1 Exercices d`introduction

TD 6 & 7 : Dynamique et interactions
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Exercices d’introduction
1. J’en parlerai à mon cheval - Selon le cheval (qui croît connaître les lois de la dynamique), plus il tire sa remorque vers l’avant, plus la remorque le tire vers l’arrière : il
se fatigue donc inutilement. Expliquez pourquoi la remorque avance quand même (faites
un schéma pour qu’il comprenne mieux).
−
→
2. Décollage - Le module de la poussée totale des réacteurs d’un Boeing 747 est |Fp | = 8.8 × 105 N.
La masse de cet avion au décollage est m = 3.0 × 105 kg.
(a) Quelle est l’accélération au décollage ?
(b) Si l’avion part du repos, quelle sera la vitesse après 10s.
On néglige les forces de frottement exercées par l’air et le sol.
3. Ballon d’hélium - On lâche dans une voiture à l’arrêt un ballon rempli d’hélium qui
va se coller au plafond. La voiture démarre.
(a) Dans quelle direction va le ballon ?
(b) Le ballon roule-t-il ou glisse-t-il ? Faire un schéma.
(c) À quelle condition le ballon pourrait-il glisser ?
4. Looping - Est-il plus facile pour une souris ou un être humain de faire un looping sur
une piste au rayon de courbure r du même ordre de grandeur que leurs tailles respectives
?
(a) Faire un schéma.
(b) Que veut dire plus facile ?
(c) À quelle condition générale le looping peut-il être réalisé ? Représenter la vitesse v
en fonction de r.
(d) Conclusion ?
5. Arrêt - Montrer que la distance d’arrêt d (en négligeant les frottements de l’air) d’un
véhicule à roue ne dépend que de sa vitesse initiale, de l’accélération de la gravité g et
d’un coefficient de frottement µ. A.N. : combien vaut d pour un véhicule lancé sur des
rails à v0 = 200 km/h.
(a) En roue libre. Frottement avec roulement acier sur acier est µr = 0.001.
(b) En freinant. Frottement statique acier sur acier est µs = 0.6.
(c) En glissant. Frottement cinétique acier sur acier est µc = 0.4.
6. Transbordement - Deux bateaux la Pinta et la Niña se dirigent l’un vers l’autre en
suivant deux directions parallèles. Parvenus l’un en face de l’autre, deux sacs de même
masse m sont échangés. On note mP et mN la masse respective des deux bateaux (sacs
inclus). Après l’échange la Pinta reste immobile alors que l’autre est repoussé dans sa
direction d’origine. En déduire :
(a) La façon dont les sacs ont été échangés.
(b) Une limite inférieure sur la masse m.
(c) serfs
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Mise en application
Exercice - Glaçon en laisse
On considère un bloc de glace de 5kg sur une surface horizontale pour laquelle µs = 0.2 et
−
→
µc = 0.1. On le tire avec un fil en exerçant une force F0 de module égal à 10 N, le fil a un
angle θ = 55◦ par rapport à l’horizontale.
1. Trouver le module de la force de frottement sur le bloc dans les cas suivants :
(a) Le bloc est au repos.
(b) Il est en mouvement.
−
→
2. Trouver l’accélération du bloc si on considère que la force appliquée F0 ne change pas
d’orientation et que le bloc se déplace :
(a) vers la droite.
(b) vers la gauche.
3. Si maintenant on peut faire varier l’orientation du fil entre 0 et 90◦ et qu’on tire le bloc
vers la droite, quel angle donne l’accélération maximale au bloc ?
Exercice - gravitation x 2
Exercice - exo frottements chausson d’escalade
Exercice - exo force électrostatique
Exercice - Ressort horizontal
Un ressort sans masse de longueur à vide l0 et de constante de rappel k est posé sur une
table horizontale. Il n’y a aucun frottement entre la table et le ressort. Une des extrémités
du ressort est fixe, l’autre est mobile selon un axe Ox horizontal. On prend pour origine
le point où se trouve l’extrémité mobile du ressort lorsque la longueur est l0 . A l’extrémité
mobile du ressort, on attache un bloc de masse m. On suppose qu’il n’y a aucun frottement
entre la table et le bloc.
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1. Ecrire la force de rappel exercée par le ressort à son extrémité mobile lorsque celle-ci se
trouve à un point d’abscisse x.
2. Quelle est l’abscisse de la position d’équilibree du bloc ?
3. On pose le bloc au point d’abscisse x1 et on le lâche sans vitesse initiale. Quel est le
type de mouvement décrit par le bloc ? Ecrire la fonction x(t) donnant la position du
bloc au cours du temps.
Exercice - Suspension
On trouve la suspension d’une voiture agréable lorsque celle-ci donne une période d’oscillation
à laquelle l’organisme est habitué, par exemple la période de la marche soit T ' 0, 8 s.
1. Calculer de combien s’abaisse une voiture de masse M = 1500 kg lorsqu’on y introduit
une malle de 70 kg.
2. Expliquer pourquoi un camion ne peut pas être confortable.
Exercice - Cible à ressort
Un bloc de 5.4 kg au repos sur une table sans frottements est attaché à un support rigide
par un ressort de constante de raideur k = 6000 N/m. Une balle de masse m = 9.5 g et de
−
−
vitesse →
v (|→
v | = 680 m/s) est tirée sur le bloc. Si on suppose que la compression du ressort
est négligeable tant que la balle et le bloc ne sont pas liés déterminez :
1. la vitesse du bloc immédiatement après la collision.
2. l’amplitude du mouvement oscillant qui suivra la collision.
Exercice - Vélodrome
Deux cyclistes se poursuivent sur une piste ovale de largeur l = 5 m, de périmètre intérieur
250 m et aux virages relevés de h = 3.22 m et de rayon r = 20 m.
1. Dans un premier temps les cyclistes font du surplace dans le virage.
(a) Faire un schéma. à quelle condition le cycliste ne glisse-t-il pas le long de la pente ?
(b) écrire cette condition comme une relation entre µs le coefficient de frottement statique et θ l’angle de la pente. Représenter graphiquement cette condition.
(c) Sachant que µs ∼ 1 pour un pneu sur une piste, en déduire la pente maximale.
2. Les cyclistes démarrent ensuite depuis le haut du virage par une trajectoire rectiligne
depuis le haut du virage jusque dans la ligne droite
(a) Quelle est la longueur parcourue lors de la descente ? En déduire son angle avec
l’axe verticale.
(b) Dans le cas où le cycliste se laisse descendre et en négligeant les frottements de
l’air et du sol, quelle est sa vitesse en bas de la pente ? Ce résultat dépend-il de la
pente ? Pourquoi ?
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(c) Le cycliste fournit une accélération ad = 3 m/s2 . Par quel mécanisme l’accélération
supplémentaire est-elle transmise au sol ? Calculer la vitesse finale puis comparer
avec celle obtenue à la question précédente.
(d) recalculer la vitesse finale en tenant compte du coefficient de frottement de roulement µr = 0.013
3. Premier virage...
(a) écrire l’angle que doit prendre le cycliste pour contrer la force centrifuge en fonction
de sa vitesse et du rayon de courbure. AN. Si la vitesse en sortie de ligne droite est
de 15 m/s avec quel angle passe-t-il le virage à la corde ? à quelle distance de la
corde est-il à angle droit avec la piste ?
(b) Quel intérêt pour lui d’avoir une piste inclinée plutôt que de s’incliner lui-même ?
4. Accident : du gravier est présent sur la piste et fait décroitre brusquement µs .
(a) Commenter pour chacun des pneus en ligne droite et en virage les conséquences
possibles à l’aide de schémas.
5. Accident bis : la roue avant se brise et deux blocs glissent indépendament avec la même
vitesse initiale: le cycliste de coefficient de frottement cinétique µcc = 0.8 et vélo µcv =
0.4.
(a) Lequel s’arrète en premier ? Où est passée l’énergie cinétique initiale ?
(b) écrire les équations horaires.
6. Accident ter : le deuxième cycliste rentre dans le premier et chute à son tour.
(a) Les deux cyclistes sont l’un sur l’autre. Que vaut µc ? Que vaut le frottement
cinétique ?
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Approfondissement
Exercice Gravitation sur Terre
1. Pesanteur Terrestre.
(a) Exprimer la force gravitationnelle subie par une masse m située à une hauteur h au
dessus du sol terrestre. On note RT = 6400km le rayon terrestre, MT = 61024 la
masse de la Terre, et GN = 6.6710−11 SI la constante de Newton.
(b) En déduire la norme de l’accélération de pensanteur g. Calculer la valeur de g au
sol, en précisant son unité, pour h = 10km, h = 20km, et h = 100km. Que peut-on
dire sur ce champ de pesanteur?
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2. Chute libre
On lache sans vitesse initiale une masse m depuis une hauteur h au dessus du sol. On
suppose le champ de pesanteur constant et g = 9.81m.s−2 . On repère la position verticale
par la variable z, l’axe (Oz) est orienté vers le haut, et l’origine est prise à la surface du
sol. On néglige tous frottements.
(a) Ecrire la loi de Newton et en déduire l’équation différentielle du mouvement.
(b) En déduire l’équation horaire du mobile.
(c) Exprimer puis calculer le temps mis pour atteindre le sol, ainsi que la vitesse
d’imapct au sol.
(d) Si maintenant on saute d’un hélicoptère en vol stationaire à h = 2km d’altitude.
Que vaut cette vitesse d’impact? Est-ce réaliste? Commenter.
3. Chute libre - bis Avec les mêmes conventions que précédemment, on lance maintenant
vers le haut une balle de m = 100g avec une vitesse initiale de 5m.s−1 .
(a) Quelle hauteur atteint la balle avant de redescendre?
(b) Que vaut la vitesse et l’accélération au point le plus haut?
(c) Que vaut la vitesse d’impact au sol?
4. Tir à l’arc. On tire maintenant une flèche avec une vitesse initiale v0 faisant un angle α
avec l’horizontale. On néglige encore les frottements.
(a) Représenter qualitativement la trajectoire. De quel type de courbe s’agit-il?
(b) Ecrire la loi de Newton vectorielle, et la projeter sur les axes verticaux et horizontaux.
(c) Déterminer l’équation horaire x(t) et z(t). Avec quel angle faut-il tirer pour maximiser la portée du tir?
5. Notion de vitesse de libération et trou noir Quand on tire un projectile à la verticale, il
retombe, a priori, comme on a vu en Question 2. Imaginons maintenant que l’on tire ce
projectile de plus en plus fort, toujours depuis le sol.
(a) Dans ce cas, pourquoi les calculs de la question 2 deviennent-ils inexacts?
(b) En fait si l’on tire assez fort, on peut s’échapper du champ gravitationnel terrestre.
Déterminer par analyse dimensionnelle une expression pour cette vitesse v0 , dite
vitesse de libération au sol, en fonction des paramètres du problème qui vous semblent pertinents. Qualitativement, quels calculs proposez-vous pour déterminer son
expression exacte?
(c) Le nombre sans dimension vaut racine de 2. La surface d’un trou noir est définie
par le fait que même la lumière ne peut s’échapper de cette surface. En déduire
une loi reliant le rayon et la masse d’un trou noir. Qu’a t-on implicitement supposé
dans ce calcul?
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Exercice - Pb force électrique
Les anciens téléviseurs fonctionnaient avec un canon à éléctrons, les électrons étant ensuite
déviés par un champ éléctrique pour atteindre tel ou tel pixel de l’écran. On se propose
d’étudier la dynamique de ce problème le long d’un seul axe. On rappelle la masse de
l’électron me = 910−31 kg.
On suppose qu’un faisceau horizontal d’électrons pénètre dans une cavité de longueur
~ dirigé vers le bas, avec ||E||
~ = 103 V.
L = 5 cm, où règne un champ éléctrique constant E
On a fait le vide dans cette cavité.
1. Faire le bilan des forces appliquées à un éléctron. Montrer qu’une des forces est négligeable.
2. En déduire les équations horaires de la trajectoire. On suppose que les électrons arrivent
dans la cavité avec une vitesse quasi-relativiste, v0 = 5107 m.s−1 .
3. Avec quel angle par rapport à l’horizontale l’électron sort-il de la cavité?
Exercice - Jokari
Un jeu de plage est constitué d’une balle de masse m accrochée à un fil élastique de constante
de raideur k. L’autre extrémité du fil est fixées à un point O du sol. à l’aide d’une raquette,
on lance la balle avec une vitesse v0 sous un angle α avec la verticale depuis un point situé
à une hauteur h au dessus du point O. Elle est ensuite soumise à son propre poids et à la
tension du fil qu’on supposera proportionnelle à sa longueur.
1. Déterminer la trajectoire de la balle
2. Comment doit-on choisir v0 et α pour que la balle retombe au bout d’un quart de période
du mouvement complet à d métres en avant de la position du point de lancement ?
Vous pourrez après avoir donné l’expression faire l’application numérique en prenant
g = 10 m.s−2 , m = 100 g, k = 0.1 N.m−1 , h = 1 m et d = 10 m.
3. k gardant la même valeur, comment doit-on choisir la masse de la balle pour que la
vitesse initiale à lui communiquer pour qu’elle retombe dans les conditions précédentes
soit minimale ? quelles sont les valeurs de v et de α correspondantes ?
Exercice - Corde d’alpinisme
Une corde d’alpiniste possède une élasticité qui permet d’amortir les chocs, à tel point
→
−
que lorsqu’elle s’étire elle se comporte comme un ressort. La tension T que la corde pourra
exercer sur un alpiniste sera proportionnelle à son élongation (∆L = L − L0 où L0 est la
longueur de la corde lorsqu’elle n’est pas étirée) :
T = −k∆L
Par contre, une fois étirée, elle reste détendue et il faut plusieurs dizaines de minutes pour
qu’elle reprenne sa forme initiale.
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1) Un alpiniste vient de grimper une longueur L0 depuis le dernier piton (clou planté dans
la paroi auquel on accroche la corde). A cette hauteur, il chute. Il va donc tomber d’une
hauteur 2L0 avant que la corde ne le retienne. Nous allons étudier la phase du mouvement
où la corde retient l’alpiniste.
1.a) Déterminez la célérité v0 qu’il acquiert avant que la corde ne se tende.
1.b) On prend comme origine des temps le moment où la corde commence à se tendre,
et on place le centre du repère à la position de l’alpiniste correspondante à cette origine
des temps. L’axe des z est orienté vers le bas. Représentez les forces appliquées
à l’apiniste en train de chuter pour z > 0, et écrivez l’équation du mouvement.
1.c) Montrez que pour z > 0, les solutions sont du type :
z(t) = z0 + a cos(ωt) + b sin(ωt) = z0 + A cos(ωt + φ)
Déterminez z0 et ω.
1.d) Déterminez a et b à partir des conditions initiales (z(t = 0) = 0 et ż(t = 0) = v0 ).
1.e) En vous rappelant que cos(x + y) = cos(x) cos(y) −q
sin(x) sin(y), montrez que
l’amplitude de cette oscillation autour de z0 vaut : A =
mg
k
0k
.
1 + 4 Lmg
2) En fait, la constante de raideur k d’une telle corde est inversement proportionnelle
à sa longueur à vide L0 avec une constante de proportionnalité γ. On a k = Lγ0 et donc :
.
T = −γ ∆L
L0
2.a) Quelle est la dimension de γ ?
2.b) Déterminez la décélération maximale que subit l’alpiniste.
q
2.c) Montrez alors que la tension maximale de la corde vaut : kT k = mg 1 + 1 +
4L0 k
mg
2.d) Montrez qu’elle est indépendante de la hauteur de chute. En quoi est-ce intéressant ?
2.e) Que se passe-t-il selon vous une fois que la corde est entièrement étirée ? Faites
un bilan des forces appliquées à l’alpiniste à ce moment.
2.f) Une corde de sécurité possède un γ = 8.102 S.I.. Quelle est la tension maximale
pour un alpiniste de 80 kg ?
Exercice - Vitesse du son dans un solide
cf ressources
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