Théor`eme de Pythagore

3ème
Géométrie
2015/2016
Chapitre
Théorème de Pythagore
Plan du cours
1
2
3
4
Carré et racine carrée d’un nombre relatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Réciproque du théorème de Pythagore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contraposée du théorème de Pythagore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-requis
Pre
● Nombres et calculs : carré et racine carrée d’un nombre positif, les quatre opérations
● Géométrie : triangles et quadrilatères, angles
1
2
2
4
5
Chapitre
3ème
1
: Théorème de Pythagore
2015/2016
Carré et racine carrée d’un nombre relatif
finition 1 (Carré d’un nombre).
De
On appelle carré d’un nombre a, le nombre a × a, noté a2 , et qui se lit
≪
a au carré ≫.
Exemple
(a) 42 = 16 car 42 = 4 × 4 = 16.
(c) (−3)2 = 9 car (−3)2 = (−3) × (−3) = +9.
(b) 2, 52 = 6, 25 car 2, 52 = 2, 5 × 2, 5 = 6, 25.
(d) −1, 32 = −1, 69 car −1, 32 = −1, 3 × 1, 3 = −1, 69.
Remarque Le carré d’un nombre est nécessairement positif (règle des signes).
Exercice 1
Un carré parfait est un nombre qui est le carré d’un nombre entier. Par exemple, 529 est un
carré parfait car il est le carré de 23 (232 = 23 × 23 = 529).
Donner les vingt-et-un premiers carrés parfaits (c’est-à-dire des nombres entiers compris entre 0 à 20).
finition 2 (Racine carrée d’un nombre).
De
Une racine carrée d’un nombre positif a est un nombre, noté
√
dire, ( a)2 = a .
Exemple
√
(a) 25 = 5 car 52 = 5 × 5 = 25.
(b)
√
a, qui, élevé au carré, donne a ; c’est-à-
√
1, 96 = 1, 4 car 1, 42 = 1, 4 × 1, 4 = 1, 96.
Remarque
1. La racine carrée est le processus inverse du carré.
2. La racine carrée est toujours calculée à partir d’un nombre positif (car le carré d’un nombre est toujours
positif).
2
Théorème de Pythagore
ore
me 1 (Théorème de Pythagore).
The
Si un triangle est rectangle, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés de l’angle
droit ; autrement dit,
si ABC est un triangle rectangle en A,
alors
BC 2 = AB 2 + AC 2
(Égalité de Pythagore)
Illustration
Hypothèses
c
côtés de l’angle droit
Théorème de Pythagore
Conclusion
⇒
a2 = b 2 + c 2
BC 2 = AB 2 + AC 2
B
A
hypoténuse
a
b
C
2
Chapitre
3ème
: Théorème de Pythagore
2015/2016
Démonstration : [Repose sur les propriétés des angles et des quadrilatères]
Pour cette démonstration, on reproduit à l’identique le triangle rectangle marron a 4 fois par figure et on
les dispose comme sur les figures ci-dessous :
Figure 1
A
e2
b
FA
a
Figure 2
F
g1
B
a
b
c
c a1
f1
a
E
cd
1
c
a
h2
D
b D
H
e1a
b
B
f2
I
b
N
a
b
M
c1
CH
G
b
g2
J
C
b
b
Q
PO
a
P
ba
b
J
L
a
O
M
h1
LN
a
b1
G
E
I
a
K
Q
b
a
K
On démontre d’une part que AABCD = 2×ab+c2 et d’autre part que AIJKL = 2×ab+a2 +b2 pour en conclure
finalement que c2 = a2 + b2 .
◻
Exemple
1. Trouver la longueur de l’hypoténuse.
AB = 12
. Calculons la longueur de l’hypoténuse BC.
AC = 5
Comme le triangle ABC rectangle en A, alors on applique le théorème de Pythagore :
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que {
BC 2 = AB 2 + AC 2
= 122 + 52
= 144 + 25
= 169
√
d’où BC = + 169
= 13
2. Trouver la longueur d’un côté de l’angle droit.
EF = 4
. Calculons la longueur EG.
FG = 5
Comme le triangle EF G est rectangle en E, alors appliquons le théorème de Pythagore :
Soit EF G un triangle rectangle en F tel que {
EG2 + EF 2
EG2 + 42
EG2 + 16
donc
EG2
EG2
et enfin
EG
EG
= F G2
= 52
= 25
= 25 − 16
= 9√
=+ 9
=3
Exercice 2
1. Calculer la longueur d’une diagonale d’un rectangle de longueur 8 et de largeur 6.
2. Calculer la longueur de la petite diagonale d’un losange de côté 13 et de grande diagonale 24 (on rappelle
que les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires entre elles).
3
Chapitre
3ème
3
: Théorème de Pythagore
2015/2016
Réciproque du théorème de Pythagore
ore
me 2 (Réciproque du théorème de Pythagore).
The
Dans un triangle,
si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrées des deux autres côtés, alors ce triangle
est rectangle et son hypoténuse est le plus grand côté ; autrement dit,
si ABC est un triangle qui vérifie BC 2 = AB 2 + AC 2 où [BC] est le plus grand côté,
alors ABC est rectangle en A.
Illustration
Données
Réciproque
Conclusion
B
B
c
A
c
A
??
a
b
a
b
C
a = b + c2
BC 2 = AB 2 + AC 2
2
OUI !!
⇒
C
2
ABC est un triangle rectangle en A
⎧
BL = 5, 7
⎪
⎪
⎪
Exemple On considère le triangle BLE vérifiant ⎨ LE = 9, 5 . Montrons que ce triangle est rectangle.
⎪
⎪
⎪
⎩ BE = 7, 6
Le plus grand côté est [LE], donc si le triangle est rectangle, il l’est en B et [LE] en est l’hypoténuse.
Comme
BE 2 + BL2 = 7, 62 + 5, 72 = 57, 76 + 32, 49 = 90, 25
{
LE 2 = 9, 52 = 90, 25
alors BE 2 + BL2 = LE 2 ; d’après le (la réciproque du) théorème de Pythagore on en conclut que le triangle BLE
est rectangle en B.
⎧
MN = 7
⎪
⎪
⎪
Exercice 3 Le triangle M N O tel que ⎨ M O = 24 est-il rectangle ? Justifier.
⎪
⎪ N O = 25
⎪
⎩
4
Chapitre
3ème
4
: Théorème de Pythagore
2015/2016
Contraposée du théorème de Pythagore
te
1 (Contraposée du théorème de Pythagore).
Proprie
Dans un triangle,
si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés,
alors le triangle n’est pas rectangle ; autrement dit,
si ABC est un triangle qui vérifie BC 2 ≠ AB 2 + AC 2 où [BC] est le plus grand côté,
alors ABC n’est pas rectangle.
Illustration
Données
Contraposée
B
c
A
B
c
A
??
a
NON !!
⇒
b
a
b
C
a ≠ b + c2
BC 2 ≠ AB 2 + AC 2
2
Conclusion
C
2
ABC n’est pas rectangle.
⎧
UV = 7
⎪
⎪
⎪
Exemple On considère le triangle U V W tel que ⎨ U W = 7 . Le triangle U V W est-il rectangle ?
⎪
⎪
⎪
⎩ V W = 12
Si U V W était un triangle rectangle, il le serait en U car [V W ] est le plus grand côté et serait alors son
U V 2 + U W 2 = 72 + 72 = 49 + 49 = 98
hypoténuse. {
, donc V W 2 ≠ U V 2 + U W 2 .
V W 2 = 122 = 144
On en déduit, avec le (la contraposée du) théorème de Pythagore que U V W n’est pas rectangle mais isocèle en
U.
⎧
IJ = 4
⎪
⎪
⎪
Exercice 4 Le triangle IJK tel que ⎨ IK = 5 est-il rectangle ? Justifier.
⎪
⎪
⎪
⎩ JK = 6
5