Couple acide-base : CORRECTION
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CORRECTION DES EXERCICES DU CHAPITRE n° 4 I) Cyclotron. a) Dans un "dee" existe un champ magnétique B uniforme, les protons sont donc soumis à q une force f = q. v B = m. a d'où a = . v B a est donc orthogonal à B or, v 0 est m lui-même orthogonal à B . Choisissons, alors un repère (O, i , j , k ) tel que k soit parallèle à B , on a donc a (ax, ay, 0), d'où par intégration : v ( vx, vy, vz = cte = 0), le mouvement a lieu dans le plan orthogonal à B (plan de la figure). En résumé, le mouvement est plan car : - la seule force en présence est de type magnétique - le champ magnétique est uniforme - la vitesse initiale est orthogonale au champ q f = a = . v B on en déduit que a (ou f ) est constamment orthogonal à v , donc m m v2 * l'accélération n'a qu'une composante normale a = aN = r dW * P = f .v = = 0 la puissance des forces magnétiques est nulle : l'énergie cinétique est dt te donc constante, d'où v = c v2 te d'autre part q,.m, v et B, étant des constantes, on a a N = c d'où : r = = cte = R on est aN en présence d'un mouvement plan à courbure constante, comme v = cte on a un mouvement circulaire uniforme. En résumé, le mouvement est circulaire uniforme car : - le mouvement est plan - a (ou f ) est constamment orthogonal à la vitesse - B et a , sont des vecteurs de module constant b) On a vu que : q m. v v2 2..m 2..R a = aN = .v.B = d'où R = si T est la période pour un tour : T = = R m q .B q .B v . m = 3,3.108 s q .B la fréquence de la tension est donc la même que la fréquence de rotation du proton soit : 1 1 N= = = 1,5.107 Hz 2.t T c) On suppose que durant le transit du proton entre les "dees" le champ électrique accélérateur est maximum et constant (maximum d'efficacité et durée du transite très brève), donc U = UM . Le travail des forces magnétiques est W = q.UM à chaque transit. A chaque tour le proton est accéléré deux fois, donc, par tour : EC = 2. q.UM = 1,3.1015 J = 8000 eV d) On a ECf ECi = n.EC où n est le nombre de tours effectués par un proton dont l'énergie cinétique passe de ECi à ECf, ici ECi = 0 : m. v 2f E Cf n= = = 257 tours 2. E C E C soit pour un demi-tour t = T/2 = Page 1 II) Filtre de Wien et spectrographe de masse. a) i. Dans le filtre de Wien, un ion n'étant soumis qu'à une force électrostatique F e et à une force magnétique de Lorentz F m (on néglige les effets du poids de l'ion), pour que son mouvement soit rectiligne et uniforme il faut que l’ion soit pseudo-isolé : F e + F m = 0 , or F e = q. E et si q > 0, F e a même sens que E (vers le haut sur le schéma), il faut donc que F m = q. v 0 B1 soit dirigé vers le bas. Le trièdre q. v 0 , B1 et F m et donc le trièdre v 0 , B1 , F m doit être direct, F m est dirigé vers le bas, v 0 vers la droite : B1 est alors sortant de la feuille. ii. Sachant que F e + F m = 0 , on a q. E + q. v 0 B1 = 0 et : E + v 0 B1 = 0 En module, si F e + F m = 0 on a (avec q > 0 et B1 orthogonal à v 0 ) Fe = q.E = Fm = q.v0.B1 soit : E = v0.B1 iii. Si v > v0 alors Fm > Fe (en mesure) les particules sont déviées vers le bas (du schéma). Si v < v0 alors Fm < Fe les particules sont déviées vers le haut. U iv. v 0 étant orthogonal à B1 on a vu que : E = v0.B1, or E = d U donc v0 = = 107 m.s1 d. B1 b) i. Dans le spectrographe les ions ne sont soumis qu'à la force de Lorentz. La vitesse initiale v 0 étant orthogonale à B qui est lui-même uniforme, le mouvement de l'ion C2H5O+ est circulaire uniforme et le rayon du cercle est donné par : m .v v M R0 = 0 0 = m0. 0 avec m0 = 0 masse de l'ion M0 étant sa masse molaire. q .B 2 e.B 2 N m. v 0 2. m.R 0 en posant m = N.M où N est le e.B 2 m0 nombre d’Avogadro, on peut remplacer le rapport des masses des ions par le rapport de 2.R 0 .M leurs masses molaires : OC = M0 Si on exprime R0 en cm (R0 = 45 cm) et M0 en g.mol1 (M0 = 45 g.mol1) on a : OC (en cm) = 1.M (en g.mol1) + Pour C2H5OH OC = 46 cm, pour C2H5+ OC = 29 cm pour OH+ OC = 17 cm, pour CH2OH+ OC = 31 cm pour CH3+ OC = 15 cm, pour CH2+ OC = 14 cm ii. Pour H+ on aurait OC = 1 cm qui est du même ordre de grandeur que la largeur du filtre de Wien, donc pour des raisons purement matérielles il est impossible de recueillir ces ions. m0 . v 0 m0 . v 0 M0 . v0 iii. de R0 = on déduit : B2 = = = 20,8 T e.B 2 e. R 0 N. e. R 0 Pour un autre ion on aura : OC = 2.R = 2. Page 2 III) Champ électrique ou champ magnétique. a) - Dans le champ électrique uniforme E , les particules décrivent un arc de parabole dans le plan de la figure, dont le sommet est le point O et dont la concavité est tournée vers le bas de la figure : on a affaire à un mouvement à vecteur accélération a constant (dans le plan de figure, et dirigé vers le bas de la figure). Or, m. a = F e , les particules sont soumises à une force constante F e dans le plan de la figure de direction orthogonale à OH et dirigée vers le bas (en particulier au point M, voir figure 1). On sait que la force électrique est donnée par F e = q. E , q étant positif le vecteur champ électrique E est donc parallèle et de même sens que F e . - Dans le champ magnétique uniforme B , les particules décrivent un arc de cercle dans le plan de la figure et de centre C : on a affaire à un mouvement circulaire uniforme à vecteur accélération a centripète (dirigé vers le point C) et de module constant. Or, m. a = Fm , les particules sont soumises à une force centripète Fm dans le plan de la figure dirigée vers C et de norme constante (en particulier au point M, voir figure 2). On sait que la force magnétique est donnée par Fm = q. v B , q étant positif et d'après la règle des trois doigts, le vecteur champ magnétique B est orthogonal à la figure est sortant. b) Dans le champ électrique uniforme E , les particules ont un mouvement à vecteur accélération a constant (mouvement parabolique). En choisissant un axe Ox parallèle à OH et de même sens et un axe Oy orthogonal à OH et dirigé vers le bas de la figure, les équations horaires du mouvement s'écrivent : x = v0.t et y = 21 .a.t où a est la norme de l'accélération, soit l'équation de la parabole : y= 2. v 20 . y a. x 2 2.v 02 .d d'où l'on tire a = en particulier, pour le point A : a = . D'autre part, la 2. v 20 x2 l2 loi fondamentale s'écrit q. E = m. a ou ║ a ║ = a = q q 2.v 02 .d .E q étant positif on a : = .E 2 m m l 2.v 20 .d q = = 4,8.107 C.kg1 2 m E.l c) Dans le champ magnétique uniforme B , les particules ont un mouvement circulaire uniforme à vecteur accélération a centripète (dirigé vers le point C) et de module constant. On a Fm = q. v B , le mouvement étant uniforme la vitesse garde un module constant et v = v0, les vecteurs v et B sont constamment orthogonaux, d'où ║ Fm ║ = Fm = q.v..B = q.v0.B v2 v2 Le mouvement étant circulaire uniforme, on a : ║ a ║ = aN = = 0 R v 20 La loi fondamentale s'écrit : q. v B = m. a or v et B étant orthogonaux q.v0.B = m. R v q Soit = 0 = 4,8.107 C.kg1 m B.R Page 3 d) Pour un élément X, on peut décrire un ion par le symbole X n+ où n est le nombre de charges de l'ion, on peut décrire un isotope de cet élément par le symbole AZ X où A est le nombre de masse (nombre de nucléons) et Z le nombre de protons. On peut d'ailleurs décrire un ion d'un isotope de l'élément par le symbole AZ X n . q n.e Pour l'ion AZ X n , e = 1,6.1019 C et mn = 1,67.1027 kg la charge massique est : = m A.m n On peut calculer le rapport q/m dans chaque cas : 2 4 2 7 9 2 Symbole de l'ion et du nucléide 11H 1H 2 He 3 Li 4 Be q/m (C.kg1) 9,6.107 4,8.107 4,8.107 1,4.107 2,1.107 Il ne peut s'agir que de l'ion H+ du deutérium ( 21 H ) ou de l'ion He+ de l'hélium 4 ( 42 He ) IV) Accélération puis déviation de particules chargées. a) Pour communiquer aux ions (initialement au repos) une accélération entre S et O il faut que la force de Coulomb F = q. E soit dirigée suivant l'axe Ox et dans le sens de S vers O. La charge des ions est q > 0 : le champ électrique E est dirigée suivant l'axe Ox et dans le sens de S vers O, comme le champ E est dans le sens des potentiels décroissants : VS > VO Autre démonstration : La variation d’énergie cinétique entre S et O doit être positive pour que les ions soient accélérés : 21 .m.v02 21 .m.vS2 > 0, d’après le théorème de l’énergie cinétique, le travail des forces appliquées entre S et O doit aussi être positif : La seule force appliquée entre S et O est la force électrique F = q. E et son travail s’écrit : W (F) = q. E . SO = q.(VS V0), le champ E étant uniforme est parallèle et de même sens S O que SO . Les ions portant des charges positives (q > 0), on doit avoir (VS V0) > 0 : VS > VO b) Appliquons le théorème de l'énergie cinétique à un ion entre S et O : 1 .m.v02 21 .m.vS2 = q.(VS V0) avec vS = 0 et VS VO = U0, on obtient 2 v0 Soit 1 2 .m.v02 = q.U0 2. q.U0 m c) i. Entre les plaques A et C les ions sont soumis à la force de Lorentz F = q. v B. q D'autre part, la loi fondamentale de la dynamique s'écrit F = m. a . Soit a = .v B . m Cette relation vectorielle est vraie à chaque instant : on voit donc que le vecteur accélération a est orthogonal au vecteur champ uniforme B , donc a n'a pas de composant parallèle à B . Appelons Oz l'axe orthogonal au plan de figure (parallèle à B ) et de même sens que B , (sortant) : on a az = cte = 0 par intégration v z = cte = 0 puisque l'instant de leur entrée O, les ions ont une vitesse contenue dans le plan de figure (donc elle y reste) et par une autre intégration, on obtient z = cte = z0 : Les ions se déplacent dans le plan orthogonal à B et contenant O (plan de figure). ii. F = q. v B implique que F est constamment orthogonal à v , F qui est constamment orthogonal au déplacement ne travaille donc pas et l'énergie cinétique des ions reste constante : Les ions ont une énergie cinétique constante donc v = cte = v0. Page 4 iii. On a vu que a = q .v m d'un ion, on obtient : a = B . Ecrivons le vecteur accélération dans le repère de Frénet v2 dv .T + .N dt Où T et N sont les vecteurs unitaires, respectivement tangent et normal à la trajectoire au point où se trouve l'ion, est le rayon de courbure de la trajectoire en ce point. dv Mais, v = cte = v0 et donc = 0, le vecteur a n'a pas de composante tangentielle. dt 2 v 20 v q q . N = . v B et en module de chaque membre : = .v0.B.sin( v , B ). a = aN = m m m. v 0 te te c = R. v est constamment orthogonal à B et v = c = v0 entraîne que = q.B Le rayon de courbure de la trajectoire (plane) est constant : m. v 0 1 2. m. U0 La trajectoire est un cercle de rayon R = = . q. B B q d) i. Etant donné le sens de B et de la vitesse v 0 des ions en O, la force de Lorentz F = q. v B est dirigée au départ (au passage de l'ion en O) vers le bas de la figure : les ions sont donc déviés vers le bas de la figure : Il faut orienter O'Y vers le bas de la figure pour que les ions arrivent sur l'écran C avec une ordonnée Y positive. ii. Les ions pénètrent en O avec une vitesse orthogonale à l'électrode A. Le centre du cercle de rayon R décrit par les ions est sur la normale à v 0 , donc dans le plan de l'électrode A. En désignant par P le point d'impact des ions sur l'écran et par H la projection orthogonale de P sur l'électrode A, on a : H2 + HP2 = P2 soit (R Y)2 + l2 = R2 2 2 2 2 ou R 2.R.Y + Y + l = R Y2 2.R.Y + l22 = 0 iii. Avec second 1 2. m.U0 . = 1,144 m on a l'équation du B q degré : Y2 0,288.Y + 0,01 = 0 dont les R= solutions sont : Y = 0,288 0,288 2 0,04 2 soit Y1 = 4,04 cm et Y2 = 24,8 cm La première valeur correspond à l'impact des ions en P, la deuxième valeur correspond au deuxième point d'intersection du cercle avec l'écran C (non physique). d'où Y = 4,04 cm Page 5
