Exercices chapitre 22 Espaces vectoriels de dimension finie

PCSI 1, 2016/2017
Mathématiques
Lycée Berthollet
Exercices chapitre 22
Espaces vectoriels de dimension finie
Exercice 1. Une famille génératrice d’une famille génératrice.
1. Soit G une famille génératrice d’un espace vectoriel E. Montrer que G 0 une autre famille de
vecteurs de E est génératrice si et seulement si tout vecteur de G est combinaison linéaire
d’éléments de G 0 .
2. Application : Montrer que (j, j2 ) est une base de C (j = e
2iπ
3
).
Exercice 2. Une famille liée.
Dans R3 , on considère ~x = (1, −1, 1) et ~y = (0, 1, a) où a ∈ R.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur a pour que ~
u = (1, 1, 2) appartienne à Vect(~x,~y).
Comparer alors Vect(~x,~y), Vect(~x, ~
u) et Vect(~y, ~
u).
Exercice 3. Une chance sur deux.
Les familles suivantes sont-elles libres ou liées (dans leurs espaces respectifs) ?
1. x1 = (1, 1, 0), x2 = (0, 1, 1) et x3 = (1, 1, 1) ;
2. x1 = (1, 0, 0), x2 = (0, 1, 1) et x3 = (1, 1, 1) ;
3. f 1 : x 7→ cos x, f 2 : x 7→ sin x et f 3 : x 7→ x ;
4. f 1 : x 7→ cos2 x, f 2 : x 7→ cos 2x et f 3 : x 7→ 1 ;
5. f k : x 7→ sin(kx), k ∈ [[1, n]] .
Exercice 4. Il suffit de bien poser le problème.
Soit (~x1 , . . . ,~xn ) une famille libre de vecteurs de E et α1 , . . . , αn ∈ K .
On pose ~
u = α1 .~x1 + · · · + αn .~xn et ∀ i ∈ [[1, n]] ~yi = ~x i + ~
u.
À quelle condition sur les α i , la famille (~y1 , . . . ,~yn ) est-elle libre ?
Exercice 5. D’où l’intérêt du chapitre 10.
Soient E un K-espace vectoriel et ~x, ~y et ~z trois vecteurs de E tels que la famille (~x,~y,~z) soit libre. On
~ = ~x + ~y . Montrer que la famille (~
~ ) est libre.
pose ~
u = ~y +~z, ~
v = ~z +~x et w
u,~
v, w
Exercice 6. Tout est dans la définition.
Soit F l’ensemble des fonctions f : R → R telles qu’il existe a, b, c ∈ R pour lesquels :
∀ x ∈ R, f (x) = (ax2 + bx + c) cos x.
1. Montrer que F est sous-espace vectoriel de E = F (R, R).
2. Déterminer une base de F et sa dimension.
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Exercice 7. Un sous-espace vectoriel de RN .
Soit p ∈ N∗ et E l’ensemble des suites réelles p-périodiques i.e. l’ensemble des suites réelles (u n ) telles
que
∀ n ∈ N, u(n + p) = u(n) .
Montrer que E est un R-espace vectoriel de dimension finie et déterminer celle-ci.
Exercice 8. À la moitié, on est déjà arrivé.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et B = (~
e 1 ,~
e 2 ,~
e 3 ) une base de E.
On pose ~ε1 = ~
e 2 + 2~
e 3 , ~ε2 = ~
e 3 −~
e 1 et ~ε3 = ~
e 1 + 2~
e2.
Montrer que B 0 = (~ε1 ,~ε2 ,~ε3 ) est une base de E.
Exercice 9. Vite, recrutons !
Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et B = (~
e 1 ,~
e 2 ,~
e 3 ) une base de E.
Soit ~ε1 = ~
e 1 + 2~
e 2 + 2~
e 3 et ~ε2 = ~
e 2 +~
e3.
Montrer que la famille (~ε1 ,~ε2 ) est libre et compléter celle-ci en une base de E.
Exercice 10. Un système triangulaire, déjà rencontré.
Soit E un K-espace vectoriel muni d’une base B = (e 1 , . . . , e n ).
Pour tout i ∈ {1, . . . , n}, on pose ~ε i = ~
e 1 + · · · +~
ei.
1. Montrer que B 0 = (~ε1 , . . . ,~εn ) est une base de E.
2. Exprimer les composantes dans B 0 d’un vecteur en fonction de ses composantes dans B .
Exercice 11. Pour une fois, elle n’est pas échelonnée.
Soient n ∈ N∗ et E = Rn [X ]. Pour k ∈ [[0, n]], on pose P k = X k (1 − X )n−k . Montrer que les (P k )k forment
une base de E.
Exercice 12. Deux vérifications.
©
ª
Dans R3 , on considère le sous-espace vectoriel H = (x, y, z) ∈ R3 | x − 2y + 3z = 0 .
Soit ~
u = (1, 2, 1) et ~
v = (−1, 1, 1). Montrer que B = (~
u,~
v) forme une base de H.
Exercice 13. Une impression de déjà déjà vu.
Soient n ∈ N∗ , E = Rn [X ] et A ∈ E, avec A 6= 0. On pose F = {P ∈ E , A |P }. Montrer que F est un sousespace vectoriel de E dont on déterminera la dimension, ainsi qu’une base et un supplémentaire.
Exercice 14. Une question de dimension.
Soit F,G deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E de dimension finie n ∈ N.
Montrer que si dim F + dimG > n alors F ∩ G contient un vecteur non nul.
Exercice 15. Les chaises musicales dans R4 .
~ = (1, 1, 1, 1), ainsi que
Dans R4 on considère les vecteurs ~
u = (1, 0, 1, 0), ~
v = (0, 1, −1, 0), w
~x = (0, 0, 1, 0) et ~y = (1, 1, 0, −1). Soit F = Vect(~
~ ) et G = Vect(~x,~y).
u,~
v, w
Quelles sont les dimensions de F, G, F + G et F ∩ G ?
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Exercice 16. Où l’on peut court-circuiter le problème.
Dans R3 , déterminer une base et un supplémentaire des sous-espaces vectoriels suivants :
1. F = Vect(~
u,~
v) où ~
u = (1, 1, 0) et ~
v = (2, 1, 1) ;
~ ) où ~
~ = (1, 1, 1) ;
2. F = Vect(~
u,~
v, w
u = (−1, 1, 0), ~
v = (2, 0, 1) et w
©
ª
3. F = (x, y, z) ∈ R3 /x − y + 4z = 0 .
Exercice 17. Une famille de fonctions.
Dans E = R]−1,1[ on considère :
s
s
1+ x
1− x
, f 2 (x) =
,
f 1 (x) =
1− x
1+ x
1
f 3 (x) = p
1 − x2
et
x
f 4 (x) = p
.
1 − x2
Quel est le rang de la famille ( f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ) ?
Exercice 18. Encore et toujours une question de dimension.
Soit E un K -espace vectoriel de dimension finie, V un sous-espace vectoriel de E et f ∈ L (E). Montrer
que V ⊂ f (V ) ⇒ f (V ) = V .
Exercice 19. Endomorphismes nilpotents en dimension finie.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n Ê 1 et f un endomorphisme nilpotent non nul de E. Soit
p le plus petit entier tel que f p = 0.
1. Soit ~x ∉ Ker f p−1 . Montrer que la famille (~x, f (~x), f 2 (~x), . . . , f p−1 (~x)) est libre.
2. En déduire que f n = 0.
Exercice 20. My Taylor is rich.
Soient n ∈ N∗ et E = Rn [X ]. On définit sur E n + 1 formes linéaires par
∀ k ∈ [[0, n)] , ϕk : P 7→ P (k) (0) .
Montrer que les ϕk forment une base de E ∗ = L (E, R) .
Exercice 21. Une histoire d’inversibilité.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, et soient f , g ∈ L (E) tels que f 2 + f ◦ g = Id. Montrer
que f et g commutent.
Exercice 22. Le retour des hyperplans.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n ∈ N∗ et ϕ une forme linéaire non nulle sur E.
Montrer que pour tout ~
u ∈ E \Ker ϕ, Ker ϕ et Vect(~
u) sont supplémentaires dans E.
Exercice 23. Beaucoup d’inégalités donnent une égalité.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finies et f ∈ L (E, F), g ∈ L (F, E) telles que
f ◦ g ◦ f = f et g ◦ f ◦ g = g.
Montrer que f , g, f ◦ g et g ◦ f ont même rang.
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Exercice 24. Tellement plus facile qu’avant.
Déterminer une base du noyau et de l’image des applications linéaires suivantes :
1. f : R3 → R3 définie par f (x, y, z) = (y − z, z − x, x − y) ;
2. f : R4 → R3 définie par f (x, y, z, t) = (2x + y + z, x + y + t, x + z − t) ;
3. f : C → C définie par f (z) = z + i z̄ (C est ici vu comme un R-espace vectoriel).
Exercice 25. Pas loin d’un projecteur.
Soient E un K -espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L (E) tel que rg( f 2 ) = rg( f ).
1. Établir Im f 2 = Im f et Ker f 2 = Ker f .
2. Montrer que Im f et Ker f sont supplémentaires dans E.
Exercice 26. Autour du théorème du rang.
Soit E un K -espace vectoriel de dimension finie et f , g ∈ L (E) tels que f + g bijectif et g ◦ f = 0.
Montrer que
rg f + rgg = dim E .
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