PARALLELOGRAMME Prendre deux bandes de papiers dont les côtés sont parallèles et les placer de travers, tracer leur intersection I le Parallélogramme : définition A B On observe : ……(AB) // (CD) et (AD) // (BC) D C Définition : Un parallélogramme est …… un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles ……………. II le parallélogramme : propriétés 1) Diagonales : Trace un parallélogramme MATH, tel que MA = 5 cm, TAM = 45° et TA = 3 cm. Construis ses diagonales. Finir la construction au compas H Que constates-tu ? T …Les diagonales se coupent en leur milieu … I Remarque : M A …L’intersection des diagonales est le centre de symétrie du #………… Propriété 1 : ……………………………………………………………………………………………………… …………… Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu ………... Réciproquement : T O Soit un point I tel que I ne soit pas sur (TO). Construis le point R symétrique du point O par rapport à I. Construis le point U symétrique du point T par rapport à I. I Que constates tu ? …… Le quadrilatère TOUR est un #.………………… R U Propriété réciproque : Si les diagonales d'un quadrilatère non croisé …………………………………………. ……… se coupent en leur milieu alors ce quadrilatère est un #………………… 2) Côtés opposés : 1ère partie : Construis un parallélogramme ROND de centre I tel que RN = 6 cm, OD = 4 cm et RIO = 120°. On a : I est le milieu.……..de [RN], et I est R O le …milieu…… de [DO], donc dans la symétrie de centre I, R a pour image N… et O a pour image D… . I D N Or…la symétrie conserve les longueurs…………………………………… Donc : …RO = ND…………………. De la même façon, tu peux démontrer que ……RD = ON………………………………… Propriété 2 : ……………………………………………………………………………………………………… ……… Si un quadrilatère est un parallélogramme alors les côtés opposés ont la même longueur ………... Réciproquement : Construis un quadrilatère dont les côtés opposés ont la même longueur. Que constates tu ? ……c’est un #……………………………………………………… Propriété réciproque : Si les côtés opposés d'un quadrilatère non croisé sont …………………………………. ……… de la même longueur alors ce quadrilatère est un #………………………. 2ème partie : Construis la parallèle à la droite tracée ci-contre Trace deux segments de même longueur sur chacune de ces parallèles Tu obtiens un quadrilatère dont les côtés opposés ont la même longueur. Que constates tu ? ……c’est un #……………………………………………………… Propriété 3 : Si deux côtés opposés d'un quadrilatère non croisé sont ………………………………………….. ………… parallèles et de la même longueur alors ce quadrilatère est un #……………………. 3) Exercice type : E 1) Trace le triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 6 cm et BC = 7 cm. 2) Marque I le milieu de [AB] et J celui de [AC]. 3) Construis le point D symétrique de B par rapport à J, et E le symétrique de C par rapport à I. 4) Démontre que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. 5) Que peux-tu dire de BCAE ? A I B D J C On a : J milieu de [AC] et J milieu de [BD] car D est le symétrique de B par rapport à J Or : si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu alors c’est un parallélogramme. Donc : ABCD est un parallélogramme Pour les mêmes raisons BCAE en est un aussi. III le parallélogramme : angles 1) Angles opposés : A B Hypothèses : ABCD est un parallélogramme. Par définition d’un parallélogramme : (AB)……//…(CD) 1 ère et (AD) …//……(BC). y D C partie : Colorie en rouge l'angle BAD . On a : BAD et yDA sont …alternes-internes……………………………, et (AB) …//……. (CD) Or … Si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes - internes qu'elles forment avec la sécante sont ………de même mesure ………….. Donc BAD …=…… yDA . On a : yDA et DCB sont …correspondants…………………………, et (AD) …//……. (BC) Or Si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants qu'elles forment avec la sécante sont ………de même mesure …..………. Donc yDA …=…… DCB . D'après les deux démonstrations précédentes, on a : BAD …=…yDA et yDA …=…DCB . On en déduit que : …BAD …=…DCB….. 2ème partie : Colorie en bleu l'angle ADC . De la même façon que précédemment, on démontre que : ……ADC …= … ABC ………….………… Propriété 4 : si un quadrilatère est un parallélogramme, alors……… ses angles opposés sont de même mesure Propriété réciproque (admise) : si, dans un quadrilatère, les angles opposés sont …égaux 2 à 2……………, alors……c’est un #……………………………………………………………………………………. 2) Angles consécutifs : D’après le 1er paragraphe, DAB …=… yDA, et de plus les angles yDAet ADC sont supplémentaires………., donc les angles DABet ADC sont …supplémentaires…………………..…. DAB + ADC = …180°………. De même, on a : ADC + DCB = …180°……, DCB + CBA = …180°…….., CBA + BAD = …180°……… Propriété 5 : si un quadrilatère est un parallélogramme, alors…………………………………………………… ………………………… ses angles consécutifs sont supplémentaires Propriété réciproque : si, dans un quadrilatère, les angles consécutifs sont … supplémentaires 2 à 2………, alors…………c’est un #……………………………………………………………………………………... IV Application : Construis un prime droit dont la base est un parallélogramme TOUR de centre I tel que TIR = 110°, RO = 5 cm et TU = 7 cm, et dont la hauteur mesure 4 cm. U R I O T