Conditionnement et Indépendance

TS
Probabilités :
Conditionnement et Indépendance
I. Conditionnement par un événement de probabilité non nulle
ACTIVITE P 372
1. Définition
On considère une expérience aléatoire et l'ensemble Ω des résultats, muni d'une probabilité P.
Soient A et B deux évènements de Ω , avec P(A) ≠ 0.
Définition : La probabilité de l’évènement B, sachant que l’événement A est réalisé,
P ( A ∩ B)
est noté PA(B) ou P B et est défini par : PA ( B ) =
.
A
P ( A)
On l'appelle probabilité conditionnelle de B sachant A.
( )
Remarque : On utilise aussi la formule sous la forme P ( A ∩ B ) = PA ( B ) × P ( A) .
2. Représentation à l’aide d’un arbre de probabilité.
On peut ainsi illustrer la situation de l’exemple à l’aide d’un arbre de probabilités.
Construction :
Sur les branches primaires on note la probabilité de chacun des événements G et F.
Sur les branches secondaires issues de G on note les probabilités conditionnelles « sachant G ».
Sur les branches secondaires issues de F on note les probabilités conditionnelles « sachant F ».
B
A
P B
P B
B
̅
̅
P B
Règle n°1. P B +P B = 1. La somme des probabilités marquées sur les branches secondaires
issues d’un même événement est égale à 1.
Remarque . Le chemin
∩
=
.
A
B représente l’événement
∩
:
×
Règle n°1 : La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités marquées sur les branches qui
constituent ce chemin.
Exercices : 5 ;7 ;8 p 383.
II. Formules des probabilités totales
1. Partition
On considère une expérience aléatoire et l'ensemble Ω des résultats, muni d'une probabilité P.
Définition : On dit que les évènements B1 , B2 ,..., Bn de probabilités non nulles forment une partition
de Ω si :
▪ leur réunion B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn est égale à l'univers Ω
et
▪ les événements sont deux à deux incompatibles, c'est-à-dire que l'intersection de
n'importe lesquels de deux d'entre eux est vide.
Exemple : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. Soient B1 = {1 ; 3 ; 5 } ; B2 = {2 ; 4} et B3 = {6}
B1 ; B2 et B3 sont deux-à-deux disjoints et leurs réunion est égale à Ω .
Ils constituent donc une partition de Ω .
2. Formule des probabilités totales
Formule des probabilités totales : Soient B1 , B2 ,..., Bn des événements formant une partition de Ω .
Pour tout événement A :
P ( A) = P ( A ∩ B1 ) + P ( A ∩ B2 ) + ... + P ( A ∩ Bn ) = PB1 ( A ) P ( B1 ) + ... + PBn ( A ) P ( Bn ) .
Conséquence :
Régle 3 : Dans un arbre de probabilité, la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des
chemins qui conduisent à cet événement.
Exercices : 9 ; 14 p 384. 19 p 385
III. Indépendance
On considère une expérience aléatoire et l'ensemble Ω des résultats, muni d'une probabilité P.
1. Définition : On dit que deux évènements A et B sont indépendants si P( A ∩ B ) = P ( A) × P( B)
Remarques :
● Si P( A) ≠ 0 , alors A et B sont indépendants revient à dire que PA ( B ) = P ( B ) . De même,
Si P( B) ≠ 0 , alors A et B sont indépendants revient à dire que PB ( A) = P ( A) .
A et B sont indépendants si la probabilité de l’un ne dépend pas de la réalisation de l’autre.
●!! Attention !! Ne pas confondre événements incompatibles et événements indépendants.
2. Exemple :
On choisit au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
On note A l’événement : « la carte tirée est un as » et P l’événement « la carte tirée est un pique ».
Les événements A et P sont-ils indépendants ? Incompatibles ?
Exercice : 24 et 25 p 386