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Mines Physique 1 PSI 2013 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Bruno Salque (ENS Lyon) ; il a été relu par Tom Morel
(Professeur agrégé) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).
Le sujet porte sur l’étude d’un procédé de modulation de la lumière appelé modulation acousto-optique (MAO).
• Dans la première partie du problème, on étudie le principe de propagation d’une
onde acoustique dans un milieu compressible. Contrairement au cas habituel
du cours, l’approximation acoustique, postulant la linéarité de la relation de
dispersion, n’est pas introduite au début du raisonnement.
• Dans la deuxième partie, nécessitant plus de maîtrise des calculs, on travaille
sur un modèle de modulateur acousto-optique avec la propagation d’ondes électromagnétiques sur un milieu isolant à indice optique variable. Cette variation
d’indice est induite par des ondes acoustiques propagées dans le milieu.
• Enfin, on s’intéresse dans la troisième partie à l’utilisation d’un dispositif de
MAO : la méthode de détection hétérodyne. Les nœuds et ventres des ondes
acoustiques dans le milieu constituent un réseau qui diffracte les ondes lumineuses tout en modifiant leurs phases et leurs fréquences. En superposant
l’ordre 0 et l’ordre 1 du signal lumineux, on identifie les variations de chemin
optique entre les deux ordres. Un tel dispositif permet, par exemple, de mesurer des déplacements très petits devant la longueur d’onde de la source laser
utilisée. Des notions de traitement du signal sont abordées dans les dernières
questions.
Ce problème, d’une difficulté raisonnable, permet de tester ses connaissances sur
l’acoustique et l’optique ondulatoire. Les calculs doivent être soignés pour pouvoir
terminer ce sujet.
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Indications
Partie I
1 Adopter un point de vue lagrangien et traduire la constance de la masse d’une
tranche du milieu.
2 Faire un bilan de quantité de mouvement sur une tranche de fluide.
1 ∂ρ
.
3 On rappelle la définition de χs =
ρ ∂P S
5 Utiliser les lois de Laplace pour exprimer χS en fonction de γ et p.
Partie II
6 Utiliser l’équation de Maxwell-Gauss.
7 Ne pas oublier le déphasage de π pour la réflexion d’une onde électromagnétique.
8 Utiliser la loi de Maxwell-Faraday et la continuité du champ.
9 Utiliser le développement limité sin(a + δa) = sin(a) + δa cos(a).
10 Se rappeler que tan2 θ + 1 = 1/ cos2 θ.
12 Utiliser le théorème de Malus sur deux rayons arrivant en z = 0 et en z > 0.
13 Développer sin(Ωt − K z) en exponentielles complexes.
14 Où la fonction sinus cardinal atteint-elle son maximum ?
16 Comparer la valeur du terme croisé par rapport aux autres.
Partie III
17 « Hétéro » signifie « différent ».
2
18 Utiliser la formule I = |A0 + A1 | .
20 Utiliser cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B.
21 Par définition du décibel : 20 log (S1 /S0 ) = −60.
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Modulation acousto-optique
I. Ondes acoustiques dans un milieu compressible
1 Effectuons un bilan de masse dans le système fermé suivant : une tranche du
milieu au repos, placée entre z et z + dz. À l’instant t, cette tranche se déforme et
ses limites sont z + ξ(z, t) et z + dz + ξ(z + dz, t).
dz
z
ξ(z, t)
ξ(z + dz, t)
En notant dm la masse de cette tranche, il vient :
dm = ρ0 S dz = ρ(z, t) S[dz + ξ(z + dz, t) − ξ(z, t)]
∂ξ
Avec le développement de Taylor à l’ordre 1 de ξ(z + dz, t) = ξ(z, t) +
(z, t)dz, on
∂z
arrive à
∂ξ
dm = ρ(z, t)
(z, t) + 1 S dz
∂z
soit la relation demandée après simplification par S dz,
∂ξ
(z, t) + 1
ρ0 = ρ(z, t)
∂z
Attention à ne pas utiliser l’équation eulérienne de la conservation de la masse
Dρ
∂ρ
→
=
+ div (ρ−
v)=0
Dt
∂t
qui ne permet pas de trouver la relation entre ρ et ρ0 .
2 Appliquons le principe fondamental de la dynamique à une tranche de fluide
de masse dm = ρ0 S dz. Les forces qui s’appliquent sont uniquement les forces de
pression en amont et en aval de la tranche.
→
∂−
v
→
→
m
= S P(z, t)−
ez − S P(z + dz, t) −
ez
∂t
→
∂−
v
∂P
→
ρ0 S dz
=−
S dz −
ez
∂t
∂z
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−
Projetons la relation précédente selon →
ez , en simplifiant par S dz, on arrive à
ρ0
∂2ξ
∂P
(z, t) = −
(z, t)
2
∂t
∂z
3 Travaillons sur le terme ∂P/∂z en faisant apparaître le coefficient de compressibilité isentropique du milieu χs .
1 ∂ρ
1 ∂ρ ∂z
χs =
=
ρ ∂P S
ρ ∂z ∂P
Utilisons l’expression de ρ trouvée à la question 1 :
∂ξ 1+
∂z ∂ρ ∂z
χs =
ρ0
∂z ∂P


∂ξ
∂2ξ
1
+
1
∂P
∂
ρ
2


0
∂z
donc
=
 = − ∂z ∂ξ 
∂ξ
∂z
χs ρ0 ∂z
χs
1+
1+
∂z
∂z
En réinjectant dans l’expression obtenue dans la question précédente, on trouve bien
∂2ξ
2
∂ ξ
1
∂z =
2
∂ξ
∂t
χ s ρ0
1+
∂z
2
La relation obtenue indique, par son caractère non linéaire, une propagation
dispersive des ondes acoustiques.
4 Négligeons le terme en ∂ξ/∂z devant 1 et dérivons par rapport à t cette équation :
∂3ξ
1
∂3ξ
=
∂t3
χs ρ0 ∂t∂z 2
Comme v = ∂ξ/∂t, il vient bien
1 ∂2v ∂2v
− 2 =0
c0 2 ∂t2
∂z
avec
1
c0 = √
χ s ρ0
La forme générale de la vitesse d’une onde acoustique, pour une propagation
→
−
→
dans le sens des z croissants avec un vecteur d’onde K = K−
ez , de pulsation Ω et
d’amplitude v0 , est
v(z, t) = v0 sin(Ωt − K z + ϕ)
en notant ϕ la phase à l’origine. Si l’on réinjecte cette expression dans l’équation de
propagation précédente, on trouve, après simplification par v0 ,
soit
Ω2
= K2
c0 2
√
|K| = Ω χs ρ0
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