Notes de cours - Mathématiques

Lycée Roland Garros
BCPST 1ère année
Mathématiques
2013 - 2014
Chapitre n
1
Symbole
o
5 : Sommes et produits
P
, règles de calcul
On a parfois besoin de considérer une somme d'un grand nombre de termes
(ou pire, d'un nombre n indéterminé) : par exemple,
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15,
ou encore
T =1+
1
1
1 1
+ +
+ ··· + 2.
4 9 16
n
De telles écritures étant fastidieuses, on a recours à la notation Σ. On préfèrera
ainsi écrire
S=
15
X
n
X
1
T =
k2
k=1
k,
k=1
Dans le cas le plus général (à ce stade de l'année), les termes en question sont
des nombres complexes.
Dénition 1. Soient x1 , . . . , xn ∈ C. On dénit
n
X
xk = x1 + · · · + xn
k=1
Ceci se généralise :
• la somme
Pnne commence pas forcément par l'indice 1 : pour p ≤ n, on
dénit k=p xk = xp + · · · + xn .
• Plus généralement,
si (xi )i∈I est une famille nie de nombres complexes,
P
on note i∈I xi la somme de tous ces termes. On pourra par exemple
écrire :
X
ln 1 + ln 3 + ln 5 + ln 7 + · · · + ln 19 =
ln k
k∈[[1,19]]:k impair
1 1 1 1
1
1
1
1
1
+ + + +
+
+
+
+
=
2 3 5 7 11 13 17 19 23
1
X
k∈[[1,25]]:k premier
1
k
. Pour les sommes vides : si l'ensemble I est vide, i∈I ai = 0.
C'est le cas des sommes dont l'indice de départ est strictement supérieur à
celui d'arrivée.
P
Convention
quand on écrit nk=0 xk , la variable k, appelée indice de sommation, est une variable muette : elle n'a de sens qu'à l'intérieur de cette somme.
Le choix de la lettre k n'a donc aucune incidenceR sur le résultat (qui au passage
ne dépend pas de k, de même que le résultat de 01 f (x)dx ne dépend pas de x).
P
Remarque.
Le terme à l'intérieur de la somme peut éventuellement dépendre
de la borne n de la somme : par exemple on peut très bien écrire
Remarque.
S=
n
X
i=1
i
1
2
3
n
=
+
+
+ ··· + .
n+i
n+1 n+2 n+3
2n
Proposition 1 (Linéarité de la somme). Soient (ai )i∈I et (bi )i∈I deux familles
de nombres complexes, et λ ∈ C. Alors
P
i∈I (ai
+ bi ) =
P
i∈I
P
ai +
i∈I
λai = λ
P
i∈I
P
i∈I
bi ,
ai .
Proposition 2 (Sommation par paquets). Si I = I1 ∪ I2 avec I1 et I2 disjoints
alors
P
i∈I
ai =
P
i∈I1
ai +
P
En particulier si p ≤ q ≤ n on a la relation de
Pn
k=p
ak =
Pq
k=p
ak +
i∈I2
ai .
Chasles pour les sommes :
Pn
k=q+1
ak .
Séparer les indices pairs et les impairs est un autre procédé courant
de sommation par paquets :
Exemple.
n
X
ak =
k=0
X
X
ak +
k∈[[0,n]]:k pair
ak
k∈[[0,n]]:k impair
Proposition 3 (PositivitéPde la somme)
P . Si ai ≥ 0 alors
conséquent si ai ≥ bi alors
i∈I
ai ≥
i∈I
bi .
P
i∈I
ai ≥ 0. Par
On retiendra donc qu'on
trèsPbien sommer une inégalité large.
Pnpeut
n
1
√1
Exemple. Comparer
k=1 k et
k=1 k
2
2
Formules de changement d'indice
Proposition 4 (Changement d'indice). Soient (ak )p≤k≤n des nombres complexes, et un entier q ∈ Z. On a :
FORMULE DE GLISSEMENT D'INDICE :
Pn
ak =
Pn+q
FORMULE DE SYMETRIE D'INDICE :
Pn
ak =
Pn−p
k=p
k=p
k0 =p+q
k0 =0
ak0 −q ,
an−k0 .
Pour obtenir la première formule, il sut de poser k0 = k + q et de rééchir
aux bornes de la nouvelle somme qui porte sur k0 . De même pour obtenir la
première formule, il sut de poser k0 = n − k.
Une fois le changement d'indice fait, on peut très bien changer les k en des k puisqu'il s'agit d'une variable muette.
Remarque.
0
Exemple.
Simpliez les sommes suivantes grâce à un changement d'indice :
• S=
n
X
2
k − 4k + 4,
k 2 + n2 − 2nk
k=1
k=3
3
•
n
X
Sommes télescopiques
Lorsqu'on somme des nombres ak et que les ak sont de la forme bk+1 − bk il se
passe une hécatombe :
n
X
) + · · · + (bn+1 − bn )
bp+2
) + (bp+3
bp+1
− bp ) + (bp+2
bp+1
ak = (
−
−
k=p
Proposition 5 (Principe des sommes télescopiques).
Soit ak = bk+1 − bk , où (bk ) est une certaine suite. On a
Pn
k=p
ak = bn+1 − bp
Démonstration. C'est le calcul ci-dessus !
Exemple.
Une application classique est le calcul de la somme suivante :
n
X
k=1
n
X
1
=
k(k + 1) k=1
1
1
−
k k+1
3
=1−
1
.
n+1
4
Sommes classiques
4.1 Somme de termes constants
Proposition 6. Soit λ ∈ C. On a
n
X
λ = λn
k=1
Remarque.
Attention, si k varie de 0 à n, il y a n + 1 termes, on a donc
n
X
λ = λ(n + 1).
k=0
La proposition est valable dès que λ est constante, c'est-à-dire ne dépend pas de
la variable k. Les exemples suivants découlent donc aussi de cette proposition :
n
X
n
X
n = n2 ,
cos x = n cos x,
aj = naj .
k=1
k=1
k=1
n
X
4.2 Somme des n premiers entiers
Proposition 7. Pour tout n ≥ 1,
n
X
k=
k=1
n(n + 1)
2
Démonstration. le changement d'indice j = n + 1 − k donne Sn = nj=1 (n +
1 − j) = n(n + 1) − Sn , d'où le résultat en isolant Sn dans cette égalité.
P
4.3 Somme des n premiers carrés
Proposition 8. Pour tout n ≥ 1,
n
X
k=1
Preuve : Notons Cn =
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
k=1 k . En sommant l'égalité (k +
1)3 − k 3 = 3k 2 + 3k + 1, on obtient une somme télescopique, ce qui donne
Pn
k=1
k 2 et En =
Pn
(n + 1)3 − 1 = 3Cn + 3En + n
D'où le résultat en isolant Cn et en factorisant.
4
4.4 Somme d'une progression géométrique.
Dans cette partie on adoptera la convention 00 = 1.
Proposition 9. Pour tout n ≥ 0 et q ∈ C\{1},
n
X
1 − q n+1
q n+1 − 1
=
1−q
q−1
qk =
k=0
Plus généralement si p ≤ n, on a
n
X
qk =
k=p
q n+1 − q p
.
q−1
Démonstration.
Notons Sn = nk=0 q k . Par un changement d'indice, qSn =
Pn+1 j
n+1
− 1. D'où la première formule en isolant Sn . La seconde
j=1 q = Sn + q
P
se déduit en remarquant que nk=p q k = Sn − Sp−1 .
P
met de côté le cas q = 1. Mais si q = 1, on a
PnLa proposition
k
q
=
n
+
1
(c'est
une somme de termes constants).
k=0
Remarque.
facilement
5
Sommes doubles
5.1 Tableaux carrés (ou rectangulaires)
Soit un tableau de valeurs carré composé de n lignes et p colonnes. Notons les
valeurs : (xi,j )1≤i≤n,1≤j≤p .
x1,1
x1,2
x2,1
x2,2
..
.
..
.
xn,1
xn,2
···
···
...
···
x1,p
...
..
.
..
.
..
.
···
xn,p
Dénition 2. La somme S de tous les nombres du tableau est notée
S=
X
xi,j .
1≤i≤n
1≤j≤p
Dans le cas où p = n la notation suivante est également utilisée :
S=
X
1≤i,j≤n
5
xi,j .
Exemple.
Calculer
P
1≤i,j≤3
ij = 36.
Notons : P
p
• Li = Pj=1 xi,j la somme des nombres de la i-ème ligne,
• Cj = ni=1 xi,j la somme des nombres de la j -ème colonne
Il est clair que
Pn
i=1
Li et
Pp
j=1
Cj sont tous deux égaux à la somme totale S .
En eet, faire la somme d'abord le long des colonnes ou d'abord le long des
lignes ne change rien au résultat. C'est ce que dit la proposition suivante :
Proposition 10 (Interversion des sommes). On a
X
xi,j =
p
n
X
X
i=1
1≤i≤n
1≤j≤p
!
xi,j
=
j=1
p
n
X
X
j=1
!
xi,j
i=1
Moralité. Pour calculer une double somme on l'écrit comme deux sommes
simples successives, et l'ordre n'a pas d'importance.
. Calculer la somme
Application
X
S=
22i−j .
0≤i,j≤n
5.2 Tableaux triangulaires
Soit un tableau triangulaire de valeurs. Les valeurs sont notées (xi,j )1≤i≤n,1≤j≤i :
x1,1
x2,1
..
.
..
.
xn,1
x2,2
xn,2
...
···
(rien dans les cases grisées)
...
···
xn,n
Dénition 3. La somme S de tous les nombres du tableau est notée
S=
X
xi,j .
1≤i≤n
1≤j≤i
La notation suivante est également utilisée :
S=
X
1≤j≤i≤n
6
xi,j .
Exemple.
Calculer
P
1≤i≤j≤3
ij .
Cette fois-ci,
Ples sommes sur les lignes et sur les colonnes sont respectivement
• Li = Pij=1 xi,j
• Cj = ni=j xi,j
A nouveau, ni=1 Li et
théorème suivant :
P
Pp
j=1
Cj sont tous deux égaux à S . C'est ce que dit le
Proposition 11 (Interversion des sommes, version triangulaire).
On a
X
1≤i≤n
1≤j≤i
xi,j =
n
i
X
X
i=1
!
xi,j
=
j=1
n
n
X
X
j=1
!
xi,j
i=j
P. Dans le cas des tableaux triangulaires, on peut intervertir les deux
Moralité
symboles
mais en faisant très attention à ce que deviennent les bornes des
deux sommes !
Application. Calculer la somme
S=
6
i
.
j
1≤i≤j≤n
X
Formule du binôme de Newton
6.1 La formule du binôme
Dans cette section on adopte la convention 00 = 1. Concernant le développement de (a + b)n , on a déjà rencontré les développements suivants :
(a + b)0
(a + b)1
(a + b)2
(a + b)3
(a + b)4
=
=
=
=
=
1
1×a+1×b
1 × a2 + 2 × ab + 1 × b2
1 × a3 + 3 × a2 b + 3 × ab2 + 1 × b3
1 × a4 + 4 × a3 b + 6 × a2 b2 + 4 × ab3 + 1 × b4
Les coecients qui apparaissent dans ces développements sont les coecients
du triangle de Pascal : les coecients binomiaux. C'est ce que dit la formule
du binôme de Newton :
Théorème 1. Soient a, b ∈ C et n ∈ N. On a
n X
n k n−k
(a + b) =
a b
k
k=0
n
7
Démonstration. Lorsqu'on développe le produit
(a + b)n = (a + b) × (a + b) × · · · × (a + b),
{z
}
|
n fois
on obtient un terme pour chaque choix simultané de a ou b dans chacune
des parenthèses. Les termes obtenus sont donc tous de la forme ak bn−k . Pour
k ∈ [[0, n]] xé, le nombre de termes ak bn−k obtenus correspond au nombre de
choix diérents où a est choisi
dans k parenthèses, et b est choisi dans (n − k)
parenthèses, c'est-à-dire
Remarque.
On peut réécrire ceci avec des pointillés :
(a + b)n = an + nan−1 b +
Remarque.
(a + b)n =
n
.
k
n(n − 1) 2 n−2
n(n − 1) n−2 2
a b +· · ·+
a b + nabn−1 +n−1 .
2
2
En échangeant
le rôle de a et b, on a bien sûr aussi l'égalité
Pn
k=0
n k n−k
b a . Entre cette dernière et celle donnée dans le
k
théorème, il n'y a qu'un pas, celui consistant à faire le changement d'indice
k0 = n − k.
6.2 Preuves alternatives des propriétés des coecients
binomiaux
On peut, en utilisant la formule dubinôme,
redémontrer quasiment toutes les
propriétés vériées par les nombres
le chapitre "Dénombrement".
n
, que nous avons déjà démontrées dans
k
n
n
n+1
+
=
p
p+1
p+1
n
n
=
p
n−p
n
= 2n
p=0
p
Pn
8
7
Symbole
Q
, règles de calcul
Dénition 4. Soient x1 , . . . , xn ∈ C. On dénit
n
Y
xk = x1 × x2 × · · · × xn
k=1
Ceci se généralise : exactement comme pour les sommes,
• k ne démarre pas forcément à 1.
• k peut décrire un ensemble qui n'est pas forcément composé d'entiers
consécutifs
.QPuisque l'élément neutre de la multiplication est 1, on pose
naturellement i∈∅ xi = 1.
Convention
Exemple.
Pour n ∈ N∗ , le nombre n! est nalement déni par
n
Y
n! =
et 0! = 1.
k
k=1
Proposition 12. Soient (ai )i∈I et (bi )i∈I deux familles de nombres complexes
et λ ∈ C, avec CardI = N . Alors
Q
Q
i∈I
λai = λN
Q
i∈I ai bi =
Q
i∈I ai
ai ,
i∈I
Q
i∈I bi
.
Produit par paquets : si I = I1 ∪ I2 avec I1 et I2 disjoints,
Q
i∈I
Q
ai =
i∈I1
ai
Q
i∈I2
ai
.
Proposition 13. Soit (ai )i∈I une famille de nombres complexes. On a
exp
P
Q
ai = i∈I exp(ai ) .
i∈I
Si de plus les ai sont tous > 0, alors on a aussi
ln
Exemple.
ln(n!) =
Pn
k=1
Q
i∈I
ln k et
P
ai = i∈I ln(ai ) .
Qn
k=1
ek = e
n(n+1)
2
Proposition 14. Si 0 ≤ ai ≤ bi pour i ∈ I , alors
Y
ai ≤
i∈I
Y
i∈I
9
bi .
.