Mouvement harmonique : application des fonctions

Mouvement harmonique : application des
fonctions trigonométriques
()
(
Élongation en fonction du temps : y t = A ⋅ sin ω t + φ
)
()
(
ou y t = A ⋅ cos ω t + φ
)
A : amplitude [m] (éloignement max par rapport à l’origine; par définition A ≥ 0)
ω :vitesse angulaire [rad / s]
T : période [s ] (la durée d’une oscillation complète)
φ :déphasage [rad ]
1
f = : la fréquence (Hz) (nombre d’oscillations complètes par unité de temps)
T
1. (période) Un mouvement harmonique est enregistré sur une feuille de papier qui défile à
la vitesse de 30,00 cm/min. Le même élément de courbe se retrouve tous les 0,80 cm.
Quelles sont (a) la période et (b) la fréquence de l'oscillateur ?
Sol. : a) 1,6 s
b) 0,62 Hz
2. (paramètres de l’équation horaire) Écrire l'équation horaire d'un mouvement
harmonique d'amplitude 3,0 cm, de fréquence 20 Hz, et dont l'élongation est maximale à
l'instant t = 0 s.
3. (paramètres de l’équation horaire) Écrire l'équation horaire d'un mouvement
harmonique d'amplitude 5,0 cm, de période 0,20 s, et dont l'élongation est nulle à l'instant
t = 0 s.
4. (paramètres de l’équation horaire) Écrire l'équation horaire d'un mouvement
harmonique d'amplitude 2,0 cm, de période 10 s, et dont l'élongation est nulle et
décroissante à l'instant t = 0 s.
5. (traduire d’un langage dans un autre) Déterminez l'amplitude, la période et le
déphasage des mouvements harmoniques suivants :
6. (traduire d’un langage dans un autre) Un oscillateur harmonique a pour équation
⎛ π ⎞
horaire (y en cm, t en s) : y = 3,0sin ⎜
t .
⎝ 4,0 ⎟⎠
a) Déterminer sa période.
b) Calculer sa vitesse à l'instant t = 4,0 s.
c) Établir l'équation horaire d'un mouvement harmonique d'amplitude double, de même
période, et en retard d'un quart de période.
Sol. : a) 8,0 s
b) −0,024 m/s
7. (traduire d’un langage dans un autre) Soit le graphe ci-dessous. a) Déterminer
l’amplitude, la période et la fréquence de ce mouvement vibratoire. b) Déterminer
l'élongation aux instants t = 1 s, 16 s et 24 s. c) Construire (sur cette feuille) le graphique
d'un mouvement harmonique ayant amplitude moitié et fréquence moitié de celles du
mouvement représenté. d) Construire (sur cette feuille) le graphique d'un mouvement
ayant une amplitude trois fois moindre, même période, et en concordance de phase avec
lui.
8. (modélisation) On appelle tsunami un raz de marée provoqué par un tremblement de terre
sous-marin. Les vagues peuvent atteindre plus de 30 mètres et voyager à grande vitesse.
On envisage la situation où les vagues mesurent 7,5 m de haut, présentent une période de
30 minutes et se propagent à la vitesse de 50 m/s. a) Soit (x,y) un point sur la vague.
Donner une expression de y en fonction de t si y =7,5 m en t = 0 s. b) À quelle vitesse
monte (ou descend) la vague quand y = 3,0 m ?
9. (modélisation) Un piston de moteur à explosion effectue 3,0×103 oscillations/min. a)
Calculer sa fréquence et sa période. b) Si le mouvement est harmonique, d'amplitude 5,0
cm, quelle est la vitesse maximale du piston ? c) Calculer son accélération maximale d)
Quelle est l'intensité de la force maximale s'exerçant sur lui si sa masse est de 100 g ?
Sol. : a) 50 Hz et 0,020 s b) 16 m/s
c) (−)4,9×103 m/s² d) (−)4,9×10² N
10. (organiser ses connaissances) Démontrer que, dans un mouvement harmonique,
l’accélération est proportionnelle à l’élongation.
11. (traduire d’un langage dans un autre) À partir des différents graphiques ci-dessous,
répondre aux questions suivantes…
a) Indiquer clairement sur le graphique quelle courbe représente l’élongation de
l’oscillateur.
b) Indiquer clairement sur le graphique quelle courbe représente la vitesse de l’oscillateur.
c) Que vaut la période de l’oscillateur ?
d) Que vaut l’amplitude de l’oscillation ?
e) Que vaut la vitesse maximale ?
f) Que vaut l’accélération maximale ?
12. Rythme cardiaque
A tout moment, votre cœur bat, votre pression sanguine (force par unité de surface)
augmente pour décroître ensuite ente 2 battements.
Les maximum (contraction du cœur) et minimum (relâchement du cœur) de pression
sanguine portent respectivement les noms de pression systolique et diastolique
La lecture de votre pression sanguine, à l’aide d’un tensiomètre, est traduite par 2 chiffes
correspondant aux pressions systolique / diastolique.
Une lecture de 12/8 est considérée comme normale.
La pression sanguine d’une personne est modélisée par la fonction :
p(t ) = 11,5 + 2,5sin(160π t )
dans laquelle p(t) est la pression en cm Hg (centimètre de mercure), t le temps exprimé en
minutes.
a) Calculer la période de p
b) Calculer le nombre de battements de cœurs par minute.
c) Représentez graphiquement la fonction p
d) Que donnerait le tensiomètre lors d’une lecture de la pression sanguine ?
Comparer cette lecture avec la tension normale
Physique 6ème Sciences générales, Y. Verbist et al. De Boeck
Physique 6ème Option de base, Y. Verbist et al. De Boeck
Banque d’exercices (L. Zanotto)