Nombres Calculs Equations.

Nombres Calculs Equations.
« Le nombre entier vient de Dieu, tout le reste est l’œuvre de l’homme » Leopold Kronecker
(1823-1891)
« Un nombre pair est un nombre qui croît en deux. » Denis Guedj (1940-2010)
0 Une petite histoire des ombres.
I Ensembles.
II Nombres premiers.
III Développer, factoriser.
IV Puissances, radicaux.
V Résoudre une équation.
0 Une petite histoire des nombres.
Les premiers chiffres se trouvent dans le Siddhantha de Bramagupta (598-660, Multan
au Pakistan): eka, dva, tri, catur, panca, sat, sapta, asta, nava. Et le zéro : çunya qui veut dire
vide en sanskrit, traduit en arabe il devient sifr qui traduit en latin devient zéphirum, qui
traduit en italien devient zéphiro. Puis zéro et on a gardé sifr pour désigner les chiffres. Il faut
attendre le Ve siècle pour avoir un zéro complet, à la fois chiffre (101) et nombre acteur d’une
opération (n-n=0).
L’algèbre vient de al jabr (réduire une fracture en arabe) et les nombres précédés d’un
signe moins doivent disparaître des équations : on les appelle les naquis (qui veut dire amputé
en arabe). Al-khwarizmi (788-850) ne travaillait pas avec les irrationnels qu’il appelait assam
qui veut dire sourd car ils étaient considérés comme inexprimables par la parole.
Le mot fraction vient de la traduction de kasr en arabe qui veut dire rompu. La
notation en elle-même vient de la guerre de Cent ans avec Nicolas Oresme (1325-1382,
évêque de Lisieux en 1377 le plus grand mathématicien du XIVième siècle) qui invente aussi
les mots numérateur et dénominateur, et beaucoup d’autres idées trop novatrices pour son
époque.
La notation exposant (positif et négatif) est due au français Nicolas Chuquet au
Xvième siècle. Viète (1540-1603) introduisit les notations des inconnues (par des voyelles) et
les paramètres (par des consonnes) et c’est Descartes (1596-1650) qui impose les premières
petites lettres a,b,c… pour les paramètres (quantités connues) et x,y,z pour les inconnues.
(Au début du règne d’Henri IV, celui-ci était en guerre avec l’Espagne. Viète déchiffra le
code utilisé par les espagnols et contribua à faire gagner la France. Les espagnol, sûrs de
l’inviolabilité du code se plaignirent auprès du Pape de l’utilisation par Viète de pratique
magique contraires à la foi chrétienne.
En 1593, le mathématicien flamand Romanus lança le défi de résoudre l’équation
x 45 − 45 x 43 + 945 x 41 + ... − 3795 x 3 + 45 x = a
L’ambassadeur des Pays-bas auprès d’Henri IV prétendit qu’aucun mathématicien
français n’était capable de résoudre l’équation. Viète fut chargé de relever le défi et trouva les
23 racines positives en posant a=sin(45t) et x=2sin(t). Très admiratif, Romanus devint un
grand ami de Viète.)
A l’époque de Viète, on pouvait lire :
« B in A quadratorum plus D plano in A aequari C solido. » ce qui signifie BA2 + DA = C
Au Japon, voici comment elle se présentait
en 1856 (extrait de Seisan Sokuchi de Hanai
Kenkichi).
Voici la table de multiplication, parfois
appelée table de Pythagore, telle que nous la
connaissons.
1
Les chiffres de 0 à 9 y apparaissent.
A l'instar de Champollion et sa pierre de
Rosette, on peut ainsi deviner comment
s'écrivaient les chiffres de 0 à 9.
Tous les chiffres de notre numération
décimale y apparaissent
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81
De même, voici une table arabe. Nos chiffres dits "arabes" y apparaissent et il n'est pas
difficile de les y reconnaître. Toutefois l'écriture arabe se fait de droite à gauche.
Curieusement, nous constatons que les nombres sont écrits de droite à gauche en commençant
par les unités, alors que nous les énonçons par la droite! Notons que cet usage se retrouve
dans les langues germaniques parlées.
I Ensembles.
2
Quels sont les nombres que l’on
connaît ? On écrit plein de nombres : des
petits, des gros, des jolis, des bizarres…
On va essayer de classer tout ça.
Les premiers qui nous intéressent (on les
entoure au fur et à mesure de l’étude)
sont les plus connus :
•
0 ;1 ; 2 ; 3 ; 4 …
Dans les sociétés primitives on
comptait 1 ; 2 ; beaucoup. Donc déjà le
3 est un vrai progrès. Pour la plupart
des penseurs grecs, les nombres
commençaient à 2. La multiplicité était
du ressort des nombres alors que le
nombre un parlait d’existence (« Est un
ce qui est. »). Archytas de Tarente est
considéré comme « le père du un ».
C’est aussi au passage le premier
ingénieur. Bien plus tard, les Incaset les
indiens introduiront le zéro de position.
L’ensemble de ces nombres
s’appelle ensemble des entiers naturels.
On le note ℕ . (à la suite de Peano
(1858-1932), naturale en italien)
Parfois, on peut trouver la
notation
suivante :
[[2 ;5]]
pour
l’ensemble des entiers naturels de 2 à 5.
• …, -2 ; -1
les nombres négatifs.
L’ensemble des nombres entiers
naturels auquel on adjoint l’ensemble
des entiers négatifs s’appelle l’ensemble
des entiers relatifs. On le note ℤ . (à la
suite de Dedekind (1831-1916), zahlen,
compter en allemand)
1
1
; 0,125 = ; -357,562398741 …
2
8
Ce sont des exemples de nombres décimaux. Ils ont tous une partie décimale finie
(rappel de la partie entière (0 pour le premier cité) et de la partie décimale (125 toujours pour
le premier)). Imaginez que vous veniez d’apprendre à faire une division et que certaines ne
finissent pas… C’est déroutant et vous mettez ces quotients de côté.
L’ensemble des nombres obtenus comme quotients ba de deux nombres entiers relatifs
(ici a et b) et dont la partie décimale est finie s’appelle l’ensemble des nombres décimaux.
On le note ID (D double barre). Les calculatrices, par exemple, ne fonctionnent qu’avec des
nombres décimaux.
•
1.
2.
3.
4.
Ex 1 : Ecriture d’un nombre décimal.
Prouvez que le quotient d’un nombre naturel par 2 est toujours un décimal.
Prouvez que le quotient d’un nombre naturel par 5 est toujours un décimal.
L’inverse d’un nombre entier naturel non nul est-il toujours un décimal ? Justifier.
Les lettres a, m et n désignent des entiers naturels. Prouvez que tout nombre rationnel de
la forme n a m est un nombre décimal.
2 ×5
3
5. (plus dur) Prouvez maintenant que tout nombre décimal s’écrit sous la forme
précédemment énoncée.
•
Voici les nombres que l’on a mis de côté.
1 −3
;
…
3 7
Il faut maintenant les inclure dans un ensemble plus gros. Ici on n’impose plus que la
partie décimale soit finie. On appelle l’ensemble de tous les nombres qui s’écrivent sous la
forme de quotient a/b avec a et b entiers relatifs l’ensemble des rationnels. On le note ℚ .
(Eudoxe de Cnide au IVième siècle introduit pour la première fois les nombres rationnels mais
c’est Peano qui les baptise, quotiente, quotient en italien).
•
On a presque fini de classer tous les nombres que l’on connaît. Il reste :
2;- 3;π…
Par opposition aux rationnels, tous ces nombres s’appellent les irrationnels. Quand on
met les rationnels et les irrationnels ensemble, on obtient le plus gros des ensembles que vous
connaissez : l’ensemble des réels. On le note ℝ . (à la suite de Cantor (1845-1918), real en
allemand)
Ces nombres se sont tout d’abord appelés nombres impossibles puis nombres
imaginaires (terme impropre de nos jours). La première définition des nombres réels vient de
Dedekind en 1872. Celui-ci donne aussi l’idée de les voir comme les points d’une droite.
L’ensemble des réels se représente sous la forme d’une droite appelée droite réelle.
−5
π
2
2
-4
-1
-3
-2
1
2
3
4
0
Placer 2 avec précision en utilisant un carré et 1/3 avec Thalès.
En résumé et sous forme de patatoïdes (appelé aussi diagramme de Venn:
Raisonnablement, on ne peut pas faire de patatoïdes toute notre vie. On utilise donc le
symbole de l’inclusion :
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ⊂ ℝ ⊂ ℂ.
Ex 2 : Combien y-t-il de nombres de deux chiffres dont le chiffre des dizaines est
strictement supérieur à celui des unités ?
Ex 3 : Pour écrire les numéros des pages d’un livre, on a utilisé 1311 chiffres. Combien
le livre a-t-il de pages ?
Ex 4 : En écrivant des + et des – entre les chiffres de gauche, rendez juste cette égalité :
987654321=100
4
Ex 5 : Que vaut ℝ + ∩ ℤ ?
Ex 6 : Défi : Justifiez le fait que 0,999999…. est une autre façon d’écrire 1.
II Nombres premiers.
La division de 18 par 3 tombe juste (il s’agit d’un entier). On dit que 3 divise 18 ou
que 18 est divisible par 3 ou encore que 3 est un diviseur de 18. On note 3|18.
Trouvez tous les diviseurs de 6 : 1 ; 2 ; 3 ; 6.
Trouvez tous les diviseurs de 7 : 1 ; 7.
19/9=2+1/9
Définition : Un entier naturel qui n’admet que deux diviseurs (distincts) : 1 et luimême est appelé nombre premier.
Attention ! On dit que deux nombres a et b sont premiers
Remarque : Par convention, 1 n’est pas premier.
Théorème 1.A.(Archimède) (vient du grec thêorêma, qui signifie « objet d’étude »)
Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration : Raisonnement par l’absurde. Hypothèse : supposons qu’il existe un nombre
fini de nombres premiers. On les note p1, p2, … , pn. Alors le nombre q= p1 × p2 × … × pn + 1
n’est divisible par aucun des nombres p1, p2, … , pn, il est donc premier. Absurde. !
Ex 7 : Trouvez les 25 premiers nombres premiers (ils sont tous inférieurs à 100) :
Ex 8 : Pierre et Nathalie jouent au jeu suivant : Nathalie commence et choisit un nombre
entre 1 et 7 inclus. Ensuite, chaque joueur à tour de rôle choisi un nombre entier entre 1 et 7
inclus qu’il ajoute au total précédent. Ce total doit être un nombre premier. Celui qui ne peut
pas obtenir un total premier a perdu. Nathalie est sure de gagner. Comment ?
Ex 9 : Tous les chiffres d’un nombre sont 1, et c’est un nombre de 73 chiffres. Ce
nombre est-il divisible par 18 ?
Ex 10 : La somme de trois nombres consécutifs peut-elle être un nombre premier ?
Conjecture de Golbach (1742) : « Tout nombre pair différent de 0 et de 2 est somme
de deux nombres premiers. »
Il s’agit d’une conjecture. Inutile d’essayer de la démontrer, beaucoup de chercheurs
se sont cassés les dents dessus. A ce propos, vous pouvez lire « La conjecture de l’oncle
Petros ».
Ex 11 : Vérifiez-la pour les 30 premiers nombres pairs satisfaisant les conditions de la
conjecture.
Définition : Deux nombres premiers sont dits jumeaux si leur différence vaut 2.
Exemples : 3 et 5 ; 5 et 7 ; 11 et 13…
5
Déterminer s’il y a une infinité de nombres premiers jumeaux n’a toujours pas été démontré.
Voir leçon d’arithmétique de terminale sur les Nombres de Mersenne.
Postulat de Bertrand « Si n>3, entre n et 2n, se trouve au moins un nombre
premier. » (preuve de Tchebycheff en 1850). Ainsi, les nombres premiers ne sont pas
« trop » dispersés.
Ex 12 : Certains s’amusent avec les nombres premiers. Quelqu’un a notamment
déterminé qu’il existait 512233 lipopremiers (nombres premiers s’écrivant sans ‘e’, mot
formé sur lipogramme). Question (difficile) combien y a-t-il de lipopremies entre 1 et 100 ?
On peut écrire 6=2×3 avec 2 et 3 premiers entre eux. De même, on a 18=2×3×3=2×32.
On appelle cela une décomposition en nombre premiers (ou décomposition en facteurs
premiers).
Théorème (1.B). Tout entier supérieur ou égal à 2 est premier ou admet une
décomposition en nombre premier.
Ex 13 : Trouver les décompositions de 28 ; 32 ; 327.
Ex 14 : On a longtemps pensé que les nombres de Fermat dit le « Prince des
amateurs » (Fn=2puis(2n) +1) étaient tous premiers. « Je suis persuadé que 2puis(2n) +1 est
toujours un nombre premier. Je n’en ai pas la démonstration exacte, mais j’ai exclu une si
grande quantité de diviseurs par des démonstrations infaillibles, et j’ai de si grandes lumières
qui établissent ma pensée, que j’aurais peine à me dédire. ». C’est L. Euler (1707-1783) qui a
montré en 1732 qu’en fait F5=4 294 967 297 n’est pas premier. Seriez-vous capable d’en
faire autant avec les calculatrices que vous possédez et qu’il n’avait pas ? En fait, on sait
maintenant que de F5 à F30, aucun n’est premier. On conjecture même qu’il n’y en a pas
d’autres !
Ex 15 : Soient A=24×14 et B=56×67. Déterminer une forme irréductible de la fraction
B/A.
Ex 16 : Montrer que n5-n est divisible par 5.
III Développer, factoriser.
Théorème (1.C). (Identités remarquables) Pour tout nombres a, b, c, on a :
a (b + c) = ab + ac
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a − b)(a + b) = a 2 − b 2
formes factorisées
formes développées
Interprétation géométrique (a-b).(a+b):
6
Ex 17 : Un cloître, pour les compagnons doit avoir les proportions suivantes : l’aire de
la couronne doit être égale à l’aire de la cour intérieure. Quelles en sont les mesures des
côtés ?
Ex 18 : Factoriser A=(x+1)(2x+3)-(x+1)(-x+2)+5(x+1)2.
Ex 19 : Montrez que x+1/x 2 pour tout x>0.
Remarques : En général, la factorisation est plus difficile
que le développement. Pensez-y si vous devez montrer que
(x+1)(2x-1)2 est égal à 4x3-3x+1.
On factorise pour résoudre des équations,
simplifier des écritures et étudier le signe d’une expression.
A droite, interprétation géométrique du développé du cube
(a + b)
3
.
Théorème (1.D). (Chouette ! De nouvelles identités remarquables) Pour tout nombres
a, b, c, on a :
( a + b )3
= a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
( a − b)3
= a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3
(a − b)(a 2 + ab + b 2 ) =
a 3 − b3
formes factorisées
formes développées
Ex 20 : J’ai acheté deux cubes dont les mesures des côtés sot des entiers. Le gros
cube a 819cm3 de plus que le petit. Quel est le volume de chacun des cubes ?
Ex 21 : Je suis un nombre de trois chiffres. Si on coupe mon carré en deux
tranches de trois chiffres, en additionnant ces deux moitiés, on trouve 1000. Qui suis-je ?
Ex 22 : (Piège) Que vaut l’expression :
( x − a )( x − b )( x − c )( x − d ) ... ( x − z )
Test de factorisation (à faire de suite !): Mettre (x+1) en facteur.
1. 3x+3
11. 2(x+8)(x+1)+x+1
2. (x+1)(x+5)+7(x+1)
12. (x+1)2+x+1
7
3. (x+1)(3x+4)+(x+1)(x-3)
4. (x+1)(4x+9)-5(x+1)
5. (x+1)(8x-3)+4x+4
6. (x+1)(9x-5)-7x-7
7. (x+1)(2x+4)-(x-7)(x+1)
8. 2(x+1)(x-4)+3(x+1)(x+8)
9. 7(x+1)(2x+1)-2(x+1)(3x-4)
10. 3(x+5)(x+1)+4x+4
13. (x+1)(x-1)+(2x-6)(3x+3)
14. (x+1)(5x+9)+(4x-7)(-3x-3)
15. (x+1)2+x2-1
16. x2+2x+1+3(x+1)
17. (x+1)(x+9)-x-1
18. 3x2-3+x+1
19. (2x+2)2+x+1
20. x4-1
IV Puissances et radicaux.
Vient du latin ponere, « poser pondre » et exponere, « mettre hors de ». La notation de
puissance est introduite en 1620.
Très vite on a eu besoin d’écrire de très grands nombres, notamment en astronomie.
D’où l’intérêt d’introduire les puissances.
Les grands nombres commencent à être nommés par les grecs (et les chinois) la
myriade qui valait 104. Pendant longtemps, le plus grand nombre imaginé par un humain fut
donné par Archimède qui évaluait le nombre de grains de sable contenus dans une boule ayant
pour centre la Terre et atteignant le soleil. Soit, selon lui 108.10^8. (myriades de myriades… )
Au IIIe siècle, les indiens donnent des noms aux puissances de 10, jusqu’à 1017. Ce
n’est que bien plus tard qu’apparaissent le million (qui vient d’Italie vers 1270). En 1484,
Nicola Chuquet propose byllion (1012), tryllion (1018), quadryllion, quyllion, sixlion, septilion,
octyllion et nonyllion. C’est ce que l’on appelle l’échelle longue qui compte de puissance
sixième en puissances sixièmes. On obtient ainsi les 106n.
Au XVIIe siècle, on introduit une échelle courte de 3 en 3, dans laquelle tout est
décalé 103n+3 : le billion vaut un milliard, le trillion vaut 1012 et ainsi de suite. Les USA
adoptent l’échelle courte et les britanniques l’échelle longue qui est la plus appropriée de nos
jours.
Notation : Soit a un nombre réel et n un entier naturel. On écrit
1
a n = a
× a
× ... ×a
et
a − n = n (si a≠0).
a
n facteurs
On rappelle que par convention, on pose a0 = 1 (si a≠0) et que d’après ce qui précède, a −1 =
Nota : Newton et Descartes écrivaient yy au lieu de y2. En revanche, ils utilisaient y3.
Exemples :
mega (106)
giga (109)
tera (1012)
= (103)4
peta (1015)
= (103)5
exa (1018) =
(103)6
zetta (1024)
= (103)7
yotta (1024)
= (103)8
1
a
- Les puissances de 10: 105 = 100 000 ; 10 -3 = 0,001.
Gk grand , « mega ».
micro (10-6)
L petit, « mikros »
-9
Gk géant , « giga »
nano (10 )
GK nain, « nanos »
Gk monstre, « tera » ou pico (10-12) = It petit, « piccolo »
quatre, « tetra »
(10-3)4
Gk étalé, « petalos » ou cinq, femto (10-15) Nom original : « fentem »,
« penta »
= (10-3)5
fifteen en danois.
Gk dehors, « exo » ou six, atto (10-18) = Nom original : « atten »,
« hexa »
(10-3)6
eighteen en danois.
L dernière lettre, z, « zeta »
zepto (10-24) L dernière lettre, z, « zeta »
= (10-3)7
L avant-dernière lettre, y, yocto (10-24) L avant-dernière lettre, y,
« iota »
= (10-3)8
« iota »
- L’écriture scientifique consiste en un nombre (éventuellement à virgule, mais dont la
partie entière est toujours un chiffre non nul, multiplié par une puissance de 10).
8
Exemples : 0,03562 = 3,562.10 –2 ; 3 562 = 3,562.10 3. Rayon de la molécule d’H2O : 3.10-8m.
Diamètre de la voie lactée : 100 000 années-lumière, soit 9,5.1020m.
Ex 23 : Savez-vous combien de secondes se sont écoulées depuis le Big Bang (13,8
milliards d’années?
Ex 24 : Le mathématicien Euler avait, avant de devenir aveugle, appris toutes les
puissances de 2 à 6 des nombres de 1 à 100, ce qui fait 500 nombres. Mais on peut voir
facilement que 42=24, ce qui aide à retenir moins de nombres. Combien de nombres doit-il
alors retenir s’il utilise ce type d’égalités ?
Ex 25 : A chaque génération, on multiplie par deux le nombre d’ascendants (2 parents,
4 grands-parents, 8 arrière-grands-parents…) En comptant 4 générations par siècles, montrez
que nous avons tous de la consanguinité quand on remonte à nos ascendants de l’époque de
Clovis.
Ex 26 : Hardy rend visite au sanatorium à Ramanujan, gravement malade. Pour briser la
glace, il déclare que le taxi portait le numéro 1729, nombre assez ennuyeux car ayant peu de
propriétés si ce n’est le fait d’être premier. Ah non ! s’exclame Ramanujan, c’est le plus petit
nombre premier qui s’exprime comme somme de deux cubes de deux manières différentes.
Ex 27 : Trouver les deux plus petits cubes palindromes.
Ex 28 : Le légendaire problème du souverain indien Chiram : Pour récompenser le
créateur du jeu d’échecs du nom de Sêta, le souverain indien Chiram lui demanda ce qu’il
voulait. « Payez-moi avec un grain de riz sur la première case d’un échiquier, deux grains sur
la seconde, trois sur la troisième et ainsi de suite jusqu’à la 64ième case. »
1. Combien de grains de riz dut-il donner ?
2. En moyenne, 16 grains font 1g. Combien de sacs de 50kg peut-on remplir avec ces grains ?
3. Combien faut-il de camions (36T) pour transporter tous ces grains ?
4. Comparer à la production mondiale annuelle :500 milliards de tonnes.
Nota : La notation puissance permet des économies d’énergie : (9^9)^9 est un nombre égal à
9^81, soit 78 chiffres. Mais 9^9^9=9^(9^9) est un nombre à …. 369 693 100 chiffres à peu
près/ soit 33 volumes de 1000 pages.
Théorème (1.E). (Puissances en formule) Soient a et b deux nombres réels. Soient m
et n deux entiers relatifs.
n
am
an
a
m− n
a ×a = a
;
(a ) = a ;
(ab) = a × b ;
=a
;   = n
an
b
b
Avec a et b non nuls, respectivement pour l’avant-dernière et la dernière..
m
n
m+n
m n
mn
n
n
n
Il n’existe pas de formule pour a n × b m .
Ex 29 : Simplifier sous la forme 2a.3b.10c les nombres suivants : a = (2-5×3-2)10 ; b =
(0, 06) 4 × 1, 63 × 30 × 0, 002 −10 .
9
Ex 30 : Compléter: 20 2×5 2 = …2 ; 153×…3 = 603 ;
1
1 28
+ 3= 3
3
12 4
...
Ex 31 : Quel est le dernier chiffre de 11172003?
Définition: Soit a un nombre positif. La racine carrée de a, notée
positif dont le carré est égal à a.
a, est le nombre
Attention! Un nombre négatif n’a pas de racine carrée. C’est là le piège principal. Si
personne n’écrira −3 , en revanche, certains ne manqueront pas d’écrire x-1 qui est
incorrect si x<1.
Remarques:- On a 0=0.
- Par définition, si a est positif, a2=a.
1
- On peut voir la racine carrée comme une puissance :
2
2
2
1/2
2/2
( a) = (a ,) = a ,=a.
- On rappelle les ordres des opérations. On effectue d’abord les calculs
dans les parenthèses, puis, quand il n’y en a pas, les puissances et
racines carrées, puis les multiplications et divisions, puis les additions
et soustractions.
Théorème (1.F) . (Racines en formule) Soit a et b deux nombres réels positifs.
a
a
ab = a × b et
=
avec b non nul.
b
b
Ex 32 :
Que valent les nombres suivants ?
111 111 555 555 + 1
et
8 +4
.
84 + 411
10
10
Ex 33 :
3 20
Simplifiez a = 4 × × . En déduire que a est un décimal.
5 3
Ex 34 : Sauriez-vous trouver le nombre dont les racines carrée et cubique diffèrent de
18 ? (résolu par le calculateur prodige Inaudi en 1mn50s)
Ex 35 : Dans une lettre de Niels Abel adressée à son bon professeur Bernt Holmboe,
« Copenhague, l’an racine cubique de 6 064 321 219, tenir compte des décimales ».
The saddest day of my life: cube root of 8 078 468 864. Why?
Ex 36 :
Simplifier
1
.
n +1 − n
V Résoudre une équation.
Dans tout ce qui suit, x est une inconnue. On rappelle que l’on peut transformer une équation
en la multipliant de part et d’autre par un même réel non-nul sans en changer les solutions. De
10
même, on peut ajouter de part et d’autre de l’équation n’importe quel réel sans en changer les
solutions.
1. Equation du premier degré : On peut toujours se ramener à une équation du
premier degré de la forme ax+b=0 (avec a et b deux réels fixés et a non nul), alors
−b
 −b 
il n’y a qu’une seule solution,
. On écrit S=  
a
a 
Remarque : Si a=0 et b=0, alors l’équation a toutes les solutions possibles : S=3.
Si a=0 et b≠0, alors l’équation n’a pas de solution : S=∅.
Ex 37 :
L’énigme du Père Galion : Le père Galion a un jardin carré. Il en augmente
tous les côtés de 4m. La mesure de la surface augmente alors de 72m2. Trouver le côté du
carré initial.
Ex 38 :
On raconte que sur la tombe de Diophante était inscrit un problème résumant
sa vie : « Sa douce enfance dura le sixième de sa vie. Puis après un douzième de sa vie, son
menton s’est couvert de barbe. Après un septième encore, il se marie. Cinq année passent et
la naissance d’un fils le comble de joie. Le sort voulut que la vie de ce fils soit finalement
deux fois plus courte que celle de son père et après la mort de son enfant, Diophante vécut
encore quatre années. »
Ex 39 :
x +x+2=x(x+2).
Résoudre les équations suivantes : 8x-3=4,
2x+1=x-2,
-3x+3=3,
2
« J’ai passé la moitié de ma vie à courir,
5 ans à me nourrir
et un tiers à dormir »
Aldous.
Quel age a Aldous au moment où il écrit ces vers ?
Ex 40 :
Test de résolution (degré 1 – à faire de suite !): Résoudre les équations suivantes.
1. x+2=0
1
5
11. x + = 0
2. x-3=0
3
3
3. -x+6=0
12. x − 5 = 0
4. –x-6=0
13. x − 5 x = 0
5. 2x+2=0
6. 3x-2=0
14. 1 − 5 x = 0
−7
15. 7 x + 7 = 0
7. x +
=0
5
16. x + 7 − x = 0
5
x+7− x−7 = 0
17.
8.
x −1 = 0
3
18. π x − 1 = 0
−15
5
19. (x+1)2-x2+1
9.
x+ =0
12
3
20. − 170 x − π = 0
7
−5
10.
x+
=0
−3
2
2. Equation du second degré : On utilise la propriété classique :
Vieille propriété (dite d’intégrité): « Le produit de deux facteurs est nul si et
seulement si l’un des deux facteurs est nul. » Soient A et B deux réels, on a :
AB=0 ⇔ A=0 et B=0 !
11
Une seule façon de procéder pour le moment, la factorisation : Algorithme
- Passez tous les termes du même côté de façon à obtenir un Truc=0.
- Puis factorisez par les identités remarquables de façon à avoir le
produit de deux équations de degré 1.
- Enfin, résoudre avec le paragraphe précédent et la propriété.
Ex 41 :
(x+3)(2x+5)2=3+x.
Résoudre les équations :25x2-81=0, 4(x+3)2= x2-9, 4x2+4x+1=0,
Ex 42 (spécial pour ceux qui continuent à utiliser le produit en croix) :
1. Essayer de résoudre l’équation suivante : x + 5 − 5 = 4 x − 40
x−7
13 − x
2. Voici ma solution :
x+5
4 x − 40
x + 5 − 5( x − 7) 4 x − 40
4 x − 40 4 x − 40
−5 =
⇔
=
⇔
=
x−7
13 − x
x−7
13 − x
7−x
13 − x
Et comme les numérateurs sont égaux, 7 − x = 13 − x ⇔ 7 = 13 . Oups!
Qu’ai-je donc fait d’interdit ?
12
SOLUTIONS (parfois partielles):
Ex 1 : Ecriture d’un nombre décimal.
1. Si a est un entier naturel, alors a est soit pair (auquel cas le nombre est divisible par 2 et
a/2 est entier), soit a est impair et s’écrit sous la forme a=2n+1, avec n un entier. Dans ce
dernier cas, a/2=n+1/2, qui est bien décimal car sa partie décimale est 5.
2. Avec le même raisonnement que précédemment, Prouvez que le quotient d’un nombre
naturel par 5 est toujours un décimal.
3. Non. Prendre 7.
4. On utilise les questions 1 et 2 par itération.
Ex 2 : 45.
Ex 3 : 473.
Ex 4 : 9+8+76+5+4-3+2-1=100.
Ex 5 : On procède comme d’habitude avec les intersections : Si x ∈ ℝ + ∩ ℤ , alors x ∈ ℝ + ET
x ∈ ℤ . Si x ∈ ℤ , alors x est un entier positif ou négatif. Dans le cas ou il est positif, il
appartient à ℝ + . Sinon, il n’appartient pas à ℝ + . Ainsi, ℝ + ∩ ℤ est l’ensemble des entiers
positifs, i.e. ℝ + ∩ ℤ = ℕ .
Ex 6 : 1/9=0,1111111…. et 9/9=0,999999…=1
Ex 7 : 2 ;3 ;5 ;7 ;11 ;13 ;17 ;19 ;23 ;29 ;31 ;37 ;41 ;43 ;47 ;53 ;59 ;61 ;67 ;71 ;73 ;79 ;83 ;89 ;
97.
Ex 8 : Il faut trouver un trou de longueur 7 dans la liste des nombres premiers. 89 est gagnant,
83 perdant,79 gagnant, 73p, 71g, 67p, 61g, 59p, 53g, 47p, 43g, 41p, 37p, 31g, 29p, 23g 19p,
17p 13g, 11p, 7p, 5g, 3p, 2p. Pour gagner, il suffit de jouer dans la liste {5, 13, 23, 31, 43, 53,
61, 71, 79, 89} On peut montrer qu’il y a des trous de longueur aussi grande que l’on veut.
Ex 9 : C’est ce que l’on appelle un Rep-unit. Pour qu’il soit divisible par 18, il faut et il suffit
qu’il soit divisible par 9 et par 2. Or il n’est ni l’un ni l’autre.
Ex 10 : Non car il est divisible par 3 (considérer la division euclidienne ou écrire
(n − 1) + n + (n + 1) = 3n ).
Ex 11 : 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=7+3, 12=7+5, 14=11+3, 16=11+5, 18=11+7, 20=13+7,
22=11+11, 24=13+11, 26=13+13, 28=17+11, 30=17+13, 32=19+13, 34=31+3, 36=31+5,
38=31+7, 40=23+17, 42=23+19, 44=31+13, 46=29+17, 48=29+19, 50=31+19, 52=41+11,
54=41+13, 56=43+13, 58=41+17, 60=41+19, 62=43+19.
Ex 12 : Reprendre la liste de l’exo 7. Il y en a trois : 3, 5, 23.
Ex 13 : 28 = 22 × 7 , 32 = 25 , 327 = 3 × 109 .
Ex 14 : F5 = 4 294 967 297 = 641× 6 700 417
B
67
Ex 15 : C =
=
qui est une fraction irréductible.
A
6
Ex 16 : Un chiffre élevé à la puissance 5 garde la même unité (le vérifier pour 0, 1, 2, …9),
donc n5 − n aura pour unité 0. Il sera donc divisible par 5 (et même par 10).
Ex 17 : On appelle x la longueur du côté du carré intérieur et y la longueur du côté du carré
extérieur. On a alors comme hypothèse : x 2 = y 2 − x 2 . Ainsi, 2 x 2 = y 2 , ce qui donne y = 2 x
car on ne cherche que des solutions positives (longueurs).
Ex 18 : A=(x+1)(8x+6)
1
x2 + 1
x2 + 1 − 2x
( x − 1) 2
Ex 19 : On écrit x + ≥ 2 ⇔
≥2 ⇔
≥0 ⇔
≥ 0 ce qui est toujours
x
x
x
x
vrai avec la condition x>0.
Ex 20 : Il faudrait résoudre l’équation x3 − y 3 = 819 (voir cours de terminale pour des outils
plus adaptés (congruence). Sinon, on peut utiliser un tableur excel ou une calculatrice (c’est
mal) pour obtenir 11 et 8.
13
Ex 21 : Soit x le nombre cherché et A et 1000-A les moitiés. On a x 2 = 1000 A + 1000 − A ce
qui donne x 2 − 1 = 999( A + 1) . On discute des quatre possibilités et on trouve x+1 multiple de
999 (x=998) ou x-1 multiple de 27 et x+1 multiple de 37 (x=406) ou le contraire qui donne
x=593.
Ex 22 : 0.
Ex 23 : 4,35.1017
Ex 24 : En fait, il est facile de voir qu’il n’y a que 2 et 4 pour lesquels ceci est vrai (la preuve
stricte est vue en terminale) Il doit donc apprendre 499 nombres… Il devait avoir une autre
astuce !
Ex 25 :
Clovis est mort en 511, soit il y a 15 siècles. Ainsi, il faudrait
45
2 ≃ 35 184 372 088 832 aïeuls, ce qui est plus grand que la population mondiale (surtout à
cette époque)
Ex 26 : On trouve assez vite 1729 = 123 + 13 = 103 + 93 .
Ex 27 : Il suffit de lister les cubes: 343 et 1331
Ex 28 :
1. Il dut donner 20 + 21 + 22 + ... + 263 (il existe une formule de première pour calculer cette
somme, mais on peut le faire à la main), ce qui est égal à
a =18446744073709551615 ≃ 1,8.1019 .
1
2. Le nombre de sacs est a ×
≃ 2,3.1013 .
3
50.10 × 16
3. Le nombre de sac par camion est 36 × 200 = 7200 . Il faut donc 3, 2.109 camions pour
transporter tous ces grains.
4. Le nombre de tonnes nécessaires est donc 3, 2.109 × 36 ≃ 1, 2.1011 , soit un cinquième de la
production mondiale.
Ex 29 : a = 2-50×3-20 ; b =22.33.10-36
1
1
28
Ex 30 : 20 2×5 2 = 1002 ; 153×43 = 603 ; 3 + 3 = 3
12 4 12
Ex 31 : On regarde les puissances de 7 successives. On remarque que 7 4 finit par un 1. On
écrit donc 1117 2003 = 1117 4×500+ 3 = (1117 4 )500 × 11173 . Le premier facteur finit par un 1 et le
second par un 3. Le dernier chiffre cherché est donc 3.
Ex 32 : Pour le premier, il faut chercher des carrés, donc une identité remarquable. On a
111 111 555 555 + 1=111 111 × (999 999 + 6) + 1= (111 111 × 3 + 1 )2 , donc
111 111 555 555 + 1 = 333 334 .
Le second est plus facile : On écrit tout en puissance de 2 et on simplifie en utilisant les règles
énoncées.
( ) + (2 )
( ) + (2 )
23
810 + 410
=
84 + 411
23
10
2 10
4
2 11
(
(
)
)
20
10
230 + 2 20 2 2 + 1 220
= 12
=
= 12 = 28 = 256 .
2 + 222 212 210 + 1
2
3 4×5
On trouve a = 4 × ×
= 4 × 4 = 42 (Ceux qui ont développé, c’est mal !). On en
5
3
déduit que a=4.
Ex 33 :
Ex 34 : Là encore, un tableur donne la solution sans trop réfléchir. Voyons ce qu’un
matheux ferait : On cherche a tel que a − 3 a = 18 . En posant p = 6 a , on transforme
l’équation en : p 3 − p 2 = 18 . On voit bien que, plus p est grand, moins il peut être solution, la
croissance du cube étant bien plus rapide que celle du carré. E.g. p=10 est déjà trop grand. On
teste les valeurs inférieures et on trouve p=3. Donc a = 36 = 729 .
Ex 35 : 216e jour de l’année 1823, le 4 août.
9 juillet 2006: Coup de boule désastreux.
14
Ex 36 : On utilise l’expression conjuguée :
1
1
n +1 + n
n +1 + n
=
×
=
= n +1 + n .
(n + 1) − n
n +1 − n
n +1 − n
n +1 + n
Ex 37 : La mise en équation donne ( x + 4) 2 = x 2 + 72 ⇔ x = 7 m .
Ex 38 : 1/6x+1/12x+1/7x5+x/2+4=x d’où x=84.
Ex 39 : On trouve successivement x=7/8, x=-3, x=0 et x=2.
x
x
Ex 40 : La mise en équation donne + 5 + = x ⇔ x = 30 .
2
3
−
 9 9
 −1 
Ex 41 : On trouve successivement : S =  ,  , S = {−5; −3} , S =   , S = {−3; −2} .
 5 5
2
Ex 42 : J’ai inversé alors que le numérateur est nul et vaut 0 quand x=10, ce qui est
précisément la solution.
Test de factorisation:
1. 3(x+1)
2. (x+1)(x+12)
3. (x+1)(4x+1)
4. 4(x+1)²
5. (x+1)(8x+1)
6. (x+1)(9x-12)
7. (x+1)(x+11)
8. (x+1)(5x+16)
9. (x+1)(8x+15)
10. (x+1)(7x+19)
11. (x+1)(2x+17)
12. (x+1)(x+2)
13. (x+1)(7x-19)
14. (x+1)(-7x+30)
15. 2x(x+1)
16. (x+1)(x+4)
17. (x+1)(x+8)
18. (x+1)(3x-2)
19. (x+1)(4x+5)
20. (x+1)(x-1)(x²+1)
15
R1 : Résoudre les équations suivantes : a) 2x=3 ; b) x+2=3 ; c) 2x=0 ; d) 2x=1 ; e) x+2=0 ;
f) x+2=1 ; g) 2-x=0 ; h) 2-x=1 ; i) x-2=1 ; j)
o)
x
x
x
2
2
= 0 ; k) = 1 ; l) = 5 ; m) = 1 ; n) = 5 ;
2
2
2
x
x
2
2
2
2
2 x −1
2 x −1
2
3
= 0 ; p) x = 5 ; q) x = 0 ; r) x = −1 ; s)
= 0 ; t)
= 0 ; u)
= 1 ; v)
=1 ;
x
3
3
3
3
x
x +1
x −3
R2 : Résoudre les équations suivantes : a) 9x2-1=3x+1; b) x(3x-2)=4-9x2 c) (2x-1)2-(3x+2)2=0 ;
d) (3x+2)2=(5-2x)2 ; e) 2(x-1)2-3(2x+1)2=0 ; f)
( 2 x + 1)
2
x2
2
= 0 ; g) (x+3)(2x+5) =3+x ;
9
−
4
2
x
2
x
2
h) 4x +4x+1=0 ; i)
+
+ 1 = 0 ; j) 3x -2 3 x + 1=0.
9
3
2
R3 : Résoudre les équations suivantes : a) x2=25 ; b) 4x2=25 ; c) 5x2=0 ; d) 3x2= -2 ; e) 25x2-81=0 ;
f) 121x2+1=0 ; g) πx2+ 11 =0; h) (2x-1)2=3 ; i) (x+2)2=x2-4 ; j) 4(x+3)2=x2-9 .;
D1 : Développer et réduire les expressions suivantes : a) (x+3)(x+4); b) (2x-3)(-x+2);
c) (-4x+3)(2x+1); d) (7x-2)(3x+2); e) ( 1 x-3)(x+ 2 ); f) ( 3 x-1)(x+15); g) 2(3x-5)-(5x-3)(-2x+1) ;
2
3
5
h) 4x-5(2x+1)+(3x-4)(7x+2); i) 2x-3(x+2)(-4x+1); j) –(
1
x+3)-3(x-1)( 1 x-3).
2
2
D2 : Développer et réduire les expressions suivantes : a) (3x+5)2-2x(x-4) ; b) (4x-1)2-(5x+2)(3x-1);
c) 2x(-3x+1)-(2x+3)2; d) (4x-3)(4x+3)-(2x+1)(2x-1); e) (3x-2)(3x+2)-4(x-3)2;
f) (4x-3)2-2(5+3x)(5-3x); g) (-2x+7)2-(3-4x)2; h) (2x-7)2-(x+3)(-x+3);
i) (-2x+5)2-3x(-x+2)+(4x-5)(5+4x); j) (
2
x-1)(
3
2
x+1)-(-5x-2x)2.
3
D3 : Développer et réduire les expressions suivantes : a) (3x+2)2-2(x-1)(x+1);
b) –5+2(3x-1)2-(3x+3)(2x-3); c) (x-1)(x2+x+1); d) (x-1)(x-2)(x-3); e) (x-3)3;
f) (x2-x+3)2; g) (x5+5x2)2; h) (x-5)2-x2-25; i) ((x)2)2-(x2-2)2; j) (2x-
2 2 4
) ( +2x)2.
3 9
IR : Dans chacune des questions suivantes, déterminez s’il faut factoriser ou développer puis trouvez l’identité
remarquable à utiliser et conclure : a) Calculez 552- 452 ; b) Complétez (x+…)2=…+…+25 ; c) Montrer que
a2+ab+b2=(a+
b 2 3b 2
)+
; d) Calculez 105×95 ; e) Résoudre (3x+1)2-(2x-3)2=0 ; f) (3x+1)2-(2x-3)2=… ; g)
2
4
Résoudre (7x-2)2-3x(4 -14x)=0 ; h) ( 5-3 2)2-( 2+3 5)2 est-il un entier ? h) (3t+…)2 =…-12t+… ; i) Quel est
le signe de (x2+1)(x2+2)+x4-1 ?
(
)
3
4 × 10−2 × 102
13 ×10−7 × 45 ×10 −3
P1 : Ecrire sous forme de fractions irréductibles : a)
; b)
9 ×10−23
12 × 10−3
c)
( )
25 × 102
−5
× 121
11× 75 ×10−9
; d)
93 × 27 2 × 75
42 × 102 × 0, 4 × 103
43 × 54 × 73 × 56
73 ×10 −3 × 0, 6 2 ; h)
;
e)
;
f)
;
g)
52 × 34
36 ×10−2 × 35 ×106
53 × 7 2 × 32
122 ×104 × 5
11×102
−4
2
0, 03 × 5 × 10
5 × 10−13 ; j) 72 × 10 × 3 ×10
;
i)
6 × 502 × 103
−60 ×10−9 × 25 ×103
121×105
3 × 1014
3
4
RAC1 : Ecrire sous la forme la plus simple possible : a)
d) 28× 63× 12; e) 2 5+ 45-3 20; f)
h)
3(2 2- 3); i)
8
3 15
; j)
×
×
27
2
5
27+7 75- 300 ; g)
3+2 3(1+ 3); e)
h)
625-25; i)
1−
5- 5(2-3 5); f)

24
24
; j) 
× 1+

25
25

24× 18; c) 5 2×9 30;
24
× 14× 6;
7
105 .
RAC2 : Ecrire sous la forme la plus simple possible : a)
d)
3× 6; b)
103; b)
57; c) 2 13× 26 ×5 32
810 + 410
; g)
43+ 31+
84 + 411
2
2
10 − 2 5   1 + 5 
 +
 ..
  4 
4

16
21+
13+
7+ 3+ 1
R1 : (a) 3/2 (b) 1 (c) 0 (d) ½ (e) –2 (f) –1 (g) 2 (h) 1 (i) 3 (j) 0 (k) 2 (l) 10 (m) 2 (n) 2/5 (o) ∅
(p) 15/2 (q) 0 (r) -3/2 (s) ½ (t) ½ (u) 1 (v) 6
R2 : (a) {-1/3 ;2/3} ; (b) {-1/2 ;2/3} ; (c) {-3 ;1/5} ; (d) {-7 ;3/5} ; (e)
 −8 − 3 6 −8 + 3 6 
,

 ;(f) {-3/4 ;-3/8} ; (g) {-3 ;-2} ; (h) {-1/2} ; (i) {-3} ; (j) { 3/3}
10 
 10
R3 : (a) {-5 ;5} ; (b) {-5/2 ;5/2} ; (c) {0} ; (d) ∅ ; (e) {-9/5 ;9/5} ; (f) ∅ ; (g) ∅ ;
1 − 3 1 + 3 
(h) 
,
 ; (i) {-2} ; (j) {-5 ;-3}.
2 
 2
D1 : (a) x2+7x+12 (b) –2x2+7x-6 (c) –8x2+2x+3 (d) 21x2+8x-4 (e) 1/2x2-8/3x-2 (f) 3/5x2+8x-15
(g) 10x2-5x-7 (h) 21x2-28x-13 (i) 12x2+23x-6 (j) –3/2x2+10x-12
D2 : (a) 7x2+36x+25 ;(b) x2-9x+3 ;(c) –10x2-10x-9 ;(d) 12x2-8 ;(e) 5x2+24x-40 ;(f) 34x2-24x41 ; (g) –12x2-4x+40 ;(h) 5x2-28x+40 ; (i) 23x2-26x ; (j) –77/9x2-1
D3 : (a) 7x2+12x+6 ;(b) 12x2-9x+6 ;(c) x3-1 ; (d) x3-6x2+11x-6 ; (e) x3-9x2+27x-27 ; (f) x42x3+7x2-6x+9 ; (g) x10+10x7+25x4 ; (h) –10x ; (i) 4x2-4 ;
(j) 16x4+(-32/9)x3+(-171/81)x2+(64/243)x+64/729
P : (a) 5.13.1013 (b) 30-1 (c) 11.30-1 (d) 4.30-1 e) 24.5.72 f) 39 g)
.1024 ; j) -
73
5
3
.10-10 h) .10-3; i)
2
2
55
2 × 32
.
53
RAC1 : (a) 3 2 (b) 12 3 (c) 90 15 (d) 84 3 (e) - 5 (f) 28 3 (g) 12 2 (h) 2 6-3 (i) 2 5
(j) 100 10
RAC2 : (a) 10 10 ; (b) 125 5 ; (c) 1040 ; (d) 6+3 3, (e) 15- 5 ; (f) 4 ; (g) 7 ; (h) 0 ; (i)
1/25 ; (j) 1.
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