Espaces vectoriels et applications linéaires

Lycée Berthollet
PCSI2 2016-17
Programme de colle de la semaine du 27 au 31 mars 2017
Nota Bene : Je laisse pour la troisième semaine le début de ce chapitre en raison de l’importance
de l’acquisition de ces notions de base.
Espaces vectoriels et applications linéaires
On note K pour R ou C.
— Définition d’un K-espace vectoriel E. Petites propriétés : λu = 0E ⇐⇒ (λ = OK ou u =
OE ), (−1)u = −u. Exemples : {0}, R2 , R3 , Rn , Cn , K[X]. KΩ , où Ω est un ensemble
quelconque. Cas particuliers : espace KN des suites d”éléments de K, espace RI des
fonctions définies sur un intervalle I de R. Espace vectoriel Mn,p (K)(= K[[1,n]]×[[1,p]] )
des matrices n × p à coefficients dans K.
— Combinaisons linéaires d’une famille finie de vecteurs.
— Sous-espaces vectoriels : définition : partie F de E stable pour + et pour la multiplication par les scalaires et qui, munie des loi induites, est un e.v. Caractérisation : F est
non-vide et stable par combinaisons linéaires (on peut se restreindre aux CL de deux
vecteurs). Exemples : {0}, E, Quelles sont les droites de R2 et R3 qui sont des sousespaces vectoriels ? les plans de R3 qui en sont ? Autres exemples : sous-espaces de
KN des suites vérifiant une récurrence linéaire homogène d’ordre 2, solutions d’une
équation différentielle linéaire homogène, solutions d’un système linéaire homogène.
Sous-espaces P et I de RR des fonctions paires et impaires, matrices symétriques (S ) et
antisymétriques (A ) dans Mn (K). Sous-espace Kn [X] de K[X]. Sous-espace des fonctions continues (resp. dérivables, de classe C k ) ¶dans RI . { f : I −→ R| f (x0 ) =
© 0} est un
Pk
k
I
engendré
ss-e.v. de R . Sous-espace Vect (u1 , . . . , uk ) =
i=1 λi ui ; (λ1 , . . . , λk ) ∈ K
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par une famille finie de vecteurs. Exemples dans R et R .
— Intersection de sous-e.v. : toute intersection de sous-e.v. de E est un sous-e.v. de E.
Attention, pas de définition du sous-e.v. engendré par une famille ou partie infinie !
— Somme de deux sous-e.v. : définition de la somme de F et G (les vecteurs de F + G sont
ceux qui se décomposent comme somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G), c’est
un sous-e.v. de E, définition d’une somme directe (pour tout vecteur de la somme, la
décomposition précédente est unique). Caractérisation : une somme de deux sous-e.v.
/ Notation F ⊕ G. Exemples dans R3 , cas des fonctions
F et G est directe ssi F ∩ G = 0.
paires et impaires dans RR , des matrices symétriques et antisymétriques dans Mn (K).
Sous-espaces supplémentaires.
— Applications linéaires : Définition (morphisme d’e.v. i.e. préservant les lois), caractérisation (cela équivaut à préserver les CL et même les CL de deux vecteurs). Exemples :
application nulle, fonctions polynômiales homogènes de degré 1 de Rn dans R, transposition, la conjugaison sur C est R-linéaire mais pas C-linéaire, dérivation sur K[X] ou de
C 1 (R) dans C 0 (R). Lesquelles parmi les transformations de C de la forme z 7−→ az + b
sont C-linéaires ? On fait remarquer à cette occasion que 0 est préservé par toute application linéaire. Exemple explicite d’une application linéaire de R2 dans R3 , premier aperçu
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informel de la notion de matrice dans le cas d’une application linéaire de R2 dans luimême. Ensemble L (E, F) des applications linéaires de E vers F, c’est un sous-espace
vectoriel de F E .
Composition d’applications linéaires : La composée de deux applications linéaires est
linéaire et l’application comp : (v, u) 7−→ v ◦ u de L (F, G) × L (E, F) dans L (E, G) est
“bilinéaire” (pas de définition générale) au sens où pour v fixé, comp(v, ·) est linéaire et
pour u fixé, comp(·, u) l’est (reformulation de ces propriétés avec des quantificateurs).
Notation vu = v · u = v ◦ u. Si une application linéaire est bijective, son application réciproque est automatiquement linéaire (on dit qu’on a un isomorphisme). Exemple d’un
calcul explicite de l’application réciproque dans le cas d’une application linéaire de R2
dans lui-même et observation du lien avec l’inversion d’une certaine matrice... La composée de deux isomorphismes u et v est un isomorphisme et (v ◦ u)−1 = u−1 ◦ v−1 .
Image et noyau : L’image directe (resp. réciproque) d’un sous-espace vectoriel par une
application linéaire u est un sous-espace vectoriel, cas particulier : définition de l’image
Im u et du noyau Ker u. Caractérisation de la surjectivité à l’aide de l’image et de l’injectivité à l’aide du noyau. Déterminer en exercice les images et noyaux des exemples
précédents.
Endomorphismes : Définition, notation L (E) pour l’ensemble des endomorphismes,
exemples : 0, IdE , les homothéties, les dérivations successives, les évaluations en un
point et la multiplication par un polynôme donné sont des endomorphismes de K[X],
exemple explicite dans R2 . Muni des lois adéquates, L (E) est une “algèbre” (notion
non au programme, mais la terminologie est cependant utilisée, donc on rappelle les
propriétés à chaque fois...). Groupe linéaire GL(E), exemples.
Attention, les projections et symétries ne sont pas encore au programme de colle
car elles font l’objet d’un DM à rendre lundi.
Familles (finies) génératrices : définition d’une famille génératrice de E (Vect = E),
exemples dans R3 et parmi les exemples précédents (Kn , Kn [X], M3,2 (K)), espace des
solutions d’une EDL2H, d’un système linéaire homogène, d’une récurence linéaire d’ordre
2. Toute sur-famille d’une famille génératrice est génératrice.
Familles (finies) libres : Idée de vecteurs “inutiles” dans une famille génératrice (ceux
qui sont CL des autres), qui mène à la définition habituelle des familles libres (toute
CL nulle a forcément tous ses coefficient nuls). Vocabulaire : vecteurs linéairement indépendants, famille liée. Une famille à un vecteur est libre ssi ce vecteur est non nul.
Une famille de deux vecteurs est libre ssi ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Dans
R3 , une famille de trois vecteurs est libre ssi ces vecteurs ne sont pas coplanaires.
Exemples : vecteurs explicites de R3 , toute famille finie de K[X] échelonnée en degré (0 ≤ d◦ P0 < d◦ P1 < . . . < d◦ Pk ) est libre, les “bases” canoniques (qui ne sont pas
encore des bases !) de Kn , de Kn [X] et de Mn,p (K) sont libres. Toute sous-famille d’une
famille libre est libre.
Coordonnées : Définition d’une base de E. Caractérisation d’une base : tout vecteur
s’écrit de manière unique comme CL de cette famille. Définition de la famille des coordonnées d’un vecteur u dans une base e, représentation sous forme de matrice colonne
Mate (u). Autres exemples de bases dans R2 et R3 . Bases canoniques de Kn , Kn [X] et
Mn,p (K).
Bases et sommes directes : Base adaptée à une décomposition en somme directe de
deux sous-ev. Inversement, si (e1 , . . . , ek , ek+1 , . . . , e p ) est une famille libre de E, alors
Vect (e1 , . . . , ek ) et Vect (ek+1 , . . . , e p ) sont en somme directe. Exemple des sous-ev des
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matrices symétriques et des matrices antisymétriques dans M3 (K).
— Image d’une famille (finie) par une application linéaire : Soient u ∈ L (E, F) et x =
(xi )ki=1 ∈ E k . Pour alléger les notations, on note u(x) la famille (u(xi ))ki=1 . On a alors
u(Vect (x)) = Vect (u(x)). Conséquences : si x engendre E, u(x) engendre Im (u) ; si u
est surjective, l’image d’une famille génératrice de E engendre F. Par ailleurs, si u est
injective, l’image d’une famille libre de E est libre. En particulier, si u est un isomorphisme, l’image de toute base de E est une base de F.
— Compléments sur les familles : En guise de transition avec le chapitre sur la dimension,
on démontre : une famille finie de E est une base ssi elle est libre maximale ssi elle est
génératrice minimale.
Toutes les définitions et tous les énoncés sont exigibles.
Démonstrations de cours exigibles
— La somme de deux sous-e.v. de E est un sous-e.v. + Caractérisation de la somme directe ;
— L (E, F) est un sous-espace vectoriel de F E ;
— L’image directe (resp. réciproque) d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire u est un sous-espace vectoriel + Caractérisation de l’injectivité à l’aide du noyau ;
— Toute famille finie de K[X] échelonnée en degré (0 ≤ d◦ P0 < d◦ P1 < . . . < d◦ Pk ) est
libre ;
— Caractérisation d’une base : tout vecteur s’écrit de manière unique comme CL de cette
famille ;
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