Ch. 9 Polynômes

CHAPITRE 9
CHAPITRE 9
Polynômes
L’ensemble des polynômes à coefficients dans C en la variable x forme un anneau : ceci est vérifié
formellement dans l’appendice. Plus généralement, on peut prendre comme corps des coefficients
un corps commutatif K quelconque, au lieu de C. L’ensemble des polynômes en x sur K est noté
K [ x] .
Le degré du polynôme non nul P  a0  a1x 
n
 an x est n, si an  0 . La notation est deg(P).
Le degré du polynôme nul est par convention . De même, on conviendra des règles suivantes :
  0,  n  , si n N { } .
Prenons par exemple K  Q . Alors les polynômes P  2x3  x2  5x et Q  1 x3 sont tous deux
de degré 3. Le polynôme P  2Q est de degré 2 et PQ est de degré 6.
On observera qu’un polynôme est de degré  ou 0 si et seulement s’il est constant, c’est-à-dire
ne dépend pas de x, ou de manière équivalente, est dans K. On dit aussi constante pour un tel
polynôme.
9.1
Théorème
Si P, Q K [x] alors degPQ degP degQ.
Preuve
Si P 0 , on a PQ  0 par le th. 6.3 (i); alors     deg(Q) , ce qui démontre le théorème
dans ce cas. Si Q  0, on raisonne de même.
Supposons maintenant que P, Q sont tous deux non nuls. On peut alors écrire P  a0  a1x 
n
anx , Q  b0  b1x 
n m
PQ  anbmx
 x

 bm x , où ai , bj K , an  0, bm  0 et n  degP, m degQ
 . Alors
m
n m1

 x   , où  désigne des coefficients dans K dont l’expression
exacte nous importe peu. L’important est que anbm  0 , car K est un corps (cf. ex. 6.3), donc PQ
est de degré n m. On a donc bien degPQ degP degQ.
u
9.2
Corollaire
Les éléments inversibles de K [ x] sont précisément les éléments non nuls (i.e. inversibles) de K .
Preuve. Faire l’exercice 1.
79
CHAPITRE 9
9.3
Corollaire
Si P, Q  K  x  sont non nuls, alors leur produit est non nul.
Démonstration
Le th. 9.1 montre en effet que dans ce cas degPQ  degP  degQ  0 , donc degPQ  
et PQ  0.
9.4
h
Théorème
Si P, Q K [ x] , alors deg(P Q)  maxdeg(P), deg(Q ).
Démonstration
Si P 0 , il faut montrer deg(Q)  max,deg(Q) , ce qui est bien vrai. De même si Q  0 .
Supposons alors que P, Q  0 . Nous écrivons P et Q comme dans la preuve du th. 9.1.
m
m-1
+
Si n m, nous aurons P  Q  bmx  x
 max(n, m) ;
si
n  m,
nous
aurons
+x + , et donc deg(P Q)  m max(n, m)
P Q  an bmxm xm1 
 ,
et
donc
deg(P Q)  m max(n, m) ; si n m un raisonnement analogue au cas n m montre que
deg(P Q)  max(n, m) . Dans tous les cas, on a donc deg(P Q)  maxdeg(P), deg(Q ).
h
Notez que lorsque deg(P)  deg(Q)  n, alors deg(P Q) peut être , 0, 1, …, ou
n  maxdeg(P), deg(Q).
L’anneau des polynômes possède une division euclidienne, qui est très semblable à celle des entiers
naturels.
9.5
Théorème
Soient A, B des polynômes dans K [ x] , avec B non nul. Il existe alors des polynômes Q,
R tels que A BQ  R et deg(R)  deg(B) .
Démonstration
L’existence de Q et R se démontre par récurrence sur deg(A) , B étant fixé. Si deg(A)  deg(B) ,
nous prenons Q  0 et R  A : on a bien A  BQ  R et deg(R)  deg(B) . Supposons
80
CHAPITRE 9
maintenant
deg(A)  deg(B) .
que
m
m1
B  bmx  bm1x

On
peut
alors
n
n1
A anx  an1x
écrire

,
, avec an, bm  0. Alors n m 0 , car deg(A)  deg(B)  0 . Comme K
est un corps, bm a un inverse; posons A1  A anbm1xn mB .
n
et
n1
A anx  an1x
On a
1 nm
anbm x
b x
1 nm
B  anbm x
m
m
m1
 bm1x


 a x
n

n

1
n1
A1  an1  anbm bm1 x
Donc
1
n1
 anbm bm1x

 ...
et A1 est un polynôme de degré  n  1 deg(A)  1. Par hypothèse de récurrence, il existe des
polynômes Q1 et R tels que A1  BQ1  R, deg(R)  deg(B) . Comme A A1  anbm1x n m B, nous
avons
1 nm
1 nm
A BQ1  R anbm
x
B  Ban bm
x
 Q1 R BQ R,
1 n m
Q  anbm x
où
on
a
posé
 Q1. Comme deg(R)  deg(B) , ceci démontre le théorème.
Démontrons maintenant l’unicité de Q et R. Si l’on avait A BQ  R  BQ R avec
deg(R)  deg(B) et deg(R)  deg(B) , on en déduirait B(Q  Q )  R R.
Le membre de droite est de degré  deg(B) , par le th. 9.4. Le membre de gauche est, par le th.
9.1, de degré deg(B)  deg(Q  Q ) . La seule solution pour qu’on ait égalité est donc que
deg(Q  Q)   . D’où Q  Q 0, et par suite aussi R R 0, ce qu’on voulait montrer.
h
9.6
Exemple
Prenons K  Q, A x 4  5x3  1 et B  2x 2  x . Comme dans la preuve précédente, on pose
2
A1  A (1 2) x B , où le facteur (1 2)x
2
a été choisi de telle manière que la soustraction
précédente fera disparaître la plus haute puissance de x dans A, à savoir x4 . On a
4
3
A1  x  5x  1


1 2
2
4
3
4 1 3 11 3
x 2x  x  x  5x  1 x  x  x  1 .
2
2
2
On continue avec A1, en posant A2  A1 
A2 
11
xB , ce qui donne
4


11 3
11
11 2
2
x  1 x 2x  x  x  1.
2
4
4
On continue avec A2 , en posant A3  A2 
11
B , d’où
8
81
CHAPITRE 9
A3 


11 2
11 2
11
x  1
2x  x  x  1.
4
8
8
Comme deg(A3 )  deg(B) , on arrête là. Pour trouver Q et R, on écrit
11 11
1 2
1
11
1
11
11
1
A  A1  x 2B  A2  xB  x 2 B  A3  B  xB  x 2B  B  x  x   A3 ,
 8 4
2 
2
4
2
8
4
2
Q
donc
11 11
1 2
11
 x  x et R  A3  x  1.
8 4
2
8
On peut disposer la division comme pour les nombres entiers :
4
3
x  5x  1
1
x 4  x3
2
11 3
x 1
2
11 3 11 2
x  x
2
4
11 2
x 1
4
11 2 11
x  x
4
8
11
x 1
8
9.7
2
2x  x
1 2 11 11
x  x
2
4
8
Définition
Soit P(x)  anxn  an1xn1 
n
P()  an  an1
9.8
n1

 a0 K [x] . Un élément  de K est une racine de P si
 a0  0 .
Exemples
2
2
Avec K  Q , 1 est une racine de x 1, de x  2x  1 et de x  3x  2 . Ce dernier polynôme
admet aussi 2 comme racine. Le polynôme x5  x 4  x3  x2  x 1 admet 1 comme racine. Si
P 0 est le polynôme nul, n’importe quel nombre dans Q est racine de P.
82
CHAPITRE 9
Comme le montre l’exemple, un polynôme peut avoir plusieurs racines. Mais l’énoncé suivant
montre qu’il n’en a pas plus que son degré.
9.9
Théorème
Soit P K [ x] , un polynôme non nul, avec P(x)  anxn  an1xn1   a0 , an  0. Alors P
a au plus n racines distinctes. Si P a n racines distinctes 1, , n alors
P  an (x 1) (x  n ) .
Démontrons d’abord le lemme suivant.
9.10 Lemme
Si un polynôme P a la racine , alors P  (x  )Q , où Q est un polynôme.
Démonstration
Par division euclidienne de P par x , nous trouvons P  (x  )Q  R , où
deg(R)  deg(x   ) . Comme deg(x  )  1, R doit être dans K. Alors 0  P( ) 
(  )Q()  R() , donc R()  0. Mais R est dans K, donc R  R() et par suite R 0 . D’où
P  (x  )Q .
u
Démonstration du théorème 9.9
1.
Nous montrons par récurrence sur k l’énoncé suivant : si P a les racines distinctes
1, , k , alors il existe un polynôme Q tel que P  (x  1) (x  k )Q . Si k  0, il n’y a rien à
montrer. Supposons l’énoncé prouvé pour k, et prenons un polynôme P qui a les racines distinctes
1, , k1 . D’après le lemme, on peut écrire P  x   k1P, pour un certain polynôme P. Si
i  1,
, k , on a i   k1, et comme 0  P i    i   k1P i , on en déduit que
P i   0. Donc P admet les racines distinctes 1,
P x  1
2.
x  k Q , d’où P  x  1 x  k1Q.
Si P a k racines distinctes 1,
, k . Par hypothèse de récurrence,
, k , on peut d’après 1. écrire P  x  1



x  kQ . Si
P est de degré n 0, on aura d’après le th. 9.1, n deg x  1 ... x  k  deg(Q) , donc
n  k  deg(Q ) et k  n , puisque deg(Q)  0 (car Q n’est pas nul, sinon P le serait).
83
CHAPITRE 9
Supposons maintenant que k  n . Alors deg(Q)  0 et Q est constant. De plus
P  x  1 x  nQ , et les coefficients du monôme de plus haut degré à gauche et à droite
sont égaux, d’où Q  an , ce qui achève la preuve.
h
Le théorème fondamental de l’algèbre peut se reformuler ainsi : tout polynôme dans C[ x] ,
non constant, a une racine dans C.
Comme le montre le th. 9.5 (division euclidienne), l’anneau des polynômes jouit de propriétés
analogue à l’anneau des entiers relatifs. Ceci sera développé dans la suite de ce chapitre. Nous ne
donnerons pas de démonstration, mais demandons au lecteur de faire les exercices correspondants,
en imitant ce qui a été fait aux chapitres 4 et 5.
Rappelons que K [ x] est un anneau. La notion d’idéal dans un anneau a été définie au chapitre 6.
9.11
Théorème
Pour tout idéal I de K [ x] , il existe un polynôme P tel que I  PQ|Q K [ x].
Autrement dit, I est l’ensemble des multiples de P, noté PK [x] . Pour la preuve, faire
l’exercice 16.
9.12 Définition
(i)
Un polynôme B divise un polynôme A s’il existe un polynôme Q tel que A BQ . On dit
aussi que B est un diviseur de A, ou que A est un multiple de B.
(ii)
Soient A1,
, Ak des polynômes non nuls. Un plus grand diviseur commun de A1,
, Ak
est un polynôme B qui les divise tous, et de degré le plus grand possible.
9.13 Remarque.
 
1
Si B divise A et c K , c  0, alors cB divise aussi A. En effet A B Q  A  cB c Q .
9.14 Théorème
Soient A, B des polynômes non nuls et C un pgdc de A et B. Alors
CK [ x]  AP BQ | P, Q K [ x].
84
CHAPITRE 9
Pour la preuve, faire l’exercice 17.
9.15 Corollaire
Soient A et B des polynômes non nuls. Si un polynôme P divise A, B, il divise leur pgdc.
Pour la preuve, faire l’exercice 12.
9.16 Définition
Deux polynômes non nuls sont premiers entre eux s’ils admettent 1 comme pgdc.
9.17 Théorème (Bezout)
Deux polynômes non nuls A, B sont premiers entre eux si et seulement s’il existe des polynômes
P, Q tels que AP BQ  1.
Pour la preuve, faire l’exercice 19.
L’algorithme d’Euclide peut être adapté aux polynômes, et permet de calculer le pgdc de deux
polynômes.
9.18 Définition.
n
n1
Le polynôme P  anx  an1x 
de degré n 0 est dit unitaire si an 1.
9.19 Définition.
Soient A1, A2, ..., Ak des polynômes non nuls. Le plus grand diviseur commun de A1, A2, ..., Ak ,
noté PGDC( A1, A2, ..., Ak ) est l’unique polynôme unitaire qui est un pgdc de A1, A2, ..., Ak .
9.20 Définition
Un polynôme P est dit irréductible s’il n’est pas constant et si pour toute factorisation
P  AB, soit A, soit B est constant. Un polynôme P, non constant, est dit réductible s’il n’est pas
(i)
irréductible.
85
CHAPITRE 9
(ii) Soit P un polynôme non nul. Une factorisation en polynômes irréductibles de P est une
écriture de P sous la forme P  P1P2 Pk , où  K  et où les Pi sont des polynômes
irréductibles.
Comme pour les entiers, on inclut la factorisation avec k  0, qui correspond donc à P   .
9.21 Théorème
Tout polynôme non nul P admet une factorisation en polynômes irréductibles
P  P1 Pk . Si P  Q1 Q est une autre telle factorisation, alors k  et il existe des
constantes non nulles 1,
i 1, , k, Qi  i Pi .
, k telles que, quitte à réordonner les Qi , on ait
Pour la preuve, faire l’exercice 20.
9.22 Corollaire.
Tout polynôme non nul P  anx n  an1xn1 
admet une factorisation unique (à l’ordre près
des facteurs) anP1P2 Pk où les Pi sont irréductibles et unitaires.
Terminons le chapitre en explicitant les nombreuses analogies entre l’anneau Z des entiers et les
anneaux K [ x] de polynômes.
1)
Z et K [ x] sont des anneaux commutatifs.
2)
Les inversibles de Z sont 1 et 1; les inversibles de K [ x] sont les constantes non nulles.
3)
Z et K [ x] sont des anneaux dits intègres, i.e. sans diviseur de zéro (ab 0  a  0 ou b  0) .
4)
Z et K [ x] sont des anneaux dits principaux, i.e. leurs seuls idéaux sont de la forme
aApour a  A .
5)
Z et K [ x] sont des anneaux dits euclidiens, i.e. avec la division euclidienne.
6)
Z et K [ x] admettent des plus grands diviseurs communs et l’algorithme d’Euclide permet de
les calculer.
86
CHAPITRE 9
7)
Z et K [ x] admettent des éléments irréductibles, i.e. sans diviseur autre que les éléments
inversibles. Dans Z, ce sont  2,  3,  5,  7,  11, etc.; dans K [ x] ce sont les polynômes
irréductibles.
8)
Dans Z et K [ x] , le lemme de Gauss est vrai, i.e. si a divise bc et pgdc(a, b)  1 alors a
divise c.
9)
Dans Z et K [ x] , le lemme de Bezout est vrai, i.e. pgdc(a, b)  1  p, q  A tels que
ap bq  1 .
10)
Z et K [ x] sont des anneaux à décomposition (ou factorisation) unique, i.e. tout élément
s’écrit de façon unique comme produit d’éléments irréductibles (à multiplication près par des
éléments inversibles et ordre près des facteurs). On dit aussi que ce sont des anneaux
factoriels.
11)
Z et K [ x] admettent des corps de fractions. La même construction (voir l’appendice du
chapitre 6) donne le corps Q des rationnels et le corps K (x) des fractions rationnelles
(chapitre 10).
Exercices résolus
1.
Montrer que si P, Q K [ x] et PQ  1 , alors degP  degQ  0 .
2.
Montrer qu’un polynôme de degré 1 est irréductible.
3.
En s’inspirant de l’algorithme euclidien pour les entiers, énoncer l’algorithme euclidien pour
3
4
3
2
les polynômes. L’utiliser pour calculer le pgdc de x  1et x  x  2x  1dans Q[ x] .
*4.
Montrer qu’un polynôme de degré 2 ou 3 dans K [ x] est réductible si et seulement s’il a une
4
racine dans K. Vérifier que x  4 R[ x] est réductible bien qu’il n’admette aucune racine.
5.
*6.
Trouver un polynôme dans (Z 3Z)[ x] qui a pour racines les classes de 0, 1 et 2.
2
Montrer que le polynôme ax  bx c Q[ x](a  0) a une racine dans Q si et seulement si
b2  4ac est un carré dans Q. Montrer que dans ce cas, on peut l’écrire sous la forme
2
2
a(x  )(x  ) , où ,  sont dans Q, et que b  4ac  (  ) .
7.
Soient ,  les racines distinctes du polynôme x2  ax b. Montrer que      a et
 b.
87
CHAPITRE 9
8.
Montrer que si zC est racine du polynôme P(x) R [x] , alors z l’est aussi (utiliser
l’exercice 8.9).
88
CHAPITRE 9
9.
Soit Kun corps fini à n éléments. Montrer que si P K [ x] admet tout élément de K pour
racine, alors deg(P)  n .
10.
Après avoir étendu la définition des polynômes au cas où K est un anneau, trouver deux
polynômes P, Q (Z / 6Z )[x] tels que deg(PQ)  deg(P)  deg(Q) .
*11. Trouver tous les polynômes irréductibles de degré 1, 2, 3 dans (Z / 2Z )[x] (utiliser les
exercices 2 et 4.
12.
Montrer que si P divise deux polynômes non nuls A et B, il divise leur pgdc (cf. preuve du
cor. 4.5). Utiliser l'exercice 17.
13.
Soient A, B, C des polynômes non nuls. Montrer que si A est premier avec B et si A divise
BC, alors il divise C (cf. lemme 5.4). Utiliser l'exercice 17.
14.
Montrer que si un polynôme irréductible P divise un produit Q1
Q de polynômes
irréductibles, alors il existe  K  et i tel que P  Qi (cf. lemme 5.5).
15.
Soient , ,  les racines du polynôme x3  ax2  bx c . Montrer que       a ,
       b,    c .
Exercices non résolus
*16. Soit I un idéal de K [ x], I  { 0} . Soit P  I \ {0} avec deg(P) le plus petit possible. Montrer
que I  PK [ x] (imiter la preuve du th. 4.2).
*17. Soient A, B K [ x] ; montrer que
AP BQ| P, Q K [ x] est
un idéal de K [ x] . On
suppose maintenant que A, B sont non nuls et que C est un pgdc de A et B. Montrer que
l’idéal ci-dessus est égal à CK [ x] (imiter la preuve du th. 4.4).
18.
Montrer que si C est un pgdc des polynômes non nuls A et B dans K [ x] , alors tous les

pgdc de A et B sont de la forme C , où  K . Montrer aussi que CK [x]  (C)K [x] .
19.
Démontrer le th. 9.17 (cf. preuve du th. 4.7).
*20. Démontrer le th. 9.21 (cf. preuve du th. 5.3).
21.
Montrer que l’ensemble des polynômes irréductibles sur K [ x] est infini (cf. preuve du
th. 5.1).
89
CHAPITRE 9
22.
Généraliser l’exercice 15 au cas d’un polynôme de degré n.
*23. Montrer que les seuls polynômes irréductibles dans R[ x]
2
sont
x  a, a R , et
2
x  (  ) x | | , où  C \ R.
24.
5
4
3
f (x)  2x  x  3x  x  3 par x 3 et constater qu’on trouve f (3)  324
Diviser
comme reste.
25.
Soit f (x)  x3  3x2  2x 6 et g(x)  x3  x2  2x  2. Vérifier que pgdc f (x), g(x)
 x2  2 .
26.
Soit f (x)  x3  x2  3x  10 et g(x)  x3  6x2  9x  14.
a)
Vérifier que pgdc f (x), g(x) x  2 .
b)
*27. a)
Trouver u(x) et v(x) tels que f (x)u(x)  g(x)v(x)  x  2 .
Vérifier que le polynôme x2 1 sur l’anneau Z 20Z admet 4 racines (cf. ex. 10).
Ceci contredit-il le théorème 9.9?
b)
Vérifier que pour les polynômes P  4x 2 1 et Q  5x  3 sur Z 20Z , on a
deg(PQ)  deg(P)  deg(Q) . Ceci contredit-il le théorème 9.1?
c)
Vérifier que le polynôme 10x 1 est un élément inversible de l’anneau (Z 20Z)[ x] .
Ceci contredit-il le corollaire 9.2?
*28. Dans l’anneau Z 4[ x] des polynômes à coefficients dans l’anneau Z 4 Z 4Z (cf. ex. 10),
trouver :
a)
un polynôme inversible de degré 5;
b)
un polynôme de degré 1 qui a deux racines.
29.
Soit K un corps commutatif. Prouver que l’équation ax 2  b (a, b K , a  0) peut
admettre 0, 1 ou 2 solutions, mais jamais 3 ou plus. Attention : au chapitre 17 nous verrons
que dans le corps non commutatif des quaternions, l’équation x2  1 admet les trois
racines i, j et k.
*30. Soit  et  les racines de x2  ax b 0 . Prouver que :
2
2
2
    a  2b;
a)
b)
3
3
3
     a  3ab.
2
2
*31. Soit , ,  et  les quatre racines complexes du polynôme (x  ax b)(x  cx d) où a,
b, c, d C . Calculer en fonction des coefficients a, b, c et d la valeur de :
90
CHAPITRE 9
i)
iii)
32.
      ;
1 1 1 1
   ;
   
ii)
 ;
iv)
2
2
2
2
     .
Trouver les 8 racines complexes du polynôme P  x8  3x7 8x6 18x5  21x 4  27x3 
2
22x2 12x  8. Aide : 2i est racine simple et i est racine double, i.e (x  i) divise P.
Appendice : construction de l’anneau des polynômes
1.
Une suite dans K est une fonction N K . Si an est l’image de n par la suite, on désigne la
suite par (an )nN ou simplement (an ) . Par exemple (n)nN , (n2  1)nN sont des suites dans Q;
elles correspondent respectivement aux fonctions N Q, n net n n2  1 . Deux suites (an )
et (bn ) sont égales si et seulement si : nN, an  bn . Le support d’une suite (an ) est
n N | an  0. Un polynôme en une variable sur K est une suite dans K de support fini. Par
exemple, trois polynômes particuliers sont :
* (an ), avec a0  1, a1  a2  a3 
 0 ; ce polynôme est provisoirement noté 1.
* (an ), avec a0  0, a1 1, a2  a3  a4 
* (an ), avec a0  a1  a2 
 0 ; celui-ci est noté x.
 0. On le note provisoirement 0.
On définit somme et produit par :
(an )  (bn )  (an  bn ) ; (an )(bn )  (cn) , où cn 
 ai bj  a0bn  a1bn1 
i  j n
 anb0 . Il faut
remarquer que si (an ) , (bn ) sont des suites de support fini, alors (an )  (bn ) et (an )(bn ) le sont
aussi. En effet, on remarque qu’il existe N tel que n N  an  bn  0. Par suite,
n N  an  bn  0et n  2N  cn  0.
L’ensemble des polynômes ainsi définis forme un anneau commutatif; l’élément neutre pour
l’addition est 0, tandis que celui pour la multiplication est 1. Nous laissons la vérification de ceci
au lecteur, sauf pour l’associativité de la multiplication, que nous démontrons ici : prenons trois
polynômes (an ) , (bn ) , (cn ) et formons les produits (an )(bn )  (bn), ( bn) (cn )  (dn ) ,
(bn )(cn )  (bn),
 (an ) (b
n)  (en ) . Il s’agit de montrer que dn  en .
On a, par définition du produit des polynômes, pour
bn  a0bn  a1bn1   anb0, et aussi dn  b0cn  b1cn1   bnc0.
91
tout
entier
naturel
n,
CHAPITRE 9
La relation prédédente nous donne alors
dn  a0b0cn  a0b1  a1b0 cn1 
 a0bn  a1bn1 
 anb0c0 .
Donc, par associativité du produit dans K, et en examinant ce qui est caché dans les points, on
trouve que dn est la somme de tous les termes ai bj ck , pour tous les entiers naturels i, j, k tels que
i  j  k  n.
De même, on a
bn b0cn  b1cn1 
 bnc0 ,
en  a0bn a1bn1
 
 anb0.
et
D’où
en  a0 b0cn  b1cn1 
 bnc0 a1b0cn1  b1cn 2 
 bn1c0 
 anb0c0 .
Un examen analogue montre que en consiste en la même somme que dn ; d’où en  dn . Donc le
produit est associatif.
2.
Nous avons introduit plus haut un polynôme particulier x. Nous calculons la puissance
p
x  (an ) ,
p-ème
de
x.
Démontrons
par
récurrence
sur
p
que
a0  a1  ap1  ap1  ap2 
 0 et ap 1 .
où
Ceci est vrai en effet pour x0  1 (par définition) et x1  x . Supposons que ce soit vrai pour p et
passons à p1 ; par définition x  (an ) , où tous les an sont nuls sauf a1 qui vaut 1; et par
p
hypothèse de récurrence, x  (bn ) , où tous les bn sont nuls sauf bp qui vaut 1. Alors
p1
p
x
 x x  (cn ) , où par définition du produit cn  an b0  an 1b1   a0 bn , i.e. la somme de
tous les termes ai b j avec i  j  n et i , j N . Pour qu’un tel terme soit non nul, il faut que ai et
bj soient tous deux non nuls; la seule possibilité est i  1 et j  p . Par suite cn  0 , sauf si
n p1 , auquel cas c p1  a1bp 1; c’est ce qu’il fallait démontrer.
3.
Nous définissons maintenant une fonction  de K dans l’ensemble des polynômes par :
a  K, (a) est la suite (an ) avec a0  a et a1  a2  a3   0.
La fonction  est injective : en effet, si a, b sont dans K et satisfont à (a)  (b) , ces deux suites
sont égales élément par élément, en particulier pour leur premier élément, et par conséquent
92
CHAPITRE 9
a b. De plus, la fonction  préserve l’addition et la multiplication : on a (a +b)  (a)  (b)
et (a b)  (a)(b) . La vérification de ceci est laissée au lecteur.
4.
Tout polynôme non nul s’écrit de manière unique comme (a0 )  (a1 )x   (ad )xd , où
les ai sont dans K et ad  0. En effet, si (an ) est un polynôme non nul, il existe un entier d tel
que : ad  0 et n d, an  0 (puisque la suite est de support fini). Alors ce polynôme s’écrit
( 0an) (1an )  ( d an ) , où ( i an ) , i  0,1, , d , est la suite définie par : i an  0 , sauf si n i ,
auquel cas i an  ai . Mais on a aussi ( i an )  (ai )xi , égalité que le lecteur vérifiera. Par suite, le
polynôme s’écrit sous la forme annoncée.
Pour l’unicité : si un polynôme s’écrit comme ci-dessus, on vérifie que le n-ème terme de la suite
correspondante est an si n  d , et 0 si n  d . Ainsi, si le polynôme est donné, l’expression cidessus est unique.
5.
Comme la fonction  est injective, on peut identifier a et (a). On écrira alors a pour (a),
et en particulier 0 pour 0 et 1 pour 1. Alors tout polynôme non nul a une expression unique
d
a0  a1x   ad x où les ai sont dans K et ad  0.
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