Théorie des idéaux dans certaines algèbres d`un groupe

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
F RIEDRICH I. M AUTNER
Théorie des idéaux dans certaines algèbres d’un groupe
Séminaire N. Bourbaki, 1958-1960, exp. no 179, p. 163-168
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Séminaire BOURBAKI
(Février 1959)
(1)
THÉORIE DES IDÉAUX DANS CERTAINES ALGÉBRES D’UN GROUPE
par Friedrich I. MAUTNER
Soit
G
~z~1
le groupe des transformations conformes du cercle
G ~ SL~2 ~ R)/(: I) .
Soit
E
l’espace
des fonctions
sur
~1 ~
G
donc
à valeurs
complexes avec la topologie de Schwartz, D le sous-espace des fonctions de
sont leurs duals. Avec la "convolution" Gomme produit,
support compact, D’ et E’
D et E’ sont des algèbres associatives topologiques. Et est une algebfe du
groupe d’une grande iniportance, par exemple elle contient les fonctions intégrables de support compact et aussi l’algèbre OE associative engendrée par l’algèbre de
Lie de G ("universal enveloping algebra" de HARISH-CHANDRA).
Pour
g ~ G ~
donc(z~Î
Pour
=
est bien défini par
z
g
1~~g zÎ
(z~=1~
on
= 1 .
met
et
donc
Lz (0 ~
défini pour g E- G . Si ’~’ (e) E
nombre complexe s un opérateur U(g
Pour
chaque
l’application
une
et
g
g --~U~g ~ s)
représentation
principale
de
s ~ c’est
le oercle
et pour
()
f(g)
est
Bargmann ;
Bargmann
~z~ : 1),
une
Contenu dans
par
On pose
définit pour chaque
opérateur linéaire borné
un
les autres
on
homomorphisme
introduction
G
pour
1 ;
chaque
d
s ; c’est
la série
unitaires irréductibles de
des espaces de Hilbert différents
fonction à valeurs complexes
163
de
de
6 = Rs = 1/2 . (C’est
représentations
[4] .
est bien
par
unitaire si et seulement si
sont obtenues selon
sur
un
~ s)
1 ; d0) ,
g e
sur
G~
on
définit
F (s)
par
G
0)
l’intégrale (4) existe pour ORs ~1 et
Rs :1 ~ continue dans 0 ~Rs ~:1 ; si f (g)
Si, par exemple
est
holomorphe dans 0
(4) existe pour chaque nombre complexe s et
du type exponentiel, rapidement décroissante sur
F (s)
Notre résultat
bilatère fermé
de
Ji
principal
J
définit
on
comme
F(r~ ~ d F ~ .
[avec
une
fonction entière
1/2 .
est le suivant : tout idéal
D
spectre. Pour définir le spectre
nombres complexes s où
son
l’ensemble des
~ J ~~ r est "presque indépendant" de
...
ds
contient pas des entiers rationnels,
peut démontrer que
r
si
est déterminé par
D
de
les idéaux de
sur
est
Rs =
ne
E D
On montre que
et
m
n :
on
==
donc pour cette classe des idéaux bilatères de
pour
(la"classe agréable") nous avons établi une correspondance biunivoque avec les
idéaux (déjà connus) de la sous-algèbre commutativo D de D des fonctions
D
sphériques (invariants
n’est
rationnels,
mais pour r donnéil peut prendre seulement un nombre fini
des valeurs. On arrive au résultat qu’il faut attacher à chaque nombre
s ~ 0 ~ ± 1 ~ ± 2 ~ ,., un
complexes
zéro)
et à chaque
pour
s
un
seul entier rationnel
nombre fini
( ~9)
démontré que
nous avons
(déjà publié
d’entiers
dans
~~ ~)~
J
est
déterminé par
Si
(4)
=
r .
complète
de
D
son
comme
r s (=
De
ordre de
plus rs
= a
n’est pas
spectre. La
algèbre
matricielle
et aussi l’existence de certains éléments
placent les "matrix units" e.. d’une algèbre matricielle
cultés principales dans la démonstration est causée par le
par
r
dehors d’un ensemble discret. Avec cette modification de la notion
en
spectre
entier 1
démonstration utilise la description
D
des
générale
en
(~9)
du
rotations).
plus indépendant de m ~
K
et à droite par le sous-groupe
gauche
contient des entiers
Si
n
à
qui
rem-
totale. Une des diffifait que l’image de
algèbre matricielle totale.(Voir C3~~ théorème 3.1).
... la représentation g ~-’~ U (g ~ 1) n’est même pas semi-
une
.~ = 0 ~ ± 1 ~ ± 2 ~
qu’il y a des idéaux bilatères fermés de D qui
J ne conne sont pas intersections d’idéaux primaires. Mais si le spectre de
tient pas d’entiers rationnels, le théorème d’intersection est encore vrai : J est
simple.
On
peut déduire
de cela
l’intersection des idéaux
primaires ?
J .
Tous les résultats ci-dessus sont valables aussi pour les idéaux de
qu’il y a une correspondance biunivoque entre les idéaux de D et de
peut appliquer
ces
résultats
au
développement
des fonctions
E’
parce
E’ . On
moyenne-périodiques
~3~ ~ paragraphe 6. Si feE est moyenne-périodique bila(i.e. D *~f * D ~ E ) ~ soit J l’idéal annihilateur bilatère de f
obtenu dans
G
sur
tère
(J * f * J = (0 ) )
’
(ou D) .
E’~
dans
agréable, le spectre de J coïncide avec le spectre
le développement moyenne-périodique de [3 ] , paragra-
e~t dans la classe
Si
J
p
rP1
qui
entre dans
phe 6 :
agréable,
J
sur
les entiers rationnels. De
n’est pas
possible que ces deux spectres soient différents
toute façon, on déduit que l’ensemble des nombres
s
il est
Si
développement moyenne-périodique f(g) ~03A303A3
une conséquence directe de la démonstration
moyenne-périodique [3 ] (paragraphes 5 et 6)
est discret. Ce n’est pas
du
développement
de l’existence du
et
je n’ai pas l’impression qu’on
pourrait démontrer cela beaucoup plus directement.
La théorie des idéaux de
L~(G) est beaucoup plus compliquée que celle de D
L1 (- ~ , oo) . Par exemple, analogue du théorème
+
un
et que celle de
C’est
fermés.
de Wienor n’est pas vrai pour les idéaux bilatères
la sous-algèbre commutative des fonctions sphériques. Si f(g)
ou
E’ ,
déjà
faux pour
EL1(G)
toutes
définies par (4) sont holomorphes dans 0 ~ Rs ~ 1 et
continues dans 0 Rs ~1 et satisfont un analogue du lemme de Riemann-Lebesgue
( lim F(s) = 0) . Si l’ordre de zéro de F(s) à oo est trop haut, l’idéal
les fonctions
Im s --~
F mn (s)
ao
bilatère fermé
zéros. Donc
une
engendré
par
f(g)
description de
n’est pas
Ll(G),
même si
F(s)
tous les idéaux fermés bilatères de
pas de
n’a
L (G) est
probablement extrêmement difficile : la difficulté "classique" de L 1 (.. co , + co)
qui entre en jeu ici à la frontière Rs = 0 ou 1 est combinée avec la difficulté des fonctions holomorphes en un point de la frontière où elles s’annulent. Nous
avons
seulement réussi à déterminer les idéaux maximaux fermés bilatères de
L1(G) ,
plus précisément les éléments maximaux
fermés bilatères. Ils correspondent aux points
sentations
~~
de la série discrète. On
Ll (G) .
de L~ (G)
ne
de l’ensemble de tous les idéaux
0 S.Rs ~ 1 et
de la bande
sait pas s’il y
a
aux
repré-
des idéaux maximaux
l’image de la transformation
est sûrement essentiellement plus difficile que pour L (- ao ~ +
de Fourier
Il est donc d’importance d’avoir des algèbres sur G avec une meilleure théorie
des idéaux. On dit que f(g) est sphérique de type m ~ n . Si
denses dans
Aussi
une
description
"utile" de
oo) .
le caractère
avec kn
et
gx
l’élément correspondant de
Evidemment
g E G entraîne
nombre réel
1
p
G , sphériques
sur
du sous-groupe
pour tout entier
~ (considéré
On définit
j~O
comme
une
et £ 2
de
g = k
, soit
type m ,
G,
gxN
n
Spmn
K
des rotations de
i.e.
avec
k
l’espace
et N
~
Pour chaque
K,
f(g) , C~
des fonctions
fixes et telles que
chaque élément à de l’algèbre associative enveloppante
opérateur différentiel à gauche et à droite sur G) .
et
topologie
S~
sur
par les semi-normes
chaque sntisr j ? 0 et chaque a . Avec cette topologie
espace vectoriel topologique complet, métrisable. C’est aussi un
Spm,n
pour
Schwartz
en sens
Spmm
une
est
Maintenant
Soit
(M
de Grothendieck. On
a
aussi
Spmn
ç
Lr(G)
2
fixe
si
est
un
espace de
r ~ p . Pour
m ~ n
algèbre topologique.
on
définit pour chaque
M M
=
B
~2014
p ~~1
e t
l’algèbre Sp s
@
Evidemment S~
S~
~~
Sp,M,N
.
est la limite
et on définit la topologie de
~ , N ~ oo) do
inductive au sens de Dieudonné et Schwartz des espaces Sp,M,N
~
G . Soit
Sp
comme
limite
(la topologie
de
On montre que S~
étant la topologie du produit cartésien des
algèbre topologique, localement convexe, métrisable et complété. Les
S~ ~).
est
une
P
projections
sont continues.
~
f(g) ~ Sp
Si
~
décroissantes dans
-~ ~
i Rs 1 p (si p = 2 ,
une fonction C~ de la
l’image
pour
p
de
et de
= 2 , si
f
est
de
l’analogue
C
Soit
(s) définies par (4) sont C~
(où -.+-== 1) et holomorphes
devient la ligne Rs =
S~
l’espace
S
5
de Schwartz
+
f 6
Nl+
S~ qui
de
sont
C
que
=
C
Sp
bilatères de
C
C
S~
l’algèbre
S~
S~
est
et les idéaux fermés de
est
holomorphes (dans
J -~- J ~C
la
Rs ~.- ~
F(l - s) =
toutes
orthogonales
Sp+(Sp)
à toutes les
l’ensemble des
SP, S~
et
S~
sont
La théorie
sont des sommes directes
que
C
on
montre que pour
biunivoque entre les idéaux fermés
l’algèbre
topo logiquement isomorphe
bande -
sur
~Sp+~Sp-.
discrètes d’algèbres matricielles totales. Pour étudier
P2 l’application
varie
exemple
discrète
de la série
~..
G. Par
sur
G.
et
Bargmann,
On voit facilement
(0~) ~ 2 = 1 ~ 2 , 3 ,
des’idéaux fermés bilatères de Sp tels que Sp
est très facile, parce
des idéaux de S~ et
1
it)
de Schwartz pour le groupe
des fonctions
dans
ligne réelle. Donc S
la
sur
rapidement
complètement
peut
(m fixe),
sur
qui dépendent seulement
fonctions
On
et
et
it) est
1
2
Fmn(1
2
+
déterminer
par la transformation de Fourier
séries discrètes
des
t).
variable réelle
de l’espace
SP l’ensemble
représentations
~?
~
la bande
varie
paires
les fonctions
F
les fonctions
commutative
avec une
C~ dans
F(s)) . Donc
Mais
de fonctions
algèbre
-
C
si ~p ~2~
rapidement
la màme diffidécroissantes et telles que
i même l’analogue du théorème de Wiener n’est pas vrai. Mais
culté que pour
pour
p
=
2
sous-algèbre
de
1/2 Il
S
est isomorphe à la
1/2 et C
de l’algèbre S de Schwartz sur la
cette algèbre sont bien connus,ils sont
ligne Rs
toutes les fonctions paires
la bande devient la
on a
=
idéaux fermés de
complètement déterminés par leurs spectres et tout idéal est l’intersection des
idéaux primaires (qui correspondent aux paires de points de la ligne Rs = 1/2).
Utilisant cela on peut démontrer la même chose pour les idéa’ux fermés bilatères de
C S ~ On arrive finalement à une description complète de tous les idéaux bilatères fermés J de l’algèbre S . Chaque J est intersection d’idéaux primaires.
+
it ; les
Les idéaux primaires de C S 2 correspondent aux paires do
sont maximaux et correspondent biunivoquement aux repréidéaux primaires de
ligne
Rs
==
Les
points )
S~
sentations
(~.. "
BIBLIOGRAPHIE
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BARGMANN (V.) . - Irreductible unitary representations of the Lorentz group,
Annals of Math., Series 2, t. 48, 1947, p. 568-640.
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semi-simple
Lie groups, Part
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Trans. Amer. math.
Soc.,
t.
et
trans-
84,
p. 1-55.
EHRENPREIS (L.) and MAUTNER (F. I.). form on semi-simple Lie groups, Part
168
Some
properties
3, Trans. Amer.
of the Fourier transmath. Soc. (à paraître).