diffusé
{E (r, t ) ; H (r, t )} .
sca
sca
Par
conséquent, Ψ sca n’est autre que la puissance du rayonnement électromagnétique diffusé
par la particule.
Pour finir, intéressons-nous à la puissance Ψ couplage exprimée en (12). Le vecteur de Poynting
Scouplage (r ) =
{
}
1
*
Re ⎡⎣Einc (r,t ) × H*sca (r, t ) ⎤⎦ + ⎡⎣Esca (r, t ) × Hinc
(r,t )⎤⎦
2
qui
lui
est
associé
est
remarquable en ce sens qu’il couple les champs électromagnétiques incident et diffusé ; Ψ couplage
peut donc être interprétée comme étant une puissance résultant de phénomènes d’interaction
entre les deux champs électromagnétiques en présence dans le milieu hôte. Par ailleurs, la
puissance Ψ couplage est positive puisqu’elle est égale à la somme des puissances Ψ abs et Ψ sca qui
sont toutes deux positives ; il s’agit donc d’une puissance fournie à l’intérieur de Σ, ou encore
d’une puissance qui disparaît de l’extérieur de Σ.
-8-
Ainsi, pour résumer les principaux résultats exposés ci-dessus, on retiendra les deux points
importants suivants : (i) le milieu hôte dans lequel la particule est placée étant supposé non
absorbant, il s’ensuit que la puissance Ψ couplage est égale à la somme des deux puissances Ψ abs et
Ψ sca ; (ii) Ψ abs ≥ 0 représente la puissance absorbée par la particule, tandis que Ψ sca ≥ 0 est
égale à la puissance diffusée par celle-ci. La puissance Ψ couplage ≥ 0 est communément qualifiée
de « puissance d’extinction » de la part de la particule, ou encore de « puissance éteinte » par
celle-ci (nous noterons donc dorénavant Ψ ext cette puissance), le terme « extinction » prenant ici
le sens de disparition d’un photon de sa trajectoire initiale soit par absorption soit par déviation (le
mot « déviation » étant synonyme du mot « diffusion »).
2.4 Expressions des puissances éteinte et diffusée en
fonction des champs électriques incident et diffusé
L’expression de la puissance Ψ ext en fonction des champs électromagnétiques incident et diffusé
se trouve parmi les formules (12) (il s’agit de la formule exprimant Ψ couplage ). Il est possible de
réécrire cette expression uniquement à partir des champs électriques Einc (r, t ) et E sca (r,t ) en
faisant appel à un résultat mathématique très utile et qui est une forme particulière d’un théorème
vieux de plus de cent ans appelé le théorème optique. Ce résultat est donné sans démonstration
dans [3], et les auteurs soulignent qu’il est obtenu après une quantité considérable de
manipulation algébrique ; nous l’admettrons donc. Selon ce résultat, l’expression (12) de la
puissance Ψ ext peut se transformer en :
Ψ ext
⎧
⎫
*
⎡
⎞ ⎛
⎞⎤
Einc (r,t )
Esca (r,t )
2 π ε2 c 2
⎪⎪ ⎢⎛
⎪⎪
⎟ ⋅⎜
⎟⎥
=
Re ⎨ ⎜
⎬
2
k2
⎪ ⎢⎣⎢⎜⎝ exp ⎡⎣i ( k 2 u ⋅ r − ω t ) ⎤⎦ ⎟⎠ ⎜⎝ exp ⎡⎣i ( k 2 r − ω t ) ⎤⎦ / ( − ik 2 r ) ⎟⎠ ⎥⎦⎥ r → +∞ ⎪
⎪
θ=0 ⎭
⎩⎪
(14)
la notation « Re » signifiant la partie réelle. Cette nouvelle formule de Ψ ext nécessite quelques
explications :
- Le terme entre crochets dans (14) doit être évalué pour r → + ∞ et θ = 0 . Les notations r et
θ désignent respectivement la norme du vecteur position r ( r = r ) et l’angle que fait celui-ci
avec la direction de propagation de l’éclairement incident u ( 0 ≤ θ ≤ π ). Par conséquent la
formule (14) fait intervenir les propriétés du champ électrique diffusé (i) dans la zone dite
radiative, ou encore en champ lointain, domaine qui est atteint dès que le produit k 2 r est
grand devant 1, et (ii) dans une direction de diffusion bien particulière qui est la direction
« vers l’avant », sans déviation.
-9-
- Le terme
Einc (r,t )
exp ⎡⎣i ( k 2 u ⋅ r − ω t ) ⎤⎦
apparaissant dans (14) représente le champ électrique
incident débarrassé de sa dépendance spatio-temporelle. Dans une certaine mesure, il en
est de même du terme
Esca (r,t )
exp ⎡⎣i ( k 2 r − ω t ) ⎤⎦ / ( − ik 2 r )
lorsque le champ électrique diffusé
Esca (r,t ) est considéré en champ lointain : en effet, dans la zone radiative, ce champ
Esca (r,t ) est approximativement transverse (i. e. Esca (r,t ) ⋅ r ≈ 0 ) et présente une forme
asymptotique du type [4] :
Esca (r,t ) ∼
exp ⎡⎣i ( k 2 r − ω t ) ⎤⎦
− ik 2 r
A sca (n )
(15)
expression dans laquelle (i) le vecteur n est le vecteur unitaire parallèle et de même sens
que r ( n = r / r ) et (ii) le champ vectoriel A sca (n ) (communément appelé champ d’amplitude
vectorielle du champ électrique diffusé Esca (r,t ) ) est fonction non plus du vecteur position r
mais uniquement de sa direction n. Le terme de champ lointain
Esca (r,t )
exp ⎡⎣i ( k 2 r − ω t ) ⎤⎦ / ( − ik 2 r )
figurant dans (14) apparaît donc comme étant le champ électrique diffusé débarrassé de ses
dépendances en distance (r) et en temps (t) mais conservant sa dépendance en direction (n)
puisqu’il n’est autre que le champ d’amplitude vectorielle A sca (n ) .
Revenons un instant sur un point souligné plus haut : l’expression (14) de la puissance éteinte
Ψ ext fait intervenir les propriétés du champ électrique diffusé Esca (r,t ) dans une unique direction
de diffusion bien particulière, la direction dite « vers l’avant », sans déviation, correspondant à une
valeur nulle de l’angle de diffusion θ et à une direction de diffusion n égale à la direction de
propagation u. Ce dernier point est un résultat très curieux du théorème optique : en effet, la
puissance éteinte apparaît ne dépendre que de l’amplitude de diffusion vers l’avant, alors que
physiquement on conçoit l’extinction comme étant l’effet combiné de l’absorption par la particule et
de la diffusion de la part de celle-ci dans toutes les directions de l’espace … Une interprétation de
ce résultat curieux énoncé par le théorème optique est proposée dans [3].
Intéressons-nous à présent à la puissance Ψ sca diffusée par la particule ; l’expression de cette
puissance figure en (12). On peut tout à fait légitimement, dans cette formule, faire tendre le rayon
R de la sphère fictive d’intégration Σ vers l’infini ; l’expression (15) du champ Esca (r,t ) en champ
lointain est alors applicable ; quant au champ magnétique diffusé Hsca (r, t ) en champ lointain,
- 10 -
l’expression de ce champ découle de l’équation de Maxwell ∇ × E sca = i ωµ 2 Hsca et des spécificités
du champ électromagnétique {E sca (r, t ) ; Hsca (r, t )} dans la zone radiative :
∇ × E sca = i ωµ 2 Hsca
∇ × E sca = ik 2 n × E sca
&
→
Hsca =
k2
n × E sca
ωµ 2
(16)
Le calcul du vecteur de Poynting Ssca (r ) est alors immédiat ; n’oubliant pas que E sca (r,t ) ⋅ n = 0
en champ lointain, on aboutit à :
S sca (r ) =
k2
Esca (r, t )
2 ωµ2
2
n=
1
A sca (n )
2 ωµ 2 k 2 r 2
∫
A sca (N)
2
n
(17)
de sorte que la puissance Ψ sca s’exprime par :
Ψ sca =
1
2 ωµ2 k 2 R2
Σ
2
dΣ
(18)
L’intégrale de surface ci-dessus peut être transformée en une intégrale directionnelle sur 4 π
stéradians : en effet, dΣ étant un élément de surface de la sphère fictive Σ de rayon R, la quantité
dΣ / R 2 n’est autre que l’angle solide élémentaire dΩ , de sorte que finalement nous retiendrons
l’expression suivante de la puissance Ψ sca :
Ψ sca =
1
2 ωµ 2 k 2
∫
4π
A sca (n )
2
dΩ
(19)
2.5 Sections efficaces d’extinction, d’absorption et de
diffusion de la particule ; efficacités associées ; fonction
de phase de diffusion de la particule
La section efficace d’extinction Cext de la particule est définie comme étant le rapport entre la
puissance Ψ ext éteinte par la particule (notion définie plus haut) et la puissance surfacique ψ inc
associée à l’éclairement incident (et exprimée en (7)) ; la quantité Cext a donc les dimensions
d’une surface. Les sections efficaces d’absorption Cabs et de diffusion Csca de la particule sont
définies de manière tout à fait analogue : Cabs = Ψ abs / ψ inc et Csca = Ψ sca / ψ inc , de sorte que
l’égalité Ψ ext = Ψ abs + Ψ sca liant les trois puissances se traduit par l’égalité Cext = Cabs + Csca liant les
trois sections efficaces.
Lorsque la particule est de forme sphérique, de rayon a, on ramène souvent ses sections efficaces
à sa section géométrique π a2 . On introduit ainsi de nouvelles quantités sans dimension appelées
- 11 -
efficacités : l’efficacité d’extinction Qext est définie par le rapport Cext / π a2 , et de même pour les
efficacités d’absorption Qabs et de diffusion Qsca . Encore une fois, ces trois efficacités vérifient de
manière évidente l’égalité Qext = Qabs + Qsca .
Concernant la fonction de phase de diffusion de la particule, son expression découle directement
de celle (19) de la puissance diffusée Ψ sca . En effet, cette expression (19) étant écrite sous la
forme d’une intégrale directionnelle sur 4 π stéradians d’une part, la fonction de phase de diffusion
Φ (n ) étant définie comme étant l’indicatrice directionnelle de probabilité de diffusion dans la
direction n d’autre part, il s’ensuit que cette fonction Φ (n ) est tout simplement égale, à une
constante multiplicative près, à la fonction
A sca (n )
2
apparaissant sous le signe intégral dans
l’expression (19) de la puissance diffusée Ψ sca . Si par ailleurs on applique à cette fonction Φ (n ) la
condition de normalisation
∫
4π
Φ (n ) dΩ = 4 π généralement retenue en transfert radiatif, alors
l’expression de la fonction de phase de diffusion Φ (n ) de la particule se déduit immédiatement :
Φ (n ) =
2π
A sca (n )
ωµ 2 k 2 Ψ sca
2
(20)
2.6 Quelques considérations liées aux directions de
propagation et de polarisation
A ce stade, il importe de rappeler qu’à la base de la théorie que nous venons de développer et des
résultats auxquels nous avons abouti, il y avait l’hypothèse d’un éclairement incident
{E (r, t ) ; H (r,t )}
inc
inc
de directions de propagation u et de polarisation e données (se reporter à
l’expression (3) que nous avons retenue pour cet éclairement incident). En conséquence, les
diverses quantités que nous avons introduites au fur et à mesure de nos développements, à savoir
les puissances Ψ ext , Ψ abs et Ψ sca , les sections efficaces Cext , Cabs et Csca , les efficacités Qext ,
Qabs et Qsca ainsi que la fonction de phase de diffusion Φ (n ) sont toutes dépendantes des deux
vecteurs u et e (il serait donc de bon ton désormais de les noter Ψ Pext (u , e ) et ainsi de suite,
l’exposant « P » rappelant la nature polarisée du champ électromagnétique incident). Or le
rayonnement thermique est un rayonnement non polarisé ; il importe donc d’étendre la définition
des dix grandeurs listées ci-dessus à ce type d’éclairement.
Pour ce qui concerne les puissances, sections efficaces et efficacités, la prise en compte du
caractère non polarisé de l’éclairement incident se fait de la manière suivante. Soumettons notre
- 12 -
particule à un champ électromagnétique incident {Einc (r, t ) ; Hinc (r,t )} de direction de propagation
u spécifiée et non polarisé, ou plus précisément de polarisation e fluctuant de manière aléatoire et
équiprobable en terme de direction dans le plan vectoriel orthogonal à u. Soit Ψ NP
ext ( u ) la
puissance éteinte par la particule dans cette configuration d’éclairement ; dans cette notation
Ψ NP
ext ( u ) , l’exposant « NP » rappelle la nature non polarisée du champ électromagnétique incident,
et la dépendance de la puissance éteinte par rapport à la direction de propagation u est
explicitement indiquée. On peut classiquement démontrer (au moyen d’arguments similaires à
ceux que l’on trouve par exemple dans [5] pour la détermination de l’expression du coefficient de
réflexion en intensité en présence d’un éclairement incident non polarisé) que cette puissance
éteinte Ψ NP
est égale à la moyenne arithmétique des deux puissances Ψ Pext (u , v ) et
ext ( u )
Ψ Pext (u , w ) que la particule aurait « éteintes » si celle-ci avait été soumise successivement à deux
éclairements incidents polarisés de direction de propagation u et puissance surfacique ψ inc
inchangées et de polarisations v et w naturellement orthogonales à u mais aussi orthogonales
l’une à l’autre :
Ψ NP
ext ( u ) =
Ψ Pext (u , v ) + Ψ Pext (u , w )
(21)
2
(soulignons au passage qu’il est également démontré que la somme Ψ Pext (u , v ) + Ψ Pext (u , w ) est
indépendante du choix du couple de vecteurs
(v, w )
constituant avec le vecteur u une base
orthonormée). Divisant l’égalité (21) par la puissance surfacique incidente ψinc , on aboutit à
l’expression de la section efficace d’extinction de la particule en éclairement non polarisé :
NP
ext
C
(u) =
Ψ NP
ext ( u )
ψ inc
=
CPext (u , v ) + CPext (u , w )
(22)
2
Les résultats (21) et (22) concernant les puissance et section efficace d’extinction s’étendent aux
puissances et sections efficaces d’absorption et de diffusion, de sorte que les égalités
NP
NP
NP
NP
NP
Ψ NP
ext ( u ) = Ψ abs ( u ) + Ψ sca ( u ) et Cext ( u ) = Cabs ( u ) + Csca ( u ) restent valables. Pour ce qui concerne
la fonction de phase de diffusion ΦNP (u , n ) en éclairement non polarisé, son expression découle
de celle de la puissance diffusée associée Ψ NP
sca ( u ) :
Ψ
NP
sca
(u) =
Ψ Psca (u , v ) + Ψ Psca (u , w )
2
=
1
4 ωµ 2 k 2
∫ (A
(avec les notations évidentes), de sorte que :
- 13 -
4π
P
sca
(u , v , n)
2
+ APsca (u , w , n )
2
) dΩ
(23)
ΦNP (u , n ) =
π
ωµ2 k 2 Ψ NP
sca ( u )
(A
P
sca
(u , v , n)
2
+ APsca (u , w , n )
2
)
(24)
2.7 Propriétés radiatives d’une population de particules
Pour conclure ce chapitre 2 de généralités, considérons l’interaction entre un éclairement incident
et non plus une particule isolée mais une population de telles particules supposées toutes
identiques en termes de forme, de taille et de matériau constitutif et orientées toutes de la même
manière. On suppose en outre que les particules sont distribuées dans le milieu hôte de manière
aléatoire avec une densité de probabilité uniforme ; soit n le nombre de particules par unité de
volume.
Le coefficient d’extinction β du nuage de particules est, par définition, égal à la section efficace
d’extinction (en éclairement non polarisé) cumulée par unité de volume ; ainsi défini, β a pour
dimension des m-1. Si on suppose que chaque particule du nuage interagit avec le rayonnement
incident exactement de la même manière que si elle était isolée dans le milieu hôte (régime
d’interaction rayonnement-matière dit indépendant), alors on démontre immédiatement que le
coefficient d’extinction β (u ) (a priori fonction de la direction d’éclairement u) s’exprime simplement
en fonction de la section efficace d’extinction d’une particule en éclairement non polarisé CNP
ext ( u )
via la relation :
β (u ) = nCNP
ext ( u )
(25)
Ce résultat s’étend aux coefficients d’absorption κ (u ) et de diffusion σ (u ) du nuage (quantités a
priori
directionnelles) :
β (u ) = κ (u ) + σ (u )
est
κ (u ) = nCNP
abs ( u )
vérifiée,
et
(ii)
et
σ (u ) = n CNP
sca ( u ) ,
l’albédo
directionnel
de
sorte
ω (u)
a
que
pour
(i)
l’égalité
expression
NP
ω (u ) = σ (u ) / β (u ) = CNP
sca ( u ) / Cext ( u ) . Enfin, les particules étant supposées toutes identiques et
orientées toutes de la même manière au sein du nuage, elles présentent toutes la même fonction
de phase de diffusion ΦNP (u , n ) ; cette fonction est par conséquent aussi la fonction de phase de
diffusion du nuage de particules [6].
Le régime d’interaction rayonnement-matière indépendant est évidemment le plus simple à
appréhender ; il correspond à la situation où la distance moyenne entre deux particules du nuage
est suffisamment grande pour que l’interaction entre le champ électromagnétique et une particule
donnée s’effectue sans aucun effet de mémoire des interactions du champ avec les autres
particules. Si la densité volumique de particules devient suffisamment grande, il est clair que
l’hypothèse d’indépendance du régime d’interaction tombe en défaut et que les égalités du type de
- 14 -
la relation (25) deviennent caduques. Nous reviendrons sur cette question au chapitre 3 cidessous consacré à la théorie de MIE.
3 La théorie de MIE
L’appellation « théorie de MIE » réfère à la résolution analytique du problème électromagnétique
décrit au chapitre 2.2 (i. e. détermination des champs électromagnétiques {E1 (r,t ) ; H1 (r,t )} dans
la particule et
{E (r,t ) ; H (r,t )}
2
2
à l’extérieur de celle-ci) lorsque la particule est de forme
sphérique. Cette théorie doit son nom au physicien allemand Gustav MIE, qui publia ses calculs en
1908 [7] alors qu’il étudiait les propriétés d’absorption et de diffusion dans le visible de
suspensions aqueuses de particules colloïdales d’or.
A partir de la solution analytique du problème électromagnétique de MIE, nous déduirons les
expressions des sections efficaces d’extinction et de diffusion ainsi que celle de la fonction de
phase de diffusion. Le passage des propriétés radiatives d’une particule isolée à celles d’une
population de particules sera ensuite évoqué ; il sera là notamment question d’effets de
dépendance de l’interaction rayonnement-matière (effet déjà mentionné au chapitre 2.7) et de
distribution non uniforme des diamètres au sein de la population de particules. Enfin, nous
conclurons ce chapitre 3 par l’examen d’un calcul typique de MIE concernant l’évaluation des
propriétés radiatives d’un nuage.
Comme nous allons le voir très bientôt, les expressions mathématiques de MIE sont passablement
complexes. Dans le but d’alléger les notations, nous avons donc pris le parti dans tout ce chapitre
3 d’écrire nos développements analytiques sans le terme harmonique temporel exp ( − i ω t ) qui
sera omis et sous-entendu.
3.1 Solution analytique du problème électromagnétique de
MIE
L’accession à cette solution passe par un parcours mathématique assez fastidieux ; celui-ci est
correctement documenté dans les références [3] et [8], et l’annexe A de ce document présente
une description résumée des quatre étapes principales du processus de résolution. Ici, nous nous
contenterons
de
donner
{E (r,t ) ; H (r,t )} ,
sca
sca
l’expression
analytique
du
champ
électromagnétique
diffusé
car ce résultat suffit pour exprimer certaines des grandeurs d’interaction
rayonnement-particule introduites au chapitre 2, à savoir les puissances et sections efficaces
d’extinction et de diffusion ainsi que la fonction de phase de diffusion.
- 15 -
La particule sphérique, de rayon a, est supposée éclairée par une onde incidente plane et
polarisée, de direction de propagation u et de polarisation e ( e ⊥ u ) ; le champ électrique incident
Einc (r ) a donc pour expression :
Einc (r ) = E0 e exp ( ik 2 u ⋅ r )
(26)
La symétrie géométrique présentée par la particule incite tout naturellement à s’orienter vers un
système de coordonnées sphériques ( r , θ , ϕ ) , dans lequel les deux angles θ et ϕ sont définis par
θ = (u , r ) ( 0 ≤ θ ≤ π ) d’une part, et par ϕ = angle polaire avec e de la projection orthogonale de r
dans le plan vectoriel orthogonal à u ( 0 ≤ ϕ ≤ 2 π ) d’autre part. Dans ce système de coordonnées,
le champ électromagnétique diffusé
{E (r, θ, ϕ) ; H (r, θ, ϕ)}
sca
sca
issu des calculs de MIE a
l’expression analytique suivante :
+∞
⎧
h2
h2
⎪ Esca ( r, θ , ϕ ) = ∑ En − bn Mo 1n ( r, θ , ϕ ) + i an Ne 1n ( r, θ , ϕ )
n =1
⎪
⎨
+∞
∇ × Esca ( r, θ , ϕ )
k
2
⎪H
= 2 ∑ En − bn Nho 21n ( r , θ , ϕ ) + i an Mhe 1n
r, θ , ϕ ) =
(
(r , θ, ϕ)
sca
⎪
ωµ
ωµ
i
i
2
2 n =1
⎩
(
)
(
)
(27)
Cette formulation nécessite quelques explications :
- Les coefficients En ( n ≥ 1 ) ont pour expressions En = in E0
2n + 1
.
n ( n + 1)
- Les deux séries ( an )n ≥ 1 et ( bn )n ≥ 1 , couramment appelées séries de MIE, ont des expressions
assez complexes qui se simplifient quelque peu dans le cas particulier où la particule et le
milieu hôte présentent des perméabilités magnétiques identiques. Les coefficients an et bn
( n ≥ 1 ) se calculent alors au moyen des relations suivantes :
an =
bn =
m ψn ( m x ) ψn′ ( x ) − ψn ( x ) ψn′ ( m x )
m ψn ( m x ) ξn′ ( x ) − ξn ( x ) ψ n′ ( m x )
ψ n ( m x ) ψn′ ( x ) − m ψ n ( x ) ψn′ ( m x )
(28)
ψn ( m x ) ξn′ ( x ) − m ξn ( x ) ψn′ ( m x )
dans lesquelles :
- Les fonctions
ψn ( ρ )
et
ξn ( ρ )
sont les fonctions de Ricatti-Bessel définies
respectivement par :
ψn ( ρ ) = ρ jn ( ρ )
- 16 -
et
ξn ( ρ ) = ρ hn ( ρ )
(29)
les notations jn et hn référant respectivement aux fonctions sphériques de Bessel et
de Hankel (voir annexe A pour plus de détails).
- La grandeur x, définie par x = k 2 a , est un paramètre sans dimension couramment
appelé paramètre de taille rapporté au milieu hôte (milieu 2) ; x est réel car le milieu
hôte est supposé non absorbant.
- La grandeur m, définie par m = m1 / m2 = k1 / k 2 , est elle aussi un paramètre sans
dimension et représente le contraste d’indice optique complexe entre la particule et le
milieu hôte ; le produit m x est égal à k1 a , paramètre de taille rapporté à la particule
(milieu 1) et quantité éventuellement complexe si la particule est constituée d’un
matériau absorbant le rayonnement.
A l’examen des expressions (28), il apparaît que les deux séries de coefficients de diffusion
an et bn ne sont fonctions que des deux paramètres sans dimension introduits ci-dessus
que sont d’une part le paramètre de taille x (réel) et d’autre part le contraste d’indice optique
complexe m (éventuellement complexe).
2
- Enfin, les fonctions Mhe 1n
(r, θ, ϕ) , Mho 21n (r, θ, ϕ) , Nhe 1n2 ( r, θ, ϕ) et Nho 21n (r, θ , ϕ) sont qualifiées
d’harmoniques sphériques vectorielles (voir annexe A pour plus de détails), et ont les
expressions analytiques suivantes :
2
Mhe 1n
(r, θ, ϕ ) = − hn (k 2 r )
Mho 21n ( r , θ , ϕ ) = hn ( k 2 r )
Pn1 ( cos θ )
sin θ
Pn1 ( cos θ )
sin θ
2
Nhe 1n
(r, θ, ϕ ) = n (n + 1)
2
Nhe 1n
(r, θ, ϕ ) =
h2
e 1n
N
(r , θ, ϕ) =
... +
sin ϕ e θ − hn ( k 2 r )
cos ϕ e θ − hn ( k 2 r )
hn ( k 2 r )
k2 r
dPn1 ( cos θ )
dθ
dPn1 ( cos θ )
dθ
cos ϕ e ϕ
(30)
sin ϕ e ϕ
(31)
Pn1 ( cos θ ) cos ϕ er ...
1
1 d ( r hn ( k 2 r ) ) dPn ( cos θ )
cos ϕ e θ ...
k2 r
dr
dθ
(32)
1
1 d ( r hn ( k 2 r ) ) Pn ( cos θ )
... −
sin ϕ e ϕ
k2 r
dr
sin θ
Nho 21n ( r, θ , ϕ ) = n ( n + 1)
Nho 21n ( r, θ , ϕ ) =
... +
Nho 21n ( r , θ , ϕ ) =
... +
hn ( k 2 r )
k2 r
Pn1 ( cos θ ) sin ϕ er ...
1
1 d ( r hn ( k 2 r ) ) dPn ( cos θ )
sin ϕ e θ ...
k2 r
dr
dθ
1
1 d ( r hn ( k 2 r ) ) Pn ( cos θ )
cos ϕ e ϕ
k2 r
dr
sin θ
- 17 -
(33)
dans lesquelles la notation Pn1 réfère aux fonctions associées de Legendre de première
espèce et ( er , e θ , e ϕ ) désigne la base orthonormée directe locale associée aux coordonnées
sphériques ( r , θ , ϕ ) .
3.2 Expressions des sections efficaces d’extinction et de
diffusion et de la fonction de phase de diffusion
Connaissant
à
présent
{E (r , θ , ϕ) ; H (r , θ , ϕ )}
sca
sca
l’expression
analytique
(27)
du
champ
électromagnétique
diffusé par la particule sphérique, nous pouvons exploiter les résultats
(14) et (19) du chapitre 2.4 pour calculer les puissances éteinte Ψ Pext (u , e ) et diffusée Ψ Psca (u , e )
par ladite particule.
L’expression du champ Esca ( r , θ , ϕ ) en champ lointain s’obtient à partir de (27) et à l’aide des deux
équivalences suivantes :
hn ( ρ )
( −i)
∼
n
exp ( i ρ )
iρ
et
hn′ ( ρ )
( −i)
∼
n
exp ( i ρ )
lorsque
ρ
ρ→∞
(34)
Tous calculs faits, on aboutit à :
E sca ( r , θ , ϕ ) ∼ E0
exp ( ik 2 r )
− ik 2 r
⎡⎣S2 ( cos θ ) cos ϕ e θ − S1 ( cos θ ) sin ϕ e ϕ ⎤⎦
lorsque
r→∞
(35)
expression dans laquelle on a introduit les fonctions S1 et S2 définies par :
+∞
⎧
2n + 1
⎪ S1 ( cos θ ) = ∑ n n + 1 ⎡⎣an πn ( cos θ ) + bn τn ( cos θ ) ⎤⎦
( )
n =1
⎪
⎨
+∞
2n + 1
⎪ S ( cos θ ) =
⎡⎣an τn ( cos θ ) + bn πn ( cos θ ) ⎤⎦
∑
2
⎪
n = 1 n ( n + 1)
⎩
(36)
les fonctions πn et τn étant elles-mêmes définies par :
πn ( cos θ ) =
Pn1 ( cos θ )
et
sin θ
τn ( cos θ ) =
dPn1 ( cos θ )
dθ
(37)
A ce stade, le calcul de la puissance éteinte Ψ Pext (u , e ) sur la base de la formule (14) est immédiat.
Sachant que πn (1) = τn (1) =
n ( n + 1)
2
, on aboutit à l’expression :
Ψ Pext (u , e ) =
π ε 2 c 2 E02
k 22
+∞
∑ ( 2n + 1) Re ( a
n =1
- 18 -
n
+ bn )
(38)
qui ne montre de dépendance de Ψ Pext (u , e ) ni avec la direction de propagation u ni avec celle de
polarisation e ; ce résultat était somme toute attendu, étant donné les symétries géométriques
particulières présentées par une particule sphérique. L’expression (38) est donc aussi celle de la
puissance Ψ NP
ext éteinte par la particule en éclairement non polarisé, quelle que soit la direction
d’incidence de cet éclairement, de sorte que, divisant Ψ NP
ext d’abord par la puissance surfacique
incidente ψinc exprimée en (7) puis par la section géométrique π a2 de la particule, on atteint
successivement les expressions de la section efficace d’extinction de la particule CNP
ext et de son
efficacité associée QNP
ext :
CNP
ext =
2π
k 22
+∞
∑ ( 2n + 1) Re ( a
n =1
n
+ bn )
et
QNP
ext =
2
x2
+∞
∑ ( 2n + 1) Re ( a
n =1
n
+ bn )
(39)
L’expression de la puissance Ψ Psca (u , e ) diffusée par la particule découle directement de la formule
(19) du chapitre 2.4. D’après (35), le champ d’amplitude vectorielle APsca (n ) , défini en (15), vaut :
APsca ( θ , ϕ ) = E0 ⎡⎣S2 ( cos θ ) cos ϕ e θ − S1 ( cos θ ) sin ϕ e ϕ ⎤⎦
(40)
La puissance Ψ Psca (u , e ) a donc pour expression :
Ψ Psca (u , e ) =
E02
2 ωµ2 k 2
∫
⎡ S ( cos θ ) 2 cos2 ϕ + S ( cos θ ) 2 sin2 ϕ ⎤ dΩ
1
⎢ 2
⎦⎥
4π ⎣
(41)
et ne dépend ni de u ni de e mais uniquement du paramètre de taille x et du contraste d’indice
optique complexe m ; cette puissance est donc également la puissance Ψ NP
sca diffusée par la
particule en éclairement non polarisé, quelle que soit la direction d’incidence de cet éclairement.
Poursuivant le calcul de l’intégrale (41), et faisant usage de propriétés particulières d’orthogonalité
des fonctions πn et τn , on arrive à réduire l’expression de Ψ NP
sca à la formule simplifiée suivante :
Ψ NP
sca =
π ε 2 c 2 E02
k 22
+∞
∑ ( 2n + 1) ⎡⎣ a
n =1
2
n
2
+ bn ⎤
⎦
(42)
de sorte que les expressions de la section efficace de diffusion de la particule CNP
sca et de son
efficacité associée QNP
sca s’écrivent :
CNP
sca =
2π
k 22
+∞
∑ ( 2n + 1) ⎡⎣ a
n =1
2
n
2
+ bn ⎤
⎦
et
QNP
sca =
2
x2
+∞
∑ ( 2n + 1) ⎡⎣ a
n =1
n
2
2
+ bn ⎤
⎦
(43)
Pour finir, venons-en à la fonction de phase de diffusion ΦNP (u , n ) en éclairement non polarisé,
dont l’expression générale figure en (24) au chapitre 2.6 ; les propriétés de symétrie géométrique
- 19 -
particulières présentées par une particule sphérique autorisent à transformer cette expression
générale (24) en :
ΦNP (u , n ) =
⎛
π
⎜ APsca ( θ , ϕ )
NP
⎜
ωµ2 k 2 Ψ sca
⎝
2
2
π⎞ ⎞
⎛
+ APsca ⎜ θ , ϕ + ⎟ ⎟
2⎠ ⎟
⎝
⎠
(44)
le champ d’amplitude vectorielle APsca ( θ , ϕ ) étant exprimé en (40). Tous calculs faits, on aboutit
sans difficulté à :
S1 ( cos θ ) + S2 ( cos θ )
2
Φ
NP
(u , n ) =
+∞
∑
n =1
( 2n + 1) ⎡⎣ an
2
+ bn
2
2
=
⎤
⎦
2
⎡ S ( cos θ ) 2 + S ( cos θ ) 2 ⎤
1
2
NP ⎢
⎥⎦
x Qsca ⎣
2
(45)
et il apparaît que la fonction de phase ΦNP (u , n ) ainsi exprimée est à symétrie azimutale : elle ne
dépend pas de l’angle ϕ mais uniquement de l’angle θ que fait la direction de diffusion n avec celle
d’incidence u.
3.3 Cas particulier de la diffusion RAYLEIGH
Plusieurs cas limites de la théorie générale de MIE sont abondamment décrits dans la littérature
[3 ; 6 ; 8] ; parmi ceux-ci, citons la diffusion RAYLEIGH lorsque x et m − 1 x sont tous deux très
petits devant 1, la diffusion RAYLEIGH-GANS lorsque m − 1 et m − 1 x sont tous deux très petits
devant 1, ou encore l’optique géométrique (i. e. le tracé de rayons) et la théorie de la diffraction
lorsque x
1 (liste non exhaustive). Dans son ouvrage [8], H. C. VAN DE HULST propose une
cartographie dans le plan (indice optique m ; paramètre de taille x) des différents cas particuliers
d’interaction entre un rayonnement électromagnétique et une particule sphérique non absorbante
(donc d’indice optique m réel) ; cette cartographie et le tableau l’accompagnant sont reproduits aux
figures 2 et 3.
- 20 -
Figure 2 : cartographie dans le plan (indice optique m ; paramètre de taille x) des différents cas
particuliers d’interaction entre un rayonnement électromagnétique et une particule sphérique non
absorbante (donc d’indice optique m réel) (figure tirée de [8]).
Figure 3 : tableau (tiré de [8]) associé à la cartographie de la figure 2.
Examinons en détail la diffusion RAYLEIGH, qui explique en particulier la couleur bleue du ciel ou
encore l’apparence rouge du soleil à son coucher (les diffuseurs de la lumière visible étant ici les
molécules gazeuses de la couche atmosphérique). Lorsque x et m − 1 x sont tous deux très petits
- 21 -
devant 1, c’est aussi le cas de m x ; on démontre alors que le coefficient de diffusion a1 a pour
équivalent :
a1 ∼ −
2i x 3 m2 − 1
3 m2 + 2
(46)
et que tous les autres coefficients de diffusion an ( n ≥ 2 ) et bn ( n ≥ 1) sont infiniment petits devant
a1 . Il s’ensuit que les expressions (39), (43) et (45) des efficacités d’extinction et de diffusion et de
la fonction de phase de diffusion se réduisent à :
NP
ext
Q
⎛ m2 − 1 ⎞
6
= 2 Re ( a1 ) = 4 x Im ⎜ 2
⎟
x
⎝m +2⎠
ΦNP (u , n ) =
2
9
a1
NP
x Qsca 4
2
2
et
NP
sca
Q
2
6
8
m2 − 1
= 2 a1 = x 4
3
x
m2 + 2
2
⎡ π ( cos θ ) 2 + τ ( cos θ ) 2 ⎤ = 3 (1 + cos2 θ )
1
⎣⎢ 1
⎦⎥ 4
(47)
(48)
⎛ m2 − 1 ⎞
de sorte que, si le contraste d’indice optique complexe m est tel que le groupement Im ⎜ 2
⎟
⎝m +2⎠
⎛ m2 − 1 ⎞
est « suffisamment non nul » (la condition Im ⎜ 2
= 0 étant vérifiée pour m2 ∈
⎟
⎝m +2⎠
), alors
l’efficacité de diffusion est très petite par rapport à celle d’extinction, elle-même devenant par
conséquent à peu près égale à celle d’absorption.
3.4 Quelques informations d’ordre numérique
Les formules de MIE (28), (39), (43) et (45), publiées en 1908, sont longtemps restées sans suite
du fait de la très grande difficulté de les exploiter quantitativement à cette époque. De nos jours, ce
genre de problème n’existe plus ; cependant, les séries infinies apparaissant dans les formules de
MIE sont des séries délicates, et il convient de les programmer avec précaution.
Au chapitre 4 de leur livre [3], BOHREN et HUFFMAN présentent une revue des moyens
algorithmiques disponibles dans les années 1980 pour calculer numériquement les coefficients de
NP
diffusion an et bn ainsi que les efficacités d’extinction QNP
ext et de diffusion Q sca . De façon générale,
plus le paramètre de taille x est grand, ou plus son produit par le module du contraste d’indice
optique complexe m est grand, plus les séries convergent lentement : ainsi l’étude de la diffusion
de la lumière visible par une goutte d’eau de 1 mm de diamètre (x et m x de l’ordre de 104)
nécessiterait-elle le calcul de plusieurs dizaines de milliers de coefficients an et bn pour des
NP
évaluations correctes des efficacités QNP
ext et Q sca . W. J. WISCOMBE [9] a proposé en 1996 un code
de calcul baptisé MIEV0 réputé fiable en terme de précision des résultats jusqu’à des paramètres
de taille de 20000 ; cependant, l’algorithme utilisé dans MIEV0 fait usage des dérivées
- 22 -
logarithmiques Dn ( ρ ) =
d ⎡⎣ln ( ψn ( ρ ) ) ⎤⎦
des fonctions de Ricatti-Bessel ψn ( ρ ) , et le calcul
dρ
numérique de ces dérivées logarithmiques s’avère compliqué. Plus récemment, HONG DU [10] a
mis au point un nouvel algorithme faisant intervenir non pas les dérivées logarithmiques mais les
rapports rn ( ρ ) =
ψ n−1 ( ρ )
ψn ( ρ )
des fonctions ψn ( ρ ) ; cette routine est très simple à implémenter, et a été
testée avec succès jusqu’à un produit m x valant 140000.
3.5 Déduction des propriétés radiatives d’une population de
particules sphériques
Ce point a déjà été abordé au chapitre 2.7 ; à cette occasion, on a insisté sur le fait que le passage
des propriétés radiatives d’une particule isolée à celles d’une population de particules était
immédiat sous réserve que les trois conditions suivantes soient vérifiées : (i) les particules doivent
être toutes identiques en termes de forme, de taille et de matériau constitutif et orientées toutes de
la même manière ; (ii) les particules doivent être distribuées dans le milieu hôte de manière
aléatoire avec une densité de probabilité uniforme ; (iii) enfin, la distance moyenne entre deux
particules de la population doit être suffisamment grande pour que l’interaction entre le champ
électromagnétique et une particule donnée s’effectue sans aucun effet de mémoire des
interactions du champ avec les autres particules (régime d’interaction rayonnement-matière dit
indépendant). Nous nous focalisons dorénavant sur les populations de particules sphériques, dont
on supposera qu’elles vérifient la condition (ii) de distribution aléatoire dans le milieu hôte.
Soit f la fraction volumique de la population de particules dans le milieu hôte ; si f est suffisamment
faible pour que la condition (iii) soit vérifiée, alors il est relativement simple d’intégrer dans les
calculs de MIE une distribution non uniforme des rayons au sein de la population de particules.
Pour ce faire, on introduit non pas un nombre de particules par unité de volume n comme au
chapitre 2.7 mais une distribution n ( a ) des rayons présents dans la population : n ( a ) da est défini
comme étant le nombre de particules par unité de volume dont le rayon est compris entre a et
a + da , de sorte que la condition de normalisation de la fonction n ( a ) s’écrit :
∫
+∞
0
4 π a3
n ( a ) da = f
3
(49)
Une fois cette distribution n ( a ) introduite, l’écriture des expressions des propriétés radiatives β, σ
et ΦNP (u , n ) de la population de particules est immédiate : faisant usage du principe d’additivité
- 23 -
des sections efficaces, principe valide lorsque le régime d’interaction rayonnement-matière est
indépendant, on aboutit aux formules suivantes des coefficients d’extinction β et de diffusion σ :
β=∫
+∞
0
n ( a ) CNP
ext ( a ) da
σ=∫
et
+∞
0
n ( a ) CNP
sca ( a ) da
(50)
NP
les fonctions CNP
ext ( a ) et Csca ( a ) désignant les sections efficaces d’extinction et de diffusion d’une
particule de la population de rayon a. De la même manière, sommant les puissances diffusées
dans un angle solide élémentaire dΩ entourant une direction n donnée par les différents
intervalles élémentaires [a,a + da] constituant la distribution de rayons, on arrive à exprimer la
(
fonction de phase de diffusion ΦNP θ = (u , n )
)
de la population de particules de la manière
suivante :
ΦNP ( θ ) =
1
σ
∫
+∞
0
NP
n ( a ) CNP
( a, θ ) da
sca ( a ) Φ
(51)
la notation ΦNP ( a, θ ) désignant la fonction de phase de diffusion d’une particule de la population
de rayon a.
Comme il a été indiqué plus haut, les formules (50) et (51) ci-dessus, de même que la formule (25)
du chapitre 2.7 pour une population de particules toutes identiques, ont été obtenues sur la base
du principe d’additivité des sections efficaces. Lorsque le régime d’interaction rayonnementmatière ne peut plus être considéré comme indépendant, par exemple parce que la fraction
volumique de la population de particules est telle que les particules sont très proches les unes des
autres en regard de la longueur d’onde, ce principe d’additivité ne tient plus. Dès lors se pose le
problème de la détermination du type d’interaction rayonnement-matière (dépendant ou
indépendant) lorsqu’un rayonnement de longueur d’onde donnée éclaire une population de
particules de distribution de taille et fraction volumique données ; dans leur monographie [11], C. L.
TIEN et B. L. DROLEN apportent des éléments de réponse à cette question en publiant une
cartographie dans le plan (fraction volumique f ; paramètre de taille x) séparant les régimes
d’interaction rayonnement-matière dépendant et indépendant. Cette cartographie est reproduite à
la figure 4 ; elle concerne une population de particules sphériques de rayon uniforme et dispersées
de manière aléatoire dans le milieu environnant. Le trait épais sur cette cartographie marque la
séparation entre le régime indépendant (localisé aux fractions volumiques faibles et aux
paramètres de taille élevés) et le régime dépendant. A l’examen de cette figure, on constate que
dès que la fraction volumique f passe en deçà de 0.006, les effets de dépendance peuvent être
ignorés ; il en est de même dès que le rapport c / λ passe au-delà de 0.5, λ désignant la longueur
d’onde de l’éclairement et la grandeur c étant par définition l’espacement moyen entre deux
particules au sein de la population.
- 24 -
Figure 4 : cartographie dans le plan (fraction volumique f ; paramètre de taille x) séparant les
régimes d’interaction rayonnement-matière dépendant et indépendant (figure tirée de [11]).
Dans la situation où l’interaction rayonnement-matière est de type dépendant, les propriétés
radiatives de la population de particules ne se déduisent plus de manière simple des sections
efficaces des particules considérées isolées dans le milieu environnant. Dans un article daté de
1988 [12], H. S. CHU, A. J. STRETTON et C. L. TIEN proposent une expression théorique du rapport
de l’efficacité de diffusion en régime dépendant QNP
sca ( D ) à son homologue en régime indépendant
QNP
sca (I) pour une population de particules sphériques de rayon uniforme et dispersées de manière
aléatoire dans le milieu environnant :
QNP
sca ( D )
(1 − f )
=
NP
Qsca (I) (1 + 2f )2
4
(52)
La fraction volumique f de la population de particules étant évidemment inférieure à 1, il s’ensuit
NP
que QNP
sca ( D ) ≤ Qsca (I) : les effets de dépendance se traduisent par une diminution de l’efficacité
de diffusion, cette diminution étant d’autant plus forte que la fraction volumique f est plus grande.
Par ailleurs, il est fait état dans [12] de travaux expérimentaux montrant que la tendance constatée
ci-dessus avec les efficacités de diffusion est rigoureusement inverse pour ce qui a trait aux
efficacités d’absorption :
- 25 -
−1
QNP
abs ( D )
⎛ QNP
⎞
(1 + 2f )
sca ( D )
≈
⎜
⎟⎟ ≈
4
NP
NP
⎜
Qabs (I) ⎝ Qsca (I) ⎠
(1 − f )
2
(53)
Autrement dit, un régime d’interaction rayonnement-matière de type dépendant se traduit par deux
effets simultanés et antagonistes : une diminution de l’efficacité globale de diffusion d’une part, et
une augmentation de l’efficacité globale d’absorption d’autre part. Le lecteur intéressé par cette
thématique pourra approfondir le sujet à partir d’un ouvrage de M. KAVIANY [13] ou d’une
publication de D. BAILLIS et J.-F. SACADURA [14] ; ces deux références présentent des revues des
connaissances concernant l’interaction dépendante et les effets associés.
3.6 Application de la théorie de MIE : calcul des propriétés
radiatives d’un nuage
Pour conclure ce chapitre 3 consacré à la théorie de MIE, nous allons présenter des résultats de
calculs issus de cette théorie pour un nuage constitué d’une population de gouttelettes d’eau en
suspension dans l’air (assimilé au vide). La fraction volumique de gouttelettes sera prise égale à
10-4 (il s’agira donc d’un nuage dense) ; par ailleurs, les gouttelettes constituant le nuage seront
supposées présenter toutes le même diamètre de 1 µm. Les calculs de MIE seront effectués sur la
bande spectrale [0.3 µm ; 30 µm] couvrant le domaine visible et le proche infrarouge.
Le rayon a des gouttelettes et leur fraction volumique f étant précisés (0.5 µm et 10-4
respectivement), la seule donnée manquante pour l’accomplissement du calcul est le spectre
d’indice optique complexe mλ = nλ + i χ λ de l’eau sur la bande de longueur d’onde examinée ; nous
avons tiré ce spectre de la classique banque de données éditée par E. D. PALIK [15]. Il est
reproduit sur le graphe de la figure 5 ; on en retiendra essentiellement que l’eau n’est pas du tout
absorbante entre 0.3 et 1.2 µm ( χλ < 10−5 sur cette bande), qu’elle présente un pic d’absorption
assez intense à la longueur d’onde de 2.95 µm ( χλ = 0.28 à cette longueur d’onde), et qu’elle est
assez absorbante entre 4.4 et 30 µm ( χλ > 10−2 sur cette bande).
- 26 -
0
1.6
10
1.5
-2
10
1.4
-4
10
1.3
-6
10
1.2
-8
10
1.1
-10
1.0
10
0.3
1
10
30
λ (µm)
Figure 5 : spectre d’indice optique complexe mλ = nλ + i χ λ de l’eau sur la bande spectrale
[0.3 µm ; 30 µm] (données tirées de [15]) ; courbe noire et échelle de gauche : spectre d’indice de
réfraction nλ (sans unité) ; courbe grise et échelle de droite : spectre d’indice d’extinction χ λ (sans
unité).
La figure 6 présente les spectres de coefficient d’extinction βλ et d’albédo de diffusion ωλ du
nuage issus des calculs de MIE. De 0.3 jusqu’à environ 1.8 µm, l’albédo ωλ reste bloqué à la
valeur 1 : l’indice d’extinction χλ de l’eau ayant des valeurs très faibles dans cette bande
spectrale, le phénomène d’absorption est complètement dominé par celui de diffusion. Ce
comportement s’inverse brutalement au niveau du pic d’absorption de l’eau évoqué plus haut et
situé à la longueur d’onde de 2.95 µm : cette fois, le spectre d’albédo ωλ présente un pic « orienté
vers le bas » avec une valeur minimale de 0.09 tandis que le spectre de coefficient d’extinction βλ
présente quant à lui un pic « orienté vers le haut » avec une valeur maximale de 130 m-1. Dans la
partie infrarouge du spectre examiné, plus précisément à partir d’environ 4 µm, on constate que
l’albédo ωλ diminue régulièrement pour finir à la valeur 0 entre 11 et 30 µm. Deux raisons
expliquent cette décroissance du spectre ωλ : (i) aux grandes longueurs d’onde, l’eau devient
absorbante car les valeurs de son spectre d’indice d’extinction χ λ deviennent élevées ; (ii) dans
cette plage spectrale, le paramètre de taille x = 2 π a / λ commence à être faible (il vaut 0.29 à
λ = 11 µm et 0.10 à λ = 30 µm), et conformément aux résultats que nous avons énoncés au
chapitre 3.3 lors de notre examen de la diffusion RAYLEIGH, l’efficacité d’extinction (proportionnelle
à x) devient rapidement dominante par rapport à celle de diffusion (proportionnelle à x4). Ces deux
- 27 -
arguments conjugués expliquent pourquoi l’absorption du nuage gouverne son extinction dans le
proche infrarouge. Pour finir, remarquons que dans le visible, le coefficient d’extinction βλ reste
compris dans l’intervalle [250 m-1 ; 600 m-1] ; la longueur caractéristique d’extinction, définie par
l’inverse de βλ , est donc de l’ordre de quelques mm : on a vraiment affaire ici à un nuage très
dense et très diffusant dans le visible.
3
1.0
10
0.8
2
10
0.6
0.4
1
10
0.2
0
0.0
10
0.3
1
10
30
λ (µm)
Figure 6 : spectres des propriétés radiatives βλ et ωλ du nuage issus des calculs de MIE ; courbe
noire et échelle de gauche : spectre de coefficient d’extinction βλ (exprimé en m-1) ; courbe grise et
échelle de droite : spectre d’albédo de diffusion ωλ (sans unité).
Les fonctions de phase de diffusion prédites par la théorie de MIE dans la situation d’interaction
étudiée ici méritent elles aussi quelques commentaires. La plage spectrale d’étude étant
[0.3 µm ; 30 µm], le paramètre de taille x = 2 π a / λ varie sur deux ordres de grandeur, d’environ
10 pour λ = 0.3 µm à environ 0.1 pour λ = 30 µm, et il est intéressant d’examiner dans quelle
mesure l’aspect directionnel du phénomène de diffusion est affecté par la valeur du paramètre x.
Pour répondre à cette interrogation, nous avons calculé les fonctions de phase de diffusion
prévues par la théorie de MIE pour trois longueurs d’onde particulières : λ = 0.3 µm (i. e. x ≈ 10),
λ = 3 µm (i. e. x ≈ 1) et λ = 30 µm (i. e. x ≈ 0.1). Ces trois fonctions de phase sont représentées
sous forme d’indicatrices directionnelles sur le graphe de la figure 7 ; concernant cette figure, on
soulignera les deux points suivants : (i) pour en faciliter la lecture, nous avons divisé par 20 les
valeurs de la fonction de phase correspondant à la longueur d’onde de 0.3 µm ; (ii) la flèche noire
- 28 -
apparaissant sur la figure marque la direction d’éclairement u. L’examen des trois fonctions de
phase tracées à la figure 7 montre à quel point la directionnalité du phénomène de diffusion est
affectée par la valeur du paramètre de taille x : tandis que pour x ≈ 0.1 la fonction de phase est
très peu éloignée de l’isotropie (elle est en l’occurrence très proche de la fonction de phase de la
diffusion RAYLEIGH exprimée en (48)), elle devient au contraire extrêmement directionnelle vers
l’avant lorsque x commence à devenir grand. Cette propriété bien connue des fonctions de phase
de diffusion de MIE est illustrée par d’autres calculs dans la référence [6].
3
orthogonalement à u
2
1
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
parallèlement à u
Figure 7 : fonctions de phase de diffusion, tracées sous forme d’indicatrices directionnelles,
prévues par la théorie de MIE lorsqu’un rayonnement électromagnétique de longueur d’onde λ
interagit avec une gouttelette d’eau de diamètre 1 µm : indicatrice noire : λ = 0.3 µm ; indicatrice
grise foncée : λ = 3 µm ; indicatrice grise claire : λ = 30 µm ; pour une meilleure lisibilité de la
figure, les valeurs de la fonction de phase correspondant à la longueur d’onde de 0.3 µm ont été
divisées par 20 ; la flèche noire apparaissant sur la figure marque la direction d’éclairement u.
4 L’approximation dipolaire discrète
Lorsque les particules ne sont plus de forme sphérique, la théorie de MIE tombe en défaut. C’est
également le cas dans les situations où les particules ne peuvent plus être considérées comme
étant dispersées de manière aléatoire dans le milieu hôte ; ainsi, lorsque, par exemple, les
particules s’agrègent les unes aux autres pour constituer un agencement matériel poreux
tridimensionnel, la théorie de MIE n’est plus adaptée à l’évaluation des propriétés radiatives de
- 29 -
volume de ces agrégats et doit être remplacée par une autre technique de modélisation dont le
principe intègre les informations de positionnement relatif des particules au sein des agrégats.
L’approximation dipolaire discrète (Discrete Dipole Approximation, ou DDA, en anglais), proposée
en 1973 par E. M. PURCELL et C. R. PENNYPACKER dans ce qui est unanimement reconnu comme
étant l’article fondateur de cette technique [16], est une méthode très simple et très flexible de
calcul du champ électromagnétique diffusé par un ensemble structuré et d’agencement spatial
quelconque d’éléments de volume polarisables. Elle a connu ses développements majeurs au
début des années 1990 dans la communauté des astrophysiciens ; ainsi trouve-t-on dans la
littérature plusieurs exemples d’utilisation de la DDA pour le calcul des sections efficaces
d’interaction rayonnement-matière d’agrégats de poussière interstellaire [17-19]. B. T. DRAINE [1921] a activement contribué à l’affinement des développements théoriques de la DDA, et propose
un code de calcul (baptisé DDSCAT, écrit en FORTRAN, et limité à une disposition des dipôles
aux noeuds d’un réseau cubique) librement téléchargeable sur internet.
L’approche de la DDA qui va suivre sera structurée en trois grandes étapes. Dans un premier
temps, nous présenterons la théorie et les limitations de cette technique de modélisation ; nous
évoquerons ensuite divers modèles de polarisabilité envisageables en tant que données d’entrée
de calculs DDA ; puis nous conclurons par une confrontation de résultats de calculs DDA et MIE
sur deux types de structures matérielles.
4.1 Théorie de la DDA
Les formules mathématiques apparaissant dans [16 ; 19-21] sont très peu argumentées et de
surcroît écrites dans le système CGS. Nous avons donc jugé utile de réécrire leurs
démonstrations ; celles-ci sont détaillées dans la référence [22], et nous nous limitons dans ce
chapitre 4.1 à la présentation des grandes étapes de la démarche de résolution et à la rédaction
des principales formules de la DDA.
4.1.1 Préambule : rayonnement émis par un dipôle oscillant
Considérons un dipôle ponctuel oscillant dans le milieu hôte (indicé 2) de manière sinusoïdale à
une certaine pulsation ω ; en notation complexe, le moment dipolaire P ( t ) du dipôle a une
expression de la forme P ( t ) = Π exp ( − i ω t ) , Π étant un vecteur constant et éventuellement
complexe. Il est démontré dans [4] que le champ électromagnétique émis (ou rayonné) par le
dipôle oscillant a pour expression générale :
- 30 -
⎧
i ω exp ( ik 2 r )
(1 − ik 2 r ) (n × P ( t ) )
⎪ H (r,t ) =
4π
r2
⎪⎪
⎨
⎪
2
1 exp ( ik 2 r )
⎪ E (r,t ) =
(k 2 r ) ⎡⎣(n × P ( t ) ) × n⎤⎦ + (1 − ik 2 r ) ⎡⎣3 (n ⋅ P ( t ) ) n − P ( t )⎤⎦
3
4 π ε2
r
⎪⎩
{
(54)
}
A l’examen des formules (54) ci-dessus, on constate que dans leurs expressions générales, les
champs H (r,t ) et E (r,t ) évoluent spatialement avec des termes en : 1 / r et 1 / r 2 pour H (r,t ) ;
1 / r , 1 / r 2 et 1 / r 3 pour E (r,t ) . Cependant, si on s’intéresse à présent à la zone radiative, i. e. le
champ lointain défini par k 2 r
⎧
⎪ H (r,t ) =
⎪⎪
⎨
⎪
⎪ E (r,t ) =
⎪⎩
1 , alors les expressions (54) se simplifient en :
ω k 2 exp ( ik 2 r )
(n × P ( t ) )
4π
r
(55)
exp ( ik 2 r )
k
k
⎡(n × P ( t ) ) × n⎤ = 2 (H (r,t ) × n )
⎣
⎦
ωε 2
4 π ε2
r
2
2
Pour finir, remarquons que dans son expression générale (54), le champ électrique E (r, t ) en un
point r fixé est un opérateur exclusivement spatial (i. e. fonction de r mais pas de t) et linéaire du
moment dipolaire oscillant P ( t ) ; on peut donc écrire cette relation de linéarité sous la forme :
E (r,t ) = ⎡⎣ A (r ) ⎤⎦ • P ( t )
(56)
l’opérateur noté ⎡⎣ A (r ) ⎤⎦ étant une matrice 3x3 fonction de r, et la notation « • » désignant le
produit matrice-vecteur. Si l’on se réfère à une base orthonormée directe
(x , y, z) ,
on montre
aisément que la matrice ⎡⎣ A (r ) ⎤⎦ a pour expression :
⎧
⎛ n2x
1
0
0
⎛
⎞
exp ( ik 2 r ) ⎪ 2
⎜
2
⎡⎣ A (r ) ⎤⎦ =
⎨( ρ + i ρ − 1) ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟ − ( ρ + 3i ρ − 3 ) ⎜ nx ny
3
4 π ε2 r ⎪
⎜n n
⎝ 0 0 1⎠
⎝ x z
⎩
nx ny
n2y
n y nz
n x nz ⎞ ⎫
⎟⎪
ny nz ⎟ ⎬
n2z ⎟⎠ ⎪⎭
(57)
⎛ nx ⎞
le paramètre ρ (sans dimension) étant égal au produit k 2 r , et ⎜ ny ⎟ étant les coordonnées de n
⎜ ⎟
⎜n ⎟
⎝ z⎠
dans la base ( x , y , z ) .
- 31 -
4.1.2 Hypothèses et limitations de la DDA
Comme il a été dit plus haut, la DDA permet de calculer le champ électromagnétique diffusé par un
objet matériel de forme quelconque lorsque celui-ci est éclairé par une onde monochromatique
plane incidente. Une fois que l’on a évalué ce champ électromagnétique diffusé, on peut ensuite
procéder au calcul des propriétés radiatives de l’objet matériel, à savoir ses sections efficaces
d’absorption, de diffusion et d’extinction et sa fonction de phase de diffusion.
Le principe de la DDA consiste à discrétiser l’objet matériel en éléments de volume suffisamment
petits pour être assimilables à des dipôles oscillants induits d’une part par l’onde incidente qui les
active et d’autre part par leurs interactions deux à deux. Le qualificatif de « suffisamment petits »
doit ici être mis en rapport avec la longueur d’onde λ 0 de l’éclairement d’une part et avec les
propriétés optiques locales d’autre part. Un élément de volume résultant de la discrétisation
spatiale pourra être considéré suffisamment petit, et donc assimilable à un dipôle oscillant, si les
deux conditions suivantes sont vérifiées :
- La différence de marche subie par l’onde incidente lors de la traversée de l’élément doit être
petite devant 2 π ; si cette première condition est remplie, alors on pourra considérer que
tous les points de l’élément de volume sont excités avec la même phase par l’éclairement
incident. Soit a la taille caractéristique de l’élément ; la condition que nous venons d’énoncer
ci-dessus se traduit par la relation :
k1 a =
2 π n1 a
λ0
2π
(58)
- Dans l’éventualité où le matériau constituant l’élément est absorbant à la longueur d’onde
λ 0 , il faut aussi que la taille caractéristique a de l’élément soit petite en regard de la longueur
d’atténuation de l’onde incidente dans le matériau ; cette seconde exigence assure que tous
les points de l’élément de volume seront excités avec la même intensité par l’éclairement
incident. Elle se traduit par la relation :
⎛ 4 π χ1 a ⎞
exp ⎜ −
⎟ ≈ 1 soit
λ0 ⎠
⎝
4 π χ1 a
λ0
1
(59)
où χ1 désigne l’indice d’extinction du matériau constituant l’élément de volume, c’est-à-dire
la partie imaginaire de son indice optique complexe m1 .
DRAINE [19] propose de regrouper les deux conditions (58) et (59) en une seule, écrite sous la
forme suivante :
m1 k 0 a < β
- 32 -
(60)
β étant une constante de l’ordre de l’unité. Cette condition impose une taille maximale aux
éléments de volume résultant de la discrétisation spatiale, et par conséquent un nombre minimal
de dipôles pour assurer la validité de l’approximation dipolaire discrète.
Remarquons au passage que la notion de taille maximale pouvant être attribuée à un élément de
volume est une notion locale car elle dépend des propriétés optiques locales. Par conséquent, si
l’on souhaite appliquer la DDA à un objet matériel hétérogène présentant en particulier un indice
optique complexe m1 fonction de la position, on aura intérêt à optimiser la discrétisation spatiale,
par exemple en faisant en sorte que les éléments de volume soient petits là où la condition (60)
l’impose (i. e. là où m1 est grand) mais ne soient pas aussi petits là où ce n’est pas nécessaire
(i. e. là où m1 est plus faible).
4.1.3 Calcul des moments dipolaires induits
Comme il a été dit plus haut, un dipôle oscillant issu de la discrétisation spatiale est sollicité d’une
part par l’onde incidente qui l’active, et d’autre part par les champs électromagnétiques produits
par les dipôles oscillants voisins.
Nous repartons donc de l’onde incidente {Einc (r, t ) ; Hinc (r,t )} exprimée en (3). Cette onde active
des moments dipolaires oscillants aux centres des N éléments de volume issus de la discrétisation
spatiale : pour tout j compris entre 1 et N, le moment dipolaire oscillant au centre r j de l’élément
de volume j a une expression du type Pj ( t ) = Πj exp ( − i ω t ) où Πj est un vecteur constant,
complexe, à déterminer. Cette évaluation de Πj se fait en écrivant que le moment dipolaire Pj ( t )
est relié au champ électrique local (spécifié par l’indice « loc ») en r j via la relation
( )
Pj ( t ) = α j Eloc r j ,t où α j désigne la polarisabilité de l’élément de volume j. Or le champ électrique
( )
( )
local Eloc r j , t est constitué d’une part du champ électrique incident Einc r j , t et d’autre part des
champs électriques produits par les dipôles oscillants voisins, ce qu’on peut écrire sous la forme
suivante :
( )
( )
Eloc r j , t = Einc r j ,t +
∑ (E produit en r
j
par Pk ( t ) localisé en r k
)
(61)
1≤ k ≤ N
k≠j
Comme il a été démontré au chapitre 4.1.1 que :
(E produit en r
j
)
(
)
par Pk ( t ) localisé en r k = ⎡⎣ A r j − r k ⎤⎦ • Pk ( t )
l’égalité (61) devient :
- 33 -
(62)
( )
( )
Eloc r j , t = Einc r j ,t +
∑ ⎡⎣A (r − r )⎤⎦ • P ( t )
j
k
k
(63)
1≤ k ≤ N
k≠j
de sorte que finalement, le moment dipolaire oscillant Pj ( t ) vérifie la relation :
⎛
⎞
⎜
⎡ A r j − r k ⎤ • Pk ( t ) ⎟⎟
Pj ( t ) = α j ⎜ Einc r j , t +
⎣
⎦
1≤ k ≤ N
⎜
⎟
k≠j
⎝
⎠
∑ (
( )
)
⎛
⎞
⎜
⎟
⎡
⎤
⎡
⎤
Pj ( t ) = α j ⎜ E0 e exp ⎣i k 2 u ⋅ r j − ω t ⎦ +
⎣ A r j − r k ⎦ • Pk ( t ) ⎟
1≤ k ≤ N
⎜
⎟
k≠j
⎝
⎠
(
∑ (
)
(64)
)
Injectant à présent les expressions Pj ( t ) = Πj exp ( − i ω t ) et Pk ( t ) = Πk exp ( − i ω t ) dans cette
dernière équation, les termes en exp ( − i ω t ) se simplifient, de sorte que finalement les équations
vérifiées par les vecteurs Πj s’écrivent :
Πj
αj
−
∑ ⎡⎣A (r − r )⎤⎦ • Π
j
k
k
(
= E0 e exp ik 2 u ⋅ r j
)
pour tout j compris entre 1 et N
(65)
1≤ k ≤ N
k≠j
Ce système (65) de N équations vectorielles à N inconnues vectorielles est un système linéaire ;
de plus, les propriétés mathématiques particulières de l’opérateur matriciel ⎡⎣ A (r ) ⎤⎦ (opérateur
symétrique et vérifiant ⎡⎣ A ( − r ) ⎤⎦ = ⎡⎣ A (r ) ⎤⎦ ) font que la matrice du système linéaire (65) est une
matrice complexe symétrique ; il existe donc tout un arsenal de moyens algorithmiques permettant
de résoudre le problème numériquement et ainsi d’évaluer les N vecteurs Πj .
Une analyse du système linéaire (65) montre d’une part que les vecteurs Πj sont proportionnels à
l’amplitude E0 du champ électrique incident et d’autre part que, cette proportionnalité à E0 mise à
part, ils ne sont fonctions que des permittivité diélectrique ε 2 et indice de réfraction n2 du milieu
hôte, des vecteurs positions r k et polarisabilités αk de tous les dipôles oscillants, de la direction
de propagation u du champ électrique incident et enfin de sa polarisation e. Par conséquent, si on
se fixe la configuration matérielle (i. e. ε2 , n2 ainsi que tous les r k et αk ), alors les moments
dipolaires Πj ne sont plus fonctions que de la direction de propagation u et de la polarisation e,
résultat que l’on notera sous la forme : Πj (u , e ) . Enfin, on notera que l’opérateur qui à la
polarisation e associe l’ensemble des moments dipolaires Πj est un opérateur linéaire.
- 34 -
4.1.4 Expression du champ électromagnétique diffusé en champ
lointain par l’assemblée de dipôles oscillants
Une fois que l’on a déterminé, pour un couple (u , e ) donné, les moments dipolaires Πj , on peut
calculer le champ électromagnétique {E sca (r,t ) ; Hsca (r,t )} rayonné (ou diffusé) en champ lointain
par l’assemblée de dipôles oscillants par sommation des contributions individuelles. Le résultat
(55) énoncé au chapitre 4.1.1 permet d’écrire les champs électrique et magnétique diffusés totaux
E sca (r,t ) et Hsca (r,t ) sous la forme :
⎧
⎪ H (r,t ) =
⎪ sca
⎪⎪
⎨
⎪
⎪E
r,t =
⎪ sca ( )
⎪⎩
ωk2
4π
∑
(
exp ik 2 r − r j
r − rj
1≤ j ≤ N
k 22
4 π ε2
∑
(
) ⎛⎜ r − r
exp ik 2 r − r j
r − rj
1≤ j ≤ N
Or on démontre aisément que lorsque
⎞
× Pj ( t ) ⎟
⎜ r − rj
⎟
⎝
⎠
j
) ⎡⎢⎛⎜ r − r
(66)
⎞ r −r
j
× Pj ( t ) ⎟ ×
⎟ r − rj
⎢⎜ r − r j
⎠
⎣⎝
r →+∞
j
⎤
⎥
⎥
⎦
(hypothèse de champ lointain), un
développement au premier ordre de r − r j donne r − n ⋅ r j (en rappelant les notations r = r
et
n = r / r ) ; l’emploi de cette approximation permet de transformer l’expression (66) du champ
magnétique Hsca (r,t ) diffusé en champ lointain en la formule suivante :
Hsca (r,t ) ≈
ω k 2 exp ⎡⎣i ( k 2 r − ω t ) ⎤⎦ ⎡ ⎛
⎢n × ⎜
Πj exp − ik 2 n ⋅ r j
4π
r
⎢⎣ ⎜⎝ 1 ≤ j ≤ N
∑
(
⎞⎤
) ⎟⎟ ⎥⎥
(67)
⎠⎦
En employant la même démarche, on démontre sans peine que le champ électrique E sca (r,t )
diffusé en champ lointain par l’assemblée de dipôles oscillants s’exprime sous la forme :
Esca (r,t ) ≈
k 22 exp ⎣⎡i ( k 2 r − ω t ) ⎦⎤
4 π ε2
r
⎧⎡ ⎛
⎪
Πj exp − ik 2 n ⋅ r j
⎨ ⎢n × ⎜⎜
⎪⎩ ⎢⎣ ⎝ 1 ≤ j ≤ N
∑
(
)
⎞ ⎤ ⎫⎪
⎟ ⎥ × n⎬
⎟⎥ ⎪
⎠⎦ ⎭
(68)
On voit apparaître dans les expressions finales (67) et (68) des champs Hsca (r,t ) et E sca (r,t ) un
vecteur commun
Θ=
∑ Π exp ( − ik n ⋅ r )
j
2
j
fonction des N moments dipolaires
Πj . La
1≤ j ≤ N
configuration matérielle étant fixée, il n’est fonction que des trois vecteurs u, e et n : Θ (u , e , n ) .
Les champs Hsca (r, t ) et Esca (r,t ) s’expriment en fonction du vecteur Θ (u , e , n ) via les relations :
- 35 -
⎧
⎪ Hsca (r,t ) =
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪ Esca (r,t ) =
⎪⎩
ω k 2 exp ⎡⎣i ( k 2 r − ω t ) ⎤⎦
(n × Θ (u , e , n ) )
4π
r
k 22 exp ⎡⎣i ( k 2 r − ω t ) ⎤⎦
k
⎡(n × Θ (u , e , n ) ) × n⎤ = 2 (Hsca (r,t ) × n )
⎣
⎦
4 π ε2
r
ωε 2
(69)
expressions qui ressemblent beaucoup à celles (55) du champ électromagnétique produit par un
dipôle oscillant unique, à la différence (de taille !) près qu’ici le vecteur jouant le rôle du moment
dipolaire, à savoir le vecteur Θ , est fonction de la direction de diffusion n.
Le champ électromagnétique diffusé en champ lointain par l’assemblée des N dipôles oscillants
étant à présent exprimé, on peut poursuivre les développements analytiques et exprimer les
propriétés radiatives (i. e. les sections efficaces d’absorption, de diffusion et d’extinction et la
fonction de phase de diffusion) de l’ensemble des N dipôles sur la base des résultats généraux
présentés au chapitre 2 de ce document. C’est à cette tâche que nous allons nous attaquer à
présent.
4.1.5 Expressions des sections efficaces d’extinction et de
diffusion de l’assemblée de dipôles oscillants
Nous avons exprimé au chapitre 2.4 les puissances éteinte ΨPext (u , e ) et diffusée ΨPsca (u , e ) en
éclairement polarisé sous les formes suivantes :
⎧
⎫
*
⎡⎛
⎤
⎞
⎛
⎞
⎪
⎪⎪
E
r
,t
E
r
,t
(
)
(
)
2
c
π
ε
⎪
inc
sca
2 2
⎟ ⋅⎜
⎟⎥
Ψ Pext (u , e ) =
Re ⎨ ⎢⎜
⎬
2
k2
⎪ ⎢⎢⎣⎜⎝ exp ⎡⎣i ( k 2 u ⋅ r − ω t ) ⎤⎦ ⎟⎠ ⎜⎝ exp ⎡⎣i ( k 2 r − ω t ) ⎤⎦ / ( − ik 2 r ) ⎟⎠ ⎥⎥⎦ r → +∞ ⎪
⎪
θ=0 ⎭
⎩⎪
Ψ Psca (u , e ) =
1
2 ωµ 2 k 2
∫
4π
A sca (n )
2
dΩ
(14)
(19)
Le champ d’amplitude vectorielle A sca (n ) a été défini en (15) ; l’expression de Esca (r,t ) en champ
lointain étant à présent connue (voir formules (69)), celle de A sca (n ) en découle immédiatement.
⎛
⎞
E sca (r,t )
⎟
Par ailleurs, le terme ⎜
⎜ exp ⎡i ( k 2 r − ω t ) ⎤ / ( − ik 2 r ) ⎟ r → +∞
⎣
⎦
⎝
⎠ θ=0
apparaissant dans l’expression de
ΨPext (u , e ) doit être évalué en champ lointain ( r → + ∞ ) : il est donc exactement égal à A sca (n ) .
Enfin, ce même terme doit être évalué dans la direction « vers l’avant » ( θ = 0 ) pour laquelle la
direction de diffusion n est égale à la direction d’incidence u : il est donc égal à A sca (u ) . Compte
tenu de ces divers éléments, l’expression (14) de ΨPext (u , e ) peut se transformer en :
- 36 -
Ψ Pext (u , e ) =
⎧⎪
⎤⎫
2 π ε2 c 2
ik 32
* ⎡
⎡(u × Θ (u , e , u ) ) × u⎤ ⎥ ⎪⎬
⋅
−
Re
E
e
(
)
⎨ 0
⎢
2
⎣
⎦
k2
⎪⎩
⎣ 4 π ε2
⎦ ⎭⎪
(70)
qui devient, après quelques manipulations mathématiques et compte tenu du fait que e ⊥ u :
Ψ Pext (u , e ) =
⎡
⎛
ω E0
ω E0
Π (u , e ) exp − ik 2 u ⋅ r j
Im ( e * ⋅ Θ (u , e , u ) ) =
Im ⎢ e * ⋅ ⎜
⎜ 1≤ j ≤ N j
2
2
⎢⎣
⎝
∑
(
)
⎞⎤
⎟⎥
⎟
⎠ ⎥⎦
(71)
Divisant les deux membres de l’égalité ci-dessus par la puissance surfacique ψinc de l’éclairement
incident exprimée en (7), on aboutit finalement à la notion de section efficace d’extinction en
éclairement polarisé CPext (u , e ) :
CPext (u , e ) =
Ψ Pext (u , e )
ψinc
=
⎡
⎛
k2
Im ⎢ e * ⋅ ⎜
Π (u , e ) exp − ik 2 u ⋅ r j
⎜ 1≤ j ≤ N j
ε 2 E0
⎢⎣
⎝
∑
(
)
⎞⎤
⎟⎥
⎟⎥
⎠⎦
(72)
L’expression de la section efficace d’extinction en éclairement non polarisé CNP
ext ( u ) se déduit alors
immédiatement des conclusions énoncées au chapitre 2.6 :
CNP
ext ( u ) =
⎧⎪
k2
⎡
⎤
Im ⎨
⎣ v ⋅ Πj (u , v ) + w ⋅ Πj (u , w ) ⎦ exp − ik 2 u ⋅ r j
2 ε 2 E0
⎪⎩1 ≤ j ≤ N
∑(
) (
)
(
⎫
)⎬⎪
⎪⎭
(73)
les vecteurs v et w étant deux vecteurs réels constituant avec u une base orthonormée.
Attaquons-nous à présent à la puissance diffusée Ψ Psca (u , e ) en éclairement polarisé ; l’expression
du champ d’amplitude vectorielle A sca (n ) étant maintenant connue, la formule (19) de Ψ Psca (u , e )
se transforme en :
Ψ Psca (u , e ) =
c 2 k 24
32 π2 ε 2
∫
4π
(n × Θ (u , e , n ) ) × n
2
dΩ
(74)
et après un peu de manipulation mathématique sans grande difficulté, on démontre qu’elle s’écrit
également :
Ψ Psca (u , e ) =
Ψ
P
sca
c 2 k 24
32 π2 ε 2
c 2 k 24
=
,
u
e
( )
32 π2 ε 2
∫
∫
4π
4π
n × Θ (u , e , n)
2
dΩ
⎛
n×⎜
Π (u , e ) exp − ik 2 n ⋅ r j
⎜ 1≤ j ≤ N j
⎝
∑
(
)
⎞
⎟
⎟
⎠
(75)
2
dΩ
Après division par la puissance surfacique ψinc de l’éclairement incident, on aboutit à l’expression
de la section efficace de diffusion en éclairement polarisé CPsca (u , e ) :
- 37 -
P
sca
C
(u , e ) =
Ψ Psca (u , e )
ψinc
⎛ k 22
⎞
=⎜
⎟
⎝ 4 π ε 2 E0 ⎠
2
∫
4π
⎛
n×⎜
Π (u , e ) exp − ik 2 n ⋅ r j
⎜ 1≤ j ≤ N j
⎝
∑
(
)
⎞
⎟
⎟
⎠
2
dΩ
(76)
puis à celle de la section efficace de diffusion en éclairement non polarisé CNP
sca ( u ) :
⎞
1 ⎛ k 22
=
CNP
u
(
)
⎜
⎟
sca
2 ⎝ 4 π ε 2 E0 ⎠
2
∫
2
⎡
⎛
⎞
⎢ n×⎜
Π (u , v ) exp − ik 2 n ⋅ r j ⎟ ...
⎢
⎜ 1≤ j ≤ N j
⎟
⎝
⎠
⎢
4π ⎢
⎛
⎢
⎜
+
×
n
Π (u , w ) exp − ik 2 n ⋅ r j
...
⎢
⎜ 1≤ j ≤ N j
⎝
⎢⎣
∑
(
)
∑
(
)
⎞
⎟
⎟
⎠
⎤
⎥
⎥
⎥ dΩ
2⎥
⎥
⎥
⎥⎦
(77)
les deux vecteurs v et w ayant été introduits quelques lignes plus haut. Les intégrales
directionnelles apparaissant dans les expressions (74) à (77) des puissance diffusée Ψ Psca (u , e ) et
sections efficaces de diffusion CPsca (u , e ) et CNP
sca ( u ) peuvent se calculer numériquement par
exemple au moyen de techniques dites d’ordonnées discrètes ; le principe de ces techniques est
exposé à la référence [23].
4.1.6 Expressions des fonctions de phase de diffusion de
l’assemblée de dipôles oscillants
Les expressions de ces fonctions de phase en éclairements polarisé (fonction ΦP (u , e , n ) ) et non
polarisé (fonction ΦNP (u , n ) ) découlent directement des formules (76) et (77) ci-dessus. A des
constantes multiplicatives près, elle valent respectivement :
⎛
n×⎜
Π (u , e ) exp − ik 2 n ⋅ r j
⎜ 1≤ j ≤ N j
⎝
∑
(
)
⎞
⎟
⎟
⎠
2
(78)
et :
⎛
n×⎜
Π (u , v ) exp − ik 2 n ⋅ r j
⎜ 1≤ j ≤ N j
⎝
∑
(
)
⎞
⎟
⎟
⎠
2
⎛
Π (u , w ) exp − ik 2 n ⋅ r j
+ n×⎜
⎜ 1≤ j ≤ N j
⎝
∑
(
)
⎞
⎟
⎟
⎠
2
(79)
les constantes multiplicatives étant telles que les fonctions ΦP (u , e , n ) et ΦNP (u , n ) vérifie la
condition de normalisation
∫
4π
Φ (n ) dΩ = 4 π . Ainsi arrive t-on aux expressions finales suivantes :
4π
ΦP (u , e , n ) = P
Csca (u , e )
⎛ k 22
⎞
⎜
⎟
⎝ 4 π ε 2 E0 ⎠
2
⎛
n×⎜
Π (u , e ) exp − ik 2 n ⋅ r j
⎜ 1≤ j ≤ N j
⎝
- 38 -
∑
(
)
⎞
⎟
⎟
⎠
2
(80)
2
⎡
⎛
⎞
⎢ n×⎜
Π (u , v ) exp − ik 2 n ⋅ r j ⎟ ...
2 ⎢
⎜ 1≤ j ≤ N j
⎟
2
⎞ ⎢
⎝
⎠
2 π ⎛ k2
NP
Φ (u , n ) = NP
⎜
⎟ ⎢
Csca (u ) ⎝ 4 π ε 2 E0 ⎠
⎛
⎢
⎜
+
×
...
n
Π (u , w ) exp − ik 2 n ⋅ r j
⎢
⎜ 1≤ j ≤ N j
⎝
⎢⎣
∑
(
∑
)
(
)
⎞
⎟
⎟
⎠
⎤
⎥
⎥
⎥
2⎥
⎥
⎥
⎥⎦
(81)
4.1.7 Expressions des sections efficaces d’absorption de
l’assemblée de dipôles oscillants
Jusqu’à présent, le problème du calcul de la section efficace d’absorption CPabs (u , e ) pour une
direction de propagation u et une polarisation e données a été occulté ; plus précisément, il n’a
pas encore été proposé d’alternative pour l’évaluation de cette quantité à la simple soustraction
( C (u , e ) − C (u , e ) ) . Pourtant, dans le cadre particulier de la théorie de MIE, les deux séries de
P
ext
P
sca
coefficients an et bn caractérisant le champ électromagnétique diffusé {E sca ( r , θ , ϕ ) ; Hsca ( r , θ , ϕ )}
ont été exprimées analytiquement (se reporter aux formules (28) du chapitre 3.1), et par
conséquent rien ne s’oppose a priori à ce que la puissance absorbée ΨPabs (u , e ) soit évaluée selon
la méthode générale exposée au chapitre 2.3 ; la raison pour laquelle aucune formule de MIE
n’existe pour le phénomène d’absorption est très probablement à rechercher dans le caractère
inextricable des calculs analytiques pour ce phénomène particulier. Nous allons voir dans ce qui
suit qu’à la différence de la théorie de MIE, la connaissance des moments dipolaires Πj (u , e ) ,
préalablement évalués au moyen de la DDA par résolution du système linéaire (65), permet un
calcul indépendant de la section efficace CPabs (u , e ) et par conséquent une mesure de la qualité et
de la cohérence des calculs numériques par comparaison de la somme ( CPabs (u , e ) + CPsca (u , e ) ) à
la section efficace CPext (u , e ) .
Le principe de cette évaluation de la section efficace d’absorption Cabs sur la base des moments
dipolaires Πj est évoqué dans [16] et décrit plus en détail dans [19]. Il s’agit dans un premier
temps d’isoler dans l’espace un des N dipôles oscillants du calcul DDA et d’exprimer la section
efficace d’absorption ( c abs ) j de ce dipôle j particulier selon la relation ( c abs ) j = ( c ext ) j − ( c sca ) j (avec
les notations évidentes) en se débrouillant pour faire disparaître dans cette expression toute trace
du champ électrique incident au profit du moment dipolaire Pj ( t ) = Πj exp ( − i ω t ) du dipôle. Ce
moment dipolaire Pj ( t ) résultant d’un calcul DDA, il rend compte des interactions entre le dipôle j
et ses
(N − 1)
congénères, de sorte que la sommation des sections efficaces d’absorption
- 39 -
élémentaires selon la formule
∑ (c
)j
abs
fournit une section efficace d’absorption totale Cabs
1≤ j ≤ N
représentative de l’absorption de la part de l’assemblée des N dipôles oscillants. Le principe de
calcul de la section efficace d’absorption Cabs étant à présent posé, il est important de souligner
que l’égalité C =
∑c
j
évoquée ci-dessus n’est valable que pour l’absorption : en effet, tandis
1≤ j ≤ N
que l’absorption est additive en terme énergétique, la diffusion ne l’est absolument pas, et par
conséquent l’extinction non plus.
Considérons donc un dipôle oscillant ponctuel isolé, localisé en r = 0 et de moment dipolaire
P ( t ) = Π exp ( − i ω t ) activé par un éclairement incident polarisé dont le champ électrique a pour
expression Einc (r,t ) = E0 e exp ⎡⎣i ( k 2 u ⋅ r − ω t ) ⎤⎦ . Ce dipôle étant supposé seul dans l’espace, son
moment dipolaire vaut P ( t ) = α Einc (r = 0 , t ) , de sorte que E0 e = Π / α .
Comme nous l’avons vu au chapitre 4.1.1, ce dipôle diffuse un champ électromagnétique
{E (r, t ) ; H (r,t )} dont l’expression en champ lointain (55) est rappelée ci-dessous :
sca
sca
⎧
⎪ Hsca (r,t ) =
⎪⎪
⎨
⎪
⎪ E sca (r,t ) =
⎪⎩
ω k 2 exp ( ik 2 r )
(n × P ( t ) )
4π
r
2
2
k
4 π ε2
exp ( ik 2 r )
r
(55)
k
⎡(n × P ( t ) ) × n⎤ = 2 (Hsca (r, t ) × n )
⎣
⎦ ωε
2
La section efficace d’extinction c Pext (u , e ) de ce dipôle se calcule au moyen du théorème optique
(se référer au chapitre 2.4). Partant de l’expression générale (14) de la puissance éteinte et de la
relation (15) définissant le champ d’amplitude vectorielle A sca (n ) ; n’oubliant pas par ailleurs que
vers l’avant (i. e. pour θ = 0 ), la direction de diffusion n est égale à celle d’éclairement u ; faisant
enfin disparaître le terme E0 e dans l’expression du champ électrique incident Einc (r, t ) en le
remplaçant par Π / α ; on aboutit après quelques calculs sans grande difficulté à l’expression
suivante de la section efficace c Pext (u , e ) :
c Pext (u , e ) =
⎧ Π*
⎫
k2
Im
⎨ * ⋅ ⎡⎣(u × Π ) × u⎤⎦ ⎬
2
ε 2 E0
⎩α
⎭
(82)
Par ailleurs, Π étant dans le cas présent égal à α E0 e , il s’ensuit que Π ⊥ u et que par
conséquent (u × Π ) × u = Π ; l’expression (82) peut donc encore être simplifiée pour devenir :
c
P
ext
(u , e ) =
k2 Π
ε2 E
- 40 -
2
0
2
⎛ 1⎞
Im ⎜ * ⎟
⎝α ⎠
(83)
La détermination de l’expression de la section efficace de diffusion élémentaire c Psca (u , e ) suit le
même principe. La puissance diffusée se calcule selon la formule (19) ; l’expression du champ
d’amplitude vectorielle A sca (n ) étant connue, on en déduit dans un premier temps l’expression
suivante de la section efficace c Psca (u , e ) :
c
P
sca
⎛ k2
⎞
(u , e ) = ⎜ 2 ⎟
⎝ 4 π ε 2 E0 ⎠
(n × Π ) × n
Puis, remarquant d’une part que
d’autre part que
∫
n× Π
2
dΩ =
8π Π
∫
(n × Π ) × n
4π
= n× Π
2
2
dΩ
(84)
(car le vecteur n est réel et unitaire) et
2
(car Π est un vecteur constant), on arrive à simplifier
3
4π
2
2
l’expression (84) en :
c
P
sca
(u , e ) =
k 24 Π
2
(85)
6 π ε 22 E02
La section efficace d’absorption c Pabs (u , e ) d’un dipôle isolé s’exprime donc uniquement en fonction
de la polarisabilité α et du moment dipolaire Π de ce dipôle selon la relation :
c
P
abs
(u , e ) = c (u , e ) − c (u , e ) =
P
ext
P
sca
k2 Π
2
ε 2 E02
⎡ ⎛ 1
⎢Im ⎜ *
⎣ ⎝α
k 32 ⎤
⎞
−
⎥
⎟
⎠ 6 π ε2 ⎦
(86)
et si maintenant nous revenons à nos calculs DDA appliqués à une assemblée de N dipôles
oscillants, la section efficace d’absorption CPabs (u , e ) de cette assemblée de dipôles pourra, en
vertu du principe d’additivité énoncé plus haut, être évaluée selon la formule :
CPabs (u , e ) =
k
∑ ( c ) (u , e ) = ε E
P
abs
1≤ j ≤ N
2
j
2
∑
2
0 1≤ j ≤ N
Πj (u , e )
2
⎡ ⎛ 1
⎢Im ⎜ *
⎢⎣ ⎜⎝ α j
⎞
k 32 ⎤
⎥
⎟⎟ −
⎠ 6 π ε 2 ⎥⎦
(87)
A la base du raisonnement que nous venons de développer ci-dessus, il y avait une hypothèse
d’éclairement incident polarisé (de direction de propagation u et de polarisation e) ; l’expression
(87) ci-dessus de la section efficace d’absorption CPabs (u , e ) fait donc intervenir les moments
dipolaires Πj (u , e ) dans cette configuration particulière d’irradiation. Lorsque l’éclairement incident
est non polarisé, la section efficace d’absorption CNP
abs ( u ) s’évalue selon la formule :
CNP
abs ( u ) =
k2
2 ε 2 E02
∑(
Πj (u , v )
2
+ Πj (u , w )
1≤ j ≤ N
et n’est plus fonction que de la direction d’incidence u.
- 41 -
2
)
⎡ ⎛ 1
⎢Im ⎜ *
⎢⎣ ⎜⎝ α j
⎞
k 32 ⎤
−
⎥
⎟⎟
⎠ 6 π ε 2 ⎥⎦
(88)
4.2 Modèles de polarisabilité
Le système linéaire (65) à la base de l’approximation dipolaire discrète fait fort logiquement
intervenir les polarisabilités α j des N dipôles oscillants ; on doit donc déterminer ces N valeurs α j
préalablement à tout calcul DDA sur la population.
4.2.1 Formulation de CLAUSIUS-MOSSOTTI
Le modèle généralement considéré comme point de départ pour le calcul de la polarisabilité α d’un
volume matériel est celui de CLAUSIUS-MOSSOTTI [3 ; 16 ; 19] qui découle d’un résultat classique
d’électrostatique concernant l’interaction entre un champ électrique uniforme et une particule
sphérique (indicée 1) baignant dans un milieu hôte (indicé 2) supposé infini. Soit E0 x ce champ
en l’absence de la particule ; introduisant les coordonnées polaires classiques ( r , θ ) à partir d’un
point O quelconque du milieu hôte ( r = r
et θ = ( x , r ) ), le champ de potentiel V (r ) associé au
champ électrique E0 x a naturellement pour expression V (r ) = − E0 x = − E0 r cos θ . Si à présent
on amène la particule sphérique en O, alors le champ de potentiel V (r ) se trouve affecté par la
présence de la particule ; en particulier, on démontre [3] que ce champ V (r ) a l’expression
analytique suivante à l’extérieur de la particule, i. e. dans le milieu hôte :
V (r ) = − E0 r cos θ + a3 E0
ε1 − ε 2 cos θ
ε − ε cos θ
= − E0 x + a3 E0 1 2
2
ε1 + 2 ε 2 r
ε1 + 2 ε 2 r 2
(89)
ε1 et ε 2 étant ici les permittivités diélectriques statiques de la particule et du milieu hôte, et a
désignant le rayon de la particule. Calculant l’opposé du gradient de l’expression (89), on aboutit
immédiatement à la conclusion suivante : le champ électrique E (r ) régnant dans le milieu hôte en
présence de la particule est égal à la somme du champ uniforme E0 x qui existerait dans le milieu
hôte en l’absence de la particule et d’un champ complémentaire résultant de la perturbation
apportée par la particule dans le milieu hôte et ayant pour expression − a3 E0
ε1 − ε 2
⎛ cos θ ⎞
∇⎜ 2 ⎟.
ε1 + 2 ε 2 ⎝ r ⎠
Très clairement, le champ uniforme E0 x et le champ complémentaire − a3 E0
ε1 − ε 2
⎛ cos θ ⎞
∇⎜ 2 ⎟
ε1 + 2 ε 2 ⎝ r ⎠
apparaissent comme étant les limites statiques respectives du champ électrique incident Einc (r, t )
et du champ électrique diffusé Esca (r,t ) de la théorie électromagnétique de MIE. Par ailleurs,
revenant au champ de potentiel V (r ) exprimé en (89), on constate que son terme complémentaire
- 42 -
a3 E0
ε1 − ε 2 cos θ
, qui traduit la présence de la particule et la perturbation qu’elle apporte dans
ε1 + 2 ε 2 r 2
le milieu hôte, ressemble très fortement à l’expression du potentiel produit par un dipôle
électrostatique. On démontre en effet le résultat très classique suivant :
V (r ) =
P cos θ
4 π ε2 r 2
(90)
pour un dipôle électrostatique de moment dipolaire P x placé dans un milieu hôte de permittivité
diélectrique statique ε 2 . Dès lors, le potentiel complémentaire a3 E0
ε1 − ε 2 cos θ
apparaissant
ε1 + 2 ε 2 r 2
dans l’expression (89) peut être interprété comme étant le potentiel produit dans le milieu hôte par
un dipôle électrostatique de moment dipolaire :
P = 4 π ε 2 a3 E0
ε1 − ε 2
x
ε1 + 2 ε 2
(91)
Autrement dit, du point de vue du champ de potentiel produit dans le milieu hôte, la particule
sphérique de rayon a et de permittivité ε1 se comporte exactement comme un dipôle
électrostatique de moment dipolaire P défini ci-dessus. Ce moment dipolaire P étant proportionnel
au champ électrique excitateur E0 x , on définit la polarisabilité α comme étant le coefficient de
proportionnalité entre P et E0 x :
P = α E0 x
avec
α = 4 π ε 2 a3
ε1 − ε 2
ε1 + 2 ε 2
(92)
Introduisant alors le volume v = 4 π a3 / 3 de la particule, on peut réécrire l’expression (92) de α
sous la forme finale suivante :
α = 3 ε2 v
ε1 − ε 2
ε1 + 2 ε 2
(93)
La relation ci-dessus est couramment appelée relation de CLAUSIUS-MOSSOTTI. En toute rigueur,
son applicabilité est limitée au calcul de la polarisabilité statique d’une particule sphérique ; en
pratique, il est communément admis que l’expression (93) peut être étendue au cas d’une particule
de forme quelconque (de volume v) et au calcul de la polarisabilité monochromatique (les
grandeurs ε1 et ε 2 désignant dans ce cas les permittivités diélectriques monochromatiques de la
particule et du milieu hôte).
- 43 -
4.2.2 Autres formulations de la polarisabilité
Plusieurs auteurs ont proposé des expressions affinées de la polarisabilité α ; une revue de ces
diverses formulations est présentée dans la première partie de la référence [20]. Dans la suite,
nous citerons deux expressions particulières que nous avons été amenés à mettre en œuvre dans
le cadre des études de modélisation que nous conduisons au CEA / Le Ripault : les formulations
de DRAINE [19] et de DOYLE [24].
- Formulation de DRAINE. Dans son article [19], l’auteur rappelle que, si la formule de
CLAUSIUS-MOSSOTTI est exacte en régime statique, elle ne peut l’être en régime dynamique ;
un argument très simple (non reproduit ici), basé sur un matériau non absorbant, vient étayer
cette affirmation. Il propose alors une reformulation de la polarisabilité prenant en compte un
phénomène dit « de réaction radiative » et selon lequel un dipôle oscillant engendre certes
un champ électromagnétique agissant sur les dipôles oscillants avoisinants mais aussi un
champ électrique qui cette fois s’applique uniquement au dipôle oscillant considéré.
L’expression de ce champ électrique dit « de réaction radiative » s’obtient à l’aide des
arguments suivants. D’abord, rappelons qu’une particule chargée, de charge q, et mobile, de
vecteur position r ( t ) , émet un rayonnement dans le milieu environnant (indicé 2) dont la
puissance instantanée est donnée par la formule de LARMOR [4] :
Ψ (t) =
⎛ d2r ⎞
q2
⎜
⎟
6 π ε 2 c 32 ⎝ dt 2 ⎠
2
(94)
Dès lors, la particule émettant une puissance par rayonnement, elle doit perdre de l’énergie
mécanique ; cet argument conduit tout naturellement à proposer l’introduction dans
l’équation du mouvement de la particule d’une force instantanée Frad ( t ) dite « de réaction
radiative » et dont l’expression reste à déterminer. Cette tâche s’effectue en intégrant le bilan
de puissance Frad ⋅
dr
= − Ψ entre deux instants [4] ; ainsi on aboutit à :
dt
Frad ( t ) =
q2
d3r
6 π ε 2 c 32 dt 3
(95)
Cette formule (95) prend une forme remarquable lorsque la particule est animée d’un
mouvement rectiligne oscillant : imposant au vecteur position r ( t ) une expression du type
r ( t ) = r 0 exp ( − i ω t ) , l’expression de Frad ( t ) devient :
Frad ( t ) =
3
q2
− i ω) r ( t )
3 (
6 π ε2 c 2
- 44 -
(96)
Introduisant alors le moment dipolaire oscillant P ( t ) = q r ( t ) constitué par la particule
chargée oscillante, le champ électrique oscillant Erad ( t ) = Frad ( t ) / q produisant la force de
réaction radiative Frad ( t ) sur la particule de charge q, et la notation k 2 = ω / c 2 du vecteur
d’onde dans le milieu 2, on aboutit à l’expression suivante du champ oscillant Erad ( t ) :
Erad ( t ) =
ik 32
P(t)
6 π ε2
(97)
Dans [19], DRAINE étend ce résultat en considérant que le champ Erad ( t ) exprimé ci-dessus
est aussi celui que produit un élément de volume matériel polarisable de moment dipolaire
( )
oscillant P ( t ) sur lui-même. Dès lors, l’égalité Pj ( t ) = α j Eloc r j ,t , qui a servi de base à
l’obtention de l’équation de la DDA (65) au chapitre 4.1.3, est remplacée par :
( ( )
( ))
Pj ( t ) = α j Eloc r j , t + Erad r j ,t
( )
= α j Eloc r j ,t +
ik 32 α j
6 π ε2
Pj ( t )
(98)
et de cette nouvelle égalité il découle immédiatement la définition d’une nouvelle
qui intègre les effets de réaction radiative :
polarisabilité αRR
j
( )
Pj ( t ) = αRR
Eloc r j , t
j
avec
αj
αRR
=
j
1−
ik 32 α j
(99)
6 π ε2
Dans ses calculs, DRAINE applique la formulation ci-dessus à la polarisabilité de CLAUSIUSMOSSOTTI α CM
= 3 ε2 v j
j
ε j − ε2
ε j + 2 ε2
: il remplace donc α j par αCM
dans (99), et évalue ainsi une
j
−RR
polarisabilité affinée αCM
.
j
- Formulation de W. T. DOYLE. Dans son article [24], l’auteur constate que l’expression de la
polarisabilité de CLAUSIUS-MOSSOTTI rappelle celle du coefficient a1 de la série de MIE
lorsque les quantités x et m x sont toutes deux très petites devant 1. En effet (voir chapitre
3.3) :
x
1 et
m x
1 ⇒
a1 ∼ −
2i x 3 ε1 − ε 2
3 ε1 + 2 ε 2
(100)
D’où la proposition de DOYLE de remplacer, dans l’expression de CLAUSIUS-MOSSOTTI, le
terme
ε1 − ε 2
3 ia1
par
; la polarisabilité de CLAUSIUS-MOSSOTTI αCM est alors remplacée
ε1 + 2 ε 2
2 x3
- 45 -
par une nouvelle polarisabilité α A1 , valable uniquement dans le cas d’une particule de forme
sphérique, et se calculant de la manière suivante :
α A1 = 3 ε 2 v
3ia1 6i π ε 2
6i π ε 2 m ψ1 ( mk 2 a ) ψ1′ ( k 2 a ) − ψ1 ( k 2 a ) ψ1′ ( mk 2 a )
=
=
a
1
2 x3
k 32
k 32
m ψ1 ( mk 2 a ) ξ1′ ( k 2 a ) − ξ1 ( k 2 a ) ψ1′ ( mk 2 a )
(101)
expression dans laquelle, a désignant le rayon de la particule sphérique, le volume v a été
remplacé par 4 π a3 / 3 et le paramètre de taille x par k 2 a . L’apport de cette nouvelle
formulation est démontré par H. OKAMOTO [25] : elle permet d’étendre le domaine de validité
des calculs DDA à des particules de tailles plus grandes, ce qui relâche la contrainte
évoquée au chapitre 4.1.2 (critère (60)) concernant la finesse de la discrétisation spatiale.
Par ailleurs, C. E. DUNGEY et C. F. BOHREN [26] soulignent que l’expression (101) de la
polarisabilité α A1 intègre une correction des effets de réaction radiative identique à celle
proposée par DRAINE.
4.3 Quelques applications de la technique d’approximation
dipolaire discrète
Le principe de la DDA étant à présent connu, nous allons exposer dans ce qui suit quelques
résultats de calculs issus de cette théorie. Ce chapitre 4.3 sera articulé en deux sous-parties : le
chapitre 4.3.1 sera consacré à la validation de la technique de DDA par confrontation à la théorie
de MIE, et au chapitre 4.3.2 nous montrerons en quoi la DDA nous permet de modéliser de
manière affinée les propriétés radiatives de matrices nanoporeuses de silice.
Le lecteur intéressé par le contenu de ce chapitre (que ce soit pour le volet validation ou pour celui
consacré à nos études sur les matrices nanoporeuses de silice) trouvera beaucoup plus
d’informations dans la référence [22].
4.3.1 Discrétisation spatiale de particules sphériques et
confrontation de la DDA à la théorie de MIE
La théorie de MIE ne s’appliquant qu’aux particules de forme sphérique, nous allons dans ce qui
suit présenter des résultats de calculs DDA appliqués à des boules matérielles discrétisées en
assemblées de petits éléments de volume polarisables (le milieu hôte sera toujours supposé être
le vide). A l’issue des calculs DDA, nous pourrons évaluer les propriétés radiatives de nos boules
matérielles, puis comparer ces données à celles issues de calculs de MIE.
Pour la première série de calculs, la boule matérielle est découpée en un nombre N d’éléments de
volume assez faible : seulement 365. Ces éléments sont des cubes en contact d’arête a et dont
- 46 -
les centres sont localisés à des coordonnées du type ( ia ; ja ; k a ) avec i, j et k entiers tels que
(i
2
+ j2 + k 2 ) < 20 . La figure 8 propose une représentation tridimensionnelle de la boule matérielle
ainsi discrétisée.
Figure 8 : représentation tridimensionnelle de la boule matérielle discrétisée en 365 éléments de
volume cubiques.
La discrétisation spatiale étant à présent fixée, les entrées nécessaires à la conduite du calcul
DDA sont (i) l’arête a de chaque élément de volume cubique, (ii) la longueur d’onde λ, (iii) l’indice
optique complexe m = n + i χ du matériau constituant la boule à cette longueur d’onde, (iv) le
vecteur unitaire u portant la direction de l’éclairement incident, et enfin (v) le modèle retenu pour
l’expression de la polarisabilité α. Pour tous les calculs qui vont être décrits par la suite, la
longueur d’onde λ est fixée à la valeur de 30 µm, l’indice optique complexe m à 1.12 + i 0.017 (ces
valeurs sont celles du chlorure de sodium à λ = 30 µm), et le modèle de polarisabilité choisi est
celui de CLAUSIUS-MOSSOTTI avec prise en compte des effets de réaction radiative (modèle
αCM−RR ) (signalons au passage qu’en toute rigueur, ce modèle αCM−RR ne peut pas s’appliquer ici,
les éléments de volume de la discrétisation spatiale n’étant pas sphériques). La base orthonormée
(u , v , w )
nécessaire au calcul DDA des sections efficaces CNP
(formule (88)),
abs ( u ;DDA )
(formule (77)) et CNP
(formule (73)) et de la fonction de phase
CNP
sca ( u ;DDA )
ext ( u ;DDA )
ΦNP (u , n ;DDA ) (formule (81)) est déduite de celle de référence
- 47 -
( x , y, z)
par 2 rotations
successives : la première, notée Rζ , d’angle ζ ∈ [0 ; 2 π] autour de x, puis la deuxième, notée Rξ ,
d’angle ξ ∈ [0 ; π] autour de Rζ ( z ) ; ainsi les vecteurs u, v et w ont pour coordonnées dans la
base ( x , y , z ) :
⎛ cos ξ ⎞
⎜
⎟
u = ⎜ sin ξ cos ζ ⎟ ,
⎜ sin ξ sin ζ ⎟
⎝
⎠
⎛ − sin ξ ⎞
⎜
⎟
v = ⎜ cos ξ cos ζ ⎟
⎜ cos ξ sin ζ ⎟
⎝
⎠
⎛ 0 ⎞
⎜
⎟
w = ⎜ − sin ζ ⎟
⎜ cos ζ ⎟
⎝
⎠
et
(102)
et les angles ξ et ζ sont fixés respectivement à 1 et 2 radians dans nos calculs. Il nous reste à
présent à préciser les valeurs numériques retenues pour l’arête a. Nous ferons varier ce paramètre
entre 0.1 et 10 µm ; dans de telles conditions, le groupement m1 k 0 a de DRAINE (avec m1 = m et
k 0 = 2 π / λ ) évoqué au chapitre 4.1.2 évoluera entre les valeurs de 0.023 et 2.3, et le critère (60)
de validité de nos calculs DDA, vérifié haut la main pour les faibles valeurs de a, le sera beaucoup
moins lorsque l’arête a présentera des valeurs de l’ordre de quelques µm.
La boule matérielle comportant un volume de matière identique à l’ensemble de nos N dipôles
cubiques est caractérisée par un rayon A défini par :
4 π A3
= N v = Na3
3
A =a
soit
3
3N
4π
(103)
Les calculs de MIE seront donc effectués sur cette boule de rayon A, dont le paramètre de taille X
s’exprime par :
X=
2π A 2πa
=
λ
λ
3
3N
4π
(104)
et varie entre 0.092 et 9.2 lorsque a varie entre 0.1 et 10 µm.
Les figures 9, 10 et 11 présentent, sous la forme d’indicatrices directionnelles, les fonctions de
phase ΦNP (u , n ;DDA ) fournies par la DDA pour les trois valeurs 0.1, 1.5 et 10 µm de l’arête a. A
l’examen de ces trois surfaces, on constate essentiellement les deux points suivants :
- Plus a est grand, plus le phénomène de diffusion est directionnel vers l’avant (d’ailleurs, la
surface de la figure 11, correspondant à a = 10 µm, a dû être tracée en échelle
logarithmique, sinon elle n’aurait laissé apparaître qu’un lobe ultradominant dans la direction
de l’éclairement u) : ce point est en parfait accord avec les conclusions que nous avons
tirées des quelques études numériques de la théorie de MIE que nous avons conduites au
chapitre 3.6 (se reporter en particulier à la figure 7).
- Aux valeurs pas trop élevées de a (figures 9 et 10), les fonctions de phase prédites par la
DDA sont en parfait accord avec celles de MIE, et elles présentent la symétrie azimutale, i. e.
- 48 -
la symétrie de révolution autour de l’axe ( O,u ) : la probabilité de diffusion dans une direction
n donnée n’est fonction que de l’angle θ entre cette direction n et celle d’éclairement u. Ce
n’est plus du tout le cas lorsque l’arête a commence à prendre de grandes valeurs (figure
11), et pour cause : lorsque a n’est plus négligeable devant la longueur d’onde λ,
l’éclairement incident parvient à « lire », à « résoudre » la discrétisation spatiale qu’il
rencontre, et il « remarque » que le volume matériel discrétisé avec lequel il interagit n’a rien
à voir avec une particule sphérique.
Figure 9 : fonction de phase ΦNP (u , n ;DDA ) fournie par la DDA pour la discrétisation spatiale de
la figure 8, l’arête des cubes de cette discrétisation valant a = 0.1 µm ; la flèche noire apparaissant
sur la figure marque la direction d’éclairement u.
- 49 -
Figure 10 : identique à la figure 9 ; cette fois, a = 1.5 µm.
Figure 11 : identique à la figure 9 ; cette fois, a = 10 µm ; par ailleurs, pour une meilleure lisibilité,
la surface tracée ici est balayée non pas par le rayon-vecteur ΦNP (u , n ;DDA ) n mais par le rayonvecteur log ⎡⎣106 ΦNP (u , n ;DDA ) ⎤⎦ n .
- 50 -
La figure 12 présente l’évolution du rapport
NP
CNP
abs ( u ;DDA ) + Csca ( u ;DDA )
CNP
ext ( u ;DDA )
avec l’arête a. Les
valeurs très proches de 1 de ce groupement jusqu’à des paramètres a de 3 µm constituent autant
de preuves de la cohérence des trois formules (73), (77) et (88) de la DDA. En revanche, aux
grandes valeurs de a, les trois sections efficaces issues des calculs DDA ne se correspondent
plus. Ce dysfonctionnement peut être la conséquence du niveau atteint par le groupement
m1 k 0 a de DRAINE (0.70 lorsque a vaut 3 µm) ; il peut également trouver son explication dans la
difficulté d’évaluer numériquement l’intégrale directionnelle apparaissant dans l’expression (77) de
la section efficace de diffusion CNP
sca ( u ;DDA ) lorsque le phénomène de diffusion présente un
caractère directionnel très marqué (dans le cadre des calculs DDA présentés ici, nous avons fait
usage de la quadrature S8 à 10 ordonnées discrètes par octant pour l’évaluation numérique des
intégrales directionnelles ; il se pourrait que l’emploi de quadratures angulaires spécifiquement
adaptées aux régimes de forte diffusion vers l’avant – voir par exemple les travaux présentés à la
référence [27] – se traduise par une cohérence améliorée aux grandes valeurs de l’arête a entre
les différentes sections efficaces fournies par les calculs DDA).
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.1
1
10
a (µm)
Figure 12 : évolution du rapport
NP
CNP
abs ( u ;DDA ) + Csca ( u ;DDA )
CNP
ext ( u ;DDA )
avec l’arête a.
Si, sur la base de la discussion ci-dessus, on décide de procéder à l’évaluation de la section
efficace de diffusion CNP
sca ( u ;DDA ) non plus via la formule (77) mais par la simple différence
- 51 -
( C (u;DDA ) − C (u;DDA ) ) , alors les trois sections efficaces fournies par la DDA se comparent
NP
ext
NP
abs
assez avantageusement à leurs trois homologues de MIE, comme le montre la figure 13 qui
présente sur un même graphe les évolutions avec l’arête a des rapports
CNP
sca ( u ;DDA )
CNP
sca ( Mie )
,
CNP
ext ( u ;DDA )
CNP
ext ( Mie )
CNP
abs ( u ;DDA )
CNP
abs ( Mie )
,
(avec les notations évidentes). Aux valeurs de a inférieures ou
égales à 3 µm, le désaccord entre les deux théories se situe en deçà de 4% ; en revanche, aux
grandes valeurs de a, les deux techniques de modélisation divergent de plus en plus l’une de
l’autre, et ce pour les deux raisons que nous avons déjà eu l’occasion de citer précédemment : (i)
lorsque a est grand, le groupement m1 k 0 a de DRAINE devient assez élevé, ce qui signifie que la
discrétisation spatiale devient assez grossière et que par conséquent l’applicabilité de la DDA peut
légitimement être mise en question ; (ii) lorsque a n’est plus négligeable devant la longueur d’onde
λ, la discrétisation spatiale de la figure 8 n’a plus du tout l’apparence d’un objet sphérique « aux
yeux » de l’éclairement incident.
1.05
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.1
1
10
a (µm)
Figure 13 : évolutions des rapports
foncée) et
CNP
abs ( u ;DDA )
CNP
abs ( Mie )
CNP
ext ( u ;DDA )
CNP
ext ( Mie )
(courbe noire),
CNP
sca ( u ;DDA )
CNP
sca ( Mie )
(courbe grise claire) avec l’arête a.
- 52 -
(courbe grise
Les difficultés rencontrées par la DDA lorsque l’arête a caractérisant la discrétisation spatiale de la
figure 8 est grande se résolvent moyennant une discrétisation spatiale plus fine (le prix à payer
étant un temps de calcul sensiblement allongé). Ainsi, dans le cas délicat où a = 10 µm, la boule
matérielle étant à présent discrétisée en N′ = 33059 éléments cubiques (voir figure 14) de côté a′
tel que le volume total de matière soit conservé ( N′ a′3 = Na3 soit a′ = a
DDA
aboutit
aux
NP
CNP
abs ( u ;DDA ) + Csca ( u ;DDA )
CNP
ext ( u ;DDA )
excellents
=
CNP
abs ( u ;DDA )
CNP
abs ( Mie )
résultats
=
CNP
sca ( u ;DDA )
CNP
sca ( Mie )
3
N
≈ 2.23 µm ), le calcul
N′
numériques
=
CNP
ext ( u ;DDA )
CNP
ext ( Mie )
suivants :
= 1.000. Quant à la
fonction de phase produite par ce calcul, elle est en parfait accord avec celle de MIE, comme le
montre le graphe de la figure 15.
Figure 14 : représentation tridimensionnelle de la discrétisation spatiale affinée à N′ = 33059
éléments de volume cubiques.
- 53 -
2
10
1
10
0
10
-1
10
-2
10
-3
10
-4
10
-5
10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
θ/π
Figure 15 : courbe noire : fonction de phase ΦNP ( θ ;DDA ) fournie par la DDA pour la discrétisation
spatiale de la figure 14, l’arête des cubes de cette discrétisation valant a′ = 2.23 µm ; courbe
grise : fonction de phase ΦNP ( θ ;Mie ) fournie par la théorie de MIE appliquée à la boule matérielle
équivalente de rayon A = 44.3 µm.
4.3.2 Evaluation des propriétés radiatives de matrices
nanoporeuses de silice
Les matériaux superisolants thermiques nanoporeux sont l’objet de nombreuses études au CEA /
Le Ripault pour leur extraordinairement faible niveau de conductivité thermique effective :
quelques mW.m-1.K-1 à température ambiante et sous vide primaire d’air. Ces matériaux, très
poreux (leur porosité, exclusivement ouverte, est de l’ordre de 90%), sont en premier lieu
constitués d’une matrice nanoporeuse obtenue par compaction de nanoparticules (de diamètre de
l’ordre de 10 nm) de silice pyrogénée ; cette matrice nanoporeuse est le constituant solide
ultramajoritaire de cette famille de matériaux (sa fraction massique dépasse 80%). Au sein de la
matrice sont dispersés en très faibles fractions volumiques (de l’ordre du %) des constituants
d’échelle micrométrique qui apportent de l’opacité infrarouge et du renfort mécanique à l’ensemble
(une description microstructurale détaillée ainsi que des clichés MET d’un superisolant
nanoporeux type se trouvent à la référence [28]). La capacité de transfert de chaleur par
conduction étant minimisée dans cette famille de matériaux (notamment par un choix judicieux des
natures, tailles et agencements des divers constituants entrant dans leurs compositions), se pose
dès lors avec acuité la question de l’ampleur du transfert de chaleur par rayonnement en leur
sein : en effet, le transport conductif étant très atténué, celui-ci pourrait bien se trouver supplanté
- 54 -
par le transport radiatif et ce même à des températures relativement basses (à la température
ambiante par exemple).
Animés par la volonté de compréhension des phénomènes de transfert radiatif à l’œuvre au sein
des superisolants thermiques nanoporeux, nous avons décidé (i) de simplifier nos matériaux
d’étude en restreignant nos investigations aux matrices nanoporeuses seules (i. e. dépourvues de
constituants d’échelle micrométrique), et (ii) de nous engager dans la quantification des propriétés
radiatives de volume de ces matrices au moyen d’expérimentations et de modélisations adaptées.
Des échantillons de matrices nanoporeuses ont été élaborés à partir de diverses poudres de silice
pyrogénée commerciales, puis ces échantillons ont fait l’objet de mesures spectrophotométriques
en
réflexion
et
transmission
directionnelles-hémisphériques
sur
la
bande
spectrale
[0.2 µm ; 20 µm]. Ensuite, par inversion de l’équation du transfert radiatif (selon une démarche
exposée en détail dans [29]), on a pu déduire des données expérimentales R λ et Tλ les propriétés
radiatives de volume des matrices, à savoir leurs spectres de coefficient d’extinction βλ et d’albédo
de diffusion ωλ . A titre d’illustration, le graphe de la figure 16 montre le spectre βλ évalué pour un
échantillon d’épaisseur 2.0 mm constitué de la poudre HDK-T30 commercialisée par la société
allemande WACKER.
-1
βλ (m )
H2O
Si-H
H2O
H2O
10000
H2O
Si-OH
20000
1000
100
40
0.2
1
10
20
λ (µm)
Figure 16 : spectre de coefficient d’extinction βλ évalué pour un échantillon d’épaisseur 2.0 mm
constitué de la poudre commerciale WACKER HDK-T30.
- 55 -
Ce travail étant achevé, nous avons voulu savoir si les spectres βλ et ωλ expérimentaux auraient
pu être correctement prévus au moyen de la théorie de MIE. Pour toutes les matrices
nanoporeuses que nous avons examinées, la confrontation de la théorie à l’expérience nous a
amenés aux trois constatations suivantes :
- Les spectres βλ de MIE sont toujours qualitativement et quantitativement en très bon accord
avec leurs homologues expérimentaux aux grandes longueurs d’onde (typiquement pour
λ ≥ 2 µm ), et ce quel que soit le diamètre (de la dizaine à la centaine de nm) retenu pour le
diffuseur sphérique dans les calculs de MIE, à condition que dans ces calculs l’on respecte la
donnée expérimentale de fraction volumique solide des échantillons ;
- Les spectres βλ et ωλ de MIE peuvent être accordés de manière qualitative à leurs
homologues expérimentaux aux longueurs d’onde « moyennes » (de l’ordre du µm) à
condition d’attribuer au diffuseur sphérique de MIE un diamètre sensiblement supérieur (dans
un rapport de l’ordre de 5) à celui des nanoparticules de silice constituant les échantillons ;
- Aux faibles longueurs d’onde (typiquement pour λ ≤ 1µm ), même avec le diamètre optimal
de diffuseur injecté dans les calculs de MIE, cette théorie ne parvient pas à rendre
correctement compte de l’évolution du coefficient d’extinction βλ avec la longueur d’onde :
dans tous les cas, le spectre βλ prévu par la théorie de MIE dans cette plage spectrale est
en effet beaucoup plus rapidement décroissant que son homologue expérimental.
Les trois constatations que nous venons d’énoncer sont décrites beaucoup plus en détail dans
[22]. Les graphes des figures 17 et 18 ont pour objectif de clarifier quelque peu notre propos : ces
deux graphes, présentant des spectres βλ pour la figure 17 et des spectres ωλ pour la figure 18,
portent les spectres expérimentaux collectés sur un échantillon de poudre de silice WACKER
HDK-T30 d’épaisseur 5.0 mm d’une part, et les spectres issus de calculs de MIE pour un diamètre
de diffuseur variant entre 9 nm (diamètre moyen estimé pour la nanoparticule primaire de la
poudre HDK-T30 à partir de la valeur de la surface spécifique de cette poudre) et 55 nm d’autre
part. On constate sur ces deux figures : (i) que les spectres βλ et ωλ de MIE ne s’accordent pas du
tout à leurs homologues expérimentaux aux longueurs d’onde ≤ 2 µm lorsque le diamètre du
diffuseur de MIE est pris égal à 9 nm ; (ii) que le spectre ωλ expérimental montre une transition
assez nettement définie d’un régime de diffusion dominante aux courtes longueurs d’onde vers un
régime d’absorption dominante aux grandes longueurs d’onde, transition dont la localisation
spectrale autorise la définition d’un diamètre effectif de MIE Dω évalué ici à 45 nm ; (iii) que le
spectre βλ de MIE peut assez correctement s’accorder à son homologue expérimental aux
longueurs d’onde de l’ordre du µm pour un diamètre effectif de MIE Dβ de 55 nm, valeur en bon
accord avec celle Dω issue de l’analyse du spectre ωλ expérimental ; et enfin (iv) que même si on
- 56 -
attribue au diamètre D du diffuseur de MIE l’une ou l’autre des deux valeurs optimales Dω et Dβ
introduites ci-dessus, la théorie de MIE ne parvient pas à rendre compte du comportement
lentement décroissant du spectre βλ expérimental aux longueurs d’onde ≤ 1µm .
6
10
5
10
4
-1
βλ (m )
10
3
10
2
10
1
10
0.2
1
10
20
λ (µm)
Figure 17 : courbe noire : spectre βλ expérimental collecté sur un échantillon de poudre de silice
WACKER HDK-T30 d’épaisseur 5.0 mm ; courbes grises : spectres βλ issus de calculs de MIE pour
un diamètre de diffuseur valant 9, 20, 45 et 55 nm ; la flèche indique les valeurs croissantes du
diamètre.
- 57 -
1.0
0.8
ωλ (-)
0.6
0.4
0.2
0.0
0.2
1
10
20
λ (µm)
Figure 18 : courbe noire : spectre ωλ expérimental collecté sur un échantillon de poudre de silice
WACKER HDK-T30 d’épaisseur 5.0 mm ; courbes grises : spectres ωλ issus de calculs de MIE pour
un diamètre de diffuseur valant 9, 20, 45 et 55 nm ; la flèche indique les valeurs croissantes du
diamètre.
Ces diverses observations nous ont inspiré les réflexions suivantes :
- Aux longueurs d’onde supérieures à 1 µm, les spectres βλ et ωλ de MIE s’accordent
correctement à leurs homologues expérimentaux pour un diamètre D du diffuseur de MIE pris
par exemple à (Dω + Dβ ) / 2 . Ce fait indique qu’aux longueurs d’onde supérieures à 1 µm,
nos matrices nanoporeuses se comportent, du point de vue de l’interaction rayonnementmatière, exactement comme des populations de particules sphériques ; les diamètres
effectifs D de ces particules, issus de la confrontation de la théorie de MIE à l’expérience,
sont sensiblement supérieurs à ceux des nanoparticules et donnent accès à la notion
d’agrégat représentatif, défini comme étant un amas de nanoparticules contenant le même
volume de matière qu’une boule de diamètre D ;
- Lorsque la longueur d’onde est grande devant la taille de la boîte fictive renfermant l’agrégat
représentatif, l’interaction rayonnement-matière est très peu sensible à la taille, à la forme ou
encore à l’agencement de la matière au sein de l’agrégat car celui-ci « apparaît ponctuel à la
longueur d’onde du rayonnement » ;
- En revanche, ce n’est plus du tout le cas lorsque la longueur d’onde présente le même ordre
de grandeur que la taille de la boîte renfermant l’agrégat : dans ce cas, la prévision théorique
- 58 -
des propriétés radiatives des matrices nanoporeuses doit passer non plus par la théorie de
MIE mais par une technique de modélisation qui soit sensible à la répartition de la matière
dans l’espace au sein de l’agrégat représentatif.
Pour vérifier la dernière affirmation énoncée ci-dessus, nous nous sommes engagés dans le
développement de programmes informatiques (i) de génération d’agrégats représentatifs de
nanoparticules et (ii) de calcul des propriétés radiatives de ces agrégats au moyen de la DDA.
Pour la génération informatique d’agrégats représentatifs, nous avons tenu compte d’une part des
informations de diamètre optimal D déduites des analyses de MIE exposées plus haut, et d’autre
part des quelques informations « d’ensemble » à notre disposition concernant nos matrices
nanoporeuses d’étude, à savoir leurs masses volumiques (voisines de 300 kg.m-3) et leurs
dimensions fractales (1.8 pour les structures nanométriques de silice pyrogénée selon la littérature
[30]). L’agrégat représentatif contenant par définition le même volume de matière qu’une boule de
diamètre D, la connaissance de ce paramètre D permet de calculer le nombre N de nanoparticules
3
⎛D⎞
constituant l’agrégat représentatif selon la relation N = ⎜ ⎟ dans laquelle d désigne le diamètre
⎝d⎠
des nanoparticules ; par ailleurs, le volume d’occupation V associé à l’agrégat représentatif
découle directement de la donnée de la masse volumique de la matrice ρm via la formule
V =N
π d3 ρnp
6 ρm
dans laquelle ρnp désigne la masse volumique du matériau constituant les
nanoparticules. Dès lors, le nombre de nanoparticules N et le volume d’occupation V de l’agrégat
représentatif étant connus, on génère informatiquement cet agrégat en appliquant essentiellement
deux algorithmes classiques d’agrégation de particules couramment appelés DLA et DLCCA
(acronymes anglais signifiant respectivement « Diffusion-Limited Aggregation » et « DiffusionLimited Cluster-Cluster Aggregation ») ; le principe de ces deux algorithmes consiste à faire
diffuser (le mot « diffuser » signifiant ici se déplacer de manière aléatoire) les N nanoparticules
dans une boîte cubique fictive selon des règles particulières propres à chaque algorithme. Dans un
premier temps, nous avons retenu l’algorithme DLCCA pour générer nos agrégats représentatifs
car cet algorithme est connu pour produire des structures fractales de dimensions fractales
voisines de 1.8 dans un espace tridimensionnel. Cependant, nos agrégats représentatifs étant très
petits (ils sont en général constitués de deux ou trois centaines de nanoparticules tout au plus),
nous avons observé que leur caractère fractal était loin d’être évident et que par conséquent leur
dimension fractale était très difficile voire impossible à évaluer ; par la suite, nous nous sommes
donc autorisés à utiliser d’autres algorithmes d’agrégation, et en particulier l’algorithme DLA, pour
générer nos agrégats représentatifs.
A titre d’illustration, nous avons trouvé plus haut pour l’échantillon de silice WACKER HDK-T30
d’épaisseur 5.0 mm et de masse volumique ρm = 290 kg.m-3 un diamètre D valant tantôt 45 nm
tantôt 55 nm selon le choix du spectre expérimental (coefficient d’extinction βλ ou albédo de
- 59 -
diffusion ωλ ) exploité via la théorie de MIE ; retenant la valeur moyenne D = 50 nm, et rappelant
que pour la poudre WACKER HDK-T30 le diamètre d des nanoparticules est estimé à 9 nm, les
calculs aboutissent à un nombre N de nanoparticules dans l’agrégat représentatif valant 171 et à
un volume d’occupation V associé à cet agrégat valant environ 496500 nm3, ce qui signifie une
boîte cubique de 79 nm de côté. Sur la base de ces données, les algorithmes DLCCA et DLA nous
ont produit des agrégats tels que ceux représentés aux figures 19 et 20.
Figure 19 : agrégat représentatif de
Figure 20 : identique à la figure 19 ; cette
l’échantillon de poudre de silice WACKER
fois, l’agrégat a été généré au moyen de
HDK-T30 d’épaisseur 5.0 mm, généré au
l’algorithme DLA.
moyen de l’algorithme DLCCA.
Une fois l’agrégat représentatif généré, nous avons soumis cette structure matérielle à des calculs
DDA couvrant notre plage spectrale d’étude [0.2 µm ; 20 µm]. Pour ce faire, nous avons assimilé
chaque nanoparticule constituant l’agrégat à un dipôle électromagnétique oscillant unique. Cette
hypothèse se justifie ici par le fait que, les nanoparticules de nos poudres d’étude étant très petites
(leurs diamètres d sont de l’ordre de 10 nm), le groupement m k d de DRAINE évoqué au chapitre
4.1.2 est toujours plus petit que 1 et le critère (60) de validité des calculs DDA est donc vérifié.
Ainsi, pour la poudre de silice WACKER HDK-T30, la valeur maximale atteinte par le produit m k d
sur [0.2 µm ; 20 µm] n’est que de 0.44 (valeur atteinte pour λ = 0.2 µm).
Pour chaque longueur d’onde λ et pour tout un ensemble de directions d’éclairement u
préalablement
définies
et
couvrant
2π
stéradians,
les
sections
efficaces
d’extinction
NP
CNP
ext ( u ; λ ;DDA ) et de diffusion Csca ( u ; λ ;DDA ) de l’agrégat représentatif en éclairement non
polarisé ont été calculées au moyen de la DDA, puis les coefficients d’extinction et albédos de
diffusion monochromatiques directionnels βλ (u ) et ωλ (u ) ont été déduits de ces calculs selon les
- 60 -
relations βλ (u ) =
CNP
ext ( u ; λ ;DDA )
V
et ωλ (u ) =
CNP
sca ( u ; λ ;DDA )
CNP
ext ( u ; λ ;DDA )
où on rappelle que V est le volume
d’occupation associé à l’agrégat représentatif. Des résultats de ces calculs sont exposés aux
figures 21 et 22 ; y sont repris d’une part le spectre βλ expérimental collecté sur l’échantillon de
silice WACKER HDK-T30 d’épaisseur 5.0 mm et d’autre part le meilleur spectre βλ prédit par la
théorie de MIE (correspondant à un diamètre D = 55 nm pour le diffuseur représentatif) ; et sont
superposés à ces deux spectres les résultats des calculs DDA appliqués respectivement à
l’agrégat représentatif DLCCA de la figure 19 pour le graphe de la figure 21 et à l’agrégat
représentatif DLA de la figure 20 pour le graphe de la figure 22. Aux grandes longueurs d’onde, la
DDA et la théorie de MIE fournissent des coefficients d’extinction absolument identiques, ce qui est
en parfaite cohérence avec l’affirmation que nous avons énoncée plus haut d’ « apparence
ponctuelle de l’agrégat représentatif à la longueur d’onde du rayonnement » ; en revanche, lorsque
la longueur d’onde devient suffisamment petite et commence à « sonder » l’agencement spatial de
la matière au sein de l’agrégat représentatif, la DDA prédit des coefficients d’extinction
sensiblement inférieurs à ceux de MIE et se rapprochant des valeurs expérimentales.
6
10
5
10
4
-1
βλ (m )
10
3
10
2
10
1
10
0.2
1
10
20
λ (µm)
Figure 21 : spectres de coefficient d’extinction βλ associés à l’échantillon de silice WACKER
HDK-T30 d’épaisseur 5.0 mm ; courbe noire épaisse : spectre issu des mesures optiques
effectuées sur l’échantillon ; courbe grise foncée : spectre produit par un calcul de MIE avec un
diamètre D du diffuseur représentatif fixé à la valeur de 55 nm ; bande grise claire et courbe noire
fine : résultats d’un calcul DDA effectué sur l’agrégat DLCCA de la figure 19.
- 61 -
6
10
5
10
4
-1
βλ (m )
10
3
10
2
10
1
10
0.2
1
10
20
λ (µm)
Figure 22 : identique à la figure 21 ; cette fois, les calculs DDA sont effectués sur l’agrégat DLA de
la figure 20.
Les graphes des figures 21 et 22 rendent compte des dispersions des valeurs βλ (u ) prévues par
la DDA avec la direction d’éclairement u ; ces dispersions se traduisent par l’apparition de bandes
plus ou moins larges de valeurs βλ autour de courbes moyennes définies arbitrairement comme
étant les courbes des moyennes arithmétiques des valeurs βλ (u ) sur toutes les directions u
examinées. Ici, il est intéressant de constater que la dispersion des valeurs βλ (u ) est beaucoup
moindre avec l’agrégat DLCCA qu’avec l’agrégat DLA ; ce point est à relier à une apparence
visuelle assez « isotrope » de l’agrégat DLCCA alors que l’agrégat DLA semble quant à lui
constitué de ramifications de particules qui lui confèrent des directions préférentielles et qui
produisent immanquablement des variations plus importantes de ses propriétés avec la direction
d’observation.
Avec les calculs DDA présentés ici, on voit donc clairement apparaître un effet d’agencement
spatial des nanoparticules sur les propriétés radiatives des matrices nanoporeuses. Cette
technique de modélisation apparaît ainsi comme étant très sensible à la manière dont les
nanoparticules sont disposées au sein de l’agrégat représentatif : si celles-ci étaient concentrées
en un même noyau, la DDA retournerait le spectre βλ de MIE ; si on les distribue dans l’espace
selon deux algorithmes d’agrégation différents, la DDA fournit des spectres βλ significativement
distincts.
- 62 -
5 Résumé
Dans ce document, nous avons commencé par exposer les grandes lignes de la théorie générale
de l’interaction entre un rayonnement électromagnétique et une particule matérielle de forme
quelconque. Ce préalable nous a fourni tous les outils nécessaires au déroulement des grandes
étapes de la résolution du problème électromagnétique de MIE limité aux particules de forme
sphérique ; et au travers d’un exemple particulier, nous avons vu comment appliquer la théorie de
MIE au calcul des propriétés radiatives de populations de sphères distribuées de manière aléatoire
et en fraction volumique suffisamment faible dans l’espace. Finalement, nous avons abordé le
problème de l’interaction entre un rayonnement électromagnétique et un agrégat matériel
spatialement structuré : la théorie de MIE tombant en défaut dans ce genre de situation, nous
avons décrit le principe d’une technique alternative de modélisation appelée approximation
dipolaire discrète et capable de prendre en charge ce genre de configuration d’interaction. Cette
nouvelle théorie a montré sa valeur ajoutée par rapport au modèle de MIE à l’occasion d’études
conduites sur des matrices nanoporeuses de silice, lorsque la longueur d’onde devient
suffisamment petite et commence à « sonder » l’agencement spatial de la matière au sein de la
matrice.
- 63 -
Annexe A : résolution analytique du problème
électromagnétique de MIE
Cette résolution est assez fastidieuse ; elle est correctement documentée dans les références [3]
et [8], et nous présentons ici une description résumée des quatre étapes principales du processus
de résolution.
On rappelle que dans toute cette partie, afin d’alléger les notations, le terme harmonique temporel
exp ( − i ω t ) est omis et sous-entendu.
A.1 Etape 1 : solution générale d’une équation de
propagation scalaire en coordonnées sphériques
Dans un premier temps, considérons un champ spatial ψ (r ) scalaire vérifiant l’équation de
propagation :
∇2ψ + k 2 ψ = 0
(A.1)
dans un domaine spatial à symétrie sphérique. On introduit alors tout naturellement les
coordonnées sphériques classiques ( r , θ , ϕ ) (avec r ≥ 0 , 0 ≤ θ ≤ π et 0 ≤ ϕ ≤ 2 π ), et on démontre
que, dans ce système de coordonnées, la solution générale ψ ( r , θ , ϕ ) de l’équation (A.1) s’écrit
sous la forme :
ψ (r , θ , ϕ) =
+∞
+∞
∑ ∑ ( combinaison linéaire de ψ (r , θ , ϕ ) et ψ (r , θ , ϕ ) )
emn
m=0n=m
Dans cette expression, l’indice m parcourt
omn
(A.2)
, et l’indice n, lui aussi entier, varie de m à +∞ . Par
ailleurs, les deux séries de fonctions ψ emn ( r , θ , ϕ ) et ψomn ( r , θ , ϕ ) , appelées harmoniques
sphériques scalaires, ont pour expressions :
ψ e m n ( r , θ , ϕ ) = zn ( k r ) Pnm ( cos θ ) cos ( m ϕ )
ψ o m n ( r , θ , ϕ ) = zn ( k r ) Pnm ( cos θ ) sin ( m ϕ )
(A.3)
dans lesquelles (i) la fonction zn désigne toute combinaison linéaire des deux fonctions
sphériques de Bessel jn et yn , et (ii) la notation Pnm réfère aux fonctions associées de Legendre
de première espèce. Les notations « e » et « o » apparaissant en indices des harmoniques
ψ emn ( r , θ , ϕ ) et ψ omn ( r , θ , ϕ ) ont été reprises de la référence [3] ; elles sont là pour rappeler que
- 64 -
les fonctions ψ emn ( r , θ , ϕ ) et ψ omn ( r , θ , ϕ ) sont des fonctions respectivement paire (« even » en
anglais) et impaire (« odd » en anglais) de la variable angulaire ϕ.
A.2 Etape 2 : expression générale d’un champ
électromagnétique en coordonnées sphériques
Toujours dans un domaine spatial à symétrie sphérique, considérons à présent un champ
électromagnétique {E (r ) ; H (r )} vérifiant les quatre équations de Maxwell classiques :
∇ ⋅ E = 0 , ∇ ⋅ H = 0 , ∇ × E = i ωµ H
et
∇ × H = − i ωε E
(A.4)
et les deux équations de propagation vectorielles en découlant :
∇ 2E + k 2 E = 0
et
∇ 2H + k 2 H = 0
avec
k = ω εµ
(A.5)
On démontre que la solution générale du champ électrique E ( r , θ , ϕ ) s’exprime cette fois en
fonction de quatre séries de fonctions vectorielles particulières notées Memn ( r , θ , ϕ ) , Momn ( r , θ , ϕ ) ,
Nemn ( r , θ , ϕ ) et Nomn ( r , θ , ϕ ) et appelées harmoniques sphériques vectorielles :
E (r , θ , ϕ) =
+∞
+∞
⎛ combinaison linéaire de Memn ( r , θ , ϕ ) , ...
⎞
⎟
... Momn ( r , θ , ϕ ) , Nemn ( r , θ , ϕ ) et Nomn ( r , θ , ϕ ) ⎠⎟
∑ ∑ ⎜⎜
m=0n=m
⎝
(A.6)
Ces quatre séries d’harmoniques vectorielles sont reliées aux deux séries d’harmoniques scalaires
introduites au chapitre précédent ; plus précisément, ( er , e θ , e ϕ ) désignant la base orthonormée
directe locale associée aux coordonnées sphériques
(r , θ , ϕ) ,
les fonctions Memn ( r , θ , ϕ ) ,
Momn ( r , θ , ϕ ) , Nemn ( r , θ , ϕ ) et Nomn ( r , θ , ϕ ) ont les expressions suivantes :
(
Me mn ( r , θ , ϕ ) = ∇ × ψ emn ( r , θ , ϕ ) er
Memn ( r , θ , ϕ ) = − m zn ( k r )
m
n
P
)
( cos θ ) sin
sin θ
(
Momn ( r , θ , ϕ ) = ∇ × ψ omn ( r , θ , ϕ ) er
Momn ( r , θ , ϕ ) = m zn ( k r )
dPnm ( cos θ )
dθ
cos ( m ϕ ) e ϕ
(A.7)
)
Pnm ( cos θ )
sin θ
( m ϕ ) e θ − zn ( k r )
cos ( m ϕ ) e θ − zn ( k r )
- 65 -
dPnm ( cos θ )
dθ
sin ( m ϕ ) e ϕ
(A.8)
Nemn ( r , θ , ϕ ) =
∇ × Memn ( r , θ , ϕ )
k
zn ( k r )
Nemn ( r , θ , ϕ ) = n ( n + 1)
kr
Pnm ( c o s θ ) cos ( m ϕ ) er ...
Nemn ( r , θ , ϕ ) =
m
1 d ( r zn ( k r ) ) dPn ( cos θ )
... +
cos ( m ϕ ) e θ ...
kr
dr
dθ
Nemn ( r , θ , ϕ ) =
... −
Nomn ( r , θ , ϕ ) =
(A.9)
m
m d ( r zn ( k r ) ) Pn ( cos θ )
sin ( m ϕ ) e ϕ
kr
dr
sin θ
∇ × Momn ( r , θ , ϕ )
k
zn ( k r )
Nomn ( r , θ , ϕ ) = n ( n + 1)
kr
Pnm ( c o s θ ) sin ( m ϕ ) er ...
Nomn ( r , θ , ϕ ) =
m
1 d ( r zn ( k r ) ) dPn ( cos θ )
... +
sin ( m ϕ ) e θ ...
kr
dr
dθ
Nomn ( r , θ , ϕ ) =
... +
(A.10)
m
m d ( r zn ( k r ) ) Pn ( cos θ )
cos ( m ϕ ) e ϕ
kr
dr
sin θ
Enfin, on démontre que deux harmoniques sphériques vectorielles de types M et N et d’indices
identiques sont liées l’une à l’autre via les relations :
∇ × M (r , θ , ϕ) = k N (r , θ , ϕ)
et
∇ × N (r , θ , ϕ) = k M (r , θ , ϕ)
(A.11)
A.3 Etape 3 : développement d’une onde plane en
harmoniques sphériques vectorielles
Il est temps à présent de se rapprocher du problème de MIE qui concerne l’interaction entre un
rayonnement électromagnétique incident {Einc (r ) ; Hinc (r )} et une particule sphérique de rayon a.
L’onde incidente est supposée plane et polarisée, de direction de propagation u et de polarisation
e ( e ⊥ u ) ; le champ électrique incident Einc (r ) a donc pour expression :
Einc (r ) = E0 e exp ( ik 2 u ⋅ r )
(A.12)
Les deux angles des coordonnées sphériques ( r , θ , ϕ ) sont définis par θ = (u , r ) ( 0 ≤ θ ≤ π ) d’une
part, et par ϕ = angle polaire avec e de la projection orthogonale de r dans le plan vectoriel
orthogonal à u ( 0 ≤ ϕ ≤ 2 π ) d’autre part. Dans ce système de coordonnées sphériques, Einc (r )
vaut
E0 ( sin θ cos ϕ er + cos θ cos ϕ e θ − sin ϕ e ϕ ) exp ( ik 2 r cos θ ) , et d’après les résultats du
- 66 -
chapitre précédent, ce champ doit pouvoir s’exprimer sous la forme d’un développement en
harmoniques sphériques vectorielles :
Einc ( r , θ , ϕ ) = E0 ( sin θ cos ϕ er + cos θ cos ϕ e θ − sin ϕ e ϕ ) exp ( ik 2 r cos θ )
Einc ( r , θ , ϕ ) =
⎛ A emn Memn ( r , θ , ϕ ) + A omn Momn ( r , θ , ϕ ) + ... ⎞
⎟
⎟
m=0n=m
⎝ ... + Bemn Nemn ( r , θ , ϕ ) + Bomn Nomn ( r , θ , ϕ ) ⎠
+∞
+∞
∑ ∑ ⎜⎜
(A.13)
les fonctions zn ( k r ) apparaissant dans les expressions de ces harmoniques devant être prises
égales aux fonctions jn ( k 2 r ) pour les deux raisons suivantes : (i) le champ électromagnétique
incident se propage dans le milieu hôte indicé 2 ; (ii) lorsque ρ → 0 , yn ( ρ ) → − ∞ , et donc les
fonctions yn doivent être rejetées de la décomposition (A.13) du champ incident Einc (r ) qui est fini
en r = 0 .
Le problème réside à présent dans la détermination des quatre séries de coefficients A emn , A omn ,
Bemn et Bomn apparaissant dans la décomposition (A.13). Pour cela, on fait appel à une propriété
d’orthogonalité des harmoniques sphériques vectorielles Memn ( r , θ , ϕ ) , Momn ( r , θ , ϕ ) , Nemn ( r , θ , ϕ )
et Nomn ( r , θ , ϕ ) : quelles que soient les deux harmoniques X et Y prises dans l’ensemble
{M
emn
, Momn , Nemn , Nomn , m ∈
X≠Y
}
,n∈
∫
⇒
,n ≥ m ,
π
θ=0
∫
2π
ϕ=0
X ( r , θ , ϕ ) ⋅ Y ( r , θ , ϕ ) sin θ dθ dϕ = 0
(A.14)
De cette propriété remarquable découlent les expressions des coefficients inconnus ; ainsi les
A emn peuvent-ils être calculés selon la relation :
π
A emn
∫ ∫
=
∫ ∫
2π
θ=0
π
ϕ=0
2π
θ=0
ϕ=0
Einc ( r , θ , ϕ ) ⋅ Memn ( r , θ , ϕ ) sin θ dθ dϕ
Memn ( r , θ , ϕ ) ⋅ Memn ( r , θ , ϕ ) sin θ dθ dϕ
(A.15)
et de même pour les coefficients A omn , Bemn et Bomn restants. Poursuivant les développements
mathématiques dans cette direction, on démontre (i) que tous les coefficients A emn et Bomn sont
nuls, et (ii) que les coefficients restants A omn et Bemn sont non nuls à la condition que m vaille 1 :
A o1n = in E0
2n + 1
n ( n + 1)
et
Be1n = − in+1 E0
de sorte que, introduisant la notation En = A o1n = in E0
2n + 1
= − i A o1n
n ( n + 1)
(A.16)
2n + 1
, le champ électrique incident
n ( n + 1)
Einc ( r , θ , ϕ ) se décompose sur la base des harmoniques sphériques vectorielles selon la formule :
- 67 -
Einc ( r , θ , ϕ ) =
+∞
∑ E (M (r , θ , ϕ) − i N (r , θ , ϕ) )
n =1
j2
o1n
n
j2
e1n
(A.17)
dans laquelle l’exposant « j2 » apparaissant accolé à Mo1n et Ne1n rappelle que les fonctions
zn ( k r ) apparaissant dans les expressions (A.8) et (A.9) de ces deux harmoniques doivent être
prises égales aux fonctions sphériques de Bessel jn ( k 2 r ) exprimées dans le milieu 2.
A.4 Etape 4 : détermination des développements des
champs électromagnétiques interne et diffusé en
harmoniques sphériques vectorielles
{E (r ) ; H (r )}
Le développement du champ électromagnétique incident
inc
en harmoniques
inc
sphériques vectorielles est à présent connu :
+∞
⎧
j2
j2
θ
ϕ
=
E
r
,
,
En Mo1n
(
)
(r , θ , ϕ ) − i Ne1n
(r , θ , ϕ)
∑
⎪ inc
n =1
⎪
⎨
+∞
j2
j2
⎪ H r , θ , ϕ = ∇ × Einc ( r , θ , ϕ ) = k 2
En No1n
(
)
(r , θ , ϕ ) − i Me1n
(r , θ , ϕ )
∑
⎪ inc
ωµ
ωµ
i
i
n
1
=
2
2
⎩
(
)
(
(A.18)
)
Du fait de la linéarité des équations de Maxwell, on peut affirmer que les développements en
harmoniques sphériques vectorielles des champs électromagnétiques régnant au sein de la
particule sphérique {E1 ( r , θ , ϕ ) ; H1 ( r , θ , ϕ )} et diffusé par celle-ci {E sca ( r , θ , ϕ ) ; Hsca ( r , θ , ϕ )} vont
présenter exactement les mêmes modes que ceux existant dans le champ incident
{E (r , θ , ϕ) ; H (r , θ , ϕ)}
inc
inc
(une harmonique sphérique vectorielle pouvant en effet être vue comme
étant l’analogue d’un mode de l’analyse fréquentielle classique). On est donc tout à fait en droit
d’écrire
les
développements
{E (r , θ , ϕ) ; H (r , θ , ϕ )}
sca
sca
des
champs
interne
{E (r , θ , ϕ) ; H (r , θ , ϕ)}
1
1
et
diffusé
selon les expressions suivantes :
+∞
⎧
j1
j1
⎪ E1 ( r , θ , ϕ ) = ∑ En c n Mo1n ( r , θ , ϕ ) − i dn Ne1n ( r , θ , ϕ )
n =1
⎪
⎨
+∞
j1
j1
⎪ H ( r , θ , ϕ ) = k1
En c n No1n
(r , θ , ϕ ) − i dn Me1n
(r , θ , ϕ )
∑
1
⎪⎩
i ωµ1 n = 1
(
)
(
)
+∞
⎧
h2
E
r
,
,
En − bn Mh2
θ
ϕ
=
(
)
∑
sca
o1n ( r , θ , ϕ ) + i an Ne1n ( r , θ , ϕ )
⎪
n =1
⎪
⎨
+∞
⎪ H (r , θ , ϕ) = k 2
∑ En − bn Nh2o1n (r , θ , ϕ) + i an Mh2e1n (r , θ , ϕ )
⎪⎩ sca
i ωµ 2 n = 1
(
(A.19)
)
(
- 68 -
)
(A.20)
les quatre séries de coefficients complexes an , bn , c n et dn restant à déterminer. Au passage, on
notera que les fonctions zn ( k r ) du champ interne doivent être prises égales aux fonctions jn ( k1 r )
(car yn ( ρ ) → − ∞ lorsque ρ → 0 ) ; par ailleurs, le champ diffusé devant présenter une forme
asymptotique en exp ( ik 2 r ) / ( − ik 2 r ) dans la zone radiative (se reporter au chapitre 2.4 et à la
formule (15)), on démontre que ses fonctions zn ( k r ) doivent valoir les fonctions sphériques de
Hankel hn ( k 2 r ) définies par hn ( k 2 r ) = jn ( k 2 r ) + i yn ( k 2 r ) .
Les valeurs des quatre séries de coefficients complexes an , bn , c n et dn découlent des conditions
de continuité des composantes tangentielles (i. e. portées par les vecteurs e θ et e ϕ ) des champs
électrique et magnétique à l’interface entre la particule et le milieu hôte ; le rayon de la particule
étant noté a, ces conditions de continuité s’écrivent :
⎧ E1 ( r = a, θ , ϕ ) ⋅ e θ
⎪
⎪ E1 ( r = a, θ , ϕ ) ⋅ e ϕ
⎪
∀ θ,∀ ϕ:⎨
⎪ H1 ( r = a, θ , ϕ ) ⋅ e θ
⎪
⎪⎩ H1 ( r = a, θ , ϕ ) ⋅ e ϕ
= ⎡⎣Einc ( r = a, θ , ϕ ) + Esca ( r = a, θ , ϕ ) ⎤⎦ ⋅ e θ
= ⎣⎡Einc ( r = a, θ , ϕ ) + Esca ( r = a, θ , ϕ ) ⎦⎤ ⋅ e ϕ
= ⎣⎡Hinc ( r = a, θ , ϕ ) + Hsca ( r = a, θ , ϕ ) ⎦⎤ ⋅ e θ
(A.21)
= ⎣⎡Hinc ( r = a, θ , ϕ ) + Hsca ( r = a, θ , ϕ ) ⎦⎤ ⋅ e ϕ
et une fois déclinées selon les différents modes n ∈
*
présents dans les expressions (A.18) à
(A.20) des trois champs électromagnétiques, elles aboutissent aux systèmes suivants :
⎧
′
⎪ hn ( x ) bn + jn ( m x ) c n = jn ( x ) ( ρ hn ( ρ ) ) ( x )
⎪
⎪⎪ m ( ρ hn ( ρ ) )′( x ) an + ( ρ jn ( ρ ) )′( m x ) dn = m ( ρ jn ( ρ ) )′( x )
⎨
⎪ µ h ( x ) a + µ m j ( m x ) d = µ j ( x ) ( ρ h ( ρ ) )′( x )
n
n
2
n
n
1 n
⎪ 1 n
⎪
′
′
′
⎪⎩ µ1 ( ρ hn ( ρ ) ) ( x ) bn + µ 2 ( ρ jn ( ρ ) ) ( m x ) c n = µ1 ( ρ jn ( ρ ) ) ( x )
(A.22)
systèmes linéaires dont on peut extraire les expressions analytiques des coefficients an , bn , c n et
dn . Dans (A.22), nous avons introduit les deux notations importantes suivantes :
- D’une part la grandeur x définie par x = k 2 a , paramètre sans dimension couramment
appelé paramètre de taille rapporté au milieu hôte (milieu 2) ; x est réel car le milieu hôte est
supposé non absorbant ;
- D’autre part la grandeur m, elle aussi sans dimension et définie par m = m1 / m2 = k1 / k 2 ; le
produit m x est donc égal à k1 a , paramètre de taille rapporté à la particule (milieu 1) et
quantité éventuellement complexe si la particule est constituée d’un matériau absorbant le
rayonnement.
- 69 -
Le problème de MIE, à savoir la détermination analytique des champs électromagnétiques régnant
au
sein
de
la
particule
{E (r , θ , ϕ) ; H (r , θ , ϕ )} ,
sca
sca
sphérique
{E (r , θ , ϕ) ; H (r , θ , ϕ)}
1
1
et
diffusé
par
celle-ci
est donc formellement résolu. Cela étant, les expressions des
coefficients an , bn , c n et dn sont en général passablement complexes … Un cas fréquemment
rencontré dans la littérature concerne les situations où la particule et le milieu hôte présentent des
perméabilités magnétiques identiques ; les coefficients an et bn du champ électromagnétique
diffusé {E sca ( r , θ , ϕ ) ; Hsca ( r , θ , ϕ )} se simplifient alors quelque peu et sont écrits sous les formes
suivantes :
an =
bn =
m ψn ( m x ) ψn′ ( x ) − ψn ( x ) ψn′ ( m x )
m ψn ( m x ) ξn′ ( x ) − ξn ( x ) ψ n′ ( m x )
ψ n ( m x ) ψn′ ( x ) − m ψ n ( x ) ψn′ ( m x )
(A.23)
ψn ( m x ) ξn′ ( x ) − m ξn ( x ) ψn′ ( m x )
les fonctions ψn ( ρ ) et ξn ( ρ ) étant les fonctions de Ricatti-Bessel définies respectivement par :
ψn ( ρ ) = ρ jn ( ρ )
et
ξn ( ρ ) = ρ hn ( ρ )
(A.24)
A l’examen des expressions (A.23), il apparaît que les deux séries de coefficients de diffusion an
et bn ne sont fonctions que des deux paramètres sans dimension introduits plus haut que sont
d’une part le paramètre de taille x (réel) et d’autre part le contraste d’indice optique complexe m
(éventuellement complexe).
- 70 -
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