PHQ502 Physique Quantique

PHQ502 Physique Quantique
23 décembre 2008
Autiwa
2
TABLE DES MATIÈRES
Table des matières
1 Rayonnement du Corps Noir
3
1.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Loi de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Loi de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Eet Photo-électrique
2.1 Description du phénomène . . . .
2.2 Théorie d'Einstein . . . . . . . .
2.2.1 énergie inférieure au seuil
2.2.2 énergie supérieure au seuil
3
3
3
3
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3 Eet Compton
3
3
3
3
3
3.1 Description du phénomène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Relation de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Théorie de Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
4
4 Atome de BOHR
4
5 Dualité Onde-Corpuscule
4
5.1 Équation de Shrödinger . . . . . . . . . . . .
5.1.1 à 1 dimension pour une particule libre
5.1.2 à 3 dimensions . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Relation d'Incertitude d'Heisenberg . . . . . .
5.3 Normalisation de la fonction d'onde . . . . .
5.4 État stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Équation aux valeurs propres . . . . .
5.4.2 Densité de courant . . . . . . . . . . .
5.4.3 Facteur de réexion et de transmission
5.5 Valeur moyenne d'une grandeur . . . . . . . .
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4
4
5
5
5
5
5
5
6
6
6
3 EFFET COMPTON
1
3
Rayonnement du Corps Noir
1.1 Dénition
Un corps noir parfait est, par dénition, un corps qui absorbe tout le rayonnement qu'il reçoit. À
l'équilibre thermodynamique (T = cte ), un corps noir rayonnne autant d'énergie qu'il en reçoit.
avec U (T ) la densité d'énergie.
densité spectrale d'énergie u(ν, T ) = dU
dν
1.2 Loi de Wien
νmax
= cte
T
(1.1)
1.3 Loi de Planck
u(ν, T ) = ν
2
1
8πh
× hν
3
c
e kB T − 1
3
!
(1.2)
Effet Photo-électrique
2.1 Description du phénomène
Un rayonnement qui bombarde un métal arrache des électrons à celui-ci. Ce phénomène ne dépend
pas de l'intensité du ux, mais de l'énergie des photons associés.
l'énergie des photons est quantié selon la relation :
E = hν
(2.1)
W0
h
(2.2)
2.2 Théorie d'Einstein
2.2.1 hν < W0
Il n'y a pas d'eets, le seuil est : hνs = W0
d'où la relation :
νs =
2.2.2 hν > W0
L'électron sort du métal avec une énergie cinétique :
3
Effet Compton
3.1 Description du phénomène
Diusion des rayons X.
1
mv 2
2
= hν − W0
max
(2.3)
4
3.2 Relation de Bragg
3.2 Relation de Bragg
dans les cristaux, on a la relation, pour une onde incidente de longueur d'onde λ traversant un cristal
de distance réticulaire d avec un angle d'incidence θ :
(3.1)
2d sin(θ) = nλ
3.3 Théorie de Compton
λ − λ0 = α sin
ν
c
impulsion p = h =
2
θ
2
h
λ
h
λ − λ0 =
2 sin
mc
longueur d'onde de Compton
(3.3)
h
= 0.024Å
mc
(3.4)
n2 ~2
me0 2
(4.1)
Atome de BOHR
Soit e0 =
e2
4πε0
rn =
Rayon de Bohr
5
2
θ
2
:
λc =
4
(3.2)
r1 = a0 =
~2
me0 2
Dualité Onde-Corpuscule
m=0
Mécanique Classique
c
= pc
λ
p = λh = h νc
λ = h Ec
E = hν = h
Tab.
Ec =
p2
2m
m 6= 0
Mécanique Relativiste
E = Ec + mc2 =
√
p = 2mEc
λ = hp
p
m2 c4 + p2 c2
1 Récapitulatif des Formules suivant les cas
5.1 Équation de Shrödinger
5.1.1 à 1 dimension pour une particule libre
−
~2 ∂ 2 ψ(x,t)
= i~ ∂ ψ(x,t)
2
∂t
2m ∂x
(5.1)
5 DUALITÉ ONDE-CORPUSCULE
5
5.1.2 à 3 dimensions
→
−
→
−
→
−
~2
∆ + v( r ) ψ( r , t) = i~ ∂ ψ(∂tr ,t)
−
2m
(5.2)
5.1.3 Hamiltonien
~2 ∂ 2
2 + V (x)
2m ∂x
→
−
~2
H=−
∆+V(r)
2m
H=−
à 1 dimension
(5.3a)
à 3 dimensions
(5.3b)
Application à l'équation de Shrödinger :
HΨ = i~ ∂∂tΨ
(5.4)
5.2 Relation d'Incertitude d'Heisenberg
∆x∆px & ~
(5.5)
5.3 Normalisation de la fonction d'onde
Onde plane :
i
Ψ(x, t) = Ae ~ (px−Et)
(5.6)
Interprétation statistique :
2
|Ψ(x, t)| = ρ(x, t)
(5.7)
La fonction ρ est la probabilité de présence de la particule. En toute logique, son intégrale sur tout
l'espace doit être égale à 1. C'est pour celà qu'il faut normaliser les fonctions d'ondes pour que la relation
suivante soit vériée :
ˆ
+∞
2
|Ψ(x, t)| dx = 1
(5.8)
−∞
Si cette condition est réalisée, alors on dit que la fonction d'onde est normée .
a) En sphérique
ˆ
+∞
2
|φ(r)| 4πr2 dr = 1
0
5.4 État stationnaire
5.4.1 Équation aux valeurs propres
(5.9)
Hφ = Eφ
ψ(x, t) = φ(x)e
t
− iE
~
(5.10)
6
5.5 Valeur moyenne d'une grandeur
5.4.2 Densité de courant
j=
φ et
dφ
dx
~
2mi
φ∗
dφ∗
dφ
−φ
dx
dx
(5.11)
doivent être continues.
5.4.3 Facteur de réexion et de transmission
a) Facteur de réexion
R=
jr
ji
(5.12)
T =
jt
ji
(5.13)
b) Facteur de transmission
On a de plus R + T = 1.
Si on a une onde de la forme
(5.14)
φ(x) = Aeikx + Be−ikx
A est rattaché à ji et B à jr
5.5 Valeur moyenne d'une grandeur
On suppose que Ψ est normée.
De façon générale, on dénit la valeur moyenne d'une grandeur A dont l'état est décrit par la fonction
d'onde Ψ :
ˆ
+∞
(5.15)
Ψ∗ AΨ dx
hAiΨ =
−∞
h∆xiΨ =
q
hx2 iΨ − hxiΨ
(5.16)
2
où h∆xiΨ est l'écart quadratique moyen de x dans l'état Ψ
c) Fonction Hermitique
On dit que A est hermitique s'il vérie la relation :
ˆ
ˆ
+∞
+∞
∗
Ψ∗ (AΨ) dx =
−∞
Ψ(AΨ) dx
(5.17)
−∞
d) Commutateur
On appelle commutateur de deux opérateurs A et B , l'opérateur suivant :
[A, B] = AB − BA
(5.18)
5 DUALITÉ ONDE-CORPUSCULE
7
e) Opérateurs
(5.19a)
(5.19b)
(5.19c)
X:x
V (X) : V (x)
∂
P : −i~ ∂x
P2
~2 ∂ 2
:−
2
2m
2m ∂x
H =T +V
(5.19d)
T =
(5.19e)
Lors des calculs, il convient de faire très attention avec les opérateurs. Les opérateurs s'appliquent à
une fonction, les calculs eectués de manière générales sans utiliser de fonction derrière sont des abus de
notations qui peuvent conduire à des erreurs dont voici un exemple. Prenons les deux opérateurs X et
P . Soit l'opérateur P X , On peut être tenté de faire
P X = −i~ ∂∂xx
= −i~
Or, en prenant une fonction Ψ quelconque, on constate rapidement que ce n'est pas du tout le bon
résultat. C'est pourquoi il est conseillé, du moins dans un premier temps, de calculer systématiquement
les opérateurs en rajoutant la fonction derrière. Le bon résultat est :
xΨ
P XΨ = −i~ ∂∂x
· Ψ + x ∂∂xΨ
= −i~ Ψ + x ∂∂xΨ
= −i~
∂x
∂x
f) Évolution temporelle de la valeur moyenne
1
d hAi
=
h[A, H]i + ∂∂tA
dt
i~
Théorème 1 (Théorème D'Erhenfest)
(5.20)
Les lois de la mécanique classique sont valables en valeur moyenne en mécanique ondulatoire (quantique).
Index
B
Bohr
atome de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
rayon de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
bragg (loi de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
C
commutateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
D
dualité onde-corpuscule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
E
écart quadratique moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
eet
compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
photo-électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
équation
aux valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
de Shrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 5
état stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
F
fonction d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
normalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I
incertitude d'Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
L
loi
de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
longueur d'onde de Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
O
opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
hermitique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
valeur moyenne d'un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
T
théorème
D'Erhenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
theorie d'einstein
Théorie d'Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
8