Réduction des idéaux et multiplicités dans les anneaux

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
DANIEL R EES
Réduction des idéaux et multiplicités dans les anneaux locaux
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 13, no 1 (1959-1960), exp. no 8,
p. 1-6
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Séminaire DUBREIL-PISOT
(Algèbre et Théorie des nombres)
13e année, 1959/~0 ~ n° 8
RÉDUCTION
8-01
11 janvier 1960
DES IDÉAUX ET MULTIPLICITÉS DANS LES ANNEAUX LOCAUX
par Daniel REES
Je commencerai cette conférence
rappelant quelques résultats
en
sans
démons-
tration.
Soit
k
Q
un anneau
polynôme
un
nous
e(03B1)
x
et
et
un
est
Ql’idéal
maximal et
m.
étant
un anneau
pour
k
S
Samuel)
polynôme
degré
égale à Sa(n) si n > n0 .
de
de
d
un
indice
Q /m .
pour
idéal m-primaire. Il existe donc
que ,03B1
un
Nous écrivons
un
entier
n0
tels que la
en n
écrivons
s’appelle
(ii)
m
et d’idéal maximal
soit
soit
Si
De m~me si
écrivons
nous
(i) Supposons
et
Q/m.
pour le corps
quelconque,
local de dimensions d
la
BHATTACHARYA
b
dd l’idéal
multiplicité
[l]
a
dorme
soient deux idéaux
polynôme
généralisation
m-primaires.
de degré d
(m , n)
B03B1
B ~ (m ~ n)
une
et.
de
ce
résultats Supposons
Il existe des
en
et
m
n
que
entiers m0 , rL.
03B1m
tels que
hn)
J
soit
m
égal
et
(iii)
A
est
Il
en
à
et
a
n
dans
Si
A
une
si
est
n >n~ *
Les coefficients des termes
(m , n) sont, respectivement, e(a)/di
un anneau
réduction de
~
résuite que, si t~ ~ ~
noéthérien et
si
et
b
c
a a
et
3
un
idéal de
et s’il existe
~ ~ sont
un
m-primaires
A ,
et
un
entier
idéal
k
b
de
tel que :
Un
Q
local
anneau
appelé "quasi-non
est
complété Q
nimal p de l’idéal zéro dans l’anneau
Si Q
est
un
Supposons
anneau local
intègre quasi-non mixte ;
R =
que
idéal premier de
soit
... ~
R
tel
corps des fractions de
que p ~ Q
Q ,
mixte"
donne le résultat
Maintenant, je
Si
Q
est
m-primaires
un anneau
intègre
le résultat suivant :
soit
et que
p
F . G
et
local
k ~
R
qui
est
En
particulier,
dimension égale à
a une
i
l’ obj et
quasi-non mixte,
un
les
e
G == F
si
dim Q .
de cette conférence.
et si
qui vérifient la condition
Q
de
nous avons
R . Donc
extension finie de
une
Q ,
K=R/pR
Cette f ormule est la formule de dimension de
et si. K est
de
un anneau
Soient
m .
=
pour tout idéal mi-
si,
et b
a
~a~ ~ e ~~) !
sont deux idéaux
c a
alors b
est
une
réduction
Nous
neau
utilisons,
comme
Q[t] ,
t
de
i~n cr
où
r
a,
on
et par
gradué
indéterminée
R
sera
x
de
Comme
Q
R
conséquent
soit
un
toujours
tel que
est
... ~
idéal
un
Q ,
sur
e st
ta ]
et
homogène
idéal
Ra .
a,m
... ,
a R =
a
(il)
une
cr ~ 03B1r . Si a1 ,
Supposons que £
éléments
est
un anneau
r
avec
de l’idéal
idéal de
outil,
de
un
Cet
système fini
R
R, a (dans
un
de
générateurs
est noethérien.
Cet ensemble est
existe
sous-an-
constitué par les éléments
tout
homogène). Considérons
noethérien, il
est le
anneau
entier
un
k
ce
qui suit,
l’ensemble £
idéal de
Q
tel que, si
un
r
et
r
des
appelle idéal impropre
On
de
idéal
de l’idéal
b
b
et soit D
que
B
nous
supposons
est
de
c a
impropre si,
que b
X
par
Il
en
propre.
un
est
une
réduction de
une
que D
es t
un
réduction de
de
x .
B
et donc
ce
idéal propre maximal B
résulte que, pour montrer que b
avec
par des fractions
Maintenant,
l’idéal X03B2
xtr/ytr
est
Désormais,
un
idéal
qui contienne D .
R
idéal premier. De plus
gène q*
de
à
un
idéal
R a o Un élément xtr
ytr .
Les faits suivants sont
est le
de
E
idéal de
R
xtr/ytr
q
est
M03B2-primaire,
alors
q*
on a
avec
X
un
dans q*
et
idéal homo-
xtr/ytr
si
E
q
les démonstrations .
où
homogènes
est
xtr
avec
S
est la
de
R
03B2-primaire
partie multipli-
non
c
~’
Si
e
03B2 .
associons
est contenu
cativement stable constituée par les éléments
=
a
nous
3Eg
(~~
constitué
R . Nous associons
q
R
e
R03B1 ,
ytr
et
et
élémentaires, et j omets
composant isole
si
l’ anneau local
de
xtr , ytr
un
réduction de c
constitué par les fractions
Réciproquement,
(Xp)*
soit
une
idcal propre maximal de
un
telles que
supposons que
de Q03B2
que lque s
est
est
l’idéal premier Q
ytr ~ 03B2.
(iii)
est
r
conséquent
Nous associons
(ii)
b
et seulement si
il suffit de montrer que, si 03B2
p our
si
=
’
Il n’est pas difficile de montrer
et,
X a~
tel que
appelé idéal
est
n’est pas
propre. Nous choisissons
idéal X
un
Maintenant, considéQ . Soit bl , ... , b un système fini de générateurs
l’idéal (h,i t .....m
b t) de R c . Il est clair
suffisamment grand. Autrement
rons un
Ra
et
contenus dans
(iv)
est
un
idéal
03B2-primaire,
est
X
LEMME 1
si
est un..>d-ég.i,__,pr,ggg.e-.. maximal,
£s£ suffisamment gr,aQ§,, et est fini.
r
Ecrivons
homogènes
vectoriel
idéal
un
S
pour l’anneau
degré
de
.
k . Soit
sur
nul âe
non
Choisissons
est
S0
r .
S ,
donc
un
/P
corps
de
u
degré
i
S
et
r
isomorphe
S
impropre, et,
élément fixe
un
a
élément de
un
y
R
gradué
et
m03B2-primaire
(03B1r/03B2r)
à
kl
lkp :
pour l’ensemble des éléments
à
homogène
S
k
et
de
degré
conséquent,
par
égal
est
est
r
r
espace
yS
p .
pour
1~ Donc il existe
un
est
grand,
assez
un
entier
k
tel
plus, il
assez grand.
existe
un
élé-
que
et la dimension de
ment
homogène
est
Srr
la.
égale
longueur
kp
r
yv , pour
l’anneau des fractions
degré.
Mais
sont de la forme
z/y
z/y
=
v/à .
où
z , y
et,
par consé-
sont
Donc la dimension de
pour r > k . :Mais la dimension de
/
S
est
r
égale
à
r
Si
oxt assoz
r
-
de
LEMME 20 -
si
[kp
; k]
à
=
du même
S
de
tous les éléments de
quent,
u
isomorphe à
homogènes
> k . De
r
~
tel que
est
kp
des éléments
est constante pour
r
e S ,
y
Maintenant,
S
>
pour
r
assez
Si
r
> nk ,
un
grand.
La démonstration
LEMME 3 . - Si
est
k
,
idéal
03B2-primaire,
est
Un
entier tei que
é
sur
=
03B2n ,
à
z
(%)[k °
Pr
=
(£) .
Pk 03B1r-k
~rand.
et
égal
,
fait par récurrence
se
est
z
nous avons
la
f ormule
pour
r
tk ,
on ?.
k]
03B2’n = 03B2(n)
D’ailleurs
si
est
r
r
assez
égale
à
d ~
Qp
si
où
B(r ~ s)
de
s
et
Si
s
+
dans
et
est
est
sk
ce
dans
S
un
polynôme
r
En
assez
polynôme
est
r0
est
(s)
de
outre,
. D’après
elle est
degré
est
Par
conséquente
.
ou
d . Si la dimen-
égale à
d
à
égale
en
le
r
grand,
=
S
(r
k e(a)/d . Finalement,
est
un
entier qui
dépend
est
[kp~ :
théorème
B(r ~ s)
et
s
de
=
Bhattacharya,
B
~
(r ~ s)
dont le coefficient
on a :
assez
mp
II on résulte :
1;propre.
est inférieure
i(
grands~
assez
e(P.)/d
est
r
à-dire
sont
s
est
on a :
Considérons la longueur de
r
X’
grand.
THÉORÈME. - La dimension de
sion est
eu
grand.
assez
quelque soit
(B Il ,
+
sk)
et le coefficient de
si
r
de
S),
S (s)*
est
assez
grand (c’est-
Le coefficient de
a
k] e(m)/H .
La démonstration du résultat
principal
cile. Il suffit de nontrer quo l’
anneau local
de cette conférence est maintenant fa.-
Qp
cet de dimension
d .
Mais,
8-06
si
Q
est
quasi
mixte et si
non
a
est
un
élément de
Q
tel que
Appelons
03B2’
l’idéal
at
e
P ,
et
.
posons
de
A ;
on a
de dimension
A
=
Q[a1/a ,
Qp A!JI
=
et
... , am/a]
d’après
et
la formule de dimension de
premier MP ~ A
NAGATA, Qp est
d .
BIBLIOGRAPHIE
[1]
BHATTACHARYA
phil. Soc.,
(P. B.). t.
53,
The Hilbert function of two
1957, p. 568-575.
ideals,
Proc. Cambridge