Intervalles Cours CHAPITRE 1 : Notion d’intervalle 1) Définition 2) Représentations d’intervalles 3) Vocabulaire 4) Notations d’ensembles CHAPITRE 2 : Intersection d’intervalles 1) Définition 2) Intervalles disjoints 3) Exemples CHAPITRE 3 : Réunion d’intervalles 1) Définition 2) Exemples Intervalles – Cours © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 1 CHAPITRE 1 : Notion d’intervalle Rappel : L’ensemble des réels est l’ensemble des abscisses des points d’une droite. 1) DEFINITION Un INTERVALLE est un ensemble, éventuellement vide, de nombre réels. Remarque : De manière imagée, un intervalle correspond à une partie sans trou de la droite numérique. Ainsi, l’ensemble des entiers naturels n’est pas un intervalle car il y a beaucoup de trous entre deux entiers. 2) REPRESENTATIONS D’INTERVALLES Soient deux réels et L’intervalle noté est l’ensemble des nombres réels [ ] [ [ ] ] ] [ [ [ ] [ ] ] ] [ tels que . tels que et il est représenté sur l’axe des réels par : Intervalles – Cours © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 2 Remarque : L’intervalle [ ] a pour centre et pour rayon . 3) VOCABULAIRE ] est un INTERVALLE FERMÉ en ce sens que les crochets sont tournés/fermés vers L’intervalle [ l’intérieur. [ est un INTERVALLE OUVERT en ce sens que les crochets sont tournés/ouverts L’intervalle ] vers l’extérieur. [ et ] ] sont des INTERVALLES SEMI-OUVERTS. Par exemple, on dit que Les intervalles [ [ est fermé à gauche et ouvert à droite et que l’intervalle ] ] est ouvert à gauche et l’intervalle [ fermé à droite. Les réels et sont appelés les BORNES de l’intervalle. Lorsque l’une des bornes est (qu’on lit « moins l’infini ») ou (qu’on lit « plus l’infini »), on dit que l’intervalle est NON BORNÉ. Remarques : et ne désignent pas des réels. Les bornes infinies sont toujours ouvertes et il ne faut jamais noter [ ] ni [ [ ni [ ] ni ] ]. Les intervalles fermés, c'est-à-dire contenant leurs bornes, sont appelés SEGMENTS. 4) NOTATIONS D’ENSEMBLES L’intervalle noté ] et plus simplement noté [ désigne l’ensemble : des réels ] ] des réels négatifs (ou nuls) ] [ des réels strictement négatifs [ [ des réels positifs (ou nuls) ] [ des réels strictement positifs [ ] ] [ des réels non nuls vide [ ] contenant uniquement le réel Intervalles – Cours © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 3 Remarques : L'ensemble vide, noté , est l'ensemble ne contenant aucun élément. L’ensemble est appelé « SINGLETON ». n’est pas un intervalle car il y a un trou en zéro. L’ensemble des réels non nuls est en fait la réunion de deux intervalles. On note également l’ensemble des réels non nuls ou . Intervalles – Cours © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 4 Intersection d’intervalles 1) DEFINITION et . L’INTERSECTION des intervalles Soient deux intervalles et , notée (qu’on lit « inter »), désigne l’ensemble des réels qui appartiennent à la fois à ET à . Remarque : L’intersection de deux intervalles est toujours un intervalle. 2) INTERVALLES DISJOINTS Deux intervalles sont dits DISJOINTS s'ils n'ont aucun élément en commun. Autrement dit, deux intervalles et sont disjoints si . 3) EXEMPLES Point méthode : Pour déterminer l’intersection de deux intervalles, 1- on représente ces deux intervalles sur le même axe gradué en : a. repérant à l’aide d’une première couleur les réels appartenant au premier intervalle b. repérant à l’aide d’une deuxième couleur les réels appartenant au second intervalle 2- on repère enfin l’intersection des deux intervalles ; cette intersection correspond à l’ensemble des réels repérés/coloriés à l’aide des deux couleurs Exemple 1 : Déterminons sachant que [ ] et ] ]. Les réels appartenant à ET à sont les réels de l’intervalle [ ]. Ils sont ici en effet à la fois en bleu ET en vert. Ainsi, [ ] ] ] [ ]. Intervalles – Cours © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 5 Exemple 2 : Déterminons sachant que [ ] [ et ]. Il n’existe pas de réel appartenant à ET à . L’intersection est donc l’ensemble vide, que l’on note . Ainsi, [ [ ] ] . Les ensembles et sont donc disjoints. Exemple 3 : Déterminons sachant que [ ] et ] ]. Les réels appartenant à ET à sont les réels de l’intervalle ] ]. Ils sont ici en effet à la fois en bleu ET en vert. Ainsi, [ [ ]. ] ] ] ] ]. L’intervalle ] Exemple 4 : Déterminons sachant que ] est INCLUS dans l’intervalle [ [ [ et ] ] et on note ] ] ]. Il n’existe qu’un réel appartenant à la fois à ET à . Il s’agit du réel . L’intersection est donc le singleton . Ainsi, [ [ ] ] . Intervalles – Cours © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 6 Réunion d’intervalles 1) DEFINITION Soient deux intervalles et . La REUNION des intervalles et , notée (qu’on lit « union »), désigne l’ensemble des réels qui appartiennent à OU à (ou à et ). Remarques : La réunion de deux intervalles n’est pas toujours un intervalle car elle peut contenir des trous. Le « OU » de la définition ci-dessus est un « OU INCLUSIF », c’est-à-dire qu’un élément de peut appartenir à ou à ou à la fois à et . Il ne faut pas confondre le « OU inclusif » et le « OU exclusif », ce dernier excluant que l’élément puisse appartenir également à et . La réunion est aussi appelée UNION. L'ensemble des nombres réels est constitué par la réunion de l'ensemble des nombres RATIONNELS et de l'ensemble des IRRATIONNELS, y compris des NOMBRES TRANSCENDANTS comme . 2) EXEMPLES Point méthode : Pour déterminer la réunion de deux intervalles, 1- on représente ces deux intervalles sur le même axe gradué en : a. repérant à l’aide d’une première couleur les réels appartenant au premier intervalle b. repérant à l’aide d’une deuxième couleur les réels appartenant au second intervalle 2- on repère enfin la réunion des deux intervalles ; cette réunion correspond à l’ensemble des réels repérés/coloriés à l’aide d’au moins une des deux couleurs Exemple 1 : Déterminons sachant que [ ] et ] ]. Les réels appartenant à OU à sont les réels de l’intervalle ] ]. Ils sont ici en effet en bleu OU en vert, OU en bleu et en vert. Ainsi, [ ] ] ] ] ]. Intervalles – Cours © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 7 Exemple 2 : Déterminons sachant que [ ] [ et ]. Les réels appartenant à OU à sont les réels de l’intervalle ] [. En effet, TOUS les réels sont ici en bleu OU en vert, OU en vert et en bleu. Ainsi, Exemple 3 : Déterminons sachant que [ ] [ et . ]. Il n’existe pas de réel appartenant à ET à . Les réels appartenant à sont donc en vert OU en bleu. [ ] ] ] Ainsi, [ ] [ [ (on ne peut pas simplifier ici l’écriture). La réunion des ensembles et (ici disjoints) n’est pas un intervalle car il y a des trous entre et . Exemple 4 : Déterminons sachant que ] ] et ] [. Les réels appartenant à OU à , OU à et sont les réels de l’intervalle ] ]. Ils sont ici en bleu OU en vert, OU en vert et en bleu. Ainsi, ] ] ] [ ] ]. Attention ! Il faut ici bien remarquer que le réel appartient à la réunion des intervalles et puisque, même s’il est exclu de l’intervalle (intervalle ouvert en ), il est inclus dans l’intervalle (intervalle fermé en ). Autrement dit, le réel 4 appartient au moins à l’un des deux intervalles et donc il appartient à . Remarque : on peut alors noter que ou bien que . Intervalles – Cours © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 8