Clemenceau Loi d`Ohm Effet Hall Force de Laplace

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PCSI 1 - Physique
PCSI 1 (O.Granier)
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Loi d’Ohm
Effet Hall
Force de Laplace
Olivier GRANIER
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I – La loi d’Ohm locale et macroscopique
1 – Présentation du modèle de Drude (1900) :
Dans un conducteur métallique (« ohmique ») soumis à une tension
électrique, les électrons de conduction se mettent en mouvement.
On définit l’intensité I du courant électrique et le vecteur j densité de
courant électrique :
dq
I=
dt
;
r
r
j = ρmv
;
I=
∫∫
rr
j .n dS
(S )
ρm =nq, où n est la densité de charges
ρm : densité de charges mobiles (ρ
mobiles).
v : vitesse des porteurs de charge q.
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Soit E le champ électrique responsable de la mise en mouvement des
charges mobiles.
Une charge mobile est d’une part soumise à la force électrique :
r
r
f él = qE
Elle est également soumise à une force due aux charges fixes qui
composent le réseau cristallin du conducteur métallique.
On modélise cette force par une force de type « frottement fluide » :
r
r
f rés = −kv
où k est une constante phénoménologique, dépendant du conducteur
ohmique considéré.
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2 – Loi d’Ohm locale et conductivité d’un conducteur ohmique :
Le PFD appliqué (dans le référentiel du laboratoire) à une charge
mobile donne alors (m désigne la masse d’un porteur de charge) :
Soit :
On pose
k
=
τ m
1
r
r r
dv
m
= qE − kv
dt
r
dv k r q r
+ v= E
dt m
m
(temps de relaxation du milieu) :
r
dv 1 r q r
+ v= E
dt τ
m
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r
dv 1 r q r
+ v= E
dt τ
m
La solution de cette équation différentielle est (lorsque le champ
électrique est constant) :
r r
t
qτ r
v = A exp(− ) +
E
τ
m
En régime permanent (pour t >> τ) :
r qτ r
v=
E
m
Le vecteur densité de courant s’en déduit :
r
r nq 2τ r
j = nqv =
E
m
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r
r nq 2τ r
j = nqv =
E
m
On pose :
Avec
nq 2τ
(conductivité électrique du milieu)
σ=
m
r
r
j = σE
(loi d ' Ohm locale)
r
E = − gradV :
r
j = −σ grad V
La loi d’Ohm est ainsi expliquée à partir de la limitation de la vitesse
de migration des porteurs du fait de leurs interactions avec le milieu
matériel (les cations fixes du réseau métallique).
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3 – Ordres de grandeur :
Les porteurs de charge sont des électrons.
Le tableau suivant donne les conductivités de quelques métaux usuels à
température ambiante (300 K) :
σ (107 S.m-1)
Ag
Cu
Au
Al
Hg
6,21
5,88
4,55
3,65
0,10
−14
s
Pour le cuivre, on peut évaluer le temps de relaxation : τ = 2,4.10
Le régime permanent est atteint très rapidement, du moins tant que
les durées caractéristiques de variations du champ E sont très
supérieures à 10-14 s.
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4 – Résistance électrique et loi d’Ohm macroscopique :
On considère un conducteur ohmique cylindrique de section transverse s
et de longueur L (un fil électrique en cuivre, par exemple).
r
E
VA
r
v
I
M (q,m)
L
VB
r
ux
Le champ à l’intérieur du fil est (en régime indépendant du temps) :
r V A − VB r
E=
ux
L
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D’après la loi d’Ohm
r
r
locale : j = σE . Par ailleurs
rr
I=
j .n d S = jS
:
∫∫
(S )
r
E
VA
r
v
L
D’où :
V A − VB
I = σES = σS
L
I
M (q,m)
VB
r
ux
L
et V A − VB =
I
σS
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On pose :
L
R=
σS
(résistance électrique du fil)
V A − VB = RI
On définit aussi
ρ=
1
σ
( Loi d ' Ohm macroscopique)
( résistivité ) : R =
ρL
S
r
E
r
v
VA
I
L
M (q,m)
VB
r
ux
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II – L’effet Hall
1 – Action d’un champ magnétique sur le mouvement des porteurs
de charges :
Le conducteur ohmique est placé dans un champ magnétique B.
Le PFD appliqué à un porteur devient :
r
r r r
r
dv
m
= q( E + v ∧ B) − kv
dt
r
dv 1 r q r r r
Soit :
+ v = ( E + v ∧ B)
dt τ
m
r τq r r r
En régime permanent (t >> τ) : v =
( E + v ∧ B)
m
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2 – Mise en évidence de l’effet Hall : (exercice n°2)
r
r
B = Bu z
I
- - - - - - - - - r- - - - - - - - -
b
v
M (q,m)
a
Paroi (2)- -
r
r
EH = −EH u x
z
+ + + + + + + + + + + + + + + + Paroi (1) + +
L
En régime permanent, on constate :
r
Econd
r
r
v = v uy
O
y
x
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I
- - - - - - - -r - - - - - - - Paroi (2)
r
v
r
M (q,m)
EH = EH ux
b
a
z
+ + + + + + + + + + + + + Paroi (1)
L
∫
r
r
B = Bu z
x
O
y
r
r r r
qE H + q v ∧ B = 0
r
r r
r
r
r
E H = −v ∧ B = −v u y ∧ B u z = −vB u x
−b r
−b
r
r
r
E H .dx u x = ( −vB u x ).dx u x = vbB = −(V2 − V1 ) = V1 − V2 = ∆VH
0
∫
0
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I
r
r
B = Bu z
- - - - - - - -r - - - - - - - Paroi (2)
r
v
r
M (q,m)
EH = EH ux
b
a
z
+ + + + + + + + + + + + + Paroi (1)
L
x
O
y
∆VH = vbB
Or :
I = jab = nqvab ,
donc :
1 IB
I
∆V H =
bB =
nqab
nq a
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I
r
r
B = Bu z
- - - - - - - -r - - - - - - - Paroi (2)
r
v
r
M (q,m)
EH = EH ux
b
a
z
+ + + + + + + + + + + + + Paroi (1)
L
x
y
O
Si q = - e (cas d’électrons de conduction, avec I < 0 sur le dessin) :
1 IB
IB
∆VH = −
= − RH
ne a
a
1
(avec RH =
, constante
ne
de Hall)
Application : mesure de champ magnétique (sonde à effet Hall)
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III – La force de Laplace
1 – Force subie par un conducteur dans un champ magnétique B :
L’ensemble du conducteur (électrons de conduction et cations métalliques)
est soumis, de la part du champ magnétique B aux forces :
I
r
r
B = Bu z
- - - - - - - -r - - - - - - - Paroi (2)
r
v
r
M (q,m)
EH = EH ux
b
a
z
+ + + + + + + + + + + + + Paroi (1)
L
x
O
y
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• Sur les électrons de conduction :
r
r r
n ( abL ) − e E H + − e v ∧ B
[
]
• Sur les cations métalliques (immobiles) :
r
n ( abL ) e E H
[
]
Globalement, le conducteur est donc soumis à la force :
r
r r
F L = n ( abL ) − e v ∧ B
[
L’intensité I s’exprime sous la forme :
D’où :
]
I = jab = − nevab
r
r
r r
r
F L = IL u y ∧ B = I L ∧ B
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2 – Généralisation (cas d’un conducteur filiforme) :
On considère un tronçon de circuit filiforme parcouru par un courant
d’intensité I et plongé dans un champ magnétique B quelconque.
r
B
Volume
dττ
I
s
r
dl
Le conducteur est soumis à la force
(appelée force de Laplace) :
r
r r
d FL = I d l ∧ B
En notant que :
r
r r
r
I = js soit I d l = js d l = j s d l = j d τ
r
r
r
d FL = j d τ ∧ B
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3 – Exemple d’application (exercice n°2) :
Calculer la force de Laplace agissant sur une portion plane quelconque
(ACD), parcourue par un courant d'intensité I et placée dans un champ
magnétique uniforme et perpendiculaire au plan du circuit.
Étudier le cas où (ACD) est un demi-cercle.
I
r
r
B = Bu z
C
D
r
d FL
r
I dl
r
FL =
r r

I dl ∧ B = I
( ACD )

∫
r
r r
d FL = I d l ∧ B
A
∫
( ACD )
r r
r
d l  ∧ B = I AD ∧ B

Cette force ne dépend pas de la forme du contour (ACD).
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