fonction sinus et fonction cosinus
publicité
FONCTIONS COSINUS ET SINUS. I. DEFINITIONS Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O ; I , J), tout réel t admet une image M sur le cercle trigonométrique. Le cosinus de t est l’abscisse du point M. Le sinus de t est l’ordonnée du point M Définition : - La fonction cosinus, notée cos, est la fonction qui à tout réel t, associe son cosinus. - La fonction sinus, notée sin, est la fonction qui à tout réel t, associe son sinus. II. PROPRIETES 1) Dérivabilité. Théorème admis : • Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ et pour tout réel t, ’ ’ . • a et b étant deux réels, les fonctions f et g définies sur ℝ par : sont dérivables sur ℝ et pour tout réel t, ‘ Exemples. Dérivées des fonctions : → 3cos 3 Pour tout réel x, 3 ’ 4 : 4 ! et . sin 2) Conséquence. La fonction a. étant dérivable sur ℝ de dérivée la fonction , le quotient $%& '$%&( '( 0 comme limite lorsque x tend vers 0. 0 Or, 0 1 donc lim →( x $%& 1 Variations sur [0 ; π] b. x - 0 et 0 π/2 π 0 - 0 π/2 0 + 0 π - 1 1 -1 0 0 admet 3) Parité. a. Définition. • On sait que pour tout réel x, • On sait que pour tout réel x, . On dit que la fonction cosinus est paire. . On dit que la fonction sinus est impaire. b. Interprétation graphique. La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à (OJ). La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine. 4) Périodicité. a. Définition. On sait que pour tout réel x, 2π et 2π On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π. . b. Interprétation graphique. • Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus sont invariantes par les translations de vecteurs /012 et /012. Cela signifie que l’image de chacune de ces courbes par l’une de ces translations est égale à la courbe elle-même. • Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus sont des sinusoides.
