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4eme Sc Expérimentales
Nombres Complexes
Dans tous les exercices le plan P complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
, ,
Exercice 1
1) Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
2) Marquer les points ,
3) a) Montrer que
d’affixes respectives : 2 + 3 ; 3 +
et
1+
et
et −1 − .
est un triangle rectangle en .
b) Trouver l’affixe du point
4) a) On pose =
;
∗
tel que
soit un rectangle.
, trouver l’affixe du point .
b) Déterminer les ensembles suivants :
= ! " ∈ $/|" − 2 − 3 | = |" + 1 + |' et
= ! " ∈ $/|2" − 1 + 2 | = 5'
Exercice 2
Soient les points , ,
et d’affixes respectives : ") = −2 ; "* = 1 + ; "+ = 4 + 2 et "- = 2
1) a) placer les points , ,
et
b) Vérifier que est le milieu du segment .
2) Montrer que le triangle
/.
est isocèle.
3) Déterminer l’affixe "0 du point
pour que
soit un losange.
4) a) A tout point ! d’affixe " ≠ 4 + 2 on associe le point !′ d’affixe " 3 =
Montrer que 7! 3 =
456
4 6
)8
+8
b) Montrer que si le point ! décrit la médiatrice du segment .
/ alors le point !′ décrit un cercle que
l’on précisera.
Exercice 3
Une seule des réponses proposées est exacte.
1) Soit " un nombre complexe, le conjugué de 1 + " est :
a) 1 − "
b) 1 − "
2) La forme algébrique de 1 +
2−3
est :
a) 6 − 4
b) 6 + 4
5
3) La forme algébrique de
c) 1 + "
5
c) −6 − 4
est :
a) −2 + 3
b) 2 + 3
c) 2 − 3
Exercice 4
A tout ! d’affixe " ≠ on associe le point !′ d’affixe " 3 =
1) a) Montrer que |"′| =
45
4
et soient les points :
−1 et
)8
*8
b) En déduire l’ensemble ∆ des points ! " tel que , |"′| = 1
Kooli Mohamed Hechmi
http://mathematiques.kooli.me/
.
2) On pose " = ; + < ; ; et < deux réels
a) Pour " ≠ ; donner la forme algébrique de " 3 .
= ! " ∈ $/"′ ∈ ℝ' et > = ! " ∈ $/ "′soit imaginaire pur'
b) En déduire
Exercice 5
1) Placer dans le plan complexe les points , ,
2) Montrer que
et
; 1 − ; 5 + et 4 + 3
d’affixes respectives :
est un rectangle.
3) A tout point ! du plan d’affixe " ≠ 1 − on associe le point !′ d’affixe "′ =
a) Montrer que |"′| =
4
45
5
)8
*8
b) En déduire que si !′ appartient au cercle trigonométrique alors ! appartiendra à une droite que l’on
précisera.
4) a) Montrer que "′ −
"−1+
= 2+
!′ × ! = √5
et que
b) Montre que si ! appartient à un cercle de centre
et de rayon 1 alors !′ appartient à un cercle que
l’on précisera.
Exercice 6
1) La forme algébrique du nombre complexe √3M
√
a)
b)
N
O
est
5√
c)
5√
2) Un argument du nombre complexe P1 − √3Q est :
a)
R
b)
S
3) Le module du nombre complexe 1 + M
a) 1
R
UVN
W
c) −
est égale à
c) 2
b) √2
4) L’ensemble des points ! d’affixe " tels que " −
a) un singleton.
π
3
"+
= 1 est
b) une droite.
c) un cercle.
5) La forme exponentielle du nombre complexe −√3 − est :
a) 2M
N
O
b) 2M
XN
O
c) 2M
XN
O
6) Si z est un nombre complexe alors le conjugué de 1 + " est :
a) 1 − "
b) 1 − "
c) −1 − "
7) Soit Y ∈ ℝ. Le module du nombre complexe " = 1 + M
a) 1 + [M Z [
b) √2
Z
est égale à :
c) \2 1 + cos Y
Exercice 7
Une seule des réponses proposées est exacte.
1) Si " = 2 − 2 1 + 3
a) ^M " = 2
alors :
b) " = 2 + 2 1 + 3
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c) _ " = −2
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2) Si z est un nombre complexe dont un argument est
a) – b + 2ab ; a ∈ ℤ
`
+ 2ab ; a ∈ ℤ ; alors un argument de −2 " e st :
`
b) 0 + 2ab ; a ∈ ℤ
c) – + 2ab ; a ∈ ℤ
alors |"| est égale à:
3) Si " = P√3 − Q − 2
a) 0
b) 2√3
c) 2 − 2√3
Exercice 8
Ecrire les complexes suivants sous forme trigonométrique : " = 1 + cos Y + sin Y ; Y ∈ .0 , b..
" = −1 + cos Y + sin Y ; Y ∈ /0 , b. ; " = sin Y + cos Y ; "6 = 3 − √3 ; "g = 2√3 + 2
Exercice 9
Soit le nombre complexe : h = \2 − √3 − \2 + √3
1) Calculer h puis écrire h sous forme trigonométrique
2) En déduire la forme trigonométrique de h et les valeurs exactes de cos
iR
et
sin
iR
Exercice 10
On donne les points
et
5
d’affixes respectives : ") =
5
et "* = −3 + 4
g
1) Ecrire ") et "* sous la forme algébrique.
2) Placer les points
et .
3) Montrer que le triangle 7
4) Déterminer l’affixe du point
est isocèle.
tel que 7
5) Soit ! le point d’affixe " = 1 + 2 + M
soit un carré.
Z
; Y ∈ .0 , 2b.
Déterminer l’ensemble des point !, lorsque Y décrit .0 , 2b..
Exercice 11
Répondre par Vrai ou Faux.
1) Soit " = 2 − 3 donc " = 3 − 2 .
donc |" | = 16
2) Soit " = −1 −
3) Soit " un nombre complexe de module 1 et dont un argument est
`
4) Soit " un nombre complexe de module √2 et dont un argument est
`
donc "
6
S`
6
= −1.
donc " est imaginaire pur.
5) Soit " un nombre complexe dont un argument est − S et ayant une partie réelle égale à 4√3 donc |"| = 8.
6) Soit " un nombre complexe donc |" + 1 − | = |" + 1 + |.
7) Soit " et "′ deux nombres complexes si |"| = |"′| donc " = "′.
8) Soit " et "′ deux nombres complexes on a toujours |" + "′| = |"| + |"′|.
Exercice 12
Soient les points
1) Placer
et
d’affixes respectives : ") = 2 − 2
et "* = 2 + 2
et .
2) Qu’elle est la nature du triangle 7
.
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3) Soit le point
d’affixe "+ = M
N
W
2−2 .
a) Ecrire "+ sous forme algébrique et trigonométrique
b) En déduire cos
`
sin
et
`
kkkkkl
kkkkk .
4) a) Comparer 7 et 7 et donner une mesure de l’angle 7
;7
b) En déduire la nature du triangle 7
.
5) Déterminer et construire l’ensemble ∆ des ! d’affixe " = ; + < (; et < deux réels ) tel que :
| " − 2 − 2 | = |" − 2 − 2 |
6) On pose " = 2 + 2 cos Y ; Y ∈ .0 , b/. Qu’elle est l’ensemble des points M lorsque Y décrit .0 , b/ ?
Exercice 13
On pose m = 1 + √3 et n = 1 + .
1) Ecrire sous la forme algébrique m × n.
2) Ecrire sous la forme exponentielle m et n puis m × n.
3) Ecrire sous forme trigonométrique m × n.
4) En déduire cos
i`
sin
et
i`
Exercice 14
1) Placer dans le plan complexe les points , ,
2) Montrer que
d’affixes respectives : ; 1 − ; 3 + 3 et 4 +
et
est un rectangle.
on associe le point !′ d’affixe " 3 =
3) A tout point ! du plan d’affixe z distinct de 1 −
a) Montrer que |"′| =
4
45
5
)8
*8
b) En déduire que si !′ appartient au cercle trigonométrique alors ! appartiendra à une droite que l’on
précisera.
4) a) Montrer que " 3 −
"−1+
=2+
!3 × ! = √5
et que
b) Montre que si ! appartient à un cercle de centre
et de rayon 1 alors !′ appartient à un cercle que
l’on précisera.
Exercice 15
1) Ecrire sous la forme algébrique
2) a) placer les points
−3 + 4
et 3
5
et
S
/.
c) Soit C le point d’affixe 2 − . Montrer que
et
N
oU
3
b) Trouver l’affixe du point milieu de .
d) En déduire que les points ,
−M
est un triangle rectangle en .
appartiennent à un même cercle ζ dont on précisera le centre et le
rayon.
e) Déterminer l’ensemble
= p! " /|" − 2 | = √13q
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3) Soit M le point d’affixe " = −3 + 4 + M
Z
; Y ∈ .0 , 2b.
Déterminer l’ensemble des point !, lorsque Y décrit .0 , 2b..
Exercice 16
On donne les points
d’affixes respectives : " = 1 + √3 et " = 1 − .
et
1) Ecrire " et " sous la forme trigonométrique.
2) Ecrire " × " sous la forme trigonométrique et en déduire cos
R
et sin
' et d’affixe ", on associe le point !′ d’affixe "′ =
3) A tout point ! ∈ $\
a) Déterminer et construire l’ensemble
R
4 4o
4 4U
des points ! tel que "′ soit imaginaire pur.
b) Déterminer et construire l’ensemble > des points ! tel que "′ soit réel.
c) Déterminer l’ensemble s des points ! tel que |"′| = 1.
4) Soit le point d’affixe 1. Montrer que pour tout point ∈ $\
Que décrit le point !′ lorsque ! décrit le cercle de centre
' , !′ × ! = 1 + √3.
et de rayon 1 ?
Exercice 17
Soient les nombres complexes " = −√2 + √2
" = −√2 − √2
et
1) Mettre " et " sous forme trigonométrique.
2) Placer alors les points ,
et
d’affixes respectives 2, " et "
3) Déterminer sous forme algébrique l’affixe du point t =
∗
kkkk Q.
4) Calculer 7 et une mesure de Pm
k ,7
5) Donner alors "u sous forme trigonométrique et en déduire les valeurs de cos
`
et
sin
`
Exercice 18
1) On donne " = 1 +
, " = 1 − √3 et " = 1 − .
a) Ecrire " , " et " sous la forme exponentielle.
b) En déduire la forme exponentielle de v =
4o U ×4U U
4W W
2) a) Ecrire v sous forme algébrique.
b) En déduire les valeurs exactes de cos
iR
et
sin
iR
3) Résoudre dans .0 , 2b. ; P√2 − √6Q cos ; + P√2 + √6Q sin ; = 2
Exercice 19
Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est exacte.
1) Le nombre complexe
5√
5
a)
a pour argument :
R
b)
R
6
c)
R
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé 7 , m
k , n , on considère les points , ,
d’affixes respectives : −1 ; 1 + 2 ; 3 et −3 . Alors on a :
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et
a) les vecteurs kkkkk et kkkkkk sont orthogonaux.
b) le quadrilatère
est un parallélogramme.
c) les vecteurs kkkkk et kkkkk sont colinéaires.
Exercice 20
k , n est un repère orthonormé
Dans la figure ci-contre 7 , m
direct du plan, ζ est le cercle de centre
cent 7
et de rayon 2 et
est un point d’affixe "* .
1) Déterminer par lecture graphique le module et
un argument de "* . En déduire que "*
1
d’affixe "+
2) a) Placer sur la figure le point
b) Montrer que le quadrilatère 7
n
√3 .
1
m
k
√3 .
est un losange.
3) On se propose de déterminer l’ensemble
des points
! d’affixe " tels que " soit un réel positif ou nul.
a) Vérifier que les points 7,
et
appartient à .
b) Prouver que tout point ! de la demi-droite
demi
.7
appartient à E.
c) Soit " un nombre complexe non nul, de module { et d’argument Y.
Montrer que " est un réel positif si et seulement
seule
si Y
d) En déduire que
Représenter
|`
; a ∈ d.
est la réunion de trois demi-droites
demi
que l’on déterminera.
sur la figure.
Exercice 21
le cercle de centre 7 et de rayon 1 et par
On désigne par
w
√3
et
les points d’affixes respectifs
respe
1 et
i
1) a) Donner la forme exponentielle de w.
b) Construire le point .
2) Soit
le point d’abscisse x
a) Vérifier que xx
b) Montrer que
y
y
1.. En déduire que le point
z
appartient au cercle
est un réel. En déduire que les points ,
y
c) Construire le point
et sont alignés.
dans le repère 7 , m
k ,n .
3) Soit Y un argument du nombre complexe x.
Montrer que cos Y
√
g √
et sin Y
√
g
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√
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