Nombres, notations, logique, ordre et intervalles 1 Les ensembles

Nombres, notations, logique, ordre et intervalles
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Les ensembles de nombres
1.1
L’ensemble N
C’est l’ensemble des entiers naturels.
N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}
On dit que "5 est un élément de N", ou que "5 appartient à N" et on note : 5 ∈ N.
Les nombres premiers constituent un sous-ensemble de l’ensemble des entiers naturels.
1.2
L’ensemble Z
C’est l’ensemble des entiers relatifs.
Z = {...; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; ...}
Tous les entiers naturels appartiennent à Z. On dit que "l’ensemble N est inclus dans l’ensemble
Z", ou que "N est un sous-ensemble de Z" et on note N ⊂ Z.
Tous les nombres entiers strictement négatifs appartiennent à Z mais n’appartiennent pas à N. On
dit que "l’ensemble des entiers strictement négatifs est le complémentaire de N dans Z".
1.3
L’ensemble D
C’est l’ensemble des décimaux.
Ces nombres peuvent s’écrire sous l’une des trois formes suivantes :
1. fractionnaire : d =
a
avec a ∈ Z et n ∈ N.
10n
Exemple :
d=
541233
103
2. décimale :
d = 541, 233
3. scientifique : d = a × 10p avec 1 ≤ a < 10 et p entier relatif.
Exemple :
d = 5, 41233 × 102
(voir l’utilisation de la calculatrice)
Pour trouver l’ordre de grandeur de d, à partir de l’écriture scientifique, on arrondit le nombre a
à l’entier le plus proche et on le multiplie par 10p .
1
1.4
L’ensemble Q
C’est l’ensemble des rationnels.
Ces nombres peuvent s’écrire comme le quotient d’un entier relatif par un entier naturel non nul :
a
q=
avec a ∈ Z , b ∈ N et b 6= 0.
b
1.5
L’ensemble R
C’est l’ensemble des réels.
Si D une droite graduée de repère (O, I), à tout point M de D, on associe un nombre x appelé
abscisse de M , défini de la manière suivante :
x = OM lorsque M appartient à la demi-droite [OI).
x = −OM lorsque M n’appartient pas à la demi-droite [OI).
R est l’ensemble de ces nombres.
Il contient l’ensemble des rationnels : Q ⊂ R.
Le complémentaire de Q dans R est l’ensemble des irrationnels.
√
Les irrationnels sont des nombres comme par exemple 2, cos(37°), π ...
Ecriture d’un réel non décimal
1. Exemples :
(a) nombres rationnels
40
= 1, 2121212121...
33
11
= 1, 833333...
6
(b) nombres irrationnels
√
2 = 1, 414213562... π = 3, 14159...
Dans les deux cas, le nombres de décimales est infini mais pour les nombres rationnels, la
suite des décimales peut être connue.
2. Troncature et arrondi :
exemple si x ' 1, 3726
Troncature de x
à l’unité : x ' 1
au dixième : x ' 1, 3
au centième : x ' 1, 37
Arrondi de x
à 1 près : x ' 1
à 0,1 près x ' 1, 4
à 0,01 près : x ' 1, 37
3. Valeurs approchées par défaut ou par excès ; encadrement.
1.6
Propriété
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R
2
2
2.1
Un peu de logique
Propositions
"a appartient à N", noté a ∈ N, est une proposition notée P.
Sa négation, notée non P, est "a n’appartient pas à N", noté a ∈
/ N.
Une proposition peut prendre l’une ou l’autre des deux valeurs logiques vraie ou fausse.
Une proposition et sa négation prennent des valeurs logiques différentes.
Par exemple "6 ∈ N" est vraie, sa négation "6 ∈
/ N" est fausse.
"−6 ∈ N" est fausse, sa négation "−6 ∈
/ N" est vraie.
La conjonction de deux propositions P et Q est la proposition notée P et Q qui est vraie uniquement si P et Q sont vraies.
La disjonction de deux propositions P et Q est la proposition notée P ou Q qui est fausse uniquement si P et Q sont fausses. Par exemple, la proposition "6 ∈ N ou −6 ∈ N" est vraie.
2.2
Propositions conditionnelles
"si P, alors Q" est une proposition conditionnelle.
P est l’hypothèse, Q est la conclusion. Par exemple : si a ∈ N , alors a ∈ Z.
C’est une implication que l’on peut noter : a ∈ N =⇒ a ∈ Z
Une implication peut être vraie ou fausse. Ici elle est vraie car N ⊂ Z.
Si une implication est vraie et si P est vraie, on peut en déduire que Q est vraie.
5 ∈ N, donc 5 ∈ Z.
Supposons q’une proposition conditionnelle "si P, alors Q" est vraie, on définit :
• la réciproque : "si Q, alors P" qui peut être vraie ou fausse
• la contraposée : "si non Q, alors non P" qui est vraie
• la négation : "P et non Q" qui est fausse
Exemple : la proposition "si x = 5, alors x2 = 25" est vraie,
sa réciproque "si x2 = 25, alors x = 5" est fausse (x peut être égal à −5),
sa contraposée "si x2 6= 25, alors x 6= 5" est vraie,
sa négation "x = 5 et x2 6= 25" est fausse.
Attention : "je suis un poisson donc je vis dans l’eau" est une proposition vraie.
Pourtant je ne suis pas un poisson.
Preuve : on utilise la contraposée "si je ne vis pas dans l’eau, alors je ne suis pas un poisson" qui
est vraie et puisque je ne vis pas dans l’eau . . .
3
3
Ordre
3.1
Définition
Si a et b sont deux réels quelconques, nous avons les équivalences suivantes :
a ≤ b ⇐⇒ a − b ≤ 0
a < b ⇐⇒ a − b < 0
a ≥ b ⇐⇒ a − b ≥ 0
a > b ⇐⇒ a − b > 0
3.2
Comparaison
Pour comparer deux nombres a et b, la première étude doit porter sur le signe de a et b. En effet,
s’il sont de signes contraires, ou si l’un des deux est nul, la comparaison est terminée.
Nous nous plaçons donc dans le cas où a et b sont de même signe et non nuls.
3.2.1
Première méthode
Pour comparer deux nombres, nous étudions le signe de leur différence.
Par exemple, pour comparer a = x2 et b = 2x − 1 où x est un réel quelconque, on calcule la
différence, soit :
a − b = x2 − (2x − 1) = x2 − 2x + 1 = (x − 1)2
On sait que (x − 1)2 ≥ 0 pour tout réel x puisqu’un carré est toujours positif.
De plus (x − 1)2 = 0 ⇐⇒ x = 1.
Avec la définition nous pouvons donc en déduire que a = b si x = 1 et a > b pour tout x 6= 1.
3.2.2
Deuxième méthode
Pour comparer deux nombres, nous comparons leur quotient avec 1.
En effet, puisque a et b sont de même signe, nous avons les équivalences suivantes :
a ≤ b ⇐⇒
a
≤1
b
a < b ⇐⇒
a
<1
b
a ≥ b ⇐⇒
a
≥1
b
a
>1
b
x+2
x+1
Par exemple, pour comparer a =
et b =
où x est un réel strictement positif, on
x+1
x
calcule le quotient, soit :
a > b ⇐⇒
a
x+2
x
(x + 2)x
x2 + 2x
=
×
=
=
b
x+1 x+1
(x + 1)2
x2 + 2x + 1
4
Le numérateur est stictement inférieur au dénominateur donc le quotient est strictement inféreur à
1. Nous pouvons en déduire a < b.
3.2.3
Troisième méthode
Dans certains cas il peut être intéressant de transformer l’écriture des nombres avant d’utiliser
l’une des deux méthodes précédentes.
x+y
√
Par exemple, pour comparer a =
et b = xy où x et y sont deux réels strictement
2
positifs, on commence par élever a et b au carré :
x2 + 2xy + y 2
,
4
Nous calculons maintenant la différence :
a2 =
a−b=
b2 = xy
x2 − 2xy + y 2
(x − y)2
x2 + 2xy + y 2 4xy
−
=
=
4
4
4
4
Le dernier quotient est positif donc a = b si x = y et a > b pour tout x 6= y.
4
Intervalles
L’ensemble des réels R se représente par l’ensemble des points d’une droite munie d’un repère.
Cetaines parties de R sont appelées intervalles, ils sont définis ci-dessous par des inégalités ou
des représentations graphiques :
4.1
Définition
Remarque :
– l’ensemble des réels peut se noter : R =] − ∞; +∞[ ;
– l’ensemble vide ne contient aucun élément et on le note ∅ ;
– un ensemble contenant un seul élément a se note {a}.
4.2
Intersection et réunion
On considère deux intervalles de R notés I et J ;
L’intersection des intervalles I et J est l’ensemble des réels qui sont éléments de I et de J.
5
si x ∈ I et x ∈ J, alors x ∈ I ∩ J.
∩ se lit "inter"
Exemple : ] − 5; 3]∩]1; 8] =]1; 3]
La réunion des intervalles I et J est l’ensemble des réels qui sont éléments de I ou de J.
si x ∈ I ou x ∈ J, alors x ∈ I ∪ J.
∪ se lit "union"
Exemple : ] − 5; 3]∪]1; 8] =] − 5; 8]
Attention : dans le cas général, la réunion de deux intervalles n’est pas un intervalle.
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