Thermodynamique

MP 2013/2014
Exercices : Thermodynamique
Approche différentielle des principes de la thermodynamique
TH060: moteur thermique avec changement d’état
Un moteur thermique fonctionne de façon réversible entre deux sources dont les températures
(T
f
Tc et
Tf
< Tc ) peuvent évoluer au cours du temps à cause des échanges thermiques avec la machine.
La source froide est constituée par une masse M = 100 kg d'eau en totalité à l'état de glace fondante à la
température T f 0 = 273 K . La source chaude est constituée par une masse
2M d'eau liquide à la température
TC0 = 373 K . On donne :
Capacité thermique massique de l'eau liquide C = 4,18 kJ ⋅ kg −1 ⋅ K −1 ,
Chaleur latente massique de fusion de la glace à la température T f 0 = 273 K : L = 335,6 kJ ⋅ kg −1 .
1- Déduire d'un bilan entropique effectué sur la machine, la température
totalité de la glace de la source froide a fondu.
2- Calculer numériquement dans ce cas, le travail total
TC1 de la source chaude lorsque la
W1 fourni par le moteur.
3- Le moteur s'arrête de fonctionner lorsque les deux sources sont à la même température
numériquement
T0 . Calculer
T0 .
4- Calculer le travail total
s'arrête.
W2 fourni par le moteur depuis le début de son fonctionnement jusqu'à ce qu'il
5- Calculer le rendement thermique global
6- Calculer le rendement thermique
chacune des deux sources.
η0
η du moteur.
du moteur si l'on avait maintenu constantes les températures initiales de
TH064 : Pompe à chaleur
Le fluide d'une pompe à chaleur décrit de façon réversible un cycle de Carnot
composé :
• d'une compression isotherme AB au cours de laquelle le fluide échange une
quantité de chaleur algébrique SQc avec une source chaude constituée par
l'air d'une pièce de capacité thermique totale C que l'on désire chauffer et
dont la température à l'instant t est
Tc ( t ) ,
• d'une détente adiabatique BC qui ramène la température du fluide à la
température constante T0 de la source froide constitué par l'air extérieur à la
pièce,
• d'une détente isotherme CD au cours de laquelle le fluide
échange la quantité de chaleur algébrique δ Q0 avec l'air extérieur à la pièce
à la température constante T0
• d'une compression adiabatique DA qui ramène la température
du fluide à la température
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Tc ( t ) de la source chaude,
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On peut considérer que la température
isotherme AB et qu'elle augmente de
le fluide au cours d'un cycle.
1) Exprimer l'efficacité thermique
Tc ( t ) de la source chaude reste constante au cours de la compression
dTc à chaque cycle de durée dt. On désigne par δ W > 0 le travail reçu par
η (t )
de la pompe à chaleur définie par le rapport :
η (t ) = −
δ Qc
δW
2) On suppose, dans un premier temps, que la pièce est thermiquement isolée de l'extérieur et que sa température
initiale est
Tc ( 0 ) = T0 . On désigne par P =
l'intervalle de temps
température T1
δW
dt
la puissance mécanique constante fournie au fluide. Exprimer
t0 pendant lequel la pompe doit fonctionner pour que l'air de la pièce atteigne la
= Tc ( t0 ) .
3) La pompe à chaleur est arrêtée et la puissance P est fournie sous forme électrique à la résistance chauffante, de
capacité thermique négligeable, d'un radiateur électrique.
Calculer l'intervalle de temps t1 nécessaire pour que la pièce, initialement à la température T0 atteigne la
température
T1
∆t = t1 − t0 que l'on obtient en utilisant une pompe à chaleur plutôt qu'un radiateur
P
électrique. On donne : T0 = 283K , T1 = 291 K et le rapport
= 98.10−6 K .s −1
C
4) Calculer le gain de temps
5) On suppose maintenant que la pièce présente une fuite thermique et que, lorsque sa température à l'instant t
est
Tc ( t ) , elle échange avec l'extérieur, pendant l'intervalle de temps dt, une quantité de chaleur :
δ Q = − kC Tc ( t ) − T0  dt
où k est une constante.
La pompe est arrêtée lorsque la température de la pièce vaut
pièce chute alors de 1 K au bout de 3 heures. Calculer k.
Tc = 288 K. Si T0 = 283 K, la température de la
6) Montrer que la température limite
T1 atteinte dans la pièce lorsque la pompe fonctionne et que le régime
2
2
permanent est établi, se déduit de la relation : T1 − 2 AT1 + T0 = 0 . Déterminer A.
7) Exprimer la température limite T 2 atteinte dans la pièce lorsque la pompe est remplacée par un radiateur
électrique recevant, sous forme électrique, la même puissance P que la pompe à chaleur.
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Thermodynamique des fluides en écoulement permanent – Systèmes ouverts
TH207 : Bilan entropique dans un échangeur thermique
Un liquide de capacité calorifique constante cp , initialement à la température Te s'échauffe en s'écoulant en
régime permanent avec un débit massique Dm dans un thermostat échangeur de chaleur isobare idéal entièrement
à la température Ts qui est aussi la température de sortie du fluide.
a) Quelle est la puissance thermique cédée au fluide ?
b) Calculer directement en utilisant la thermodynamique de première année la variation d'entropie massique du
liquide entre l'entrée et la sortie ss-se .
c) En appliquant le deuxième principe des systèmes ouverts, calculer l'entropie créée massique sc ainsi que le taux
•
de création d'entropie Sc (ou entropie créée par unité de temps) dans le fluide. Étudier le signe du résultat et
commenter.
d) Qualitativement et sans aucun calcul, comment varierait ce résultat si le fluide passait de Te à Ts grâce à deux
échangeurs, le premier à une température intermédiaire entre Te et Ts, et le deuxième à Ts ?
TH208 :Tuyère calorifugée
Une tuyère éjecte des gaz à vitesse c élevée, ceux-ci entrant avec une vitesse négligeable. Les notations sont
précisées sur le schéma. On donne :
Te = 1600 K, Pe = 52 bar, Ts = 550 K, Ps = 1 bar, cp =1,0 kJ.kg-1.K-1, r = 290 J.kg-1.K-1
a) En précisant les hypothèses, calculer la vitesse c d'éjection des gaz.
b) La détente est-elle adiabatique réversible ?
c) Calculer l'entropie massique créée (entropie créée par unité de masse de fluide traversant la tuyère).
TH209 : Compression adiabatique d’un mélange diphasé – Diagramme de Mollier de
l’eau
Un compresseur adiabatique spécialement conçu comprime un brouillard de vapeur d'eau humide titrant xe = 76 %
en masse de vapeur de la pression d'entrée Pe = 1 bar à la pression de sortie Ps = 20 bar . Son débit massique est
Dm = 3,8 kg/s .
On donne un extrait du diagramme de Mollier de l'eau pure. Les isobares sont représentées en trait plein, les
isothermes de la vapeur sèche sont représentées en pointillé, et les isotitres du mélange diphasé sont représentées
en pointillé alterné.
a) Quelle est la température à l'entrée du compresseur ? Représenter le point A correspondant sur le diagramme.
b) La compression est réversible. Tracer sur le diagramme la courbe d'évolution du fluide et le point B
correspondant à l'état de sortie. Décrire précisément le fluide en sortie, en particulier son titre massique en vapeur
xs et sa température de sortie Ts.
Quel sont les travaux massiques de transvasement wt et indiqué de compression wi du fluide de Pe à Ps ? Quelle
est la puissance indiquée Pi du compresseur ?
c) La compression, toujours de Pe à Ps est irréversible, et la création d'entropie massique du fluide pour le
compresseur réel vaut sc = 0,20 kJ.kg-1.K-1.
Quelle est la température de sortie ?
Représenter la nouvelle courbe d'évolution du fluide sur le diagramme et le point B' de sortie ; donner son titre
massique en vapeur x’s et sa température de sortie T’s . Quels sont les travaux indiqués de compression w'i et la
puissance indiquée P’i?
Définir et calculer le rendement r du compresseur réel par rapport à l'isentropique.
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Que devient la puissance supplémentaire délivrée par le compresseur par rapport au cas idéal du b) ?
TH210 : Détente d’une vapeur d’eau dans une turbine adiabatique
Une turbine adiabatique, conçue pour travailler sans liquide, détend une vapeur d'eau sèche issue d'un surchauffeur
à la température Te = 380 °C et à la pression Pe =10 bar jusqu'à la pression Ps = 1 bar .
On donne un extrait du diagramme (T,s) de l'eau pure. Les isobares sont représentées en trait plein, les
isenthalpes sont représentées en larges pointillé, et les isotitres du mélange diphasé sont représentées en pointillé
alterné.
a) Que représente la courbe en gras ?
b) Représenter le point e représentant la vapeur à l'entrée. La vapeur est-elle sèche ou saturante ?
c) La détente est réversible.
α) Tracer sur le diagramme la courbe d'évolution du fluide et le point b correspondant à l'état de sortie.
β) La vapeur en sortie est-elle sèche ? Quelle est sa température de sortie Ts ? Quel est le travail indiqué de
détente wi? Jusqu'à quelle pression pourrait-on détendre isentropiquement la vapeur sans faire apparaître de
liquide ?
γ) Tracer le point d'intersection a de l'isenthalpe h = he et de l'isobare P = Ps .
Donner l'expression de la variation hb — he en la calculant sur le chemin isobare (ab).
En déduire une représentation graphique sous forme d'une aire A du travail indiqué wi. En évaluant cette aire par
linéarisation, retrouver la valeur numérique de wi.
d) La détente est maintenant irréversible.
Les pressions d'entrée et de sortie sont identiques à celles de la partie précédente, mais la température de sortie
réelle est mesurée à : TS ' =150 °C .
α) Tracer sur le diagramme la courbe d'évolution du fluide et le point b' correspondant à l'état de sortie. Mesurer
l'entropie créée massique.
β) La vapeur en sortie est-elle sèche ? Quel est le travail indiqué de détente wi' ?
Commenter le résultat, définir et calculer le rendement isentropique de la turbine.
γ) En procédant de la même manière que dans la question c), interpréter wi' par une aire A' (à préciser) et donner
une interprétation du rendement isentropique.
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TH213 : Compresseurs adiabatique et isotherme - Intercooler
Un gaz parfait, de constante massique r = R/M , et de rapport des chaleurs massiques γ est comprimé par une
machine idéale réversible d'une pression d'entrée Pe à une pression de sortie Ps . La température d'entrée est Te.
Dans ces conditions, le travail de compression massique est le travail de transvasement massique dont on
rappellera l'expression.
a) Le compresseur est isotherme. Calculer le travail de compression massique wiso en
fonction de r, Te, et x = Ps/Pe
b) Le compresseur est adiabatique. Calculer le travail de compression massique wad en fonction des mêmes
grandeurs et de γ.
c) Calculer la différence wad - wiso et montrer qu'elle est toujours positive. Conclure.
d) Il n'est pas envisageable en pratique de construire un compresseur isotherme, les échanges de chaleur étant trop
lents. Pour minimiser le travail à fournir pour comprimer le gaz, on peut par contre imaginer de faire une
compression refroidie, modélisée par une compression en trois étapes (système intercooler effectivement utilisé) :
– première étape de compression adiabatique de Pe,Te à une pression intermédiaire Pi.
– deuxième étape de refroidissement isobare pour ramener le gaz à la température Te.
- troisième étape de compression adiabatique de Pi,Te à la pression finale Ps .
Calculer dans cette procédure le travail de compression massique total à fournir au fluide.
Montrer qu'il existe une pression intermédiaire optimale Pi0 pour minimiser le travail de compression total.
e) Représenter les trois procédures de compression envisagées (isotherme, adiabatique, intercooler) sur un
diagramme de Clapeyron (P,v) et conclure graphiquement.
TH218 : Mesure de l'efficacité d'une pompe à chaleur
Pour mesurer l'efficacité réelle d'une pompe à chaleur en régime permanent, on se place dans une pièce à
température ambiante égale à la température extérieure T0 =12 °C où toutes les fenêtres sont ouvertes. Puis on
branche la pompe à chaleur qui réchauffe la pièce, et après dix minutes environ, on ferme les fenêtres et on
déclenche le chronomètre (t = 0). On relève alors la courbe de température T de la pièce en fonction du temps t,
et on mesure grâce à un wattmètre la puissance électrique Pelec = 510 W (sensiblement constante) consommée par
l'appareil. Au bout d'un temps assez long pour considérer le régime permanent atteint (environ 12 heures), on
arrête la pompe à chaleur. On obtient la première courbe.
On reprend la même expérience dans la même pièce, exactement dans les mêmes conditions, mais avec un
chauffage électrique classique de puissance Pch=1000 W .
On obtient la deuxième courbe.
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Les pertes thermiques de la pièce vers l'extérieur sont modélisées par une loi de la forme : Pperdue = α.(T - T0) . On
suppose l'efficacité η de la pompe à chaleur constante dans le domaine de température considéré.
a) Pourquoi ne pas lancer le chronométrage et les mesures de température dès la mise en marche de la pompe à
chaleur ?
b) Dans le cadre du modèle de pertes proposé, trouver l'équation différentielle à laquelle obéit la température T et
l'intégrer. Un paramètre supplémentaire non fourni par l'énoncé devra être introduit.
c) Déduire des deux expériences l'efficacité η et commenter.
Quelle est l'hypothèse la plus grossière dans le modèle utilisé ?
TH220 : Turbomachine avec changement d'état
On considère une installation comportant une chaudière C, une turbine T, un condenseur C' et une pompe A.
Le fluide utilisé est l'eau. il décrit les cycles suivants :
- La pompe alimentaire amène le liquide saturant, pris à la sortie du condenseur (état F), jusqu'à la pression p1 de
la chaudière. Cette opération est pratiquement adiabatique et on peut considérer qu'à la sortie de la pompe le
fluide est liquide (état G) pratiquement à la température T2 du condenseur.
- L'eau est alors injectée dans la chaudière où elle se vaporise de façon isobare (p1). À la sortie de la chaudière, la
vapeur est saturante sèche à T1 (état D).
- Elle subit ensuite une détente adiabatique et réversible dans une turbine T (partie active du cycle). A la sortie de
la turbine, le fluide est à la température T2 et à la pression p2 du condenseur (point E) où il achève de se liquéfier
de façon isobare (point F).
Données : T1 = 523 K, T2 = 293 K
Enthalpie de vaporisation à 523 K :Lv1= 1 714 kJ.kg-1
Pression de vapeur saturante à 523 K : p1 = 39,7 105 Pa
Pression de vapeur saturante à 293 K : p2 = 2 300 Pa
Enthalpie massique du liquide saturant à 293 K : hL = 84 kJ.kg-1
Enthalpie massique de la vapeur saturante sèche à 293 K : hV = 2 538 kJ.kg-1
Chaleur massique du liquide cliq : 4 180 kJ.kg-1.K-1
Volume massique du liquide uliq : 10-3 m3.kg-1 .
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a) Quelle est l'enthalpie massique de vaporisation du fluide à 293 K ?
b) Tracer les différents état du cycle dans le diagramme entropique.
c) Déterminer le titre en vapeur du fluide à la sortie de la turbine.
d) Déterminer l'enthalpie massique au point E.
e) Au point D, l'enthalpie massique vaut 2 800 kJ.kg-1, quel est le travail massique fourni par la turbine à
l'alternateur ?
f) Justifier que le travail massique mis en jeu dans la pompe est négligeable devant celui fourni par la
turbine.
g) Déterminer le rendement de l'installation et le comparer à celui du cycle réversible fonctionnant entre les
mêmes températures extrêmes. D'où provient cet écart ?
h) Quel débit massique de fluide est nécessaire pour obtenir une puissance convertie par l'alternateur de 100
kW ?
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Transferts thermique - Conduction thermique
TH304 : expérience d'Ingen Housz
Cette expérience permet de comparer les conductivités thermiques de divers solides.
Considérons deux ailettes cylindriques de même rayon r, l'une en cuivre et l'autre en aluminium. Elles sont soudées
à leur extrémité inférieure à un récipient contenant de l'eau en ébullition (T0=373 K). L'atmosphère environnante
est à la température Ta=293 K. Le coefficient d'échange convectif entre la tige et l'air est h (enW.m-2.K-1).
Chacune des ailettes est enduite d'une couche mince de paraffine, dont la température de fusion est Tf=333 K.
On constate que sur la tige de cuivre, la paraffine est fondue jusqu'à l'abscisse x1=14,4 cm alors que sur la tige
d'aluminium, elle n'est fondue que jusqu'à l'abscisse x2=11,2 cm.
a) Montrer que, si l'ailette est assez longue, la température y décroît exponentiellement.
b) Sachant que la conductivité thermique du cuivre est λ1=390 W.m-1.K-1, déterminer celle de l'aluminium.
TH306 : Diffusion thermique en présence d'effet Joule
Un cylindre métallique (de conductivités électrique et thermique σ et λ) de section S et de longueur L est
parcouru longitudinalement par un courant électrique constant d'intensité I. On suppose que les extrémités sont
maintenues aux températures T0 et T1 et que la surface latérale est calorifugée. On pose ρ la masse volumique du
métal et c sa capacité thermique massique.
1234-
Écrire l'équation de la chaleur sachant que l'on adopte l'approximation d'un problème unidimensionnel.
En déduire la loi d'évolution spatiale de la température en fonction de l'abscisse en régime établi.
Examiner les cas particuliers où I = 0 ou bien T0 = T1 et commenter l'allure des courbes obtenues.
Calculer le flux thermique aux deux extrémités. Commenter le résultat.
TH310 :. conduction de la chaleur dans une plaque
On considère une plaque métallique de largeur 2d qui est plongée dans un
fluide dont la température est maintenue à Tf. On appelle θ =T-Tf l'écart
de température, ρ la masse volumique de la plaque, c sa chaleur massique
et λ sa conductivité thermique. On posera a=λ/(ρc) la diffusivité
thermique et on notera jQ le vecteur densité de courant de chaleur.
y
Tf
a) Donner les variables dont dépend θ et déterminer l'équation
différentielle qu'il vérifie.
b) On suppose que θ peut se mettre sous la forme : θ(x,t)=f(x).g(t).
Quelles sont les équations vérifiées par f et g ? Trouver l'allure
générale de g(t), puis de f(x). Si à t=0, θ(x,0)=θ1cos(πx/(2d)),
déterminer complètement θ(x, t) .
Tf
-d
O
d
TH315 : Application élémentaire à l'isolation thermique.
L'intérieur ( T i ) et l'extérieur ( T e ) d'une maison sont séparés par un mur d'épaisseur L= 30 cm et de
conductivité λ = 0, 7 W. m- 1 K - 1 . Ce mur est recouvert d'un revêtement thermique d'épaisseur e = 2 cm
et de conductivité λ’= 0,03 W.m- 1 K - 1 . Quel est le rapport P'/P de la puissance perdue avec et sans
revêtement ? Conclusion.
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TH317 :Ailettes de refroidissement
Pour éviter un échauffement trop important d'un appareil électrique, dû à l’effet Joule, on munit
l'arrière de son boîtier d'ailettes de refroidissement métalliques.
Chaque ailette est parallélépipédique,d'épaisseur a = 2,0 mm , de largeur b = 10 cm et de longueur c
= 12 cm. Dans les calculs on admet a<<b.
En fonctionnement permanent, le boîtier de l'appareil maintient une température TM = 60 °C. L'air extérieur, qui
circule, est à une température constante et uniforme TA = 20 °C, sauf au voisinage immédiat de l'ailette, entourée
d'une couche limite d'air thermiquement peu conductrice dont la température reste localement voisine de celle de
la surface de l'ailette.
Dans l'ailette, on admet une conduction thermique unidimensionnelle ; la température
est T(x) , la loi de Fourier s'applique et la conductivité est λ = 20 W.m- 1 °C - 1
Il existe par ailleurs un transfert thermique de l'ailette vers l'air ambiant, à travers la couche limite. Le
flux thermique entre la surface latérale dS (en gris sur la figure) de l'élément d ' ailette de longueur dx et
l'air ambiant est de la f o r m e :
d P = h ( T x ) - T A ) d S où h=180 W.m- 2 °C - 1
a) Écrire le bilan en régime stationnaire permanent des échanges thermiques de la tranche d'ailette de
largeur dx. En déduire que la température T(x) est solution de
l'équation différentielle :
d2 T
1
.(T(x) − TA ) = 0
dx
L2
en précisant l'expression de L ainsi que sa valeur numérique et son unité.
b) Résoudre cette équation et donner l'expression simplifiée de T(x) compte tenu de l'inégalité entre
L et c .
c) Exprimer et calculer numériquement la puissance thermique totale P évacuée par l'ailette, puis la
puissance thermique P ' transmise par le boîtier de l'appareil à l'ailette en x = 0 et commenter.
Combien faudrait-il fixer d'ailettes sur le boîtier pour évacuer une puissance totale P t o t = 200 W ?
2
−
TH319 :Conduction radiale dans un tube cylindrique
Un tube cylindrique creux de rayon intérieur Ri et de rayon extérieur Re est constitué d'un matériau de
conductivité thermique λ = 0,9 S.I. supposée indépendante de la température du matériau.
1- Dans le système d'unités international (S.I.), donner l’unité de la conductivité thermique
λ.
Ti et Te < Ti .
Le tube est le siège d'un transport d'énergie interne (ou thermique) caractérisé par le vecteur jth ( r ) = jth ( r ) er
où er est un vecteur unitaire radial en un point P quelconque du matériau situé à une distance Ri < r < Re de
2- Les surfaces cylindriques intérieure et extérieure du tube sont respectivement aux températures
l'axe du tube. Déterminer jth(r) en régime permanent.sachant qu’il n’existe aucun phénomène physique dans le
matériau qui puisse donner lieu à une production d’énergie interne.
3- Exprimer la loi d'évolution
T ( r ) de la température dans le matériau en fonction de la distance r à l'axe du
tube.
4- Exprimer la puissance thermique Pth échangée avec le milieu extérieur au niveau de la surface cylindrique
extérieure par une longueur
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de matériau.
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5- Exprimer la résistance thermique Rth d'une longueur
. de matériau.
6- Le matériau considéré précédemment constitue la gaine d'un conducteur ohmique cylindrique de rayon Ri et de
résistivité
ρ . Ce conducteur est parcouru par un courant continu d'intensité I
. Exprimer la puissance thermique
Pth , calculée précédemment en fonction de I.
7- En déduire la température Ti , à la jonction gaine conducteur.
TH321 : Barre cylindrique
On considère une barre de cuivre homogène de section droite
d’aire S et de périmètre P, de longueur très grande. En x = 0,
la barre est en contact thermique avec un milieu à,
température TA uniforme et constante. La surface latérale de
la barre est contact avec l’air ambiant de température
uniforme et constante T0. On désigne par λ la conductivité
thermique du cuivre, par h le coefficient de transfert conducto-convectif avec l’air supposés constants. On se
propose d’étudier le champ de température T(x) dans la barre en régime stationnaire. On posera : θ(x) = T(x) –
T0
1) Déterminer l’équation différentielle vérifiée par θ(x). On introduira une longueur caractéristique a. En déduire
l’expression de θ(x) et également celle du flux thermique Φ travers la section de la barre d’abscisse x.
A.N. On donne : λ = 400 W.m-1.K, h = 8 W.m-2 .K-1 . La barre est, un cylindre à section droite circulaire de
diamètre d = 2 cm. Calculer a
2) La longueur L la barre est telle que L/a >> 1. Définir et calculer sa conductance thermique.
TH326 : Echangeur thermique
On s’intéresse au transfert thermique entre un fluide chaud F1 et un fluide froid F2, les fluides se déplaçant dans le
même sens (échangeur co-courant).
Ce transfert s’effectuant à travers une plaque conductrice d’épaisseur e, de largeur L (perpendiculairement au plan
de la figure), d’aire de contact S sur chaque face. On pourra poser L1 la longueur de la plaque.
Le matériau constituant la plaque a une conductivité thermique λ qu’on supposera constante. F1 et F2 sont un
même fluide, de l’eau, de chaleur massique c et ont un même débit massique Dm. Les coefficients conductoconductifs sur chacune des parois de la plaque ont une même valeur h0. On note Tce, Tfe, respectivement les
températures d’entrée de F1 (fluide chaud) et de F2 (fluide froid) et de même Tcs, Tfs leur température de sortie.
a) Montrer qu’en régime stationnaire le flux thermique infinitésimale traversant la section de longueur dx
s’écrit :
dΦ = K.L.[Tc(x) – Tf(x)].dx
où Tc(x)et Tf(x) sont respectivement les températures des fluides chaud et froid à l’abscisse x et K un
coefficient que l’on exprimera en fonction de e, λ et h0.
b) En déduire les équations différentielles auxquelles obéissent les températures Tc(x) et Tf(x).
c) Déterminer Tc(x) et Tf(x).
d) Calculer le flux thermique échangé entre les fluides sur la longueur totale de l’échangeur.
e) On donne :Tce= 473 K, Tfe = 323K, Tcs = 423K. Calculer Tfs,- ainsi que le rapport
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hS
Dm c
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TH327 :Baleine à babord
THERMO 335 : Modélisation d'un fusible.
Un fusible est modélisé par un cylindre de longueur L et de rayon R, de conductivités électrique σ et
thermique λ. Un courant électrique d'intensité I le parcourt, la densité de courant j est supposée uniforme
dans une section et le flux thermique est radial (effets de bords négligés).
1) Rappeler la loi de Fourier relative à la conduction. Interpréter le signe -. Exprimer en fonction de
jth , la puissance thermique transférée à travers une surface cylindrique de rayon r.
2) Établir l'expression :
j2
r
+
=0


r ∂r  ∂r  σ
λ ∂  ∂T 
3) La température en surface est T0. Déterminer T(r). Où la température est-elle maximale?
4) Soit Tf la température de fusion du fusible. Si le fusible fond pour une intensité In, déterminer l'évolution du
rayon Rn en fonction de In.
5) De façon plus réaliste, le comportement en surface est gouverné par un flux conducto-convectif où h est
une constante telle que ah <<λ avec Φ(R) = 2πrRLh(T(R) – T0). Déterminer la nouvelle valeur de Rn
avec In.
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