Chapitre 5 - Triangles

CHAPITRE 5
TRIANGLES SEMBLABLES – TRIANGLES ISOMÉTRIQUES
I – Triangles isométriques
Définition
C'
A
Deux triangles sont isométriques s’ils sont images
l’un de l’autre par une symétrie (axiale ou centrale),
rotation, translation, ou une combinaison de ces
transformations (par exemple, une symétrie axiale
suivie d’une translation).
A'
C
B'
B
Conséquences :
Si deux triangles ABC et A’B’C’ sont isométriques, alors :
• leurs côtés sont deux à deux de même longueur : AB = A’B’ ; AC = A’C’ et BC = B’C’ ;
• leurs angles sont deux à deux égaux : BAC = B’A’C’ ; ABC = A’B’C’ et ACB = A’C’B’.
la réciproque de cette propriété est fausse : ce n’est pas parce que les trois angles sont
respectivement de même mesure dans deux triangles différents qu’ils sont isométriques !!!
Remarques :
1) Le mot « isométrique » vient du grec isos qui signifie « égal », et metron, « mesure ».
2) Par commodité, on notera dans le même ordre les sommets qui se correspondent (par exemple,
les fait de dire que ABC et DEF sont isométriques signifiera que AB = DE, AC = DF, ou encore
CAB = FDE, etc.)
3) Si l’on superpose deux triangles isométriques, deux sommets (ou deux côtés, ou deux angles) qui
se correspondent sont dits homologues.
Nous allons maintenant voir des propriétés qui nous serviront à affirmer que deux triangles sont
isométriques ou non.
Chapitre 5 : Triangles semblables – triangles isométriques
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Propriété 1 : 1er critère d’isométrie
Si deux triangles ont leurs trois côtés respectivement de
même longueur, alors ils sont isométriques.
Exemple : ABCD est un parallélogramme. Les triangles
ABD et CDB ont leurs
B
A
côtés respectivement de
même longueur. Ils sont
donc isométriques.
D
C'
A
A'
C
C
B'
B
Exercice : Dans l’exemple précédent,y a-t-il d’autres triangles isométriques ?
Remarque : On pourra remarquer que dans les deux cas, les deux triangles considérés sont images
l’un de l’autre par la symétrie de centre I, centre du parallélogramme.
Propriété 2 : 2ème critère d’isométrie
Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même
longueur, alors ils sont isométriques.
Propriété 3 : 3ème critère d’isométrie
Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles respectivement de même
mesure, alors ils sont isométriques.
Remarque : Si l’on connaît deux angles, on connaît nécessairement le troisième, la place du côté n’a
donc pas d’importance en réalité…
Commentaire :
On pourra retenir ces trois propriétés respectivement sous la forme « c-c-c », « c-a-c » et « a-c-a », ce
qui évitera dans la pratique de considérer par exemple un angle qui ne soit pas compris entre deux côtés
de même longueur.
Cette condition est très importante. En effet, comme le montre l’exemple suivant, les deux triangles ont
bien un angle de même mesure, ainsi que deux côtés respectivement de même longueur, mais ils ne sont
pas isométriques :
Chapitre 5 : Triangles semblables – triangles isométriques
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Éléments de démonstrations :
Propriété 1 : Si les longueurs sont conservées, on peut toujours trouver une combinaison de
transformations qui fait passer d’un triangle à l’autre. La définition est vérifiée, les deux triangles sont
donc isométriques.
Propriété 2 : On considère les deux triangles dont on connaît un angle et les deux côtés qui
l’entourent. Ils forment déjà un point : celui qui forme l’angle. Le fait de connaître une longueur d’un
côté de l’angle détermine un second point des triangles, et la longueur connue de l’autre côté de
l’angle détermine le dernier point des triangles. Puisque les deux derniers points sont définis, la
longueur entre les deux l’est aussi, et par la propriété 1, les deux triangles ont tous leurs côtés
respectivement de même longueur, ils sont donc isométriques.
Propriété 3 : On considère les deux triangles dont on connaît un côté et les deux angles qui le
« touchent ». Le côté connu donne déjà deux points des triangles. L’un des angles donne une demidroite sur laquelle se trouve le dernier point, et l’autre angle donne la demi-droite sur laquelle se
trouve aussi le dernier point. On en déduit que ce dernier point se trouve à l’intersection unique des
deux demi-droites (unique parce que la somme des angles d’un triangle étant égale à 180°, l’un des
deux angles au moins est aigu, et les deux demi-droites se coupent). Comme précédemment, les
trois points des deux triangles sont déterminés de telle sorte que les trois longueurs soient
respectivement égales, ils sont donc isométriques.
II – Triangles semblables (ou de même forme)
Définition
C'
C
B'
Deux
triangles
sont
semblables (ou de même
forme) si leurs trois angles sont
respectivement
de
même
mesure.
A
B
A'
Remarques :
1) Puisque la somme des angles d’un triangle vaut 180°, il suffit que deux angles de l’un des
triangles soient égaux à deux angles de l’autre pour que ces triangles soient semblables.
Chapitre 5 : Triangles semblables – triangles isométriques
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2) Comme pour les triangles isométriques, on notera dans le même ordre les sommets qui se
« correspondent » (par exemple, si les triangles ABC et HIJ sont semblables, alors on saura que
A = H, B = I et C = J).
3) Deux triangles isométriques sont toujours semblables, de même que deux triangles équilatéraux,
demi-équilatéraux (angles respectivement de mesures 30°, 60°, 90°) ou isocèles.
C'
C
B'
Si deux triangles sont
semblables, on peut
construire deux triangles
respectivement isométriques aux deux premiers
formant une configuration de Thalès.
A
B
A'
configuration de Thalès
Propriété 4
Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés respectifs sont proportionnelles.
Démonstration :
C’est ce qui précède. En effet, si les deux triangles ont leurs trois angles égaux deux à deux, alors
on peut trouver un triangle isométrique au premier afin qu’ils forment une configuration de Thalès (il
est aisé grâce aux angles de montrer qu’il s’agit bien d’une configuration de Thalès). La conclusion
est ensuite évidente grâce au théorème de Thalès.
Exemple :
EFGH est un carré. I et J sont deux points respectivement de
[EF] et [EH] à la même distance de E.
E
Les triangles EIJ et FEG sont semblables parce que leurs angles
sont respectivement de même mesure (tous deux isocèles rectangles, dont un angle droit, et deux angles mesurant chacun 45°).
I
Par la propriété précédente, les longueurs de leurs côtés respectifs sont proportionnelles, donc :
FG FE EG
=
=
.
EI EJ IJ
Chapitre 5 : Triangles semblables – triangles isométriques
J
F
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H
G
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Définition
Soient ABC et A’B’C’ deux triangles semblables. Le rapport
A’B’
, que l’on note k, est appelé rapport
AB
de similitude. Plus précisément,
(i)
si k > 1, alors k est appelé coefficient d’agrandissement ;
(ii)
si k < 1, alors k est appelé coefficient de réduction.
Conséquence : Le rapport des aires des triangles A’B’C’ et ABC est alors k2.
Propriété 5
Pour que deux triangles soient semblables, il faut et il suffit qu’ils vérifient l’une des caractéristiques
suivantes :
1. les longueurs de leur côté proportionnelles (cas 1) ;
2. deux angles respectivement de même mesure (cas 2) ;
3. un angle de même mesure compris entre deux côtés de longueurs proportionnelles (cas 3) ;
4. leurs côtés parallèles deux à deux (cas 4).
Exemple :
A
Les droites (EF), (BB’) et (CC’) sont parallèles, et l’angle ABC mesure
50°.
* Les triangles ABC et AEF sont semblables (cas 2) parce que l’angle
A leur est commun, et ABC = AFE. Ils ont deux angles de même
mesure.
* Les triangles ACC’, AB’B et AEF ont leurs côtés parallèles deux à
deux. Ils sont donc semblables (cas 4).
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C
C'
B'
B
F
E
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Banque d’exercices
Exercice 1
C
P
ABC est un triangle équilatéral. M, N et P sont des points des [BC], [CA], [AB] tels
que BM = CN = AP.
1. Démontrer que les triangles BMP, CNM et APN sont deux à deux
isométriques.
2. En déduire que MNP est équilatéral.
N
B
M
A
Exercice 2
ABCD est un carré de centre O, M un point de [AB]. On mène par B la perpendiculaire
à (CM) qui coupe (AD) en P.
1. a) Démontrer que BCM = ABP.
b) En déduire que les triangles MCB et ABP sont isométriques et que MB = AP.
2. a) Démontrer que les triangles OMB et OPA sont isométriques.
b) En déduire que le triangle POM est rectangle et isocèle.
Exercice 3
ABC est un triangle isocèle en A. La médiatrice de [AC] coupe la droite (BC)
en D. Le point E de la droite (AD) est tel que AE = BD.
1. Démontrer que les triangles ABD et ACE sont isométriques.
2. En déduire que le triangle CDE est isocèle.
Exercice 4
ABCD est un carré, (DM) est tangente au cercle c de diamètre [AB].
1. Démontrer que les triangles OAD et OMD sont isométriques.
2. Démontrer que les triangles DMR et DCR sont isométriques. En déduire la
nature du triangle CMR.
Exercice 5
ABCD est un parallélogramme, N un point du segment [DC] distinct de D et C. La droite (AN) coupe (BC) en M.
1. Démontrer que les triangles ADN et ABM sont des triangles semblables.
2. En déduire que DN × BM = AB × AD.
Exercice 6
c est un cercle de centre O de rayon r, ABC est un triangle inscrit dans C tel que l’angle
BAC est aigu. H est le projeté orthogonal de A sur [BC]. La droite (AO) recoupe C en D.
1. Démontrer que les triangles ABD et AHC sont semblables.
2. On pose AB = c, AC = b et AH = h. En déduire de la question précédente que bc
= 2rh.
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Exercice 7
1. Quel théorème permet de montrer que les triangles DAC et
BAE ci-dessous sont semblables (les mesures sont en mm) ?
2. Quel est le rapport des aires de ces deux triangles ?
Exercice 8
Deux cercles c et c’ de centre O et O’ se coupent en A et B.
Une droite passant par B coupe, comme l’indique la figure cidessous, C en M et C’ en M’.
1. a) Démontrer que (OO’) est la médiatrice de [AB].
b) En déduire que AMB = AOO’.
2. a) Démontrer que les triangles OAO’ et MAM’ sont
des triangles semblables.
b) En déduire que, si r et r’ sont les rayons respectifs de c et c’,
AM r
= .
AM’ r’
Exercice 9
Dans un repère orthonormé, A, B, C, E, F, G sont les points dont voici les coordonnées :
A(−4 ; 0) ; B(3 ; 11) ; C(6 ; 6) ; E(0 ; −5) ; F (1 ; −4) ; G(3 ; −6).
1. Démontrer que les triangles ABC et EFG sont de même forme.
2. Calculer l’aire de ABC.
3. Calculer de deux façons différentes l’aire de EFG.
Exercice 10
Sur la figure ci-dessous, ABC est un triangle, H le projeté orthogonal
de A sur [BC], BAH = 45°, HAC = 30° et AH = 6 cm. Le cercle c de
diamètre [AH] et de centre O coupe (AB) en D et (AC) en E.
1. Calculer AB et AC, puis montrer que AE = 3 3 cm.
a) Démontrer que AHE = ADE = 60°, puis que BAC et EAD sont semblables.
6
b) En déduire que
est le rapport de réduction qui fait passer des triangles BAC à EAD.
4
3
2. Calculer BC, et en déduire que DE = ( 6 + 2) cm.
2
3. On note F le point diamétralement opposé à D sur C.
a) Démontrer que DFE = 75°.
2
( 3 + 1).
b) En déduire que sin 75° =
4
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