Devoir à la maison Correction

Devoir à la maison Correction
On suppose que est un réel fixé de ]0;1[ qui représente la probabilité qu'un billet de
100 euros soit faux.
On dispose d'un détecteur de faux billets imparfait qui allume une lumière qui est soit
bleue lorsqu'il considère que le billet testé est vrai, soit rouge lorsqu'il considère que le
billet testé est faux .
On note " : " Le billet testé est faux " et & : " La lumière qui s'allume est bleue ".
On note '( )"* + , - et '(* )"+ , ., et on suppose dans tout l'exercice que - / . 0 1.
a. En utilisant une formule des probabilités totales pour exprimer ')"+, montrer
que
.2
')&+ ,
-/.21
En déduire que 1 2 - 3 3 ..
La famille 4&, &*5 est un système complet d’événements.
On a donc
" , )& 8 "+ 9 )&* 8 "+
Donc
')" + , '( )" +')& + / '(* )" +')&* +
, )1 2 -+')&+ / .;1 2 ')&+<
, )1 2 - 2 . +')& + / .
Or ')" + , On a donc
2.
.2
')&+ ,
,
)1 2 - 2 .+ - / . 2 1
On a ')&+ = 0 et - / . 2 100 donc . 2 = 0 et donc 3 ..
On a également ')&+ 3 1 donc . 2 3 - / . 2 1 donc – 3 - 2 1 et donc = 1 2 -.
On a donc
12- 3
3.
b.
Montrer que la probabilité que le détecteur valide un faux billet est
)1 2 -+). 2 +
'@ )& + ,
)- / . 2 1+
On a
'@ )&+ ,
c.
')" 8 & + '( )" +')& +
,
,
')"+
')"+
A)1 2 -+
.2
B
-/.21
,
)1 2 - +). 2 +
)- / . 2 1+
On suppose dans cette question uniquement que . , - , 0,95 et on note
Montrer que
On a
d.
E , - / 2 1 , 2 0,05
1 2 '@ )& + ,
0,95E
, F )E +
0,9)E / 0,05+
)1 2 -+). 2 +
)- / . 2 1+
0,05 G )0,95 2 E 2 0,05+
,12
)E / 0,05+)0,95 / 0,95 2 1+
0,05 G )2E / 0,9+
,12
0,9)E / 0,05+
0,9)E / 0,05+ 2 0,05 G )2E / 0,9+
,
0,9)E / 0,05+
0,95E
,
0,9)E / 0,05+
1 2 '@ )& + , 1 2
Etudier la fonction F sur [0,1[.
La fonction est dérivable sur l’intervalle [0,1] comme quotient de fonctions dérivables, le
dénominateur ne s’annulant pas sur cet intervalle.
On a
0,95
F H )E+ ,
0,9)E / 0,05+I
La fonction est donc strictement croissante.
On a F)0+ , 0 et F )1+ ,
e.
J,KL
M,JLGJ,K
N 1,005
Une qualité du test serait que chaque fois que le billet est faux, la lumière rouge
s’allume. Compte tenu des contraintes techniques, un tel résultat n’est pas
possible en pratique. Toutefois, on peut espérer que ce résultat soit atteint dans
95% des cas.
Traduire cette attente en terme de probabilité. Justifier qu’il n’existe qu’une
seule valeur de pour laquelle on obtient ce résultat.
Déterminer cette valeur de par le calcul.
On veut que '@ )U + , 0,95. Or '@ )U + , '@ )&*+ , 1 2 '@ )&+
On veut donc F)E+ , 0,95.
La fonction F étant continue et strictement croissante, elle réalise une bijection de
[0,1[ sur [0 ;1,005[. 0,95 W [0; 1,005[. Donc il existe E unique dans [0,1[ tel que
F)E+ , 0,95.
On a
0,95E
, 0,95
0,9)E / 0,05+
X E , 0,9)E / 0,05+
X 0,1E , 0,9 G 0,05
X E , 9 G 0,05 , 0,45
F)E+ , 0,95 X
On en déduit que
, E / 0,05 , 0,5